A fizikai valóság keresése a matematikai formulák mögött

A fizikának szüksége van matematikára, mert csak így tudja kvantitatív módon megfogalmazni törvényeit. De ugyanakkor ennek bonyolult formalizmusa elidegenítő hatású, mert nehézzé teszi sok esetben a törvények elfogadását a józanész számára, különösen vonatkozik ez a kvantummechanikára és annak részecskefizikai kiterjesztéseire, a kvantumtér elméletekre. Még a fizikusok között is elterjedt az a felfogás, hogy a formalizmust nem érteni kell csak megszokni. Ha a matematikai törvények jól írják le kísérleti megfigyeléseinket, akkor nem fontos, hogy mi az a fizikai tartalom, ami a formulák mögött megbújik. Ebben is tükröződik a modern, iparszerűen űzött tudomány jellegzetessége, amely egyre mélyebbre hatol a részletek megismerésében, eljut a legparányibb fizikai objektumok tulajdonságainak feltárásétól az univerzum, a csillagrendszerek óriásaiig, a legkisebb energiáktól a leghatalmasabb energiák birodalmáig. Ma a specialisták korát éljük, minden tudós ragyogóan érti szűk szakterületének részletkérdéseit, de ugyanakkor egyre kevésbé értjük egymást, egyre jobban halványul a törekvés az NAGY EGÉSZ megismerésére.  A fizika olyan mint egy kirakós játék, egy puzzle. Hiába ismerjük a puzzle egyes elemeit a legnagyobb pontossággal, ha az elemeket nem tudjuk jól összeilleszteni, akkor a motívum, a teljes kép nem fog kibontakozni előttünk.

A blog írója is egy a specialisták közül, akinek közel 300 publikációja az elektron mágneses tulajdonságait vizsgálja, ami a részecske egy speciális tulajdonságán, a spinen alapul, de amikor feltettem magamnak a kérdést, hogy mi valójában a spin, zavarba jöttem. Elvben segít a matematika, hiszen a Dirac-egyenlet erre világos definíciót ad, amellett a spin olyan fizikai mennyiség (impulzusmomentum), amivel minden forgást végző test rendelkezik. Mégis a fizika szakkönyvei tartózkodnak annak kijelentésétől, hogy az elektronok és más elemi részecskék sajátforgása (perdülete) hozná létre a spint. Ezt megpróbálják cáfolni is avval, ha a részecske sajátforgásából származna az elektron energiája, tömege és impulzusmomentuma, akkor olyan nagy lenne a forgás sebessége, ami meghaladná a fénysebességet. Engem ezek a magyarázatok nem elégítettek ki, ezért kalandozni kezdtem a fizika különböző területein, és keresni kezdtem a kapcsolatot az egyes területek között, megpróbáltam az elméleteket úgy összeilleszteni, amiből kialakulhat egy átfogó fizika kép, a fizikai valóság. Ennek során jártam végig a speciális és általános relativitáselméletet, a kvantummechanikát és a térelméleteket, a részecskefizika birodalmát. Nem volt célom új matematika formalizmus létrehozása, bár végül erre is akadt példa. hanem összegezni akartam, ellentmondásokat akartam kiküszöbölni és válaszolni néhány homályban maradt kérdésre is.  

Szakcikket szakfolyóiratban közölni viszonylag egyszerű, ha az ember betartja a terület szokásos játékszabályait, de komoly nehézséget jelent, ha valaki eltér a bevált sémáktól és új megvilágításba próbálja helyezni a fizika alapkérdéseit. Célom a mérlegre tevés, kritikai észrevételek alapján szeretném látni, hogy helyesek-e megállapításaim. Ennek egyik eszköze ez a blog is, persze nem mondok le arról a lehetőségről sem, hogy szakfolyóiratokban is napvilágot lássanak gondolataim. A blogban emellett közelebb szeretném hozni a fizika világát olyanok számára is, akik nem rendelkeznek magasabb szintű matematikai és fizikai ismeretekkel, ezért néhány bejegyzésben ismeretterjesztő írások is vannak, másutt lábjegyzeteken keresztül kapcsolom össze az ismeretterjesztő szándékot a fizikai precizitással, de vannak olyan bejegyzések is, amelyeket igazán csak a fizikában jártasabbak érthetnek meg.

A legátfogóbb írás a „A részecskefizika nyitott kérései” (technikai okokból két részre bontva). Ennek egy része szakfolyóiratban is megjelent, lásd „A screw model for quantum electrodynamics.: From gravitation to quanta” (szintén két részletben). Egy átfogó fizikai koncepció igényét és a fizika tudományának kritériumait "A modern fizika dilemmái" című bejegyzésben fogalmazom meg. Ehhez kapcsolódnak még  a „Fénysebességű forgások és a relativitáselmélet” illetve a "A Dirac-egyenlettől az általános fermion egyenletig című írások, melyekben az egzakt matematikai kifejtés is nyomon követhető. Az előzőeket kiegészíti a "Mi a fény" című bejegyzés is, amely az elektrodinamika hullámegyenleteit veti össze a foton csavarmodelljével, míg "A véges és végtelen az Univerzumban" című írás a fotonok széles spektrumán keresztül vizsgálja a tér és időfelbontás végső határait.. "A kettősforgás csavarpályájának geometriája" írás mutatja be a fermionok sajátmozgásának pályáját.   "Az elektron anomális mágneses momentuma" című bejegyzés értelmezi az elektron anomális mágneses moentumát a kéttengelyű fénysebességű forgások segítségével.

Néhány mondatban a legfontosabb megállapítások:

• Az írások kiinduló pontja a speciális relativitáselmélet, amely összhangba hozza a részecskék pontszerűségére vonatkozó megállapításokat a részecskék véges sugarát megkövetelő tulajdonságokkal (spin, azaz impulzusmomentum és a mágneses momentum), ha fénysebességű forgások jönnek létre.
• Azt az erőhatást (erős gravitáció), amely létrehozza a fénysebességű forgásokat az einsteini koncepció alapján magyarázom, aki a tér görbülete és a gravitáció között állapított meg kapcsolatot (általános relativitáselmélet).
• Kifejtem elgondolásaimat a „kettős fizikai világról”, amelyben a téridő görbületei adják meg azt a hátteret, amiben az általunk „látható” részecskék világa megjelenik.
• A két világ kapcsolatát a gyenge kölcsönhatáson keresztül értelmezem és rámutatok a foton és a gyenge kölcsönhatást közvetítő bozonok egyrészt eltérő, de másrészt hasonló tulajdonságaira.
• Fotonok és fermionok (elektron, proton, neutron stb) esetén azonos összefüggést feltételezve az energia és impulzus között (a kettőt a fénysebesség kapcsolja össze), eljutunk a speciális relativitáselmélet törvényeinek ekvivalens megfogalmazásához.
• A Dirac-egyenlet valamennyi fermionra való kiterjesztésével értelmezni lehet a neutrínók és kvarkok szokatlan tulajdonságait (tömeg nélküli neutrínók egymásba alakulása, kvarkok törttöltése és „bezártsága”).
• Fénysebességű forgások hozzák létre az elemi részecskéket és a forgás szimmetriája (kiralitás) határozza meg a részecskék fizikai paramétereit (töltés, tömeg, részecske, antirészecske). 
• A kvarkok „szín kvantumszámát” a forgási héjak vibrációi hozzák létre.

A "Térgörbület és gravitáció forgó rendszerekben" című bejegyzésben kiemelten tárgyalom a gravitáció és erős gravitáció kapcsolatát,  utalok rá, hogyan kapcsolódik az elképzelés Higgs spontán szimmetriatörési koncepciójához,  kitérek kozmológiai kérdésekre és a legkisebb hatás elvére is.

A kvantummechanika ismeretelméleti kérdésivel két írás foglalkozik, az egyik ismeretterjesztő célzatú („Determinizmus és kvantummechanika: a szabadság szintjei a fizikában”), a másik angol nyelvű publikáció  az „EPR paradoxon”. Az utóbbi az Einstein, Podolsky és Rosen” által felvetett kérdéssel foglalkozik, amely szerint a kvantummechanikát rejtett paraméterrel kellene bővíteni a determinizmus fenntartása érdekében. A két bejegyzés alapgondolata, hogy a hétköznapi világban kialakított fogalmaink a térről és időről csak korlátozottan alkalmazhatók elemi folyamatok leírására, mert a fogalmainknak azt a valóságot kell tükrözni, ahonnan az információ származik. Mivel a fizikai leírások a szokásos tér és idő fogalmát rávetítik az elemi részecskékre, így szükség van egy matematikai nyelvre, amit kvantummechanikának hívunk, ahol a véletlen és valószínűség bevezetésével lehet áthidalni a két fogalmi rendszer eltérését. A részecskék sajátforgásának fázisa determinisztikussá teszi az elemi folyamatokat, de a fázis ismeretlensége miatt az eredményre csak valószínűségi kijelentések tehetők. 

Az "Út a kvantummechanika megértéséhez" c. bejegyzés logikus utat kínál, hogy a klasszikus mechanika fogalmai alapján eljussunk a kvantummechanikai operátorokig. Ebben fontos szerepet játszik a Noether elv. A "Miért diszkrétek az energianívók kötött állapotban?" című öt részes bejegyzés a klasszikus fizika és a kvantummechanika összevetésével elemzi a diszkrét energiaszintek fellépését, amit a foton kvantált tulajdonságára vezet vissza. Az első két rész tárgyalja az oszcillációkat (molekula-vibráció), a további három a bolygómozgás törvényeit veti össze az elektron Bohr modelljével és a Schrödinger egyenlet által adott megoldással..A "Határozatlansági relációk a kvantummechanikában" bejegyzésben a kvantummechanikai inercia erő fogalmát vezetem be, amely biztosítja, hogy a végtelenül nagy Coulomb erő sem tudja befogni az elektront az atommagba. "Az intelligens elektron" című írás (angol nyelven "The intelligent electron") ismeretterjesztő szándékkal - egy megszemélyesített elektronnal folytatott párbeszédben - illusztrálja a makroszkópikus és mikroszkópikus világ eltérő fogalmi rendszerét.

A speciális relativitáselméletben a kinetikus energia és a nyuggalmi energia négyzete adódik össze szemben az energiatagok szokásos összeadási szabályával. Ennek okát vizsgálja meg "The origin of covariance in the special relativity" című írás. Az univerzum gravitációs egyensúlyához több anyagra lenne szükség, mint ami a csillagászati megfigyelésekből következik. Ennek a hiányzó sötét anyagnak az eredetét kívánja tisztázni a "Nyomozás a sötét anyag után" című bejegyzés. Ebben az írásban felvetjük a kérdést, hogy a relativitáselmélettel akkor kapunk összangot, ha a kvarkokból felépülő részecskékben a tömeget (tehát a nyugalmi energiát) négyzetesen adjuk össze a többi energiataggal. Ezt a koncepciót fejleszti tovább a "Barangolás a kvarkok és elemi részecskék világában" című írás, amelyben olyan formulát javasolunk az összetett részecskék tömegére, amelyik nagy pontossággal állítja elő a tömegeket az egyes kvarkok adataiból. Ez segítséget adhat a még nem detektált mezonok és barionok detektálásában is, mert szűkíti a vizsgálandó energiatartományokat.

"Az elektro-gyenge kölcsönhatás és az elemi részecskék átalakulása" három bejegyzés)  összehasonlítja az elektromágneses és a gyenge kölcsönhatás legfontosabb mechanizmusait, a fénysebességű csavarmozgás alapján értelmezi a Pauli-féle kizárási elvet valamint a részecskék és anti-részecskék közötti annihilációt, bemutatja a gyenge kölcsönhatás bozonjainak geometriai struktúráját, végül kitér kozmokógiai kérdésekre is az ősrobbanás egy vitatott következményével kapcsolatban. Az írás harmadik része: "A gyenge kölcsönhatás kiválasztási szabályai és a CPT tükrözés" foglalkozik a paritás és a töltéskonjugációval kiegészített paritássértés problémájával a fénysebességű forgásmodell alapján.

A téridő és az elemi részecskék egymást feltételező kapcsolatáról írok a "Téridő-részecske" című bejegyzésben, amelyben szintén felvetem a szokásos tér és idő fogalmak eltérését a mikrovilágban használt fogalmaktól, ami arra vezet a kvantum-elektrodinamikában, hogy megjelennek a formalizmusban a fénynél gyorsabb, sőt időben visszalépő folyamatok is.

Az „Energia, entrópia és evolúció” című bejegyzés ismeretterjesztői szinten kapcsolja össze a három fogalmat. Az evolúciót kiterjeszti az univerzum fejlődésére az ősrobbanástól napjainkig. Az evolúció hajtóereje az univerzum tágulása és az entrópia globális növekedése., amit felgyorsítanak a lokális entrópia csökkenésének szigetei a természetben és az élővilágban.

"Az ősrobbanés és a tertemtésmítoszok" összehasonlítja az ókori mítoszok világát a mai kor ősrobbanás elméletével, amely meglepő párhuzamosságokat is mutat. Javaslatokat teszek ebben az írásban az ősrobbanás elmélet néhány nyitott kérdésére a fénysebességű forgások elvét kivetítva a kezdeti univerzumra. Magyarázatot adok, higy miért domináns az anyag az antianyag felett; és miért nem lehet a gravitációt is kvantumelméleti keretek között leírni.

Az újabb bejegyzések összefoglalását lásd: "Paradigmaváltás a fizikában"

Rockenbauer Antal

Nyomozás a sötét anyag után

Mi a WIMP?

Univerzumunk egyensúlyát a gravitáció biztosítja, amelynek törvényét Einstein egyenlete írja le. Mekkora tömegmennyiségre és sűrűségre van szükség ahhoz, hogy magyarázzuk az Univerzum tágulását, a galaxisok mozgási sebességét, minek köszönhetjük, hogy az Univerzum képes évmilliárdokig fennmaradni a gyors széthullás, vagy összeroppanás veszélye nélkül? Ha az ehhez szükséges tömeget megbecsüljük és összevetjük csillagászati megfigyelésekkel, amelyben az összes csillag tömegét számba vesszük, kiderül, hogy a szükséges tömeg nagyobb része hiányzik. Hol lehet ez a hiányzó anyag? Ennek magyarázatára született meg az elképzelés, hogy a tömeget adó anyag nagy része rejtve van szemünk elöl, nem mutatható ki sem távcsövekkel,sem radarhullámokkal, sem egyéb eszközökkel. Ez a sötét anyag csak tömeggel rendelkezik, de nem lép kölcsönhatásba környezetével a gravitációs vonzáson kívül.  Azokat a feltételezett részecskéket, amelyek a sötét anyagot alkotják, nevezik WIMP-nek: weakly interacting  massive particles. De ilyen részecskékről nem tud a részecskefizika átfogó elmélete a Standard Modell sem. Van ugyan gyengén kölcsönható részecske, ez a neutrínó, amit avval szoktak jellemezni, ha egy neutrínó nyaláb fényévhosszúságú ólomtömbbe ütközik, akkor a részecskék fele kölcsönhatás nélkül fog áthaladni. A neutrínóval viszont az a baj, hogy az eredeti modell szerint tömeggel nem rendelkezik, ami abban nyilvánul meg, hogy a kísérletek szerint a fény sebességével halad. Újabban ugyan feltételezik, hogy valamilyen nagyon kis tömege azért lehet, mert létezik három egymásba átalakuló típusa, amit csak a tömeg létezése idézhet elő. Viszont a mozgás nagy sebessége miatt ez a tömeg csak nagyon kicsi lehet, amit úgy becsülnek meg, hogy a sebességmérés pontatlanságát a fénysebességtől való eltéréssel azonosítják. A WIMP magyarázatára azonban ez a lehetséges tömeg nagyon- nagyon kevés!

Kiindulópont a relativitáselmélet

A fizikai kalandozások során most arra teszek kísérletet, hogy megtaláljuk ezt a rejtélyes részecskét, a WIMP-et. Ennek során többször fogok hivatkozni korábbi bejegyzéseimre, amely segíteni fog a rejtély felderítésében. Induljunk hát neki a kalandtúrának, mint már annyiszor, a relativitáselmélet talajáról! A legutóbbi bejegyzésben „The origin of covariance in the special relativity” vetettem fel annak az okát, hogy miért négyzetesen adódik össze az energia két tagja, amelyik a mozgásból (ez a p.c tag) és a nyugalmi energiából (ez az m₀c²) származik:

 A magyarázat lényege, hogy a nyugalmi tömeg voltaképpen fénysebességű forgás eredménye, és a körbeforgó p₀ impulzus hozzáadódik a külső mozgás impulzusához.  A forgás szimmetriája miatt a saját impulzus átlaga (kvantummechanikában várható értéke) nulla, ezért a teljes impulzus négyzetének kifejezésében a két tag szorzata eltűnik és csak négyzetes összeg marad meg.

