Áthidalható-e a szakadék a józanész és a modern fizika között?

A XX. század második felének talán legjelentősebb fizikusa, Richard Feynman írta nevezetes könyvében (QED. The strange theory of light and matter), hogy az elektromágnesesség közvetítője, a foton olyan tulajdonságokkal rendelkezik, amelynek megértése a klasszikus fizika alapján nem lehetséges. Itt olyan tulajdonságokra kell gondolni, hogy a foton mozgása során úgy „tapogatja” le a pályáját, hogy kipróbál minden utat és egyes lépesekben gyorsabb, mint a fénysebesség, sőt időben visszafelé is haladhat, bizonyos átalakulások – például a párképződés –  előbb fejti ki hatását, mint amikor létrejön. Ez nemcsak a relativitáselméletnek mond ellent, hanem a józanésznek is. Írjuk hát le a józanészt és elégedjünk meg annyival, hogy matematikai formuláink jól írják le megfigyeléseinket és ne próbáljunk meg hidat teremteni a józanész és a mikrovilág jelenségei között? Jelenleg ez az általános felfogás a fizikában, de vizsgáljuk meg annak okát, hogy miért viselkedik ilyen különlegesen a fény, amikor kölcsönhatásba kerül az anyaggal.

Mindennapi fogalmaink eredete

Honnan származnak fogalmaink a mindennapokban térről, időről és mozgásról? Legfőbb információforrásunk a fény. Minden időpillanatban óriási számban érkeznek szemünkbe a fotonok, ahol az irányuktól és színüktől függően más-más ponton hoznak létre elektronokat a retinán, melyek külön idegpályákon jutnak el az agyba, amely feldogozza a rengeteg információt összehasonlítva a különböző irányokat, távolságokat, megkülönböztetve a színeket és intenzitásokat alakítja ki azt a képet, amit látunk. Ennek ideje bámulatosan rövid, alig egy tizedmásodperc. Tér és időképzetünk alapja az összehasonlítás, összevetjük, hogy mi van közel és távol, melyik tárgy kicsi és melyik nagy, elrendezzük a tárgyakat irányok szerint, az eseményeket is sorba rakjuk: mi volt előbb és mi volt utóbb.

A józanész paradigmaváltása

A józanész fogalomrendszere is változik, ebben nagy szerepe van, hogy műszereinkkel kitágítjuk látóhatárunkat.  Hosszú ideig gondoltuk úgy, hogy a Föld lapos és körülötte keringenek a Nap, a Hold és a csillagok. Később felismertük, hogy a Föld véges és körül hajózható, távcsöveink megmutatták, hogy milyen óriási az Univerzum a Földhöz képest, emiatt gondolkozásunknak is váltani kellett, bekövetkezett a kopernikuszi fordulat, és ma már a józanész számára természetes, hogy a Földet nem a világ közepének, hanem a Nap körül keringő bolygónak tekintjük.  A műszerek fejlődése tette lehetővé, hogy megismerjük az elektromágnesesség törvényeit. A műszerek a XX. század előtt nem jutottak el addig a határig, hogy láthatóvá tegyék az atomok és molekulák világát, ezért a folytonosság fogalma gyökeresedett meg tudatunkban. Erre alapozta a matematika is a differenciálás és integrálás szabályait, és ez jelent meg a fizika egyenleteiben, legyen szó akár a mechanikáról, a termodinamikáról, vagy az elektromágnesesség alapegyenleteiről. A folytonosság jegyében képzeltük el a bolygók mozgásait is. Ha ugyan a józanészhez nem is jutottak el feltétlenül a fizika egyes törvényei, de konfliktus nem alakult ki a fizikai megismerés és a józanész között. A fizikusok is ugyanazt a tér és idő fogalmat használták, ami a mindennapok gondolkozásával megegyezett.

A józanész konfliktusa a modern fizikával

Meglepetést ugyan okozott, de nem okozott törést a gondolkozásban az atom fogalmának kialakulása, sőt még a fény legkisebb egységének a fotonnak feltételezése sem, mert ettől még nem csorbult a mozgás folytonosságának koncepciója. Az igazi törést Bohr atommodellje okozta, aki a pozitív atommag körül a negatív töltésű elektronok mozgását a bolygómozgáshoz hasonlította, ahol a vonzó erőt nem a gravitáció, hanem az elektromos vonzás biztosítja. A meghökkentő az volt, hogy a körpályán keringő elektronnak folytonosan sugározni kellene az elektromágnesesség törvényei szerint. Ehelyett csak ugrásokra kerül sor az elektronpályák között, amelyek diszkrét vonalakat hoznak létre a fény spektrumában. Ezek az ugrások a fény kvantumának, a fotonnak létrehozói. A józanésszel harmóniában lévő fizikusi gondolkozásban az jelentett törést, hogy az energia változása a pályák között ugrásszerűen és nem folytonosan megy végbe. Az egyes pályákon mozgó elektronokat nem is láthatjuk, mert onnan nem lépnek ki fotonok. Olyan elmélet kellett, amelyik az ugrások alapján ad információt, hogy milyen állapotok között jön létre az átmenet. Más szóval a pályákról nem is tudunk közvetlenül semmit, ameddig ugrásra nem kerül sor. Emiatt az elektronpálya alapvetően eltér a klasszikus pályától, amelyben – legalábbis elvben – minden pillanatban tudjuk, hogy épp hol van a vizsgált fizikai objektum. Ezért olyan fizikai elmélet kell, amely az ugrásokból – azaz a változásból – kiindulva magyarázza a változatlan állapotot. Ez új megfogalmazást kívánt az energiára számára is. A klasszikus elméletben azt mondtuk az energiáról, hogy a mozgás során megmarad, de az új elméletben megfordul a logika: úgy definiáljuk az energiát, amely az idő függvényében nem változtatja meg a részecske állapotát, azaz a pályát. Ehhez társul az impulzus fogalma, amely a hely függvényében nem hoz létre változást. Ez matematikailag azt jelenti, hogy az energiához az idő-szerinti, az impulzushoz a tér koordináták szerinti differenciálhányadost kell rendelni, amit a matematika operátornak tekint. Az új felfogás a fotonok energiáját, impulzusát és impulzusmomentumát veszi alapul, ami a ℏ Planck állandóval arányos, és emiatt a deriváltakat is evvel kell megszorozni (lásd „Út a kvantummechanika megértéséhez”.  De mi az, amit az energia nem változtat meg, amit tehát a részecskék állapotának, vagy pályájának tekintünk? Ezt nevezi a kvantummechanika állapotfüggvénynek. Ha az energia operátora nem változtatja meg a pályát, akkor az állapotfüggvény alakja az idő-szerinti deriváláskor nem változik meg csak szorzódik egy konstans mennyiséggel. Ez a konstans lesz, amely megadja az energia mért értékét a vizsgált mikro-állapotban.

