A kettősforgás csavarmozgása ez egységsugarú gömb felületén meg végbe, ekkor a kiválasztott z tengely körüli forgás során maga a z tengely is forog. Ennek leírására használjuk a koordináta rendszerek forgatását leíró Euler-mátrixot. A szokásos definíció szerint először α szöggel forgatunk a z tengely körül, majd β szöggel az új x’ tengely körül, végül a megváltozott z’ körüli γ szögű forgatás fejezi be a koordináta transzformációt. A kéttengelyű forgatás esetén az α szögű forgatást elhagyjuk és kiindulunk az egységsugarú gömb (1,0,0) pontjából. Úgy érhetjük el, hogy a forgatások során mindhárom koordináta befussa a teljes    (-1,+1) intervallumot, ha a γ szögű elfordulást β felének vesszük. A két fázis definíciója ennek megfelelően

α = 0, β = ω.t, γ = ω.t/2

Az Euler-mátrix (1,0,0) vektorral való szorzata adja meg az x,y,z koordináták pillanatnyi értékét:

x(ω.t) = cos(ω.t).cos(ω.t/2)

y(ω.t) = –cos(ω.t).sin(ω.t/2)

z(ω.t) = sin(ω.t)

A fenti összefüggések szerint a spirálmozgás ismétlődik 720 fokonként, azaz 4π a periódus hossz. A következő ábrán ábrázoljuk a gömbi csavarmozgás vetületeit felülről (xy vetület) és oldalról (xz és yz vetületek).

     xy felülnézet, folytonos vonal a felső, pontozott vonal az alsó részt mutatja, körüljárási irány: ABCDA

 xz elölnézet, folytonos vonal az elülső, pontozott vonal a hátulsó részt mutatja, körüljárási irány: ABCDBCA, Az yz oldalnézet ehhez hasonló, amit mellette mutatunk be :

A csavarmozgás az üres nyíl által mutatott pontból indul, ennek során váltakozva halad a vízszintes és függőleges lebenyekben (xy vetület), illetve a külső és belső pályákon (xz és yz vetületek). Az (1,0,0) pont választása tetszőleges. A kvantummechanikai szuperpozíciós szabály szerint ez azt jelenti, hogy a fermion sajátmozgását a gömb összes pontjából kiinduló pályák összege adja meg, ami ezért gömbszimmetriával rendelkezik.

Szembetűnő a hasonlóság a csavarmozgás vetületi képei és a gömbszimmetrikus potenciáltérben mozgó elektron pályái között, a felülnézeti vetület az l = 2 impulzusmomentumú d pályára, míg az oldalnézetek az l = 0 és 1 kvantumszámnak megfelelő s és p pályák kombinációjának felelnek meg. A hasonlóság a gömbszimmetriából fakad, de amíg az s, p és d pályák a gömb centrumán áthaladó mozgásformák, addig a kettős csavarforgás pályái a gömb felületén haladnak és így nem mennek át a centrumon.

A blog további begyzéseinek összefoglalóját lásd "Paradigmaváltás a fizikában"