A Dirac egyenlet és a negatív energia dilemmája

A relativitáselmélet négyzetes törvényébe helyettesítve az energia és az impulzus operátorát jutunk el a kvantummechanikai mozgásegyenlethez, de ennek matematikai kezeléséhez az egyes tagok lineáris összegére van szükség, amit Dirac sikeresen oldott meg a négyzetgyökvonás négydimenziós mátrixokkal történő felbontásával. Ez a felbontás valójában négy csatolt differenciálegyenletet hozott létre. Ez a négy egyenlet két alternatívát fogalmaz meg, amiből az egyik a pozitív és negatív energia kettőssége, a másik a spin megjelenése, ami voltaképp az elektron sajátforgásának (perdületének) két lehetséges sodrásirányához  – a jobb- és a balmenetűhez – kapcsolódik.

A negatív energiájú megoldások megjelenése azonban komoly elvi nehézséget okozott. A fizika egyik alaptétele, hogy a változások iránya mindig az alacsonyabb energia felé halad, így az elektronnak is át kellene ugrani a negatív energiák tartományába. A bajt viszont az okozza, hogy ennek a negatív tartománynak nincs alsó határa, le kellene hullani az elektronnak a mínusz végtelenbe. Ezt a problémát próbálta kiküszöbölni Dirac ötlete, mely szerint a végtelen számú negatív energiájú állapot már mind be van töltve és mivel a Pauli elv értelmében két elektron nem lehet azonos állapotban, így az elektron a pozitív tartományban marad. Előfordulhat azonban, hogy hiányzik egy elektron a negatív tartományból, azaz egy lyuk keletkezik. Az elképzelést látszólag igazolta, amikor Anderson felfedezte a pozitront, mert ennek tulajdonságai pontosan megfelelnek a lyukelektron hipotézisének, azaz a pozitront az elektron antirészecskéjének lehet tekinteni. Emiatt fogadták el Dirac abszurdnak tűnő feltevését a végtelenszámú negatív energiájú elektronról. Az elképzelés egyik hibája, hogy kiderült minden részecskének, így az egészszámú spinnel rendelkező bozonoknak is van antirészecskéje, viszont a bozonokra már nem érvényes a Pauli féle kizárási szabály!  A lyukelmélet fontos tanulsága, hogy óvatosnak kell lennünk, amikor a fizikában valamit bizonyítottnak tekintünk. Ha az elmélet valamilyen jelenséget jól magyaráz az önmagában még nem bizonyíték, legfeljebb valószínűsítheti a hipotézis helyességét. Új kísérleti tény mindig előkerülhet, ami cáfolja elképzelésünk helyességét, ezért abszolút bizonyosságról sohasem beszélhetünk. Jogosan mondhatja az olvasó, hogy ez az én elgondolásaimra is igaz! Várom ezért az olyan kommenteket, ahol rámutatnak, hol sántítanak az általam ismertetett hipotézisek, milyen tényeknek mondanak ellent.

Mi a negatív energia eredete?

A negatív energiájú állapotok megjelenése a Dirac egyenletben a relativisztikus formula négyzetes jellegéből fakad. A negatív és pozitív számok négyzete megegyezik, ezért a gyökvonásnak mindig van pozitív és negatív megoldása is. Mivel maga a Dirac egyenlet a gyökvonás speciális megvalósítása, így elkerülhetetlenül fellép a negatív energia is. A kvantummechanikában az energia operátora az időszerinti deriválttal került definiálásra:  ℏid/dt  (Lásd: Út a kvantummechanika megértéséhez), így az energia negatív előjele az idő negatív irányával egyenértékű. A fizikai rendszer állapotát kétféle módon írhatjuk le vagy a jelen állapotból következtetünk a jövőbeli állapotra, vagy visszafele haladva a jelen állapotból írjuk le, hogy milyen lehetett a korábbi állapot. Relativisztikus egyenletünk nem választja szét azt a két lehetőséget, ezért egyidejűleg kapjuk meg mindkét leírási módot. Azt már nem kell bizonyítani, hogy nem lehet a múltba visszalépni, ezt az elvet a kvantummechanikának is tisztelni kell, ezért kizárhatjuk azt a lehetőséget, hogy a pozitív energiájú állapotból át lehet menni a negatív tartományba.

A spin és a Dirac egyenlet

A Dirac egyenlet másik nagy találmánya a spin. Ez is a relativisztikus egyenlet kvadratikus jellegéből fakad, mert a p²c² tag is előállhat pozitív és negatív impulzusból és forgások esetén ez a két lehetséges sodrásirányban perdülő impulzusnak felel meg. A modern fizika a spinnel kapcsolatban nagyon óvatosan fogalmaz, mert valódi forgás helyett csak az elektron és más részecskék „intrinsic” (saját) tulajdonságának tekinti. Igazából fizikai kalandozásom eredete is az volt, hogy tisztázni akartam a spin eredetét, ami elvezetett a több bejegyzésben is tárgyalt fénysebességű forgások hipotéziséhez.

A részecskék, mint a tér királis szerkezetének szülöttei

Elővettem azt a kérdést is (lásd: Fénysebességű forgások és a relativitáselmélet I és II), hogy nem lehet-e a Standard Modell valamennyi részecskéjét – így az elektron és pozitron mellett a kvarkokat és a neutrínót is a relativisztikus energiaformula négyzetes alakjából levezetni. Így jutottam el az általános fermion egyenlethez, ami annyiban különbözik a Dirac egyenlettől, hogy bevezet egy harmadik kétdimenziós alternatívát a kiralitás fogalmán keresztül. A háromdimenziós térnek ugyanis két geometriai ábrázolása van (Lásd: A részecske fizika nyitott kérdései II), az egyikben a merőleges xyz tengelyek irányultsága a jobb kéz, a másikban a bal kéz szimmetriáját követi. Maga a relativisztikus egyenlet nem tesz különbséget a kétféle koordináta rendszer között, ezért alkalmas a kétféle kiralitás együttes tárgyalására. Ezt használtam ki a négydimenziós spinor algebra nyolcdimenziósra való bővítésével, amelyben az egyes részecskék a két királis szimmetria szuperponált állapotai. Tiszta királis állapot az elektron és a pozitron, a neutrínóban a két királis állapot egyenlő súllyal szerepel, míg a szuperpozíciós arányok eltérőek a kvark és antikvark két formája (up és down) között. (Valamennyi részecskének három „generációja" van, ahol a magasabb generációk a nyugalmi tömeg nagyságában különböznek, kvarkok esetén az up (u) kvark „rokonai" a charm (c) és a top (t), ugyanakkor a down (d) kvark esetén a strange (s) és a bottom (b). Az osztályozás alapja a töltések egyezése).

A kétdimenziós tömeg és elektromos töltés

A szuperpozíciós arányok megjelennek nemcsak a töltés, hanem a tömeg és az impulzus definíciójában is. A fizikai mennyiségek operátorát a kétdimenziós σ_z és σ_x Pauli mátrixok segítségével adhatjuk meg, ahol az előbbinek csak diagonális (+1 és -1), az utóbbinak csak nem diagonális (+1) eleme van. A részecske tényleges töltését és nyugalmi tömegét a kétdimemziós királis térben képzett diagonális elemek határozzák meg, a nem-diagonális elemek az impulzustól származó mozgási tömegnek felelnek meg. Az elektron és pozitron esetén a tömeg és töltés operátor diagonális, amit a kvantummechanika úgy fejez ki, hogy ezek „jó kvantumszámok”, ezeket mérni tudjuk; és ezek a mennyiségek a részecske olyan jellemző paraméterei, amelyek függetlenek az inercia rendszer választásától.  Az impulzus viszont csak nem-diagonális elemekből épül fel, ezért az impulzus és a mozgási tömeg attól függ, hogyan választjuk meg a referencia rendszert. Neutrínó esetén mind a töltés, mind a nyugalmi tömeg mátrixa nulla diagonális elemekkel rendelkezik, ami azt jelenti, hogy ezeknek fizikai mennyiségeknek nincs mérhető értékük, az impulzus viszont diagonális, azaz független a referenciarendszer választásától és a részecske karakterisztikus paraméterének tekinthető. Ebből származtatható a neutrínók karakterisztikus mozgási tömege is:  m = p/c. Kvarkok esetén egyaránt fellépnek diagonális és nem diagonális elemek, a töltés esetén a diagonális elemek adják meg a ±1/3 és ±2/3 értékeket. Kvarkok azonban nem detektálhatók, ezért sem a töltés, sem a tömeg nem mérhető kísérleti úton, csak elméleti  értékek adhatók meg.

A kvarkok bezártsága a megfigyelhető részecskékben

A kvarkok megfigyelésére történő kísérletek azonban sikertelenek voltak, tört töltést egyetlen esetben sem találtak a nagyenergiájú mérésekben. Ezt magyarázzák a „bezártság” elvével, mely szerint az összetett részecskékből, így a kvark és antikvarkból álló mezonokból, illetve a három kvarkot tartalmazó barionokból nem lehet kiszabadítani a komponenseket. Emiatt a kvarkok tömegére csak indirekt módon lehet következtetni a mezonok és barionok tömegének szisztematikus analízisével, ez az un. renormálási eljárás. A d (down) és u (up) kvarkra kapott renormált tömegek (4,8 ill. 2,3 MeV) még együttesen is csak 1 százalékát teszik ki a neutron (udd) és a proton (uud) tömegének (939,565 ill. 938,272 MeV). A két nukleon tömegének különbsége (1,293 MeV) azonban elég közel van a két kvark tömegének különbségéhez.  Ez arra mutat, hogy a nukleonok tömegét döntő mértékben a kvarkok közötti kölcsönhatási energia határozza meg és ez a kölcsönhatási tag jó közelítésben azonos a proton és a neutron esetében. A mezonok és barionok családjában egyaránt lehet találni olyan párokat, amelyek csak egy d illetve u kvarkban különböznek, ami lehetővé teszi a statisztikai analízist a kvarkok renormált tömegének meghatározására.

A tömegek relativisztikus összeadódása

Felvetődik azonban a kérdés, hogy mennyire indokolt a tömegek lineáris összegzése, nem lehetséges-e, hogy valójában a relativisztikus energiaképzés mintájára a tömegek és a kölcsönhatási tér energiájának négyzeteit kell összeadni? Ez indokolt lehet, azért is, mert a kvarkokból felépülő részecskék tömege nagyobb, mint amit a kvarkok együttesen kitesznek. Az atommagok esetén épp fordított a helyzet, ott a tömegdeficit jellemzi a mag stabilitását, amikor kisebb az eredő tömeg, mint a benne szereplő neutronok és protonok együttes tömege. Ezért lehet feltételezni, hogy a mezonok és barionok tömegtöbblete kinetikai jellegű energiából származik, ami viszont a relativitás elve szerint négyzetesen adódik össze a nyugalmi energiával.

Jelöljük M_u és M_d-vel az u illetve d kvarkot tartalmazó részecskék tömegét, ahol is a négyzetes összegzési szabály szerint:

Itt m_u az u kvark renormált tömege, míg X  jelöli a többi kvark tömegjárulékát a kölcsönhatási energiával együtt.  Hasonlóan írhatjuk fel az M_d tömeget is, melyben feltételezzük, hogy az X járulék azonos és emiatt a két tömeg különbségére érvényes, hogy

Rendezzük át az összefüggést a négyzetszámok különbségére vonatkozó algebrai szabály segítségével:

Az összefüggés alapján azt várjuk, hogy az egyes párokban a tömegek különbsége csökken, ha nagyobb a részecskék tömege. Természetesen jelentős szórást okozhat, hogy az X érték nem pontosan egyenlő a pár két tagjában. A mezonokra és barionokra vonatkozó mérési eredmények közül kiválasztjuk a feltételnek megfelelő párokat, beleértve olyan adatokat is, amikor a részecskékben két u illetve két d szerepel, de ekkor az M_d – M_u különbséget felezzük. Összesen 4 mezon és 12 barion esetén találtunk megfelelő párt a szakirodalmi táblázatokban, a rájuk vonatkozó számítások eredményét összegzi az ábra:

A részecskepárok tömegkülönbsége a részecske tömegek reciprokának függvényében

Látható, hogy bár jelentős szórással, de a trend a várakozásnak megfelelően csökken a nagy tömegű részecskék esetében.

Felhasználva ugyanezeket az adatokat meghatározhatjuk a d és u kvark négyzetes tömegének a különbségét is, ami átlagban 11 280-nek adódik, és ennek megfelelően a d kvark tömege legalább 106 MeV. Ha feltételezzük, hogy a d kvark kétszer nehezebb az u kvarknál, akkor 122 illetve 61 MeV értékeket kapunk a tömegekre. Ezzel szemben lineáris összegzés esetén m_d – m_u = M_d – M_u , ami  m_d – m_u = 2,6MeV átlagértékre vezet.  Tehát a négyzetes szabály alapján becsült tömeg több mint egy nagyságrenddel haladja meg a Standard Modellben számolt értéket. Figyelemre méltó, hogy a legkönnyebb és legstabilabb π⁰ és π⁺ mezonok esetén, amelyek az u kvark és d  kvark és antikvark kombinációjából épülnek fel, a négyzetes összegzési szabály alapján becsült tömeg 136,4 MeV lesz, ami épp a kísérletileg talált 135,0 és 139,6 MeV értékek közé esik. Ugyanakkor az atommagokat alkotó uud és udd szerkezetű protonoknál és neutronoknál a négyzetes szabályból számolható tömegek 149,4 és 183 MeV jóval kisebbek, mint a tényleges 938,272 és 939,565 MeV értékek, ami arra mutat, hogy a kölcsönhatási tér energiája a három kvarkból felépülő részecskékben sokkal nagyobb, mint a kvark és antikvark kombinációjú mezonokban.

Lehet, hogy mégis a neutrínó a tettes?

A sötét anyag titkához azonban nem a kvarkok tömege adja meg a kulcsot, mert amikor létrehozzák a nukleonokat és egyéb részecskéket, akkor mindig egész töltés és evvel együtt diagonális tömeg alakul ki. Nem vonatkozik ez a neutrínókra, az univerzum magányos vándoraira, ezeket a részecskéket csak a fekete lyukak foghatják be az erős gravitációs hatáson keresztül. De mekkora a tömegük, hiszen a mérések szerint vagy nulla, vagy nagyon csekély. Itt lép be a képbe, hogy ugyan a neutrínónak nincs diagonális tömege, de van diagonális impulzusa, aminek megfeleltethető az m = p/c = E/c²  mozgási tömeg, márpedig a gravitáció szempontjából ez a mérvadó.  A neutrínó sajátimpulzusának létezése egyúttal magyarázatot ad arra is, hogyan értelmezzük a három különböző neutrínó egymásba való átalakulását, a neutrínó oszcillációt.. Friss hír: A neutrínó oszcilláció felfedezéséért 2015-ben a fizikai Nobel díjat Kadzsita Takaaki és Arthur B. McDonaldnak ítélték oda.  Arra viszont nincs információ, hogy mekkora is lehet a saját impulzushoz tartozó mozgási tömeg, de valószínűsítheti a nagyságrendet a neutrínó eredete, amely a bétabomlásból származik (Lásd: Az elektro-gyenge kölcsönhatás és az elemi részecskék átalakulása I és II). A neutron bomlásakor képződik az egyik d kvarkból egy u kvark és egy W^- bozon. Ez a bozon – amelynek óriási tömege van: 80,385 GeV – bomlik fel egy neutrínóra és egy elektronra. De hova lesz ez a hatalmas tömeg, ez a hatalmas energia, vajon nyomtalanul eltűnik? Vagy inkább átadásra kerül a neutrínónak, amelyhez m = E/c² mozgási tömeg rendelhető hozzá. Tovább erősíti ezt a feltételezést a neutrínó oszcilláció jelensége, ez csak a semleges Z bozonok segítségével történhet, hiszen a neutrínóknak a gravitáción kívül ez az egyetlen kölcsönhatási mechanizmusa. A Z bozon tömege még a W bozonnál is nagyobb:  91,188 GeV. Tehát a neutrínók „rejtett” tömege is ebbe a nagyságrendbe eshet, azaz a neutrínó nem a részecskevilág törpéje (becslések szerint még az elektronnál is milliószor könnyebb), hanem az óriása, ami még a neutronnál is százszor nagyobb lehet! Ha igaz ez a feltételezés, akkor nem kell tovább keresni a sötét anyagot. Ott volt már régen a szemünk előtt, csak nem vettük észre, mert alábecsültük a neutrínók fontos szerepét az Univerzum gravitációs egyensúlyának fenntartásában. A csillagok a termonukleáris reakciókban ontják magukból a rejtélyes neutrínók áradatát, (csak a Nap belsejében másodpercenként 3,8.10³⁴ neutrínó keletkezik), amely teljes tömegében meghaladhatja az általunk látható galaxisok által hordozott tömeget.