Pálya időfüggés nélkül

Nagyon különös ez a pálya, amit a kvantummechanika stacionárius állapotnak nevez, mert nincs benne időfüggés. Beszélhetünk-e egyáltalán mozgásról az atomban kötött elektronoknál? A klasszikus értelemben nem, mert nem a mikor és hol kérdésére válaszolunk, hanem a hol és mekkora valószínűség kérdése jön elő. Az állapotfüggvény ugyanis megmondja nekünk, hogy az elektron az atomban bizonyos pozícióban mekkora valószínűséggel tartózkodik. Mondhatjuk úgy is, hogy az elektron már nem a tér és idő, hanem a tér és valószínűség dimenziójában „mozog”! Ez a felfogás már gyökeresen különbözik attól, amit a józanész fel tud fogni. Ráadásul aláássa determinizmusba vetett hitünket is. Vajon az elektron sorsát a véletlen szabja meg, vagy csak nem ismerjük azt az okot, amiért az elektron egyszer csak elhatározza magát, hogy átugrik egy másik pályára foton kibocsátás közben? Ez a kérdés végighúzódik a modern fizikában egészen napjainkig, amit EPR paradoxonnak nevez az irodalom Einstein, Podolski és Rosen felvetése nyomán. A szerzők véleménye szerint a kvantummechanika nem teljes, ki kell bővíteni egy „rejtett” paraméterrel, amely megmondja, hogy mikor ugrik az elektron az egyik állapotból a másikba, vagy konkrét értéket ad az előzetesen valószínűség eloszlással jellemzett fizikai mennyiségnek. Einstein és szerzőtársai szerint a valószínűség megjelenése a mikrovilágban csupán onnan származik, hogy előttünk ez a paraméter rejtve van.

A rejtett paraméter koncepció cáfolata

A rejtett paraméter létezését többen cáfolni próbálták, legmesszebbre Bell jutott. Ő két egyidejűleg kibocsátott elektronpár polarizációját (mágneses mezőben való két lehetséges beállását) vizsgálta és felvetette, hogy különböző mérési elrendezéseket kombinálva mekkora valószínűséget kapunk egy adott polarizációs irány bekövetkezésére, ha összehasonlítunk két elvet. (A későbbiek miatt megjegyezzük, hogy hasonló kísérleteket végezhetünk fotonokkal is.)  Az egyik elv a szokásos kvantummechanika, a másik, amikor egy rejtett paraméter határozza meg a mérés kimenetelét.  Bell számításai szerint a két koncepció eltérő eredményre vezet, amiből levonta a következtetést, hogy a rejtett paraméter nem illeszthető be a kvantummechanikába. Gondolatmenete a hagyományos „józanész” és a kvantummechanika irányfogalmának ütközését tükrözi. Abból indult ki ugyanis Bell, ha a mérés pillanatában a rejtett paraméter határozta meg a polarizációs irányt, akkor a mérés előtti állapotban – ahol még nem tudjuk, hogy milyen irányú volt a polarizáció – szintén determinálva van a polarizációs irány a rejtett paraméter által. A szokásos irányfogalomnak ez a feltevés tökéletesen megfelel. A kérdés buktatója, hogy tényleg jogos ez a feltevés? A mérés eredményeként már indokolt arról beszélni, hogy meghatároztuk a polarizációs irányt. Miért? Mert látjuk a berendezést, amelyben a mágnesek síkja kijelöli az irányt és evvel vetjük össze a vizsgált elektron polarizációját. Itt a hangsúly azon van. hogy LÁTJUK a berendezést, tehát felhasználjuk azt a hatalmas információmennyiséget, ami a berendezésből a szemünkbe jut. De van-e értelme az iránynak az elektronpár elindításakor? Ekkor még nem kerül összehasonlításra az elektron polarizációja a felhasznált berendezés által kijelölt síkkal, ekkor még csak képzeletünkben jelenik meg a vonatkoztatási irány.  Ennek alapja, hogy él bennünk egy kép, amely az irány fogalmát mindenhova kiterjeszti, és természetesnek vesszük az irány objektív létezését, hiszen bárhová nézünk, onnan rengeteg foton jut a szemünkbe. Így működik a józanész és ennek felel meg Bell induló hipotézise is!

A cáfolat cáfolata

Aspect, francia fizikus azonban elvégzett egy kísérletet, amely nem volt összeegyeztethető Bell magyarázatával. Elindított két fotont, amelynek polarizációját a forrástól két azonos távolságú, de ellentétes irányú berendezéssel határozta meg. Határozott korrelációt talált: ha az egyik foton polarizációja felfelé mutatott, akkor a másik az esetek többségében lefelé irányult. Itt tudnunk kell, hogy a megmaradási törvény miatt a két képződő foton polarizációja ellentétes. Ha most létezik egy rejtett paraméter, amelyik determinálja a polarizációs irányt, akkor természetes, hogy a két foton polarizációs iránya a méréskor is ellentétes marad. Ha viszont nincs ilyen rejtett paraméter, akkor a kvantummechanikai véletlen mondja meg, hogy a két mérés milyen eredményre vezet, tehát nem várnánk korrelációt.  Felvetődik a kérdés, hogy baj van-e a kvantummechanikával, amely pedig olyan kitűnő magyarázatot ad a mikrovilág jelenségeire, vagy Bell okoskodása téves? A jelenleg elfogadott álláspont szerint egyikről sincs szó! Ennek alapján vetették fel az összefonódott állapotok koncepcióját. Azt tételezik fel, hogy a két foton a szétválás után is kapcsolatban marad, és amikor az egyik foton polarizációja a mérés miatt „fel” állapotba kerül, akkor ez a másikat átviszi a „le” állapotba. Ezt nevezik nem lokális kölcsönhatásnak. Erre a magyarázatra alapítják a kvantum teleportálás jelenségét (lásd: „Hogyan hozhatunk létre teleportálást a kvantummechanika szerint”). A teleportálás alatt azt értik, hogyha létrehozunk egy összefonódott kvantumállapotot, akkor az egyik helyen elvégzett állapotváltozás azonnal kivált a másik helyen egy tükörfolyamatot.