Az alábbi linkre kattintva lehet eljutni a "Paradigmaváltás a fizikában" című bejegyzésre, ahonnan további bejegyzésekre történik utalás.

The origin of covariance in the special relativity

Antal Rockenbauer

Institute of Materials and Environmental Chemistry, Hungarian Academy of Sciences;

Department of Physics, Budapest University of Technology and Economics

DOI: 10.13140/RG.2.1.2441.1366

Abstract

 The covariance rule of special relativity can be derived from the E = p.c relation of elementary particles if this relation is valid not only for the photons but also for any particles having rest mass. This extension assumes intrinsic motion at a speed of light producing the rest mass as a consequence of singularity in the Lorentz transformation. The fermions are constructed by two-dimensional rotation with right or left-handed chirality, and the chirality is manifested in the duality of particles and antiparticles. Due to the double rotation the spin of fermions is less by a factor two with respect to the photons defined by single rotation. Parity violation in the beta decay is explained that the customary inversion is limited to the external motion without the intrinsic motion of particles, where the latter transformation represents the charge conjugation. Though the speed and momentum are non-observable in stationary state, the intrinsic motions can be regarded as real physical motion, since the momentum can be derived from the rest energy and intrinsic angular momentum of particles.

PACS: 03.65.Pm: 03.65.Vf

Corresponding author, e-mail: rockenbauer.antal@ttk.mta.hu

1. Introduction

In the theory of special relativity the transformation rules are expressed by covariance of four dimensional vectors in the spacetime [1-2]. The square of components is summed producing invariants independent from the choice of inertial systems. The equation of motion is expressed by the four dimensional momentum-energy vector (p_x, p_y, p_z, iE/c), in which the length of this vector is proportional to the rest mass, which manifests the covariance. If the rest mass is zero, like in the case of photons, the invariance gives proportionality between the energy and the momentum as E = p.c [3]. In this paper we raise the question whether this relationship can be extended for massive particles by assuming intrinsic rotation as a source of the rest energy [4]. This assumption extends also the total momentum of particles by a contribution from the intrinsic rotation. We discuss also the role of spherical symmetry in the relativistic laws, the role of chirality for explaining the duality of particles and antiparticles and raise the question of why the elementary particles have the same spin even though their rest mass can be very different.

The role of extended inversion symmetry will be discussed, when this symmetry involves also reflection in the space of intrinsic motion. The aim of this analysis is to find the symmetry reason of parity violation [5]. Finally a question is raised of whether it has any physical sense of speaking about intrinsic rotation in the time independent stationary state. 

2. Theory 

2.1. The singularity of Lorentz transformation

 The theory of special relativity is based on the Lorentz transformation, which defines the length of the 4-dimensional space-time vector (x,y,z, ict) as a covariant, that is the relation  is independent on the choice of inertial frame moving at constant speed [1-2]. A further covariant of the theory is the length of momentum-energy vector (p_x, p_y, p_z, iE/c), which defines the rest mass by the relation: . The energy can be expressed from this relation (1)::

The different energy terms (kinetic, potential, electromagnetic) are added together linearly, the same holds for the energy of particles in atoms and molecules. The energy is defined by the operator     in the Schroedinger representation, where the linearity of time produces also linear addition rule, thus Eq. (1) can be considered as an exception of the general rule. The question can be raised of why in the special relativity the square of the energy terms is added up? Such relation is expected for orthogonal vectors, namely if the rest energy is produced by an intrinsic momentum and its expectation value is zero <p₀> = 0. In this case the total momentum of particles contains an external p₁ and intrinsic p₀ components:   

                                                                         p = p₁ + p₀                                                                                          (2)

The expectation value for the square of total momentum is (3):

                                                                                                              (3) 

In Eq. (3) the <p₀> = 0 condition was applied. The E = p.c relation becomes equivalent to the energy formula of special relativity if . 

This relation means that the m₀ mass should rotate with the speed of light. In this case, however, not the already existing m₀ is accelerated to the speed of light, since then the mass would be infinite, but the zero mass of a rotating space point will create the m₀ mass by the infinitely large relativistic increase. We can use this assumption to define the mass of space points having zero limiting value (4):

   (4)

In our analysis we attribute great importance for the singularity of relativistic rules when the physical objects move with the speed of light, since it can offer a clue of how the space with zero mass can create finite mass. As an example we refer to the case of photons with zero rest mass, where due to the equivalence between mass and energy, the photon should have also mass m = ℏω/c². This mass, however, is not considered as rest mass, since the photons can never be “in rest”, but it moves with the speed c. Thus we can speak about motional mass, which can be created by the product of an infinitely large factor due to the singularity and a zero mass. In this context the zero mass of space points is considered as a limiting value defined by Eq. (4).  Similarly to the photons, we assume the same mass formation mechanism for all elementary particles where their intrinsic motion has the speed of light. The difference between photons and fermions is manifested in the localization:  in the case of fermions the intrinsic motion is localized in the space, why no defined position can be rendered to the propagating photons.

3. Results 

3.1. The origin of spin 

Let us define the p₀ amplitude of momentum from the equality

then we obtain p₀ = m₀.c. Furthermore, the condition  <p₀> = 0 can be fulfilled if the intrinsic motion is manifested by rotations. Denote by ω₀ the frequency of rotation then the radius is r₀ = c/ω₀, since the peripheral speed is c. The z component of angular momentum can be given as L_z = r₀.p₀ = m₀c²/ω₀. This relation follows from the fact, that the singularity criterion is fulfilled only at the radius r₀, thus the entire mass and momentum are concentrated at this distance from the center of rotation.

We postulate all particles including the photons as stationary state of the spacetime created by intrinsic rotation with the speed of light. The dimension of particles is finite around the rotational axes, since at the radius r₀ = c/ω₀ the peripheral speed reaches c. The photons can both rotate and propagate along the rotational axes. Since for photons the angular momentum is L_z = ±ℏ, we obtain that

where the sign of ω₀ shows the polarization of light.  The sign of mass can be conventionally chosen positive, but in principle both signs are allowed, since the relativistic relation contains the square of momentum. The relation for angular momentum can be rewritten to express energy: m₀c² = ℏ.ω₀, that is, the frequency of intrinsic rotation is equal to the customary frequency of photons. According to quantum theory, the angular momentum of an orbiting object can have eigenvalues of the integer multiple of ℏ Planck constant [6], which criterion is fulfilled by the photons. For fermions, however, where the spin S = ½ is half integer, the same rotational model cannot be applied. In order to find the proper model, we start from the symmetry of fermions, which is evidently spherical and can be realized by motions covering all points on the surface of a sphere. This requirement can be fulfilled if the axis of primary rotation is also rotating around a second perpendicular axis. We name this type of motion as double rotation. This rotational model also explains why the rest mass is zero for photons and non-zero for fermions. The single rotation defines only an axis, while the double rotation determines a well-defined point in the space, consequently, the former motion cannot localize the mass, only the latter can do it.

 According to the quantum mechanical rules of angular momentum <S²> = S(S+1), furthermore the isotropic character of double rotation allows only S = ½ spin, since except the zero spin, only the spin S=½ fulfills the requirement of isotropy. The isotropy is expressed in the definition of Dirac spinors [7-8] by giving identical expectation values for the square of spin components: ; which leads to the equation:(5):

                                                                                 (5)

This relation can be fulfilled by the spin ½.

The group theory also supports the assignment of S = ½ spin to double rotation. In this case the standard rotation-inversion group should be extended by a new element having a rotational angle 2π. This rotation is no more a unit element of the symmetry group, since the other rotation around a second axis is also necessary for transforming the object to identical orientation. The existence of this special symmetry element can also be explained by the requirement that the double rotation should cover the 4π  surface of a sphere of unit radius instead of the 2π angle of the circle. This rotation of an angle 2π was suggested originally by Bethe [9], who introduced the concept of double groups, which group – beside the odd dimensional representations – also has two-dimensional irreducible representations, which can be assigned to the spin S = ½.

Classical physics can also rationalize why the double rotation reduces by a factor 2 the angular momentum with respect to a single rotation. The first rotation can produce a circular orbit and the second rotation will turn this circle around its diameter. The moment of inertia is smaller by a factor 2 in the latter case, which results in a spin S = ½ since the angular and inertial moments are proportional. 

A further question can be raised of why the spin is independent of the mass of particles? According to the standard model [10] all interaction mediating bosons have the spin S = 1 [11], and all elementary fermions have the spin S = ½ irrespectivly of the rest mass. This fact is a trivial consequence of rotation if the peripheral speed is c, since then the radius of rotation is c/ω, while the mass is proportional to the ω frequency, and thus the angular momentum, which is expressed by their product, should be independent of the frequency and consequently of the mass.

We can also approach the question on the basis of rotational equilibrium between centripetal and centrifugal forces. The intrinsic rotation produces centrifugal force    

due to the inertia.  For photons the centrifugal force can be rewritten by substituting m = ℏ.ω/c² and r = c/ω, which gives . As we pointed out in a previous publication [4], this force is balanced by the strong gravitation caused by the extreme curvature of space, when the rotation has the speed of light. It means that the intrinsic rotation of photons is a self-supporting motion in the space. In the case of double rotations defining the fermions, the strong gravitation has to balance a centrifugal force produced by two different rotations, that is: .

From this relation, we can derive the angular momentum L_z = m.c.r = ℏ/2, which shows again that the concept of double rotation results in the spin S = ½. 

3.2. The chirality of double rotation and the parity violation 

 The double rotation has the symmetry of chirality, since the sense of second rotation can be either right- or left-handed, and for this reason two types of fermions exist: the particles and antiparticles. The inversion symmetry transforms not only the external coordinates, but also the intrinsic space, which means the total symmetry operation transforms the particles into antiparticles, since the left-handed chirality is reflected into the right-handed one. This fact offers a straightforward explanation why the parity symmetry is violated in the beta decay of neutron [5]. The customary parity is defined in the external space and does not reflect the intrinsic motions, that is, the charge conjugation transforming the particles into antiparticle is not included in this operation. The complete inversion, however, should also reflect the intrinsic motions, thus it contains both the parity and charge conjugation. It is in accordance with the experimental observations finding symmetry only when the parity and charge conjugation is combined called as the PC symmetry. 

3.3. The physical sense of intrinsic rotation 

The question can be raised of whether the intrinsic rotation, which can explain the origin of spin, mass and charge of the elementary particles, could be considered as a real physical motion?   In classical physics, the orbits of rotating objects can be described by the r(t), u(t) and p(t) functions of position, speed and momentum, which functions cannot be defined for the stationary states of quantum mechanics.  This fact comes from the structure of stationary wavefunction, which are the products of a purely time- and a purely space dependent components if in the Schrodinger or Dirac equation [6], the potential energy has no time dependence. In this state we cannot speak about speed or acceleration, since any physical parameter as well as the probability distribution become independent of time. Furthermore, we cannot speak about momentum outside the center, since its spatial distribution Ψ(r)pΨ(r) is imaginary at every space point except the center, where this is zero. The expectation value of momentum is also zero. We can, however, attribute momentum for the intrinsic rotation if we calculate the distribution of its square  Ψ(r)p²Ψ(r), which is real and  proportional to the local kinetic energy in the non-relativistic approach, or to the square of energy in the case of relativistic singularity. The intrinsic rotation belongs to the latter case, where from the expectation value of <p²> , we can derive the amplitude of momentum as p₀ = m₀.c.

The apparent conflict in the interpretation of momentum is related to the concept of stationary state. In order to measure the speed, we have to determine the position at two different times, but the first measurement changes the original stationary state, so the second measurement cannot tell any information about the original state. Thus in stationary state the speed and consequently the momentum escape observation. The non-observable character of momentum is expressed in quantum mechanics that the momentum becomes imaginary. It does not mean, however, that no momentum exists. The existence of momentum is evidenced by the kinetic (rest) energy and intrinsic spin of particles. Since all characteristic physical quantities of motion exist, we can claim that the intrinsic rotation represents a real physical motion. Due to the singularity of Lorentz contraction: s   when u = c, the perimeter of a circle, or the surface of a sphere become zero for single or double rotation, respectively.  The radius of rotation, however, is not reduced, since this is perpendicular to the motion. This concept is well supported by the electron-positron or Bhabha scattering experiments [12], which can offer information for the area of electron surface. This type of scattering may reveal if the finite charge distribution of an electron can modify the differential cross-section [13]. The main conclusion from the LEP1 and LEP2 experiments at CERN (100 GeV region) was that the low-angle scattering data agree with the results of theoretical calculations based on quantum electrodynamics to very high accuracy. It means that any radius computed from the electron surface should be less than the Compton wavelength by 5 orders of magnitude. This result is in agreement with the concept of intrinsic rotation at the speed of light rendering zero surface for the electrons. 

4. Conclusion 

The spacetime and elementary particles constitute our physical world together and their role is interdependent: On the one hand, the intrinsic motion of space creates the particles, on the other hand, the proportionality of energy and momentum of particles build up the basic transformation rules of the spacetime.

The covariances of special relativity are based on the assumption that for any particles the energy is proportional to the total momentum, which includes also a contribution from the intrinsic rotation. The mass and angular momentum of particles are created by motions with the speed of light, for photons a single rotation is combined with the propagation yielding the spin S = 1, for fermions a double rotation can produce S = ½ spin. This assignment is based on both classical physical, quantum mechanical and group theoretical arguments. The rest mass of fermions and motional mass of photons are interpreted by the local or non-local nature of intrinsic motion, respectively.

The left and right handed chirality of double rotations represent the particles and antiparticles, respectively.  The parity violation in beta decay is due to the incomplete definition of inversion affecting only the external motion without taking into account the intrinsic rotation. The extension of this symmetry into the space of intrinsic rotation leads to the CP symmetry.

Though in quantum mechanics the speed and momentum of particles are not observables in stationary states, these physical quantities can be derived from the rest energy and intrinsic angular momentum, which justifies the physical reality of the intrinsic rotation of particles.

Additional topics in the blog, see: "Paradgmaváltás a fizikában."

References

[1] H A  Lorentz, Proc. Acad. Science Amsterdam I, 427  (1899)

[2] W Rindler, Essential Relativity. (Birkhäuser), (1977)

[3] R P Feynman, R B Leighton and M Sands The Feynman Lectures on Physics (Addison-Wesley Publishing, Massachusetts) Vol. 2, (1964)

[4] A Rockenbauer Indian J. Phys. 89, 389-396 (2015)

[5] T D Lee and C N Yang Phys. Rev. 104 822 (1956)

[6] A Messiah Quantum Mechanics (North-Holland, Amsterdam) Vol. I,II (1962)

[7] P A M Dirac Proc. Roy. Soc. A117 610 (1928)

[8] L Foldy and S A Wouthuysen Phys. Rev. 78 29 (1950)

[9] H Bethe Ann.  Physik 395 133 (1929)

[10] D J Griffith Introduction to Elementary Particles (John Wiley et Sons: New York) (1987)

[11] The W and Z bosons of weak interaction can be represented by a similar rotation-propagation model as suggested for the photons, but in this case the direction of propagation is perpendicular to the axis of rotation, which induces Coriolis force and consequently electric charge. The propagation increases the self radius of particles and reduces their frequency and rest mass making the bosons short lived and localized in space. As a consequence, the bosons posses rest mass and mediate weak interaction in a short distance.

[12] H J Bhabha  Proc. Roy. Soc. A154 195 (1936)

[13] A Arbuzov, M Bigi, H Burkhardt et al. Phys. Lett. B. 383 238 (1996)

The intelligent electron

Stage: The hydrogen atom

Actors: The physicist and the electron

Characters: The physicist represents the views of classical physics, while the electron can gain information only from the microscopic world.

. . . . . . . . . .

Physicist: Where are you going?

Electron: I go nowhere, I just exist.