A józanész konfliktusa

A fenti gondolatmenet tanulsága, hogy a józanészre alapozott irányfogalom megtartása miatt az elmélet épp a józanésszel szemben álló koncepcióhoz vezet. Nem könnyebb ennél elfogadni, hogy az irány fogalma a valódi megfigyelésekre korlátozódik és nem használható, amikor az irányt csak elképzeljük? Persze a teleportálás gondolata olyan csábító, hogy nehéz lemondani róla!

Van-e akkor szükség a rejtett paraméterre, hogy magyarázzuk Aspect kísérletét? Van is, meg nincs is. A kvantummechanika a hullámtermészet matematikája, amelyben szervesen ott van a hullám fázisának fogalma. Ez a fázis ismeretlen a mérés előtt, de kulcsszerepe van az interferencia létrejöttében és a polarizáció meghatározásában. Ezt a fázist, amely „körbejár” a két foton haladása során, nem ismerjük ugyan a képződéskor, azaz értéke rejtve marad előttünk, azt viszont tudjuk, hogy kezdetben épp ellentétes a fázis és az is marad a későbbiek során. Ez magyarázza a korrelációt. De ez a fázis nem kiegészíti a kvantummechanikát, ahogy azt az EPR paradoxon feltételezte, hanem annak természetes tartozéka.

A fény különleges természete

De térjünk vissza az eredeti kérdéshez, hogyan magyarázhatjuk a fény különleges viselkedését?  Képzeljük magunkat egy foton helyébe, amelyik létrejön az elektron ugrása során két állapot között. Mit „tudhat” ez a foton a világról, amíg nem kerül kölcsönhatásba az anyaggal? Vagy megfordítva a kérdést, mit tudhatunk mi a fotonról, amelyik éppen létrejött, de még nem került kölcsönhatásba semmivel? Összehasonlítás hiányában beszélhetünk-e arról, hogy a foton éppen merre halad? Még cifrább a helyzet, amikor a kvantumelektrodinamika által feltételezett virtuális fotonokra gondolunk. Itt a virtualitás alatt azt érti az elmélet, hogy ezek a fotonok nem figyelhetők meg általunk, de erre a feltételezésre alapozva rendkívül pontosan írhatjuk le az elektron mágneses tulajdonságait. E-nélkül még az elektron relativisztikus elmélete is csak közelítő magyarázatot tud adni az elektron energiájára mágneses mezőben.

A gömbhullám hipotézis eredete

Ha képesek vagyunk megszabadulni a mindennapok tapasztalataira alapozott térfogalomtól, akkor közelebb juthatunk a foton mozgásának megértéséhez. Huygens érdeme, hogy magyarázatot adott a fény gömbhullámokban való terjedésére. A gömbhullám úgy jön létre, hogy annak minden egyes pontja gömbhullámot indít meg. Mi ennek az oka? Mivel a foton „nem lát” irányokat, így számára minden irány egyenrangú. Ezt úgy fogjuk fel, hogy a foton minden pillanatban mindenfelé azonos valószínűséggel halad, és emiatt indul el egy újabb gömbhullám minden egyes pontból, ahova a fény már eljutott. Ezeknek a gömböknek határfelülete hozza létre azt az eredő gömböt, melynek felületén a foton kölcsönhatásba kerülhet az anyaggal. Feynman már említett könyvében szemléletesen magyarázza körbeforgó nyilak segítségével az egyes gömbhullámok összegződési szabályát. Ezek a nyilak felelnek meg a fázis változásának, de mi sohasem az egyes nyilak hatását figyeljük meg, hanem a számtalan nyíl eredője határozza meg a kölcsönhatást. Ott ahol a nyilak összegződnek kölcsönhatásba lép a fény, de azokban a pozíciókban, ahol a nyilak összege nulla, már nem hagy nyomot. Így egyeztethető össze a gömbhullámban való terjedés koncepciója a fény egyenes vonalú terjedésével, de így érthetjük meg a fényszóródás okát is. Erre példa, ha a forró nyári nap elől egy fa árnyékába állunk, miért nem lesz ott koromsötét. Ennek oka, hogy a fa mellett elhaladó gömbhullámok szórt fénye besüt a lombkorona alá is. Pedig, ha a foton apró száguldó részecske lenne, az árnyékban teljes sötétség borulna ránk.

A matematika és a fizika határterületén

Alapszabály a fizikában, hogy különbséget tegyünk az elemi objektumok két állapota között, az egyik, amely még nincs kölcsönhatásban a környezettel, a másik, amikor a kölcsönhatás létrejön. Az utóbbi eset szabályait a fizika mondja meg, az előbbit a választott matematikai modell. A ténylegesen megfigyelt hatás engedelmeskedik az oksági elvnek és nem enged meg olyan kölcsönhatást, amely gyorsabban terjed, mint a fény. A választott modell lépéseiben a matematikai szabályokat kell követni, de amikor eljutunk a tényleges kölcsönhatásig, akkor „kiesnek” a fiktív, fizikai képünkkel ellentétes elemek. Ha ezt a kettősséget megszokjuk, akkor feloldhatjuk a kvantummechanika paradoxonjait és megtalálhatjuk a hidat a józanész és a modern fizika között.

A blog további írásainak összefoglalását a linkekkel megtaláljuk a „Paradigmaváltás a fizikában” című írásban.

Az ősrobbanás elméletek máig vitatott kérdése, hogyan jöhetett létre az Univerzumban az anyag dominanciája az antianyag felett. Természetesen az is megkérdezhető, hogy bizonyított-e az anyag fölénye. Nem lehet, hogy a tőlünk távoli galaktikákban fordított a helyzet és azokban az általunk antianyagnak nevezett részecskék világa uralkodik? Ez azonban nagy valószínűséggel kizárható, mert a galaktikák helyzete egymáshoz képest is változik és sok csillagászati megfigyelés tanúskodik a galaktikák ütközéséről. Ilyen a Tejútrendszerünkkel is meg fog történni egykor, amikor a közeledő Androméda köd eléri csillagrendszerünk külső határait. Ha viszont anyag és antianyag találkozik, akkor megsemmisítik egymást és beláthatatlanul sok energia szabadul fel az ilyen ütközések során. Bár sok megfigyelés mutat galaktikák közötti ütközésre, de ezek nem játnak akkora sugárkitörésekkel, amelyek sokszorosan meghaladnák a szupernóva robbanásokét.