Physicist: OK, but you have to circulate somehow on your orbit around the nucleus? Like the planets around the Sun!

Electron: Why should I circulate, when I am already on my orbit? Mostly I am away from the proton at a distance of the Bohr radius [1], but I am also at the site of the nucleus, and also far from there. I am everywhere a little bit.

 Physicist: It is impossible, one can be either here, or there, one cannot be at two places at the same time.  

Electron: Maybe you are not able, but I can do. I certainly should know it pretty well! Well, you asked me a question about circulation, but what does it mean?   

Physicist: Look the sky, you can see the sunrise and the motion of Sun from the east to the west until the sunset, and in the night you can follow the revolution of stars. Of course, we know the motion of stars and planets is virtual since the Earth rotates.  But if you take into account it, you can calculate the real orbits of the planets, which are described by the laws of Kepler [2].

Electron: But how you have the ability of seeing and how you are able the track the motion of planets? 

Physicist: That is thanks to the light and its tiny elements, the photons, which arrive in an enormous number, and by organizing all consecutive pictures you can draw the orbit of motion.   

Electron: But as concerning me, a sole photon can divert from my original orbit, or even can strip from the proton where I stayed before.  But until it does not happen, I stay in the same orbit. Until no photon turns into my way, I have no chance to observe consecutive events, there is no “before” or “after” in this state, so for me the concept of time does not exist.

Physicist (doubtful): But if the time does not exist, how you can speak about speed, acceleration, momentum and even kinetic energy?  

Electron: You are only partially right. Indeed we cannot speak about speed, acceleration or momentum unless they have the zero value [3]. I am bonded to the nucleus, any non-zero momentum would remove me from the nucleus, while the acceleration would force me emitting photons and losing my energy until the attraction power of nucleus would swallow me.  In spite of  missing speed, I do posses kinetic energy!

Physicist (still doubtful): But how is it possible if you do not have non-zero speed?

Electron: Because there is something that can replace time, my existence is not related to the time, but to the probability distribution in the space.  Naturally, you can hardly comprehend how the concept of probability distribution can define my existence, like for me the concept of time is not comprehensible since in my state no consecutive events can happen. What is common in our different worlds, the role of potential and kinetic energy, which can create the orbits by converting each other. While for you the orbits are developed in the course of time, for me it is expressed in the dimension of probability.

Physicist (strongly doubtful): It means that for the electrons no time, no motion, no displacement exist at all?  Only the probability distribution exists?

Electron:  By no means! What I have told you is valid only in the bonded, stationary states. By the way, one of my electron brothers is happen to be in a cyclotron [4], where he is forced into a circular orbit by the electromagnetic field. In this orbit he has acceleration and consequently continuous photon emission. In this way he perceives consecutive events giving him the chance to develop the concept of time. His motion can persist since in the course of radiation the loss of energy is compensated or even enhanced by the synchronized electromagnetic field.

Physicist : Let us return to your micro world. How the space distribution depends on the direction?  

Electron: But what do you mean on the word of direction?  As for me such a term does not exist. You can speak about direction because you perceive a lot of photons emitted by the surroundings and you can compare the information transferred by them. But what could I compare who cannot see a single photon?

Physicist (wondering): So you cannot perceive the space at all?

Electron: Oh no, I can, since the attraction power is changing with the distance from the proton. For example, inside the nucleus the attraction power is infinitely strong. I can feel this force by communicating with the proton mediated by the virtually emitted and absorbed photons.

Physicist (pensively):  There are two points that I cannot understand. You said just before that in the stationary state there is no photon emission, the other point concerns the question that why the proton cannot swallow you in the direct contact producing infinitely strong attraction?

Electron: Indeed none of the statements can be easily understood. Let us start with the emitted photons.  They constitute no observable photons since the electronic states are not modified. It is why one can call them as virtual. They are simultaneously emitted and absorbed without changing the stationary state of electrons.

Physicist (debating): But what is the meaning by speaking about something that cannot alter the state of electrons?

Electron: It has a meaning, since these photons build up the electromagnetic field. But this field is not static, it fluctuates around the equilibrium. This phenomenon is the vacuum polarization. 

Physicist (doubtful): I have to admit that I still cannot understand it!

Electron: Then I continue. A magnetic field can force us to precess [5] and we can choose between two senses of rotation yielding two energy levels. The difference of energy is proportional to the magnetic field and there is a constant, which tells us how large is the separation.  According to the relativistic quantum mechanics, this constant should be equal to 2, but the actual value is somewhat larger (2.0023…). This small deviation is caused by the vacuum polarization [6].

Physicist (pensively): I still cannot understand whether your explanation only refers to a mathematical procedure for reproducing a constant or these virtual photons do exist. But proceed further, why the infinitely strong attraction cannot swallow you in the nucleus?  

Electron (proudly):  Can I say, that is because we love freedom? The narrower is the cage where we are jammed the stronger we are bombing the walls! This phenomenon is called in science as the uncertainty relation [7]. In the narrow space you know precisely the position, but then the momentum becomes very uncertain.

Physicist (strongly doubtful): You said before that in bonded state no momentum exists!

Electron: Indeed, the average of momentum is zero and we cannot speak about the speed and momentum at a particular place inside the atom. But still exists something, what we can call as the standard deviation of momentum [8]. This standard deviation is increased in the narrow space, which is actually the square of momentum since its average value is zero. If you divide the square of momentum by the double of mass, you obtain the kinetic energy. Furthermore this kinetic energy increases in the vicinity of nucleus by a larger extent than the potential energy, which allows us for occupying an orbit that contains the site of nucleus without the risk to be swallowed

Physicist: When you speak about orbits in the atom, how you can differentiate them?

Electron: In a particular orbit I can occupy a certain position with a well defined probability, in certain orbits I can occupy even the site of nucleus, but in other orbits it is not possible.  There are separated regions of the orbits where the borders form forbidden zones for me.

Physicist (interrupting): Then how can you transfer through these zones?

Electron (reprimanding): I have already told you that I am everywhere, where I can be, I do not need transfer anywhere.

Physicist (wondering): So you are cut into pieces?

Electron (smiling): Definitely, not. I am an elementary particle, one and indivisible. You could not find in the whole universe any physical object with mass and charge, which have smaller mass than me. The existence of separated zones means that I can be simultaneously present in different regions of the space.  My orbit is organized by the probability distribution. But let us speak now about the orbits of planets. How can you distinguish them, how can you classify them?

Physicist: Of course, we can speak about not only the planets, but also about comets and artificial satellites circulating around the Sun or the Earth. The orbits can be characterized by their average distance from the Sun, as well as, the ratio of farthest and closest positions, this ration can be extremely large for the comets. The larger is the distance from the center the longer time is needed for a complete revolution, but what is interesting that this rule is the same for any objects if their mass is small compared to the Sun.   

Electron: No time dependence is defined in my atomic orbital, but there is a probability distribution, where the spatial dimension depends on the mass even though my mass is much smaller than that of the nucleus.  If my mass were twice larger, then my average distance from the nucleus would be twice smaller [9]. Why it is not so for the planets?

Physicist: What is matter, the ratio of the attraction power compared to the mass, and the gravitational force is proportional to the mass [10]

Electron: Now I realize why the situation is different, since in my case the attraction power of nucleus does not depend on the mass. I have, however, a further question: I guess planets can have only well defined distances from the Sun [11], and thus the respective energy can change  jump like.

Physicist: (not comprehending): Why you assume jumps, the planetary orbits can have any radius and any energy!

Electron (pensively): When I was still a free electron and approached the proton, the increasing attraction power accelerated me, which made me emit photons. All photons changed my angular momentum by the amount of the ℏ Planck constant. As a consequence when I landed on the atomic orbit my angular momentum was a multiple of ℏ.  When later I emitted or absorbed photons, always the angular momentum is changed by the same amount.  In the course of these events the number of maxima in the probability distribution was also changed, which is termed as the principal quantum number. Basically it determines the energy level of the orbits [12]. I wonder why it is not so for the planetary motion, perhaps it is caused by the different nature of gravitational force?  

Physicist (deeply thinking): It is a good question! We are still not sure if there are quanta in the gravitation. Since this interaction is rather weak, we can investigate this phenomenon only for objects possessing large mass, but in this case the angular momentum is also rather large making difficult to observe elementary jumps. But returning back to the microscopic objects, then the quantum nature of photons is responsible for the jump like changes in the energy?

Electron: You are right, the photons can select among the energy levels, where the allowed transitions can take place.

Additional topics in the blog, see: "Paradigmaváltás a fizikában"

1. The dimension of atomic orbits is determined by the Bohr radius, which can be given by the Planck constant as well as the mass and charge of the electron:
2. According to the second law of Kepler, the third power of average distance from the Sun is proportional to the square of the revolution period.
3. The momentum is defined by an imaginary operator, but any physical quantity should have real values. The latter condition is satisfied when the expectation value is computed by an integral extended to the whole size of the physical object. In the stationary states the momentum is imaginary in any point except the center; contrary to it the square is real. In bonded state the expectation value of momentum is zero, thus the square of momentum represents the standard deviation, which is proportional to the kinetic energy.
4. The cyclotron can accelerate the electron on a circular orbit.
5. The precession is a secondary rotation. An example is the precession of the Earth with the period 25 800 year, when the inclination of the rotation axis is turning around. The rotations can be either left- or right-handed.
6. The theory of quantum electrodynamics is the advanced level of quantum theory, when the interaction and the interacting particles are handled under a common principle. This theory assumes continuous emission and absorption of the virtual photons mediating the electromagnetic interactions. This phenomenon creates a fluctuation of the fields termed as the vacuum polarization.
7. According to the uncertainty relations one can never determine with infinite precision both the position and the momentum of a physical object. The product of errors should be at least as large as the Planck constant. Similarly the life time of any quantum mechanical state limits the precision of energy measurement.
8. See footnote 2.
9. See the first footnote, where the expression of the Bohr radius indicates the inverse proportionality with the mass.
10. The gravitational force g.m.M/R*² is counterbalanced by the centrifugal force  m.v*²/R .
11. The characteristic radius of the atomic orbits can be given as a product of n principal quantum number and the Bohr radius:  R_n = n.r_B
12. The energy of atomic orbits can be given by the characteristic radius:

Az intelligens elektron

Szin: A hidrogén atom

Szereplők: A Fizikus és az Elektron

Jellemzés: A fizikus a klasszikus fizikai gondolkodást képviseli, míg az elektron a mikrovilágból nyeri ismeretét

. . . . . . . . . .

Fizikus: Merre jársz most?

Elektron: Én nem járok, én vagyok.

Fizikus: Jó, de azért valahogy végig kell járnod a pályádat az atommag körül? Ahogy a bolygók is keringenek a Nap körül!

Elektron: Miért kellene keringenem, amikor a pályámon vagyok? Leginkább egy Bohr sugárnyira [1] vagyok a protontól, de ott vagyok a magban is, ott vagyok távolabb is. Én mindenütt egy kicsit ott vagyok.

Fizikus: Ez lehetetlen, az ember vagy itt van, vagy ott van, egyszerre két helyen nem lehet.

Elektron: Az ember talán igen, de nem az elektron. Én már csak tudom! De ha már megkérdezted, mit értesz keringés alatt?

Fizikus: Nézz fel az égre, láthatod, ahogy a Nap felkel, majd végig masírozik az égen és este lenyugszik, de éjjel követheted a csillagok mozgását is. Persze tudjuk, hogy a csillagok és bolygók mozgása csak látszólagos, mert a Föld forog. De ha ezt figyelembe vesszük, már kirajzolódnak a bolygók pályái és Kepler nyomán megfogalmazhatjuk a keringés törvényeit [2].

Elektron: De minek köszönheted, hogy látsz, hogy nyomon követheted a bolygó mozgását?

Fizikus: Hát a fénynek és alkotó elemének a fotonoknak, amelyek óriási számban érkeznek és sorba szedve az egymásután érkező képeket rajzolódik ki a pálya, a mozgás.

Elektron: Engem viszont már egyetlen foton eltéríthet a pályámról, sőt el is szakíthat a protontól, amelynek vonzáskörében tartózkodom. Viszont mindaddig, amíg ez nem következik be, ugyanazon a pályán maradok. Amíg nem kerül egy foton sem az utamba, addig nincsenek sorrendbe rendezhető események, számomra nincs „előbb” és „utóbb”, számomra az idő sem létezik.

Fizikus (kételkedve): De ha nincs idő, akkor nem beszélhetünk sebességről, gyorsulásról, impulzusról, sőt kinetikus energiáról sem!

Elektron: Csak részben van igazad. Sebesség, gyorsulás és nullától különböző impulzus tényleg nem létezik [3]. Kötött pályán vagyok, az impulzus eltávolítana a magtól, a gyorsulás  pedig foton kibocsátásra kényszerítene és elveszteném az energiát és elnyelne a mag vonzó hatása. Kinetikus energiával viszont igenis rendelkezem!

Fizikus (tovább kételkedik): Ez hogy lehet, ha számodra a sebesség nem is létezik?

Elektron: Mert van valami, ami az idő helyébe lép, létezésem nem az időhöz, hanem a tartózkodási valószínűséghez kapcsolódik. Amilyen nehezen fogható fel számodra a térbeli eloszlás valószínűségi koncepciója, számomra az idő fogalma érthetetlen, mert nincsenek egymást követő események. De az energia két formájának, a potenciális és kinetikai energiának folytonos egymásba alakulása hozza létre a pályát. Számodra a pálya az időben formálódik, számomra pedig a valószínűség dimenziójában.

Fizikus (hitetlenkedve): Akkor az elektronok számára nincs is idő, nincs is mozgás, helyváltoztatás, csak a valószínűségi eloszlás létezik?

Elektron: Dehogy nincs! Amit elmondtam az csak a kötött, stacionárius állapotban igaz. De egyik elektron testvérem épp egy ciklotronba [4] került, ahol az elektromágneses tér körpályára kényszeríti. Ez a pálya már állandó gyorsulást és ezáltal állandó foton kibocsátást okoz. Számára tehát vannak egymást követő események, tehát létezik az idő is. Mozgását annak köszönheti, hogy a kisugárzott energiát a ciklotron váltakozó elektromágneses tere visszapótolja és egy határig meg is növeli.

Bár számomra ebben a stacionárius állapotban nincs történés és így az idő sem létezik, még érkezhet egy foton, amelyik kilendít innen és akkor számomra minden megváltozik, akkor történik végre valami, újra értelmet nyer az idő. De érteni szeretném, mivel írhatód le a makro-világban a keringő bolygó változó helyzetét?

Fizikus: A fázissal, amelyik jellemzi a bolygó pillanatnyi helyzetét. A fázis körbejár, és azaz idő, ami alatt a kezdőpontba visszatér, határozza meg a keringés frekvenciáját. De van-e számodra is értelme a fázisnak és a frekvenciának?

Elektron: Igen, van, de ez nem a térbeli helyzetemre vonatkozik! Az idő, amelyik számomra itt nem létezik, mégiscsak, ha rejtve is, de kifejti hatását. Jár bennem egy belső óra, amit én ugyan nem ismerhetek, de felkészít arra az eshetőségre, hogy mi történik velem, ha egy foton ideérkezik. Ez a rejtett paraméter a fázis, amelyik szintén körbejár és ennek ritmusát, frekvenciáját az energia határozza meg.  A fázis ismeretlensége miatt véletlennek tűnik, hogy létrejön-e végül a fotonnal a kölcsönhatás, pedig ennek bekövetkezése a fázis által determinálva van.

Fizikus: De térjünk át egy másik kérdésre!  Hogyan változik a térbeli eloszlás az irány függvényében?

Elektron: Mi az hogy irány? Számomra ez a fogalom nem létezik. Te beszélhetsz irányról, mert a környezetedből érkező fotonok információját összehasonlíthatod. De mit hasonlítsak össze én, akihez egyetlen foton sem jut el?

Fizikus (csodálkozva): Akkor egyáltalán nem érzékeled a teret?

Elektron: De igen, mert a vonzóerő nagymértékben változik a protontól való távolsággal. Például a proton belsejében, ahol bizonyos pályákon szintén ott vagyok, a vonzás már végtelenül erős. A vonzóerőt azáltal érzem, hogy a protonnal állandó párbeszédet folytatunk elnyelt és kibocsátott fotonok seregével.

Fizikus (elgondolkozva): Itt most két dolog is van, amit nem értek. Az előbb azt mondtad, hogy stacionárius állapotban nincs foton kibocsátás, a másik, hogy miért nem nyel el a proton, amikor végtelen nagy vonzóerő jön létre a közvetlen kontaktus miatt?

Elektron: Valóban egyik állítás sem érthető könnyen. Kezdjük az állandóan kibocsátott és elnyelt fotonokkal. Ezek nem valóságosak abban az értelemben, hogy nem figyelhetők meg közvetlenül, mert nem változtatják meg az elektronok állapotát. Úgy mondják, hogy ezek a fotonok virtuálisak. Egyszerre képződnek és elnyelődnek, ezért nem változtatják meg a stacionárius állapotot.

Fizikus: De ha nem változtatják meg az állapotot, akkor mi értelme van beszélni róluk?

Elektron: Van értelme, mert ezek építik fel az elektromágneses kölcsönhatást. Az általuk létesített tér azonban nem sztatikus, állandóan ingadozik az egyensúlyi érték körül. Úgy hívják ezt, hogy vákuum polarizáció.

Fizikus (kétkedve): Be kell, hogy valljam, én még mindig nem értem!

Elektron: Akkor folytatom. A mágneses tér precesszióra [5] kényszerít minket és két forgásirányt választhatunk, melyekhez különböző energia tartozik. A két energia különbsége arányos a mágneses térrel és van egy konstans, amelyik megmondja az energia szeparációt.  Ez a konstans 2 a relativitáselmélet szerint, de ténylegesen ennél kissé nagyobb 2,0023. Ez a többlet, ami a vákuumpolarizációból származik [6].

Fizikus (elgondolkozva): Azt még mindig nem értem, hogy ez valamilyen matematikai játék, ami elvezet egy konstans reprodukálásához, vagy valóban léteznek-e ezek a „virtuálisok”. De lépjünk tovább: miért nem nyel el a végtelen erős vonzóerő az atommagban?

Elektron (büszkén): Mondjam azt, hogy azért mert szeretjük a szabadságot?  Minél szűkebb ketrecbe zárnak minket, annál jobban dörömbölünk a falon! Hivatalosan ezt hívják határozatlansági relációnak [7]. Ha szűk térben vagyunk, akkor pontos a helymeghatározás, de ekkor az impulzus nagymértékben válik bizonytalanná.

Fizikus (hitetlenkedve): Korábban arról is szó volt, hogy kötött állapotban nulla az impulzus, azaz nem is létezik!

Elektron: Igen, átlagértékben, amit várható értéknek is hívnak, tényleg nincs impulzusunk, azt sem mondhatjuk, hogy a sebesség itt, vagy ott mekkora. Mégis van valami, amit az impulzus nulla érték körüli szórásának nevezhetünk, és minél szűkebb térbe vagyunk zárva, annál nagyobb a szórás, azaz az impulzus második hatványának várható értéke. Ez pedig, ha a tömeg kétszeresével osztjuk maga a már emlegetett kinetikus energia! Ez tehát a kinetikus energia, amelyik kis távolságban meghaladja a potenciális energiát a meredekebb távolságfüggés miatt. Hát ennek köszönhetjük, hogy kockázat nélkül elfoglalhatunk olyan pályát is az atomban, amivel ott lehetünk részben a magban is.

Fizikus: Pályákról beszélsz az atomban, ezek miben különböznek?

Elektron: A különböző pályákon más és más valószínűséggel vagyok a protontól egy bizonyos távolságban, egyes pályákon ott vagyok a magban is, más pályákon ez nem lehetséges. A pályának vannak tiltott zónái, amelyek szétválasztják a számomra elérhető helyeket, ahol a legtöbbet vagyok.

Fizikus (közbeszól): De hogy jutsz át a tiltott zónákon?

Elektron (rendre utasítóan): Már mondtam, hogy én mindenütt ott vagyok, ahol vagyok, nem kell átjutnom sehová.

Fizikus (csodálkozva): Akkor darabokra vagy szakítva?

Elektron (mosolyogva): Dehogy vagyok. Én elemi részecske vagyok, egy és oszthatatlan. Nálam nincs is kisebb tömeggel és elektromos töltéssel rendelkező objektum az univerzumban. A szétválasztás csak azt jelenti, hogy én egyszerre lehetek jelen a tér különböző tartományaiban. Az én „pályám” a valószínűségi eloszlás, de most te beszélj nekem a bolygók pályájáról! Miben különböznek? Hogyan jellemeznéd őket?

Fizikus: Persze nem csak bolygókról beszélhetünk, hanem a Nap körül keringő üstökösökről  és mesterséges égitestekről is. Pályájukat a Naptól való átlagos távolságon kívül a pálya napközeli és naptávoli pontjának arányával is jellemezhetjük, ami rendkívül nagy lehet az üstökösöknél. Minél nagyobb a keringési sugár annál hosszabb időt vesz igénybe egy teljes fordulat, de ennek szabálya nem függ a bolygó tömegétől, ha az sokkal kisebb a Napénál.

Elektron: Az én pályámnak az atomban nincs időbelisége, csak valószínűségi eloszlása van, de ennek térbeli lefutása függ a tömegtől, pedig az enyém is nagyon kicsi az atommaghoz képest. Ha kétszer nagyobb lenne a tömegem, kétszer közelebb lennék a maghoz [8]. Miért van ez másképp a bolygóknál?

Fizikus: A vonzóerő és a tehetetlen tömeg aránya a mérvadó, a gravitációs erő pedig arányos a tömeggel [9}.

Elektron: Értem a különbség okát, nálam tehát azért más a helyzet, mert a proton által gyakorolt elektromos vonzás nem függ a tömegtől. Van egy másik kérdésem is: ugye csak bizonyos pályasugarak megengedettek [10], a hozzá tartozó energia ezért ugrásszerűen változik?

Fizikus (értetlenkedve): Miért lennének ugrások, a pályákhoz bármekkora sugár és bármekkora energia tartozhat!

Elektron (elgondolkozva): Amikor én még szabad elektron voltam és közeledni kezdtem a protonhoz a növekvő vonzóerő felgyorsította mozgásomat és ezért fotonokat bocsátottam ki. Minden foton épp Planck állandónyi változást hozott az impulzusmomentumban, ezért amikor kötött atomi pályára álltam az impulzusmomentum ℏ egészszámú többszöröse lett. Azóta is, ha változott a pályám egy foton elnyelés vagy kibocsátás miatt, mindig egy-egy ℏ egységnyi volt a változás.  A pályaugrások során még egy valami változott: az eloszlási maximumok száma. Alapvetően ez határozza meg a pályák energiáját [11] az impulzusmomentum mellett, ami természetesen ugrásszerűen változik.  De miért nincs ez így bolygómozgásoknál, ez vajon a gravitációs erő természetéből fakad?

Fizikus (töprengve): Jó kérdés! Arra még nincs egyértelmű válaszunk, hogy kvantumos-e a gravitáció. De a gravitációs erő gyöngesége miatt csak nagytömegű objektumok mozgását tudjuk tanulmányozni, amikor ℏ-nál annyival nagyobb az impulzusmomentum, hogy ennek változását nem tudjuk kimutatni. Visszatérve a mikro-rendszerekre, ott tehát a fotonok kvantáltsága okozza az energiaugrásokat?

Elektron: Igen, a fotonok választják ki az energia nívók közül a megengedett értékeket.

Elektron és fizikus együtt

Nincs nehezebb, mint megérteni egymást, mert más világokban élünk, és ez rányomja a bélyegét a térről, időről, mozgásról és pályáról alkotott fogalmainkra. De ha eljutunk a végső kérdéshez: MI AZ AMI ÁLLANDÓ A VÁLTOZÁSBAN, gondolataink találkozni fognak.

A blog további bejegyzéseinek összefoglalőja, lásd "Paradigmaváltás a fizikában"

1. A Bohr sugár határozza meg az atomi elektronpályák dimenzióját, a Planck állandóból, az elektron tömegéből és töltéséből lehet megadni:
2. Kepler második törvénye szerint a Naptól mért átlagos távolság harmadik hatványa arányos a keringési idő négyzetével.
3. A kvantummechanikai impulzus imaginárius, de ténylegesen mérhető csak valós mennyiség lehet, amit a matematikai formalizmus úgy vesz tudomásul, hogy csak a teljes fizikai kiterjedésre számított VÁRHATÓ ÉRTÉKET – ami viszont valós – határozza meg. Az atomban kötött elektron esetén az egyes térpontokban értelmezett impulzus IMAGINÁRIUS, azaz nem valóságos. Valós viszont minden egyes pontban az impulzus NÉGYZETE, ami egyúttal a szórást jelenti, hiszen nulla az átlagérték. Az impulzus négyzete pedig arányos a kinetikus energiával.
4. A ciklotron körkörös pályán gyorsítja fel az elektront.
5. A precessziót másodlagos forgás. Példa rá a Föld precessziója, amelyik 25 800 év alatt viszi körbe az évszakok változását előidéző ferde tengelyirányt. A forgás iránya lehet jobb és balsodrású.
6. A kvantummechanika szemléletétét emeli magasabb szintre a kvantumelektrodinamika, amelyik elválaszthatatlan egységbe foglalja a kölcsönhatást és a kölcsönható részecskéket. Az elmélet folytonosan képződő és eltűnő virtuális fotonokkal értelmezi az elektromágneses kölcsönhatást, amely fluktuációkat hoz létre a vákuumban, az un. vákuum polarizációt.
7. A határozatlansági reláció szerint nem lehet egy fizikai objektum helyét és impulzusát tetszőleges pontossággal meghatározni, a hibák szorzata nagyobb, mint a Planck állandó. Hasonlóan egy kvantummechanikai állapot élettartama behatárolja az energiamérés pontosságát.
8. Az 1. bejegyzésben a Bohr sugár képlete mutatja, hogy a sugár fordítva arányos a tömeggel.
9. A g.m.M/R*² gravitációs erő tart egyensúlyt az m.v*²/R centrifugális erővel.
10. Az elektronpályák eloszlását jellemző karakterisztikus sugár az n főkvantumszám ésa Bohr sugár szorzata: R_n = n.r_B
11. Az elektronpályák energiája

Az elektron mágneses momentumát azért tekintik anomálisnak, mert a Dirac egyenlet alapján képzett momentum aránya a spinhez kétszerese a pályamozgás esetén tapasztalt értéknek. Ennek a kettes faktornak az értelmezése a klasszikus elektrodinamika szabályai alapján nem lehetséges (lásd például R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands: „Mai fizika’, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1970) .

Köráramok mágneses momentuma az elektrodinamika szerint arányos az áramerősség és a terület szorzatával, ezért ha q töltés ω frekvenciával forog az r sugarú körön, akkor a momentum q.ω.r² kifejezéssel arányos, míg az m tömeghez tartozó impulzusmomentum m.ω.r² lesz  Bármilyen forgó objektumot felbonthatunk elemi körforgásokra, ezért függetlenül a geometriától, ha a tömeg és töltés térbeli eloszlása megegyezik azonos arány várható a pályamozgástól és a spintől, amennyiben a spint is valamilyen töltéssel és tömeggel rendelkező objektum forgásával értelmezzük. Bár a Dirac egyenletből származtatott kétszeres mágneseses momentum jó közelítésben megegyezik a kísérletileg mért értékkel, de az arány ennél kismértékben nagyobb. Ennek a korrekciónak a magyarázatára vállalkozott a kvantumelektrodinamika (QED).

Az elektron mágneses momentumának értelmezése végül is a QED igazi sikertörténete lett. Ahogy a kísérleti pontosság határát sikerült egyre több tizedes jegyre kiterjeszteni, avval lépést tartott az elmélet, amikor a QED perturbációs formalizmusában egyre magasabb rendű közelítéseket alkalmaztak (Lásd R.P. Feynman „QED, The strange theory of light and matter”, Penguin books, Princeton University Press, 1985 ).  Nem tekinthetjük célunknak, hogy ekkora pontossággal értelmezzük a mágneses momentumot a részecskék fénysebességű forgásmodelljével, de bemutatjuk, hogy ennek segítségével feloldhatjuk az anomáliát és becslést adhatunk még a legfontosabb korrekciós tagra is.

 A μ mágneses momentum adja meg az elektron energiaváltozását B mágneses mezőben: E =  –μ.B. Amikor mágneses térről beszélünk voltaképp igen nagyszámú kollektív körforgást végző elektron hatásáról van szó, amelyik megváltoztatja egy kiszemelt elektron energiáját. Természetesen a kiválasztott elektron is hat az említett elektron rendszerre, de ez a hatás elhanyagolható a teret felépítő elektronok nagy száma miatt. A Zeeman által felfedezett kölcsönhatás energia operátorát a relativisztikus Dirac egyenletből lehet származtatni. A kölcsönhatás két tagból áll: az elektron atommag körüli pályamozgásából, amit az L.ħ pálya momentum jellemez (lásd „Miért diszkrétek az energianívók kötött állapotban” bejegyzést)  és az elektron saját forgásból (perdületéből), aminek nagyságát az S.ħ spin adja meg. A mágneses momentum kifejezése:

μ = μ_B(L + 2S)

Itt μ_B = e.ℏ/(2m.c) a Bohr magneton.

A klasszikus elektrodinamika szerint a köráram által létrehozott mágneses momentum μ = j.f/c, ahol j = e.ν  az áram, f = r².π a köráram által bezárt terület. Ennek megfelelően a pályamozgás által létrehozott mágneses momentum:

Vegyük figyelembe a klasszikus és a kvantummechanika impulzus momentum definícióit: L.ℏ = m.ω.r**², ami elvezet a mágneses momentum pályajárulékának kifejezéséhez:

A gömbhéjon történő kettős forgás modellje annak felel meg, hogy az elektron töltése és tömege az  r = R__c  sugarú héjon helyezkedik el egyenletes eloszlásban. Ez abból következik, hogy tömeg a vákuumból csak úgy képződhet, ha a mozgás eléri a fény sebességét. Ennek járulékát a mágneses momentumhoz úgy számíthatjuk, ha a gömbhéjat körszeletekre vágjuk, az egyes szeletek köráramát pedig összegezzük, ekkor az eredmény megegyezik a pályamozgástól származó fenti formulával. Viszont a Dirac féle mágneses momentumban szerepel még egy kettes faktor a spin esetén, felmerül a kérdés, hogy honnan származik ez a kettes szorzó? Erre a kérdésre a klasszikus fizika látszólag nem tudja megadni a választ.  A kudarc oka, hogy nem vettük eddig figyelembe, hogy az elektron spin nem egytengelyű, hanem kéttengelyű forgásból származik! Arról van ugyanis szó, hogy a mágneses tér körüli egytengelyű Larmor precesszió szuperponálódik a spint létrehozó kettősforgásra. A kettősforgás miatt feleződik az elektron spin, de ez a mágneses momentumra nem vonatkozik, hiszen a Larmor precesszió egy tengely – a mágneses tér – körül történik. Ezt figyelembe véve már eljutunk a Dirac egyenletnek megfelelő mágneses momentumhoz

μ_S = 2μB.S

A növekvő pontosságú kísérletekből azonban kiderült, hogy a Dirac egyenletből származó fenti kifejezés sem pontos, a tényleges együttható nem 2, hanem kissé nagyobb 2.0023…. Honnan származik ez a járulék? Ez a kérdés vált a QED elmélet próbakövévé. Ennek megértéséhez a mezőelmélet módszertanát kell követni. Eszerint a töltött részecskék közötti Coulomb kölcsönhatást virtuális fotonok közvetítik: az egyik elektron kibocsát egy fotont, amit a másik elnyel és ez az állandó foton csere hozza létre a taszítást, ha viszont különböző előjelű töltések vannak, akkor a vonzást. De ez csak a legegyszerűbb eset, az elektronok és a virtuális fotonok a közvetlen csatlakozáson kívül összetettebb utakat is választhatnak, sőt akár a virtuális fotonok átmenetileg létrehozhatnak elektron-pozitron párokat is. Ezek közül a legegyszerűbb, un. egyhurkos út adja az anomális momentum legfőbb járulékát, aminek értéke a Sommerfeld féle finomstruktúra állandóval arányos:

Értelmezzük ezt a további járulékot is a fénysebességű forgásokkal! Az elektron spinjének származtatásakor a végtelenül elfajult térgeometriából származó erős gravitáció és a kettős forgás centrifugális erejének egyensúlyából indultunk ki. De amint arra rámutattunk, fellép a Coriolis erő is, aminek csavaró hatása nyilvánul meg a Coulomb erőben, ami α mértékében gyöngébb az erős gravitációnál. Ennek hatása hozzáadódik a centrifugális erőhöz a mágneses tér iránya körüli 2π szögtartományban, amiért módosul az egyensúly

Ezt az összefüggést átrendezve kapjuk a mágneses momentum származtatásához szükséges kifejezést:

Evvel a gondolatmenettel illusztráltuk, hogy a fénysebességű kettősforgásokkal jól lehet szemléltetni a bonyolult mezőelméleti számítások eredményét, nem célunk azonban, hogy az anomális mágneses momentumra olyan teljes leírást adjunk, mint amire alighanem csak a komplett mezőelmélet képes

A QED elmélet sikerei mellett azonban divergencia problémák lépnek fel a sajátenergia számítása során. Ennek oka, hogy amikor felhordjuk a töltéseket egy gömb felületére végtelen távolságból indulva, akkor az elvégzett munka végtelenül nagy lesz abban az esetben, ha a gömb sugarát nullának vesszük, már pedig erre van szükség, mert a QED kiindulópontja az elektront pontszerűnek tekinti. Ez a probléma nem merül fel a fénysebességű forgásoknál, mert a mozgásirányra merőleges sugár nem redukálódik, miközben a felszín nullára zsugorodik. Másik lehetséges ok, amiért divergenciák lépnek fel a mezőelméletben, hogy nincs felső korlátja a virtuális fotonok energiájának. Fénysebességű forgásoknál viszont a virtuális fotonok energiája nem haladhatja meg a tér görbülete által stabilizálható mc² értéket.