Honnan ered a természet aszimmetriája?

A kérdés úgy is felvethető, hogy miért létezik a természet aszimmetriája, amely a részecskék és antirészecskék kettős világában jelentkezik, hiszen minden részecskének létezik antirészecske párja, az elektron esetén ez a pozitron, a proton esetén az antiproton, és ezekben a párokban az elektromos töltés előjele éppen fordított. De szintén van antirészecske párja a töltéssel nem rendelkező neutronnak is, ezt hívjuk antineutronnal. A töltés hiánya a neutron összetett szerkezetével van kapcsolatban, amelyet három kvark hoz létre, a +2/3e töltésű up kvark töltését két -1/3e töltésű down kvark töltése kompenzálja, míg az antineutront antikvarkok építik fel, melyekben a töltések előjele épp fordított. Létezik semleges töltésű valóban eleminek tekintett részecske is, ilyen a neutrínó, ahol azonban máig vitatott, hogy meg kell-e különböztetni részecske és antirészecske típusú neutrínókat, vagy a neutrínó önmaga antirészecskéjének tekintendő-e.

Annihiláció és párképződés

Amikor a részecske találkozik antirészecske párjával, akkor az ütközéskor bekövetkezik az annihiláció gamma sugárzás kibocsátásával együtt. A folyamat megfordítható, mert a gamma sugarak, ha elég nagy az energiájuk ütközéskor részecske párokat hozhatnak létre: létrejöhet egy elektron-pozitron pár, amikor a sugárzás energiája meghaladja az 1 MeV értéket, de proton antiproton pár is, amikor ehhez elegendő a sugárzás energiája (legalább 2 GeV). Olyan folyamatot azonban nem lehetett megfigyelni, amikor a sugárzás hatására két elektron, vagy két pozitron alakult volna ki, azaz a semleges töltésű gamma sugarak nem hozhatnak létre töltéseket, ez a töltésmegmaradás elve. A pozitív és negatív töltések egyensúlya jellemzi földi viszonyainkat is, bár lokálisan a töltések elkülönülhetnek például kondenzátorokban, a felhők világában, de elektromos vezetőkben is, de összességében kialakul a töltések egyensúlya. Ez jellemzi az atomok és molekulák világát is. Kitekintve a csillagok világára, ott is a töltésegyensúly jellemző, bár a plazma állapotban nem találnak egymásra a pozitív atommagok és a negatív elektronok, mert a magas hőmérséklet szétveti az atomokat.

Töltésegyensúly a részecskevilágban

A töltésegyensúly azonban nem jelenti az anyag és antianyag egyensúlyát, mert a pozitív proton és a negatív elektronok száma egyensúlyban van a részecskevilágban, de a kérdés, hogy miért csak kivételesen és rövid ideig maradhatnak fel a szintén töltésegyensúlyt képviselő antiproton és pozitronból felépülő antiatomok? Van-e olyan fizikai folyamat, amely nem két azonos tömegű elemi részecskét hoz létre, hanem egy protont és egy elektront? Ha létezne ilyen folyamat, akkor a statisztikai szemléletünk már kulcsot adhatna ahhoz, hogyan került az anyag fölénybe az antianyag felett. Persze ilyenkor is egyenlő eséllyel jöhetne létre egy anyagnak tekintett proton-elektron pár, mint az antiproton és pozitron együttese, de ez csak egy statisztikai egyensúlyt jelentene, mert a véletlen különbség a kétféle pár mennyisége között elvezethetne egy olyan folyamatra, amikor az annihiláció eltüntetheti a kisebbségben képződő antianyagot és fennmaradna a véletlenül előálló többlet, amit ma anyagnak nevezünk. Ezt tekintik az ősrobbanás elméletben a részecske „kannibalizmusnak”, aminek lezajlása után maradna fent az anyagból felépített univerzum. Az elgondolás gyenge pontja, hogy mindmáig nem figyelhető meg olyan folyamat, amikor a gamma sugarak proton-elektron párt hoznának létre. Kibúvóként persze felvethető, hogy az ősrobbanás korai korszakában a hatalmas energiasűrűség miatt még voltak ilyen folyamatok, melyeket konszolidált univerzumunkban nem tudunk megfigyelni.

Létrejöhetnek-e azonos előjelű töltések a gamma-sugarakból?

A magyarázathoz azonban elindulhatunk más oldalról is. Nem lehetséges mégis olyan folyamat, amikor nem érvényes a töltésmegmaradás és létrejöhet két elektron, vagy két pozitron a gamma sugarak ütközésekor?  Ha lehet ilyen folyamat, akkor a statisztikai magyarázat elvezethet az anyag dominanciájához. A főkérdés azonban, hogy milyen szimmetria testesül meg a kétféle töltés mögött, Erre kézenfekvő magyarázat, hogy a háromdimenziós tér kiralitása, amit a jobb és a bal kéz kettősségével jellemezhetünk. Ezt az aszimmetriát megvalósíthatjuk  gamma sugarakkal is. Hogyan? A történeti hűség megköveteli, hogy megemlítsem: az ötlet eredetileg Kaslik Gyulától származik. Bocsássunk egymásra merőlegesen két gamma sugarat. Fontos azonban a két sugár polaritása is, ami a két cirkulárisan poláris komponens szétválasztása esetén megvalósítja a két lehetséges királis állapotot. Legyen például a két gamma sugár polarizációja jobbos forgásirányú. Ekkor két elrendezést lehetne összehasonlítani, ahol az egyik sugár x irányból jönne, míg a másik lehetne +y, vagy –y irányú. Az egyik esetben két elektron, a másikban két pozitron képződése várható. Kritikus természetesen, hogy a két gamma sugár mekkora hatásfokkal hozhat létre részecskéket. Erre elvi lehetőséget nyújt a kvantumelektrodinamika, mert ugyan a fotonok nem rendelkeznek töltéssel, ami az elektromágneses kölcsönhatás alapja, de virtuálisan – tehát kísérletileg nem detektálható módon – elektron-pozitron párokat hoz létre. Ennek vákuumpolarizációs hatása már elindítja a gamma-gamma kölcsönhatást, ami két részecske létrehozását eredményezi, és mivel a kísérleti elrendezés az ütközés helyén királis szimmetriával rendelkezik, így a kiralitás megmaradás törvénye magával hozza a képződő két részecske kiralitása azonos legyen, azaz vagy két részecske vagy két antirészecske jöjjön létre, amikor is a képződő elemi részecskék töltésének előjele megegyezik.

Milyen kísérlet bizonyíthatná a képződő töltések azonos előjelét?

Ez a kísérlet segíthetne a töltés eredetének tisztázásában és kulcsot adna az anyag dominanciájának megértéséhez is. A feltételek teljesítése nem könnyű, de nem is megvalósíthatatlan. Polarizált gamma sugár nagy teljesítményű szinkrotron fékezési sugárzásából nyerhető. Ehhez azonban 1MeV fölötti energiára van szükség, ilyen szinkrotron csak nagy nemzetközi laboratóriumokban áll rendelkezésre, ilyen a FERMI laboratórium, vagy az LHC. Az elektron többlet, vagy pozitron többlet kimutatása sem könnyű feladat, mert el kell kerülni a közeggel való ütközést az erős ionizáló hatás miatt, ami nagyszámú részecske keltésével zavaró háttérjelet adna. Emiatt a magas fokú vákuum a mérő kamrában alapkövetelmény. Célszerű időzített impulzusokat a detektorba belőni és az anódhoz, illetve katódhoz eljutó pozitronok illetve elektronok hatását egy jól kiegyenlített híd segítségével összevetni. A bizonyítékot az jelentené, ha a hídegyensúly felborulása a két elrendezésben fordított lenne. Ez a technika már kisszámú részecske keletkezésekor is mérhető jelet adna. A kísérlet megvalósítása fizikusok és mérnökök összehangolt munkáját igényelné. Egy ilyen mérés költsége ugyan jelentős lenne, de jóval szerényebb, mint a gravitációs hullámokat kimutató LIGO, vagy a Higgs bozon detektálására irányuló kísérleteké. Viszont a várható eredmény jelentős lökést adna, hogy tisztázni tudjuk a részecskefizika és a kozmológia  fontos kérdéseit,  és ez indokolttá teszi egy ilyen projekt megvalósítását.  

A blog további írásait összegzi a megfelelő linkekkel együtt a „Paradigmaváltás a fizikában” című bejegyzés.

A két kölcsönhatás eltérő világa

Aligha lehetne két jobban eltérő kölcsönhatást találni, mint az elektromágneses és a gyenge-kölcsönhatás. Az elektromágnesesség közvetítője a foton akár milliárd fényév távolságból is megérkezhet hozzánk egy távoli galaxisból, szemben a gyenge-kölcsönhatást közvetítő W és Z bozonokkal, melyek hatótávolsága az atommagnál is kisebb, úgy 10^–16 m nagyságába esik. Elmondható ez az élettartalmukról is, a milliárd éves foton nem ritkaság, míg a W bozon élettartama nem hosszabb 10^–24 másodpercnél. Szintén nagyon eltérnek tömegükben és töltésükben is, a fotonnak nincs nyugalmi tömege, míg a két gyenge-kölcsönhatási bozon a részecskevilág nehézsúlyú bajnoka, ha eltekintünk a Higgs bozonnak tulajdonított részecske tömegétől, akkor valamennyi egyéb megfigyelhető részecske tömegét meghaladja a W és Z bozon. Ami pedig a töltésüket illeti a fotonnak nincs, a W bozon pedig +e illetve –e elemi töltéssel rendelkezik, hasonlóan az elektronhoz és a pozitronhoz. A W⁺ és W^– egymás részecske-antirészecske párja, míg a fotonok világa nem ismeri ezt a kettősséget. Abban is nagy a különbség, hogy az elektromágnesesség kölcsönhatási erőt (vonzást vagy taszítást) hoz létre két objektum között, míg a gyenge-kölcsönhatás átalakítja az egyik részecskét a másikba.  Abban is különböznek, hogy az elektromágneses kölcsönhatás csak töltött objektumok között jön létre, viszont a gyenge-kölcsönhatás minden részecskére hat. Csupán egy dologban egyeznek: egyaránt a spin S = 1, azaz bozonokról van szó. Evvel szemben sokkal nagyobb a hasonlóság a az elektromágnesesség és a gravitáció között, nézzük akár az időtávot, vagy a kölcsönhatások távolságfüggését. Ezért hatott a fizikus társadalomban a meglepetés erejével, hogy a gyönge és elektromágneses kölcsönhatás közös alapra helyezhető, míg a gravitáció nem volt bevonható az egyesített mezőelméletbe (Sheldon Glashow. Steven Weinberg, Abdus Salam, Nobel díj: 1979).     

Az átalakulások megmaradási elvei

A gyenge és elektromágneses kölcsönhatás eltéréseinek és mélyen fekvő hasonlóságuknak megértéséhez szemléletes kulcsot ad a részecskék fénysebességű forgásmodellje (Lásd: „Az elemi részecskék mozgásformái”).  Először azt kell megértenünk, hogy milyen állapotváltozást hoz létre a két kölcsönhatás. Az elektromágnesesség hatását legkönnyebb az elektron példájával szemléltetni. Az atomban, vagy molekulában kötött elektron pályáját az impulzusmomentumukkal jellemezhetjük, melynek értéke a redukált Planck állandó többszöröse lehet : Lℏ. Az elektron állapotváltozása során az L kvantumszám eggyel változik, legyen szó a foton elnyelésről (abszorpció), vagy kibocsátásról (emisszió). Ilyenkor az elektron pályamozgásának változása hozza létre a foton S = 1 spinjét, azaz ℏ impulzusmomentumát.  Szemléletesen úgy mondhatjuk, hogy a „keringő” mozgás alakul át a foton saját forgásává. Hasonló a magyarázat a mágneses mezőben Larmor precessziót végző S = ½ spinű elektron rezonancia átmenetekor, mert a spin mező irányú komponense is egységnyit változik a foton abszorpciója, vagy emissziója során. Ekkor a mágneses mezőben polarizált elektron állapotának  megváltozása biztosít forrást  a foton impulzusmomentumához. Mindkét esetben az energiamegmaradás mellett az impulzusmomentum megmaradása vezet a kvantumátmenetek kiválasztási szabályához. Ehhez még hozzá kell tenni, hogy az átmenetek során az elektronok nyugalmi tömege nem változik meg.