A spin függvények 4π szögű periodikusságának rejtélye 

Az S = ½ spin hullámfüggvénye Ψ = exp(±½ϕ) rendelkezik egy különös tulajdonsággal: a 360 fokos, azaz 2π szögű forgatáskor előjelet vált és a függvény csak 720 fokos forgatáskor megy át önmagába. Ezzel szemben a pálya-impulzusmomentum operátor exp(im_l Φ) függvényei „normális” módon viselkednek a teljes fordulat hatására, mert az m_l kvantumszám csak egész értéket vehet fel. A különbség onnan adódik, hogy a pálya-impulzusmomentum egyetlen tengely körüli forgáshoz tartozik, szemben a spinnel, ahol a kettősforgatás miatt a Φ szögű transzformációt két tengely körül hajtjuk végre, és amíg az egytengelyű forgatások egy 2π kerületű kört alkotnak, addig a kéttengelyű forgatások egy kétdimenziós 4π felületű gömbfelszínt fednek le, ha a sugarat egységnyinek vesszük.

A hullámfüggvények szimmetria tulajdonságait a matematikai csoportelmélet segítségével aknázhatjuk ki, ahol azt vizsgáljuk, hogy milyen forgások és tükrözések viszik át a rendszert önmagába.  Identitás műveletnek tekintjük, amikor nem változtatunk meg semmit, ilyen például szokásos esetben a 360 fokos forgatás. Mivel az S = ½ hullámfüggvény ekkor előjelet vált szükség volt a csoport műveleteit kiegészíteni a 2π forgatással is. Így jött létre a Bethe féle kettős csoport, amelynek un. „irreducibilis ábrázolásai” már kezelni tudták az olyan hullámfüggvényeket is, ahol a spin ½ volt. Ez a matematikailag korrekt, bár a józanész számára meghökkentő módszer, a kettősforgások koncepciójával már jól értelmezhető, hiszen ekkor tényleg csak a 4π forgatás lesz identitás művelet.

Miért rendelkezik az elektron S = ½ spinnel?

Forgások esetén a Lorentz kontrakció miatt a kerület olyan mértékben csökken, amilyen mértékben a tömeg nő, miközben a sugár állandó marad (lásd „Térgörbület és gravitáció forgó rendszerekben”. Fénysebességű forgásoknál ebből következik, hogy az impulzusmomentum a forgási frekvenciájától függetlenül mindig ℏ lesz egytengelyű forgások esetén, legyen szó akár gyenge rádióhullámokról, vagy kemény gamma sugárzásról, vagy a nagy tömegű gyenge kölcsönhatási bozonokról.  Kéttengelyű forgásoknál az impulzusmomentum feleződik, azaz a spin ½ lesz, amit avval értelmezünk, hogy ekkor az erős gravitációnak két különböző forgás centrifugális erejét kell kiegyenlíteni. Az impulzusmomentum feleződését értelmezhetjük a tehetetlenségi nyomaték elvével is: a tehetetlenségi nyomaték és a forgási frekvencia szorzata adja meg az impulzusmomentumot. Egytengelyű forgás annak felel meg, mintha egy „karikát” a szimmetriatengely körül forgatnánk, amíg a kéttengelyű forgatás úgy fogható fel, hogy az első forgatás „karikáját” a második a főtengely körül perdíti meg. Az utóbbi esetben fele lesz a tehetetlenségi nyomaték és ezáltal az impulzusmomentum is.

Minek köszönhetjük, hogy a Dirac formalizmus is evvel egybecsengő eredményre vezet? Külső elektromágneses tér nélkül az elektron energiája nem függ az iránytól és ebből következően a relativisztikus invariancia felhasználásával generált mennyiségek, így a spin sem irányfüggő. Az irányfüggetlenség abban nyilvánul meg, hogy a spin három vetületének négyzete egyformának adódik

:

A három komponens négyzetösszege, azaz  S² viszont S(S+1) az operátorok felcserélési szabályai miatt. A két követelmény egyidejűleg csak S = ½ esetén teljesül. Ez azt jelenti, hogy az elektron izotróp szerkezete megköveteli, hogy S = ½ legyen. Ez összhangban van a kettősforgás koncepciójával is, mert az egytengelyű forgás nem lehet gömbszimmetrikus. A kettősforgás koncepcióját az is alátámasztja, hogy ekkor fellép egy jobb és egy balsodrású forgásállapot is, ami két részecske létezésére utal ellentétes előjelű töltéssel a Coriolis erő királis függése miatt. Ezért léteznek a részecske  és anti-részecske párok. 

A blog további bejegyzéseinek összefoglalóját lásd "Paradigmaváltás a fizikában"

A kvantummechanika áthághatatlan korlátot állít a mérési pontosság számára: például egyidejűleg nem lehet tetszőleges pontossággal meghatározni egy kvantummechanikai objektum pozícióját és impulzusát. Ezt szokták szemléltetni hullámcsomaggal, amikor a csomag hossza egyaránt limitálja a pozíció és az impulzus pontosságát, de széles köre van olyan kísérleteknek, ahol az elvi határ visszavezethető optikai törvényekre. Másik gyakori példa, amikor az állapot élettartama korlátozza az energiamérés pontosságát. Az absztrakt matematikai levezetés megtalálható különböző kvantummechanikai tárgyú könyvekben, példa rá Geszti Tamás kitűnő műve: „Kvantummechanika”, Typotex, 2014.

Itt most nem célunk a levezetés teljes ismertetése, csupán a sarkalatos pontokra mutatok rá, amelyből elvi következtetéseket lehet levonni.

A fizikai mennyiségeket hermitikus operátorok reprezentálják, ahol a hermitikusság biztosítja, hogy a sajátértékek valós számok lesznek. Ha A és B két ilyen operátor, akkor a várható érték körüli szórásból képzett  ΔA és ΔB hibákra a következő egyenlőtlenség állítható fel:

ΔA.ΔB ≧ ½<│A.B – B.A│>

Tehát két különböző fizikai mennyiség szorzatának hibája a két operátor kommutátorával határozható meg. Viszont bármely ξ változóból és annak deriváltjából képzett kommutátor olyan operátort alkot, amelynek sajátértéke az 1 szám és sajátfüggvénye tetszőleges, ugyanis a szorzatfüggvényekre vonatkozó deriválási szabály miatt:

Ha ξ a pozíciót reprezentálja és deriváltját szorozzuk ℏ/i konstanssal, akkor az impulzus és a pozíció közötti határozatlansági relációt kapjuk meg: Δp.Δr ≧ ½ ℏ. Ugyanígy kapjuk meg az időtartam és az energiamérés hibája közötti relációt. A határozatlanság tehát annak a következménye, hogy az impulzus és energia operátorában a véges ℏ állandót választottuk a differenciálok együtthatójának, ez a választás pedig a foton kvantált természetéből következik.

Végeredményben tehát bármely kvantummechanikai objektum impulzusára és pozíciójára vonatkozó határozatlanság az információ hordozójának, azaz a fotonoknak kvantált természetéből ered. Ugyanez vonatkozik a mikroállapot időtartama és az energiamérés pontossága közötti határozatlanságra is. A határozatlanság azonban nem jelenti a pozíció és az impulzus bizonytalanságát, hanem a mikro rendszerről szerezhető információ korlátozottságát mutatja. Külön-külön ugyanis a pozíció és az impulzus tetszőleges pontossággal meghatározható. Például, ha nagy energiájú fotonokkal vizsgáljuk az objektumot, akkor leszoríthatjuk a pozíciómérés hibáját, de ekkor akkorát „lökünk” az objektumon, hogy az impulzusról szerzett információnk lesz bizonytalan. Minden mérésben fotonokat figyelünk meg, gondolkozásunkban azonban szétválasztjuk az információ hordozóit és azt az objektumot, ahonnan a fotonok érkeznek. A határozatlanság azt fejezi ki, hogy ez a szétválasztás a Planck állandó mértékében önkényes. A kvantummechanika egy olyan fizikai elmélet, amelyik hallgatólagosan tudomásul veszi ezt a határozatlanságot és az állapotfüggvény által megfogalmazza a folyamatok valószínűségi jellegét. Az „EPR paradoxon” című bejegyzésben kerül ez a gondolat részletes kifejtésre.

Kvantummechanikai inercia erő

A „Miért diszkrétek az energianívók kötött állapotban” című bejegyzésben az oszcillátorok nulla ponti rezgését a kvantummechanikai bizonytalansági elvre vezettük vissza, és ugyanez az elv magyarázza, hogy miért nem egyesül az elektron a hidrogénatom protonjával a közöttük lévő Coulomb vonzás végtelenhez tartó nagysága ellenére. A jelenséget megvilágíthatjuk más szemszögből is bevezetve a bizonytalansági elvből származó tehetetlenségi erő fogalmát. Kötött rendszerekben a mindenkori vonzóerő egyensúlyban van a gyorsuló mozgások által keltett tehetetlenségi erővel. Erre példa körmozgásokban a centrifugális és a centripetális erők egyensúlya. Felvetjük a kérdést, hogy mekkora tehetetlenségi erő származtatható a bizonytalansági relációnak megfelelő kinetikai energia ingadozásából.

Az impulzus- és a helykoordináták közötti bizonytalansági elv szerint: Δr.Δp ≧ ℏ. (Itt a könnyebb áttekinthetőség kedvéért elhagyjuk az ½ együtthatót). Emiatt a kinetikus energia bizonytalansága ΔE_kin = Δp²/2m ≧ ℏ²/(2m.Δr²) . Az erő definíció szerint a potenciális energia negatív gradiense, ennek mintájára a tehetetlenségi erőt, mint a kinetikus energia negatív gradiensét értelmezhetjük:

A centrum körüli oszcilláció esetén az ingadozás amplitúdóját azonosnak vehetjük a kitéréssel, azaz Δr = r. Az így értelmezett tehetetlenségi erő gyorsabban növekszik kis távolságban, mint a Coulomb erő, hiszen az előbbi a távolság harmadik, az utóbbi pedig második hatványával arányosan csökken. Emiatt, ha az elektron a kritikus távolságnál közelebb kerül az atommaghoz, akkor a taszító erő meghaladja a vonzóerőt, és így a proton nem ejtheti foglyul az elektront. Az erők egyensúlyi feltétele szerint

Az erők egyensúlyából számolható sugár r₀ = ℏ²/(m.e²) megegyezik a Bohr rádiusszal. Ez az elektron legkisebb pályasugara, ahol a mozgás tisztán oszcillációs jellegű, ezért az erő egyensúlyban nem lép fel a centrifugális hatás. Nagyobb pályasugarak esetén a centrifugális erő járuléka is megjelenhet, sőt dominánssá válhat, mert a bizonytalansági erő a centrumtól való távolság függvényében gyorsan csökken. Ekkor közeledünk a klasszikus képhez, amit jól ír le az eredeti Bohr modell. Klasszikus határesetben a bizonytalansági erő elhanyagolható, és mivel a Coulomb és a centrifugális erő távolságfüggése meggegyezik, így az egyensúly bármekkora sugár esetén megvalósulhat, az energia pedig folytonosan változik. 

Az  inercia erőt  a nem-relativisztikus kinetikus energiából származtattuk. A relativisztikus formulát az

kifejezésből kaphatjuk meg. Ennek negatív gradienséből származó erő, ha p = ℏ/r a bizonytalansági relációból:

Nem-relativisztikus közelítésben a négyzetgyök alatti második tag elhanyagolható, és emiatt megkapjuk a korábbi kifejezést. A másik határesetben, ha az m₀ nyugalmi tömeg kicsi, vagy nulla, mint a foton esetében, akkor az erő kifejezése F_inercia = ℏ.c/r² éppen azonos lesz avval a vonzóerővel, amit fénysebességű forgások hoznak létre a téridő torzulása miatt (Lásd „Térgörbület és gravitáció forgó rendszerekben”). Ez megfelel annak az elképzelésnek, hogy a foton a térpontok egydimenziós fénysebességű forgása, mert a forgás stabilitását az inercia erő és az erős gravitáció egyensúlya képes biztosítani.

A tehetetlenségi erő alapján értelmezhetjük a nullaponti rezgés energiáját is. Ekkor az x változó szerepel r helyett. A tehetetlenségi és vonzóerő erőegyensúlya

: azaz 

Az x₀ egyensúlyi kitérést az A amplitúdóval azonosítva megkapjuk az energiát

:

Tehát a nullponti rezgés energiája valóban visszavezethető a bizonytalansági elvből származtatott inercia erő és a vegyérték erő egyensúlyára.

A bizonytalansági elvet a részecskékről szerezhető információ korlátozottságára vezettük vissza, de jogosan vethető fel a kérdés: hogyan vezethet bármilyen erőhatáshoz az információ hiánya? Hétköznapi életünkben nagyszámú foton áradata ér el minket, ugyanez érvényes a klasszikus fizikai kísérletekben is. Az általuk szállított információban csak a fotonok átlagos tulajdonsága érvényesül és emiatt elvész az egyes fotonok individuális tulajdonsága: az egyedi fázis. Az így szerzett információt dolgozza fel agyunk és alakítja ki fogalomrendszerét, amit aztán a tudomány rendszeresít és beszél erőről, energiáról, impulzusról és így tovább. A foton áradat által megismert mozgásokat klasszikus fogalmaink jól írják le, de nehézségekbe ütközünk, amikor átlépünk egy határt. Ez a határ, amikor már az egyes fotonok hatása is szerepet játszik, amikor az ismeretlen fázis határozza meg a fizikai kísérlet kimenetelét. Amikor bizonytalanságról beszélünk a pozíció és az impulzus mérése során, akkor azt fejezzük ki, hogy klasszikus fogalmaink csak korlátozott mértékben használhatók a mikrovilág törvényeinek megalkotására. Nem tekinthetjük ezért sem az energiát, sem az erőt, vagy akár az impulzust és a térbeli pozíciót olyan fogalomnak, ami elválasztható attól az úttól, ami elvezetett a fogalmak megalkotásához.  A fotonok kvantumos jellege ezért bizonyos formában megjelenik az energia és erő fogalmában is. Ez nem jelenti azt, hogy tagadni kellene az erő, vagy az energia objektív létezését, csupán azok megjelenési formája függ attól az eszköztől, ami az információt biztosítja számunkra.

A fizika megkülönbözteti a valódi erőt, mint például a tömegek közötti vonzást, vagy az elektromos töltések közötti erőhatásokat a tehetetlenségi erőktől, mert az utóbbit a választott koordináta rendszer tulajdonságaihoz köti, ezek akkor lépnek fel, ha nem inercia rendszerről, hanem valamilyen gyorsuló mozgást végző rendszerről van szó. Az általános relativitás elmélete már lyukat ütött ezen a szétválasztáson, amikor kimondta, hogy nincs különbség aközött, hogy valamilyen nagy tömeg vonzását érezzük, vagy a rendszer gyorsul, ahol a megfigyelést végezzük. Ez az elv vezette Einsteint annak megfogalmazásához, hogy a gravitáció nem más, mint a téridő torzulása az euklideszi geometriához képest. Amikor alkalmazzuk a kvantummechanika elveit, akkor is elfogadunk egy leírási módot, aminek tengelyében a valószínűség elve van. Ez a valószínűségi elv vezet el a bizonytalansági erő fogalmához. A bizonytalansági erő ezért minőségében nem különbözik bármely más erőhatástól, hiszen minden erő attól függ, hogy milyen leírási módot használunk.