Annihiláció és párképződés

Létezik egy másik kapcsolat is a fotonok és a részecskék között, az annihiláció és a párképződés. Az előbbi esetben egy-egy azonos tömegű részecske és antirészecske eltűnik gamma-sugárzás létrejöttével, a másik folyamat ennek fordítottja, amikor a foton létrehoz egy részecske-antirészecske párt, például egy elektront és egy pozitront. Ez már a nyugalmi tömeg létrejöttének és eltűnésének folyamata. A kiválasztási szabály, hogy az energia, a töltés és a spin (impulzusmomentum) megmaradjon.  Mivel a fotonnak nincs töltése, ez a szabály azt jelenti, hogy a képződő két részecske ellentétes előjelű töltéssel rendelkezik, másrészt a foton S = 1 spinje megköveteli, hogy a két új részecske egyaránt ½ spinnel rendelkezzen. A fénysebességű forgásmodellben a feltétel azáltal teljesül, hogy az elektron és pozitron kettős forgásának ellentétes a kiralitása, és így az annihiláció során kioltódik a „második” forgás az ellentétes sodrásirány miatt, miközben az „első” forgás megmarad, ami pedig nem más, mint a foton. A „második” forgás megszűnéséhez az is kell, hogy a frekvenciák megegyezzenek, azaz csak két azonos nyugalmi tömegű részecske és antirészecske semmisítheti meg egymást. Párképződéskor viszont megfordul a helyzet, ekkor a fénysebességű haladó mozgás két ellentétes perdületű forgásra hasad fel, amiért a képződő kettős forgások kiralitása, azaz töltése ellenkező előjelű lesz, a foton ℏ impulzusmomentuma pedig két egyenlő részre válik szét.

Leptonok

Térjünk át a részecskeátalakulások megmaradási szabályaira! Nézzük meg ehhez az elektron (e) és „nagy-testvérei” a müon (μ) és a tau részecske (τ) esetét! Ezek a töltött leptonok, amit „anyagnak” nevezünk, ha a töltés negatív, és „antianyagnak”, ha pozitív. Szintén a leptonok közé tartoznak a töltéssel nem rendelkező neutrínók (ν).  Ebben a „családban” a töltés és a spin azonos, viszont a nyugalmi tömeg erősen különbözik, a müon tömege 207-szer, a tau részecskéje 3477-szer nagyobb az elektronhoz viszonyítva. Honnan származnak ezek az arányok? Erre a részecskék tulajdonságait összegző Standard Modell sem adja meg a választ, ezért ezeket az értékeket fogadjuk el, mint kísérleti tapasztalatot. A két nehezebb részecske a stabil elektronnal szemben viszonylag rövid életű (müon: 2,2x10^–6 s, tau: 2,9x10^–13s) és bomlásuk egyik végterméke az elektron. A részecskék világában ez az élettartam nem számít rövidnek, mert amikor gamma-sugárzás jön létre a részecskék bomlás során 10^–20 s a tipikus felezési idő. A viszonylag lassú bomlás oka, hogy leptonoknál a gyenge-kölcsönhatás idézi elő a folyamatot, ahol az elektromágneses átmenetek tiltottak.

A gyönge-kölcsönhatási bozon spirálmozgása

Az első kérdés, ami felmerül, hogy miért nem gamma-sugárzás kibocsátásával megy végbe a bomlás, hiszen sem a spin megmaradás, sem a töltésmegmaradás szabálya nem sérülne (a töltés nem változik, a spin vetületi kvantumszám ½ és –½ közötti ugrása pedig megfelel a foton S = 1 spinjének). Az ilyen átmenet tiltását a részecskék fénysebességű forgásmodelljével értelmezhetjük. A foton egytengelyű forgás, amely a kéttengelyű forgás (tehát a fermion) egyik komponensét tudja megváltoztatni. Ahhoz, hogy mindkét forgási frekvencia megváltozzon két lépésre van szükség. Első lépésben a gyenge-kölcsönhatás szétválasztja a töltést és a tömeget két független részecske létrehozásával. Az egyik a fotonhoz hasonlóan bozon (S = 1) a másik fermion (S = ½), ez megfelel az impulzusmomentum megmaradási szabálynak. Az így képződő W bozon azonban jelentősen különbözik a fotontól, mert átveszi a müon töltését és van jelentős tömege is. Egytengelyű forgásnak úgy lehet töltése, ha a fénysebességű terjedési irány merőleges a forgástengelyre, mert ekkor fellép a Coriolis-erő, ami a töltés eredete („Az elemi részecskék mozgásformái”). Ez a mozgás egy spirálist hoz létre a forgási sugár növekedése miatt, amit az r = r₀ + ct összefüggés ír le. Itt r₀ = h/m₀c a W bozon Compton-sugara. Az ω körfrekvenciájú forgás kerületi sebessége c = ωr, ezért a sugárnövekedés a körfrekvencia csökkenésével jár az

egyenlet szerint, ahol az ω₀ frekvencia a W bozon m₀ tömegéből számolható a ℏω₀ = m₀c² ekvivalencia elv alapján. A frekvenciacsökkenés a tömeg, illetve a részecske energiájának csökkenését hozza magával. A W bozon kísérletileg meghatározott tömegét ezért lokális képződési tömegnek kell értelmezni és nem nyugalmi tömegnek, hiszen a fénysebességű terjedés miatt a kölcsönhatási bozon nem lehet nyugalomban. A fotontól eltérően mégis jogunk van tömegről beszélni, mert a W bozon energiája és az ennek megfelelő E/c² tömege a tér egy szűk tartományára lokalizálódik. A W bozon fokozatosan csökkenő körfrekvenciája teszi számára lehetővé, hogy a részecske átalakítás „csavarkulcsa” legyen, mert kapcsolatot teremthet a különböző tömegű – azaz forgási frekvenciájú –  részecskék között.

Az átalakulások mellékterméke: a neutrínó

 Nem ejtettünk még szót az átalakulás másik részecskéjéről, a neutrínóról, amit a folyamat „hulladék anyagának” tekinthetünk. Ennek nincs sem nyugalmi tömege, sem töltése. A Fermion-egyenlet általánosításával kapcsolatban hasonlítottuk össze az elektront és a neutrínót (Lásd: „A Dirac-egyenlettől az általános fermion egyenletig”). Az előbbinek van saját tömege és töltése, de nincs saját impulzusa, míg az utóbbi rendelkezik saját impulzussal, de nincs sem tömege, sem töltése. Épp a saját impulzus teszi lehetővé, hogy létezhetnek különböző tulajdonságú neutrínók, amit elektron, müon illetve tau típusú neutrínónak nevez a szakirodalom, és ezek egymásba alakulási folyamata a neutrínó oszcilláció („A neutrínó kalandos története”).