            A bizonytalansági elvből származtatott tehetetlenségi erőt értelmezhetjük a kvantumelektrodinamika fogalmaival is. A Coulomb erőt a virtuális fotonok közvetítik. Itt a fotonok széles frekvencia tartománya játszik szerepet, még pedig minél közelebb van az elektron a protonhoz, annál kisebb hullámhosszú, azaz annál nagyobb impulzusú fotonok adják a döntő járulékot. Emiatt az r távolság függvényében a kinetikus energia, amely négyzetesen arányos az impulzussal a távolság reciprokának négyzetével lesz arányos. A kinetikus energia r függéséből a gradiens képzésen keresztül kapjuk az erőhatást, amely így   r^-3 függést mutat.

A blog további bejegyzéseinek összefoglalóját lásd: "Paradigmaváltás a fizikában"

A IV. rész folytatása

Az s típusú pályák külső módusa hasonló lefutást mutat a mostani ábrával. Ennek oka az aszimptotikus megoldás azonossága, ami a nagy r értékeknél dominál. Az s pályák esetén a radiális módusok száma megegyezik a fő kvantumszámmal, míg az l = n–1 pályáknál csak egyetlen radiális módust láthatunk. Valójában a fő kvantumszám mindig azonos a módusok számával, csak a módusok száma másképp oszlik meg radiálisan és a θ, ϕ polárszögek mentén. Az l > 0 esetben a gömbfelületeken l számú módus alakul ki, míg a radiális módusok száma n – l lesz. A pályák eltérése a gömbszimmetriától n – l értékétől függ, az l = n–1 pályáknál, ha n nagy már elhanyagolható az eltérés. Ez azt jelenti, hogy nagy kvantumszámok esetén a kvantummechanikai pályák egyre kevésbé különböznek a Bohr modell körpályáitól. A Bohr modell az energiát meghatározó n kvantumszámot az impulzusmomentumból származtatta, evvel szemben az energia az itt bemutatott közelítésben nem rendelhető valamilyen impulzusmomentum értékhez, hanem a módusok száma által meghatározott fő kvantumszámtól függ. Ez arra utal, hogy a módusok járuléka az energiához azonos a radiális- és a polárkoordináták esetében. A kísérleti tapasztalatok szerint az energia, ha kisebb mértékben is, de függ az n fő kvantumszámon kívül az l mellék kvantumszámtól is. Ennek oka az itt nem tárgyalt spin-pálya kölcsönhatás, ami a relativisztikus Dirac egyenletből származtatható.

Az atomok elektronjai fotonok abszorpciójával és emissziójával kerülhetnek át az egyik pályáról a másikra. Ennek kiválasztási szabálya analóg az oszcillátorokéval, de ebben az esetben az x változó helyett az r vektor jelenik meg az átmeneti valószínűség kifejezésében.

A kiválasztási szabály az Y_l,m(θ,ϕ) gömbfüggvények szimmetria tulajdonságaiból következik  Páros l esetén az origóra való tükrözés a függvényt önmagába viszi át, míg páratlan esetben megfordítja az előjelet. Tükrözéskor az r vektor előjele szintén megváltozik, ezért ha két azonos párosságú függvény szerepel az integrálban, akkor nulla lesz az átmeneti valószínűség. A gömbfüggvények további tulajdonsága, hogy szintén eltűnik az integrál, ha, l és l’ eltérése nagyobb egynél, azaz a kiválasztási szabály l→l±1 . Ez azt jelenti, hogy az elektront lehet gerjeszteni az 1s pályáról 2p-be, de nem lehet a 2s pályára. A tiltás azonban itt sem teljes, mert kisebb valószínűséggel a tiltott átmenetek is gerjesztődnek, aminek valószínűségét megkapjuk, ha a fenti integrálban r helyett annak négyzetét tesszük. Ily módon lehetőség van rá, hogy az alapállapotból kiindulva a fotonok tetszőleges gerjesztett állapotba vigyék több lépcsőn keresztül az elektront.

Fölvetődik a kérdés, ha az l = 0 pályák esetén centrumon áthaladó oszcillációs mozgás van, akkor hogyan lehet az s pálya gömbszimmetrikus? A kérdés elvezet a kvantummechanika sajátos szemléletmódjához. Gömbszimmetrikus potenciáltérben nincs kitüntetett irány, ha viszont olyan kölcsönhatás jön létre az elektron és a környezete között, ahol már szerepet játszik valamilyen irány, akkor már az elektron mozgása nem írható le gömbszimmetrikus pályával. Egyenleteink valójában olyan állapotra vonatkoznak, amikor az elektron nincs kölcsönhatásban a megfigyelővel. Fölösleges viszont olyasmiről beszélni, ami nem figyelhető meg! A kvantummechanika ezt úgy veszi tudomásul, hogy az összes lehetséges oszcillációs irányt számításba veszi, és erre átlagol. Ezt fogalmazza meg a szuperpozíciós elv, amikor úgy építi fel az állapotfüggvényt, hogy valószínűségi amplitúdókkal szorozza és összeadja a lehetséges állapotokat.

A stacionárius állapotokat leíró hullámfüggvény nem tartalmaz időbeliséget, ennek ellenére nyerhetünk bizonyos információt a részecske sebességéről. Kötött állapotban az irányfüggő sebesség átlagértéke csak nulla lehet a centrumhoz kötött koordinátarendszerben, viszont a sebesség négyzetének átlaga már nem nulla és ez jelenik meg a kinetikus energiában. A kinetikus energia abszolút értékben egyezik a kötési energiával, ezért az alapállapotban használhatjuk az  E₁ = ½m.e⁴/ℏ² =  ½p²/m  összefüggést, amiből a sebesség abszolút értékének átlagára u = p/m = e²/ℏ értéket kapunk. Hasonlítsuk össze ezt az átlagsebességet a fénysebességgel:

u/c = e²/(ℏ.c) = α

Ez az arány a Sommerfeld féle finomszerkezeti állandó, értéke kerekítve 1/137, tehát egy kis szám, ennek köszönhető, hogy az elektronok mozgására jó közelítést ad a nem-relativisztikus Schrödinger egyenlet. A relativisztikus korrekciók mértékét a finomstruktúra állandó adja meg, amiért a vonalszerkezetben finom felhasadás jön létre. Innen származik az α konstans elnevezése is.

  Az elektronátmenetek kiválasztási szabályai

Az elektromágneses kölcsönhatás alapja a töltött részecskék képessége, hogy fotonokat bocsátanak ki, vagy abszorbeálnak, amikor energiájuk és mozgási állapotuk megváltozik. Ez a képesség arra vezethető vissza, hogy a királis kettős forgások elindíthatnak, vagy elnyelhetnek egy-tengelyű forgásokat. A forgás beindításához az energián kívül szükség van impulzusmomentumra is. Ennek egyik módja, hogy az atomok és molekulák elektronjai az egyik stacionárius állapotból átugranak egy másikba, miközben impulzusmomentumuk ћ értékkel változik, például az atomban egy gerjesztett p állapotú (L = 1) elektron átmegy egy s állapotba (L = 0). Hétköznapi életünkben ennek vagyunk a tanúi, amikor látjuk a fénnyel telített világot. Ezek az átmenetek a látható és az UV tartományba esnek.

A másik fontos sugárzási forrás a molekulák atomjainak vibrációs rezgése. Itt is a töltések a sugárzás kibocsátói, mert az elektronok eloszlása a molekulában nem egyenletes és így lokális dipólusok alakulnak ki. A lineáris (longitudinális), vagy síkban történő (tranzverzális) rezgés azonban nem rendelkezik impulzusmomentummal. Miért jön létre mégis elektromágneses sugárzás? Ennek magyarázatát a fotonok szuperpozíciója adja meg.  Két azonos frekvenciájú, ellentétesen polarizált foton létrehoz egy síkban polarizált állapotot, ahol a síkot a két foton fáziskülönbsége határozza meg. Amikor a vibráció az egyik állapotból a szomszédos állapotba ugrik, akkor olyan foton párt bocsát ki, melynek eredő impulzusmomentuma nulla. A vibrációs kvantumszám eggyel való megváltozása felel meg az elektron állapotváltozásánál megállapított ΔL = 1 kiválasztási szabálynak. A vibráció által kiváltott sugárzás az infravörös (IR) tartományba esik, és ez közvetíti a hőenergiát is.

Páratlan számú elektront tartalmazó molekulák nullától különböző S eredő spinnel rendelkeznek és alapállapotuk 2S+1-szeresen degenerált, például ha S = ½, akkor kétszeres a degeneráció foka. Ez a degeneráció bármilyen molekuláris szimmetria esetén fennáll, amit Kramers az időtükrözéssel szembeni szimmetriára vezetett vissza. A mágneses mező viszont megtöri az időtükrözés szimmetriáját, mert a köráramok forgásiránya határozza meg a kölcsönhatás előjelét. Ezért mágneses mezőben a degeneráció megszűnik, a felhasadt nívókhoz az S_z komponenshez tartozó M = ½ és -½ kvantumszámot rendelhetjük hozzá. A két állapot impulzusmomentumának térirányú komponense a ħ Planck állandóval különbözik, ami lehetővé teszi, hogy a g.μ__B.B = ℏ.ω rezonancia feltételnek megfelelő sugárzással átmenetet indukáljunk a két állapot között. Itt a g-érték a molekula elektron állapotától függ, ami megadja az elektron mágneses momentumát a μ_B Bohr magneton egységben. Ez az elektronspin-rezonancia (ESR) alapelve. Spinnel rendelkező atommagok esetén is hasonló rezonancia hozható létre (NMR vagy mag-mágnesesrezonancia). Az elektron mágneses momentuma három nagyságrenddel nagyobb a magokénál, ezért amíg az ESR tipikusan a mikrohullámú frekvencia tartományban, az NMR a rádióhullámú tartományban működik.

Az ESR kivételével a felsorolt példákban az elektron belső mozgási állapota változatlan marad, csak az elektromágneses mezőben való pályája változik meg. Az atommagokban és azok alkotórészeiben (nukleonok és kvarkok) vannak olyan állapotváltozások is, amikor a töltött részecskék belső mozgásának változása váltja ki az elektromágneses sugárzást, ehhez nagy energia tartozik, amit gammasugárzásnak nevezünk. Az említett folyamatok közös jellemzője, hogy a töltés, azaz a kettős forgás kiralitása nem változik meg a bomlás során. További példa nagy energiájú gammasugárzás keletkezésére, amikor részecskék és anti-részecskék ütközésekor annihiláció következik be. Ebben a folyamatban már az egyes részecskék töltése megszűnik, de a részecske pár eredő töltése továbbra is változatlan marad.

Összefoglaló gondolatok

Ebben az ötrészes bejegyzésben arra kerestük a választ, hogy mi az eredete a diszkrét energia nívók megjelenésének atomi rendszerekben. Külön vizsgáltuk a molekula vibrációkat atomok között és az elektronpályákat az atommag centrális erőterében. A klasszikus fizikai közelítés mindkét esetben folytonosan változó energiájú mozgásokra vezet, szemben a kísérleti tapasztalatokat jól leíró kvantummechanikával, ahol a kötött állapotok energiaszintjei ugrásszerűen változnak. A választ a fotonok kvantumos jellege adja meg, amelyek közvetítik az elektromágneses kölcsönhatást és rezonanciaszerű átmeneteket hoznak létre az oszcillátorok állapotában, illetve az elektronok impulzusmomentumát a Planck állandó mértékében változtathatják meg. A kvantumosság eredete ezért a fotonokhoz kapcsolódik, melyeknek impulzusát, impulzusmomentumát és energiáját a fénysebességű forgás hozza létre, amit viszont a térgeometria torzulása stabilizál az erős gravitáció révén.

Érdemes még rámutatni egy másik analógiára az oszcillátorok és a kötött pályán lévő elektronok között, amit úgy fogalmazhatunk meg, hogy a mikro-rendszerek nem lehetnek nyugalomban. Oszcillátoroknál ez a zéruspontrezgésben nyilvánul meg, elektronoknál pedig abban, hogy az elektron nem fogható be az atommagba. A jelenség a határozatlansági relációval magyarázható, hiszen mozdulatlan állapotban nulla lenne a pozíció és az impulzus is, ami ellentmond a bizonytalansági elvnek. Az oszcillátorok ekvidisztans energiaskálájának indulópontja a fél energiakvantum. Az atomi pályák kvantálási szabályát a pálya-impulzusmomentum határozza meg, ami alapállapotban nulla. Viszont az elektron rendelkezik ħ/2 spinnel, ezért itt is az alapállapothoz épp egy fél kvantum tartozik.

De minek köszönhető, hogy a kvantummechanika már magában foglalja azokat a törvényeket, amelyek végül is a fotonok tulajdonságaira épülnek? Ennek oka a fizikai operátorok megválasztása, amelyek mértékét a fotonok energiája, impulzusa és impulzusmomentuma határozza meg a ℏ Planck állandón keresztül.

A blog további begyzéseinek összefoglalóját lásd "Paradigmaváltás a fizikában"

Folytatás a III. rész után.

A teljes megoldást az aszimptotikus függvény és az x változó polinomjának szorzata adja meg. Az egyenletben szereplő ε = m.e².r₀/ℏ²  mennyiség olyan értékét keressük, amikor a  polinom szorzata az aszimptotikus függvénnyel reguláris (tehát véges értékű) megoldást ad . Az itt nem közölt számítások szerint a megoldás ε = n egészszám lesz, amely legalább eggyel nagyobb az l impulzusmomentum kvantumszámnál, azaz n ≧ l+1. Az n kvantumszám határozza meg a karakterisztikus sugarat  r₀ = a₀.n, ahol a₀ = ℏ²/(m.e²) az un. Bohr sugár, amit az energia kifejezésébe helyettesítve azonos eredményt kapunk, mint amit Bohr klasszikus úton levezetett.

A Schrödinger-egyenlet tehát azonos eredményre vezet, mint Bohr körpályás modellje, amikor az energiáról van szó, de alapvetően eltér az impulzusmomentum és az energia kapcsolata: ugyanakkora E_n energiához különböző nagyságú pálya-impulzusmomentumok tartozhatnak, melyek értéke mindig kisebb, mint n.ℏ  és a nulla is megengedett. Ez egyébként a kvantummechanikai megfelelője annak a klasszikus fizikai törvénynek, hogy centrális térben a bolygók különböző elliptikus pályákon mozoghatnak azonos energia esetén is. A Bohr modellben tiltott nulla impulzusmomentumú pályák fellépése azt jelenti, hogy az elektron áthaladhat az atommagon. Ez szintén megengedett bolygómozgás esetén, de ekkor a bolygó megsemmisül, szemben az elektronnal, amelyik nem lép olyan kölcsönhatásba az atommaggal, amely megakadályozná az elektron centrumon való áthaladását. Az elektron kinetikus energiájához ezért kétféle mozgás ad járulékot, az egyik a sugár koordináta (oszcilláció), a másik a szög koordináták terében (keringés) halad. Az n = 1 fő kvantumszámmal jellemzett pályán l = 0, tehát alapállapotban nincs is keringő mozgás, ekkor csak oszcillációs jellegű mozgásról beszélhetünk, azaz a pálya áthalad az atommagon. A kvantummechanika nyelvén ez azt jelenti, hogy az l = 0 állapotok (un. „s” pályák) sűrűsége nem nulla a centrumban.  Az ehhez tartozó energia E₁ = – ½m.e⁴/ℏ² =  – ½e²/a_₀ párhuzamba hozható az oszcillátorok zérusponti energiájával, de ennek értéke negatív szemben az oszcillátorok pozitív energiaskálájával. Ennek oka, hogy a molekulavibrációknál nem vettük figyelembe az atomok közötti negatív kötési energiát, és az energia nulla pontját a rezgésmentes állapothoz rögzítettük, ahol a potenciális energiának minimuma van. 

A klasszikus bolygómozgással szemben, ahol minden pillanatban meg tudjuk mondani a tartózkodási helyet, a sebességet és a gyorsulást, a kvantummechanika csak a tartózkodási valószínűséget valamint a sebesség és a gyorsulás várhatóértékét adja meg az állapotfüggvény segítségével. Az n és l  kvantumszámokhoz tartozó függvényeket a P^l_n(x) Laguerre polinomok építik fel. A hullámfüggvény alakja:

A Laguerre polinom foka n–l–1, amelynek maximális értéke n–1. Az origóban, azaz a mag helyén élesen elkülönül az l = 0 (ezeket hívjuk s pályáknak) és az l > 0 (p, d, f …) pályák térszerkezete. Az előbbi a magban nullától különböző sűrűséggel rendelkezik, mert a Laguerre polinom értéke nem nulla az origóban, míg az utóbbi esetben az r^l tényező miatt az állapotfüggvény itt zérus lesz. Ez megfelel az impulzusmomentum definíciójának, hiszen ha véges valószínűséggel tartózkodna az elektron a magban, akkor csak nulla lehetne az impulzusmomentum, míg ha van impulzusmomentum, akkor nem tartózkodhat az objektum a forgás középpontjában.  

Az n és l kvantumszámú „nl” pályák térbeli eloszlását a Laguerre polinomok határozzák meg. Az oszcilláció egy-dimenziós mozgásával ellentétben az elektron háromdimenziós térben mozog az atommag környezetében, ezért annak valószínűségét, hogy az s elektron a magtól valamilyen r távolságban tartózkodik, úgy számítjuk ki, hogy szorozzuk a valószínűségsűrűséget a gömb 4r².π felszínével. Az ennek megfelelő valószínűség eloszlást a mutatja az ábra:

Az 1s (piros), 2s (fekete) és 3s (kék) pályák valószínűség eloszlása Bohr sugár egységben 

Az 1s pálya (n = 1, l = 0) eloszlási valószínűségének egy maximuma van hasonlóan a harmonikus oszcilláció n = 0 alapállapotához, a maximumok száma tekintetében azonosság van a 2s pálya (n = 2, l = 0)  és az oszcilláció n = 2 módusa, illetve a 3s pálya (n = 3, l = 0) és az oszcilláció n = 4 módusa között. Szintén hasonlóság van a harmonikus oszcillációval abban a tekintetben, hogy ott is a külső módus amplitúdója a legnagyobb. Az  ábrán látható, hogy a külső módusok távolsága a fő kvantumszám négyzetével arányosan növekszik és egyre diffúzabbá válik. Ezek a tulajdonságok avval függnek össze, hogy a vonzóerő kis távolságokban veszi fel a nagyobb értéket és csökken az atommagtól távolodva. 

Az eloszlási maximumok száma a fő kvantumszámmal egyezik meg, a csomópontok száma (nulla helyeké) n – 1 lesz, a megtalálási valószínűség nulla a centrumban, és a több módusú eloszlásokban az elektron a külső tartományban tartózkodik a legnagyobb valószínűséggel. Nagy n kvantumszámoknál a belső módusok súlya erősen lecsökken, hasonlóan az oszcillációk esetével. A nullától különböző l értékkel rendelkező pályák közül az l = n–1 pálya radiális függvénye könnyen megadható, mert ekkor a Laguerre polinom nullafokú. Az állapotfüggvény:

A radiális függvény négyzete adja meg az elektron valószínűségsűrűségét egy adott távolságban, amit az n = 2, l = 1 (2p pálya), n = 3, l = 2 (3d pálya) és n = 4, l = 3 (4f pálya) esetén mutat meg a következő ábra

Az 2p (piros), 3d (fekete) és 4f (kék) pályák valószínűségsűrűsége Bohr sugár egységben

Folytatás az V. részben: : "Miért diszkrétek az energianívók kötött állapotban_V"

További bejegyzések összefoglalója: "Paradigmaváltás a fizikában"

Az atom klasszikus Bohr modellje

Az előző részben tettük fel a kérdést, hogy a kvantummechanikai oszcillátorok energiája miért rendelkezik diszkrét értékekkel. Mivel a diszkrét energiaértékek megjelenése a kvantummechanika általános tulajdonsága, ezért ezt célszerű megvizsgálni más kötött rendszereket is, amit e-helyen a centrális erőtérben mozgó elektron esetével illusztrálunk. Az oszcillátoroknál olyan mozgásokat vizsgáltunk, ahol az erőnek kitüntetett iránya van és az erő nagysága arányos a kitéréssel. Ebben a részben gömbszimmetrikus potenciáltérrel dolgozunk, amelyik éppen fordítva változik a távolsággal: az erő nagysága a távolság négyzetével csökken

F = – k/r², ekkor a potenciál V = –k/r

 Ilyen típusú erő a gravitáció, ahol az erőállandó k = γ.m.M (itt γ a gravitációs állandó, m és M a két tömeg) és a Coulomb-kölcsönhatás, ahol k = q.Q  (itt q és Q  az elektromos töltés). Azt az esetet vizsgáljuk, amikor a kölcsönható objektumok egyikének tömege sokkal nagyobb, mint a másiké. Ez felel meg a Nap körül keringő bolygók esetének, illetve az elektronok mozgásának az atommag körül. A klasszikus fizikában a Newton-egyenletből indulunk ki:

Itt az r(t) vektor mutatja a kis tömegű objektum pillanatnyi pozícióját a mozdulatlannak feltételezett nagy tömegű objektumhoz képest és r az r vektor hosszúsága. Az egyenlet általános megoldása ellipszis pályákat eredményez, ennek speciális esetét vizsgáljuk, amikor a pálya szabályos kör. Ekkor a gyorsulás d²r/dt² = –ω².r, a kerületi sebesség dr/dt = ω.r lesz, ahol ω  a forgás körfrekvenciája. Ily módon jutunk el Kepler második törvényéhez

m.ω².r = k/r² azaz ω²r³ = k/M = konstans

Az egyenlet annyiban emlékeztet a rezgőmozgás esetére, hogy ebben az esetben is a frekvencia négyzete arányos az erőállandó és a tömeg hányadosával, de szemben az oszcillációval, ahol nem függött a frekvencia a rezgési amplitúdótól, itt a keringési sugár növekedése csökkenti a frekvenciát. A körmozgás sajátossága, hogy egyaránt állandó a kinetikus energia és a potenciális energia, szemben az oszcillációval, ahol az energia megmaradás azáltal valósul meg, hogy a kinetikus és potenciális energia egymásba alakul át a mozgás során. Körmozgásnál a teljes energia a potenciális energia fele és abszolút értékben megegyezik a kinetikus energiával:

E = – ½m. ω².r2  =  – ½γ.m.M/r

Az energiát kifejezhetjük az L = m.ω.r²  impulzusmomentum segítségével is, amit átrendezve ω.r = k/L  és így

E = – ½m.k²/L²

Centrális erőtérben a körforgást végző objektum energiája az impulzusmomentum négyzetével fordítottan arányos. A klasszikus fizika felfogása szerint az impulzusmomentum folytonosan változtatható, ennek megfelelően változik az energia és a sugár is. Ezzel szemben centrális erőtérben mozgó elektronok energiája kvantumokban változik, mert az állapotok közötti átmenetet fotonok hozzák létre és ennek során ℏ impulzusmomentum átadására kerül sor, ez okozza, hogy az elektron pálya-impulzusmomentuma csak ℏ egész számú többszöröse lehet. Ezt fejezi ki a Bohr által megállapított kvantumfeltétel, mely szerint stacionárius állapotban L = n. ℏ, ahol n egész szám. Ezt behelyettesítve a hidrogénatom energia kifejezésébe kapjuk, hogy

E_n = – ½m.e⁴/(n.ℏ)²

Itt az erőállandó k = e², mert a proton és elektron egyaránt az e elemi töltéssel rendelkezik. Az n → n+1 kvantumátmenethez tartozó fotonok frekvenciája

ω(n+1→n) = (E_n+1 – E_n)/ ℏ

pontosan megfelel a hidrogénatom színképében megfigyelt vonalaknak. Felfogásunk szerint a korábban tárgyalt oszcillátorokhoz hasonlóan az elektron energiaállapotai is azért diszkrétek, mert a fotonok csak jól meghatározott energiakülönbségeket tudnak gerjeszteni. Egy hasonlattal élve: ha egy hordót feltöltünk vízzel, akkor a víz felső szintje tetszőleges lehet. De ha mindig tele vödörrel adagoljuk a vizet, akkor csak diszkrét szintmagasságok jönnek létre. Oszcillátorokban azért csak diszkrét energiájú fotonok változtatják meg az energiát, mert az átmenetek rezonanciaszerűen mennek végbe a rezgés sajátfrekvenciáján, a foton frekvenciája pedig meghatározza az energiáját, ugyanakkor a centrális térben mozgó elektronoknál a kölcsönható foton ℏ impulzusmomentuma választja ki azokat az energianívókat, amelyek között átmenet indukálható. Az adagokban érkező, vagy elvitt impulzusmomentum viszont kijelöli azokat az energiaszinteket, amit az atommag körül mozgó elektron felvehet.

Szemléltessük egy hasonlattal, hogyan is megy végbe a folyamat. Képzeljük el, hogy űrhajóval közeledünk egy bolygóhoz és keresünk egy keringési pályát. Ennek érdekében egymásután rakétákat lövünk ki, amelyik fokozatosan változtatja meg az űrhajó pályáját. Ehhez hasonlíthatjuk a proton felé közeledő elektron esetét. A töltések közötti vonzóerő hatására megváltozik az elektron sebessége, a sebesség változása viszont elektromágneses sugárzás, azaz foton kibocsátással jár együtt. De bármekkora is legyen a foton energiája, minden egyes foton elvisz, vagy hoz ħ egységnyi impulzusmomentumot, emiatt a gyorsulás, vagy lassulást nem folytonosan, hanem kvantumokban történik, hasonlóan az űrhajóhoz, ahol a rakéták révén szakaszosan történik a pályamódosítás. Amikor végül az elektron kötött állapotba kerül, impulzusmomentuma csak ħ egészszámú többszöröse lehet.

A kötött elektron és a fotonok külön-külön folytonosan változó energiaszintekkel rendelkeznek, de a foton abszorpció és emisszió kiválasztási szabályai miatt már csak diszkrét értékekkel változhat meg az elektronok energiája. Tehát diszkrét vonalak megjelenése az atomok és molekulák spektrumában azt mutatja, hogy a vizsgált rendszer valamilyen kiválasztási szabály szerint változtatja meg az energiáját a fotonokkal való kölcsönhatás során. Nem minden esetben van azonban ilyen határozott kiválasztási szabály, példa rá a nem kötött állapotban lévő elektronok mozgása. Ebben az esetben már a kvantummechanika formalizmus is folytonosan változó energiaállapotokat ad meg. A kvantummechanika eredeti megfogalmazása csak az atomi rendszerek, mindenekelőtt az elektron energia operátorát veszi figyelembe a fotonokkal való kölcsönhatás nélkül, de így is kitűnő leírást ad az energia átmenetek törvényeiről. Ez arra utal, hogy a Planck állandóval „skálázott” operátor formalizmus összhangban van a fotonok és az elektronok kölcsönhatási mechanizmusával. Ugyanakkor az eljárás korlátait mutatja, hogy még relativisztikus kiterjesztés esetén (Dirac egyenlet) sem tud számot adni bizonyos jelenségekről, így például az elektron anomális mágneses momentumáról. Erre csak a kvantumelektrodinamika képes a második kvantálás bevezetésével, amikor a fotonok és elektronok kölcsönhatását egységes keretek között tárgyalja az elmélet. 

Bohr, amikor kimondta az impulzusmomentumra vonatkozó kvantumfeltételt, a jelenség lényegi vonatkozását találta meg. Ennek köszönhető, hogy sikeresen lehetett értelmezni a hidrogénatom színképét. Az elv azonban már nem bizonyult elegendőnek olyan atomok esetén, ahol nem csak egyetlen elektron kering a mag körül. A kvantummechanika oldaláról tekintve tulajdonképp az a meglepő, hogy a hidrogén atom esetén olyan sikeres volt a modell. A modell alapvető korlátja, hogy körpályán helyezi el az elektronokat, noha ez csak egy rendkívül speciális esete a mozgásnak, hiszen a bolygók is elliptikus pályán keringenek, ahol a körpályától való eltérést az excentricitás (a két tengely aránya) jellemzi. Pontos körpálya akkor alakul ki, ha az indító impulzus éppen merőleges a sugárirányra, de amikor ez a feltétel nem teljesül már ellipszis pálya jön létre. Az elliptikus pálya másik határesete, amikor az impulzus párhuzamos a kitéréssel, voltaképp ez már rezgő mozgás, amivel az oszcillátoroknál foglalkoztunk. Bolygómozgásnál azért nem jön létre oszcilláció, mert ekkor a bolygó már beleesik a napba és megsemmisül. Mi az eset az elektronokkal, azt várnánk, hogy megsemmisülnek, ha az atommaggal ütköznek, hiszen pontszerű objektumokat feltételezve ekkor végtelen nagy vonzóerő egyesítené az atommagot és az elektront. A körpályára alapított modellben ez a probléma nem merül fel, mert ha az impulzusmomentum nem nulla, akkor a kör sugara véges, tehát véges marad a potenciális energia is. A véges impulzusmomentum a Bohr modellben azt jelenti, hogy a kvantumszám legkisebb értéke egy és nem pedig nulla. Ha ugyanis n = 0 lenne, akkor az energia végtelen negatív értéket venne fel. A Bohr modellnek az a megkötése, hogy a n kvantumszám egyúttal meghatározza az elektron n.ℏ impulzusmomentumát is, már nem bizonyult helytállónak. A kvantumelmélet szerint az n kvantumszámú állapotban a maximális impulzusmomentum (n–1).ℏ, így például, amikor n = 1, csak nulla lehet az impulzusmomentum! Az elektron azonban ekkor sem egyesül a maggal, ennek magyarázatát bizonytalansági elv adja meg, amely szerint a magban tartózkodó elektron rögzített pozíciója miatt az impulzus és emiatt a kinetikus energia ingadozása végtelenül nagy lenne.

Az elektron kvantummechanikai modellje atomokban

Az elektron mozgásának kvantummechanikai leírását a Schrödinger  egyenlettel adjuk meg. Ekkor az állapotfüggvény változása mindhárom térkoordinátára kiterjed:

A centrális V(r) potenciál az atommag és az elektron Coulomb vonzását írja le. A differenciálegyenlet megoldására standard eljárásokat dolgoztak ki, amelynek sarokpontjait ismertetjük a módszer illusztrálása érdekében.

A V(r) potenciál nem függ az iránytól, ezért a hullámfüggvény a sugár és a polárszögek szerint szorzatalakban állítható elő: ψ(r) = F(r).Y(θ,ϕ). A derékszögű koordinátákról áttérünk a polárkoordinátákra:

x = r.sinθ.cosϕ, y = r.sinθ.sinϕ, z = r.cosθ

Ekkor a kinetikus energia felbontható két részre, az első az r sugártól, a második az iránytól függ és kifejezhető az impulzusmomentum négyzetével:

Az L impulzusmomentum operátora az r vektor és az p impulzus operátorának vektoriális szorzata, sajátfüggvénye az Y_l,m(θ,ϕ) gömbfüggvény, ami az L operátor l(l+1) és az L_z operátor m = –l, –l+1, … l sajátértékéhez tartozik. Az állapotfüggvényt felírva a sugártól függő F(r) és a gömbfüggvény szorzataként kapunk egy kizárólag az r sugártól függő differenciálegyenletet:

A differenciálegyenletből kiküszöbölhetjük az első rendű differenciált, ha F_l(r) = R_l(r)/r alakú függvényt keresünk, ekkor átrendezés után:

Hidrogénatomban V(r) = –e²/r. A szokásos módon ismét először az aszimptotikus megoldást keressük, amit majd egy véges rendű polinommal szorzunk meg. Nagy r értékeknél mind a potenciális energia, mind az impulzusmomentumtól származó kinetikus energia kis értéket vesz fel, ezért az R függvény aszimptotikus lefutásánál az egyenlet egyszerűsödik:

Csak olyan megoldást keresünk, amikor az elektron kötött állapotban van, tehát negatív az energiája, ekkor a reguláris aszimptotikus függvény:

Itt r₀ definíciója

Mivel negatív energiájú megoldásokat keresünk így E = –ℏ²/(2m.r²₀). Vezessük be dimenziómentes változót, azaz:

ξ = 2r/r₀::

Folytatás a IV. részben:  "Miért diszkrétek az energianívók kötött állapotban_IV"

További bejegyzések összefoglalója: "Paradigmaváltás a fizikában"