Honnan származik a W bozon óriási tömege?

A gyenge-kölcsönhatás első lépésének van egy különös tulajdonsága: a képződő W bozon tömege, sokkal nagyobb, mint a forrás, jelen esetben a müon saját tömege, de ez igaz a többi átalakulási folyamatban is, így például a neutron béta-bomlása során. Ezt is magyarázza a fénysebességű forgásmodell, mely szerint a tér a forgási frekvencia mértékében torzul negatív potenciális energiát létrehozva , amely ellensúlyozza a forgás kinetikus energiáját, azaz a potenciális energia és a mozgási energia összege mindig nulla marad („A fizikai világ két arca: A látható és a láthatatlan”). A forgás lassulását úgy kell értelmezni, hogy a csatolás erőssége a részecske és a tér között fokozatosan csökken.

Az impulzus szerepe az átalakulásban

Az átalakulási folyamatban szó kell, hogy essék az impulzusról is! A kilépő neutrínó impulzussal rendelkezik, ezt a megmaradási elv szerint a W bozon saját impulzusa egyenlíti ki. Mivel fénysebességű terjedésről beszélünk ez a saját impulzus a pc = E összefüggésből határozható meg, hasonlóan a fotonhoz. Az impulzus viszont irányfüggő mennyiség, ezért a W bozon terjedésének van egy kitüntetett iránya is. Ez a polarizációs irány játszik fontos szerepet az átalakítási folyamat második lépésében. Ez a lépés az első megfordítása, ebben a W^– bozon átalakul elektronná egy második neutrínó kibocsátása mellett, de ez már jóval kisebb energiával történik, mert a spirálmozgás során a körfrekvencia lecsökkent. De mekkora ez a csökkenés? Nézzük meg a forgás fázisának változását, amit a frekvenciaváltozása miatt integrálással határozhatunk meg:

A fázis változását a sugár függvényében logaritmikus skálán mutatja az ábra.

A W bozon spirális pályája logaritmikus ábrázolásban, a fekete nyíl a tau, a zöld a müon, a piros az elektronkilépés pozícióját mutatja

A W bozon aktív fázisai

A következő kérdés, hogy mekkora fázisnál következik be a második lépés? Ezt jelöli ki a W bozon kezdő iránya: akkor jön létre átalakulás, amikor egy-egy félfordulat bekövetkezik, ugyanis ekkor az impulzus újra az eredeti iránnyal lesz párhuzamos. Tehát minden egyes π szögű elfordulásnál jöhet létre a két új részecske. Vezessük be a ρ = 1 + ω₀t tömegcsökkenési arányt, ami π szögű elfordulásnál e^π = 23,14 nagyságú lesz. Ez azt jelenti, hogy amikor az eredeti tömeg ilyen mértékben csökken, bekövetkezhet a W bozon átalakulása. Ezt is szemlélteti az ábra. A W bozon induló energiája E₀ = 80,395 GeV a mérések szerint, ez lecsökken az első félfordulat után E₁ = 3,4738 GeV, a másodiknál E₂ = 150,1 MeV, a harmadiknál E₃ = 6,487 MeV értékre. Ezen az energián osztozik a létrejövő két fermion. Az elektron, müon és tau részecske esetén az m_i nyugalmi tömegből számíthatjuk az energiát, míg a neutrínónál a p_i saját impulzust kell alapul venni:

Itt E_Kin a képződő részecskék mozgási energiája. A W bozon eltűnése után visszaáll az eredeti energia (helyreáll az energiamegmaradás törvénye), ezért az határozza meg, milyen részecske szabadul ki a W bozonból, hogy melyik saját energiája van közel a félfordulatok E_i értékéhez. Mivel a tau részecske energiája 1,77682 GeV , azaz E₁ fele, így ez a részecske a W bozon első félfordulatánál jön létre, míg  a tau neutrínóra maradó energia maximum 1,697 GeV lehet, tehát a részecskék közel egyformán osztoznak a bozon E₁ energiáján. (Itt a számításnál nullának vettük a kinetikus energiát).  A müon saját energiája 105,568 MeV, ezért ez már egy teljes fordulat után jön létre, a müon neutrínóra jutó energia pedig 44,53 MeV lesz, tehát kisebb, mint a müon saját energiája. Végük az elektron saját energia 0,511 MeV a harmadik félfordulat után jön létre, és ekkor a neutrínóra maradó hányad jóval nagyobb lehet: 5,976 MeV. A nagyságrendi változásból látható, hogy a részecskék tömege a W bozon tömegcsökkenéséhez igazodik. A W bozon a három félfordulat után megszűnik, mert az elektron stabilis részecske és spontán módon nem bocsát ki újabb W bozont, csak akkor, ha például pozitronokkal bombázzuk.

A hadronok bomlása

A leptonok bomlásánál lényegesen bonyolultabb a kvarkokból felépülő mezonok (kvark + antikvark) és a barionok (három kvark, vagy három antikvark) bomlási mechanizmusa. Ennek egyrészt azaz oka, hogy a kvarkok nincsenek sem tömeg, sem impulzus sajátállapotban („A Dirac-egyenlettől az általános fermion egyenletig”), másrészt az összetett hadronokban (ez a barionok és mezonok összefoglaló neve) az erős és az elektromágneses kölcsönhatás fontos szerepet játszik. A kvarkoknak két típusa van a 2/3e töltésű u, és a –1/3e töltésű d, és a leptonokhoz hasonlóan három generációjuk létezik, melyek csak a tömegükben különböznek (pontosabban a renormált tömegükben, mert szabad kvark nem figyelhető meg). Az u-típus két magasabb generációja a c és a t kvark, a d-típusé az s és a b nevű kvark. A kvarkok három generációjának renormált tömege nagyságrendileg igazodik a W bozon három aktív állapotához: u és d E₃-mal, c és s E₂-vel, míg b E₁-el összemérhető nagyságú. Kilóg a sorból a nagy tömegű t kvark, evvel függhet össze, hogy olyan hadron nem létezik, amelyben a t kvark lenne az egyik összetevő.

Béta-bomlás

Hadronoknál az számít kivételnek, amikor a gyenge-kölcsönhatás hozza létre a bomlást, mert az elektromágneses hatás 10 nagyságrenddel gyorsabb folyamat. Ezért amikor a két kölcsönhatás együtt játszik szerepet a gyenge-kölcsönhatás nem figyelhető meg. Barionoknál a két nukleon (proton és neutron) külön esetet képvisel nagy stabilitásuk miatt, a proton (uud) spontán módon nem bomlik, csak neutrínó sugárzással hozható létre átalakulás, míg a neutron (udd) bomlásának felezési ideje 880 s. A proton stabilitását az okozza, hogy a barionok között ez a legkisebb saját energiával rendelkező részecske, neutron pedig azért stabil, mert az elektromágneses kölcsönhatás nem idéz elő bomlást.  Ennek oka, hogy a töltéssel nem rendelkező gamma-sugarak nem változtathatják meg a részecskék töltését. Neutron béta bomlásakor proton jön létre, amit elektron és elektron neutrínó kibocsátása kísér, azért épp ezek a részecskék lépnek ki, mert a neutron és proton közötti 1,3 MeV energiakülönbség nem elegendő müonok létrehozásához.  A béta bomlás tehát kvark-kvark átalakítási folyamat  W^– bozon közvetítésével:

u → d + W^–→ d + e^– + ν_e

Mezonok bomlása

A mezonok családjában az ud összetételű +e töltésű pion a legstabilabb, melynek a legkisebb a tömege (139.6 MeV/c²) a mezonok között. Ez a tömeg egyrészt összemérhető a W bozon E₂ energiájával, másrészt nagyobb a müon tömegénél, ami magyarázza a kvark kombináció átalakulását  müonra és müon neutrínóra:

ud → W⁺ → μ⁺ + ν_e

Ekkor a gyenge kölcsönhatás egy kvark-antikvark kombinációt alakít át leptonokra. Hasonló bomlási folyamata van az us összetételű +e töltésű kaonnak is, ahol a saját energia (493 MeV) szintén müon generálására elegendő.

Elektronbefogás

Szintén a gyenge kölcsönhatás hozza létre az elektron-, vagy más néven K- befogást. Az atomokban kötött elektron a nulla impulzusmomentumú „ s” pályákon véges valószínűségsűrűséggel van jelen az atommagban anélkül, hogy az elektromos vonzás miatt a pozitív atommag befoghatná az elektront. Ha azonban az atommagban több a proton, mint a stabilis izotópban, akkor a gyenge-kölcsönhatás miatt létrejöhet befogás. Ekkor az atom rendszáma lecsökken. Példaként nézzük a ²⁶Al atommagot! Ebben 13 proton és 13 neutron van, viszont a stabilis ²⁷Al izotópban már eggyel több a neutron. Az elektronbefogás miatt eggyel csökken a protonok, és eggyel nő a neutronok száma, és létrejön a ²⁶Mg izotóp. Ez annak felel meg, hogy a gyönge-kölcsönhatás az egyik u kvarkot átalakítja d kvarkká W⁺ bozon közvetítésével, amelyik a második lépésben elnyeli az elektront:

u + e^– → d + W⁺ + e^– → ν_e + d

A rádióaktivitásnak ez a formája eltér az egyéb folyamatoktól, mert ha megfosztjuk az atomokat az elektronoktól (teljes ionizáció), akkor nem jön létre az atommag átalakulása, azaz nem lesz többé radioaktív a szóban forgó izotóp.

A Z bozon színre lépése

A gyenge-kölcsönhatás nem minden esetben alakítja át a részecskét, de szerepe mégis tetten érhető. Buborékkamrában vizsgált elektronoknál azt tapasztalták, ha jelentős neutrínó fluxus halad át a kamrán, akkor egyes elektronok mozgása hirtelen megváltozik (Carlo Rubbia, Simon van der Meer, Nobel díj: 1984). Ezt úgy lehetett értelmezni, hogy az elektron lökést kaphat a neutrínóktól, amit viszont csak semleges bozon idézhet elő, ami a Z elnevezést kapta. A Z bozon tömege 91,2 GeV/c² még a W bozonét is meghaladja, ez képessé teszi, hogy átadja impulzusát az elektronnak. A szakirodalom a folyamatot rugalmas neutrínó szórásnak nevezi, mert ennek során nem alakul át a meglökött elektron más részecskévé. A fénysebességű forgásmodell úgy értelmezi a Z bozont, mint két ellentétes kiralitású spirális szuperpozícióját. A W bozonhoz hasonlóan a semleges Z bozon is rendelkezik saját impulzussal.

A blog további írásai rövid összefoglalóval együtt elérhető: „Paradigmaváltás a fizikában” című bejegyzésben.

Ha valaki Nobel díjat szeretne kapni, annak érdemes foglakozni a neutrínók fizikájával. Ezt mutatja, hogy eddig négy alkalommal ítélték oda a díjat nyolc fizikusnak a területen elért eredményekért, de több is lehetett volna, ha a kutató megérhette volna a nagy napot.

A neutrínó felfedezése

A részecske felfedezése Wolfgang Paulinak köszönhető 1930-ban, aki szintén Nobel díjas, de az elismerést nem ezért kapta. A radioaktív béta-bomlásnál figyelt fel arra, hogy az elbomló atomból távozó elektron nem viheti magával sem az összes energiát, impulzust és a spint sem, ezért szükség van a magyarázathoz egy S = ½ spinnel rendelkező töltés nélküli részecskére, aminek eredetileg a neutron nevet adta. Két évre rá James Chadwick angol fizikus fedezte fel, hogy létezik egy másik semleges részecske is, ami az atommag alkatrésze, amit ő is neutronnak nevezett el. Először vitatott volt, hogy két különböző részecskéről van-e szó, de aztán Enrico Fermi (Nobel díjas, de szintén más eredményért díjazták) olasz fizikus adta meg a kapcsolatot a két részecske között, amikor a béta-bomlást úgy értelmezte, hogy a neutron protonná alakul, miközben egy elektron és egy neutrínó (ekkor kapta meg az új nevet a részecske) lép ki belőle. Chadwick 1935-ben kapott Nobel díjat a neutron felfedezéséért, de ez még a neutrínó előtörténetéhez tartozik az említett négy díjon felül.

A neutrínó láthatóvá tétele

Egészen 1956-ig a neutrínót „láthatatlan” részecskének tekintették, ami arra szolgált, hogy a különböző megmaradási törvények rendben legyenek, de ekkor két amerikai fizikus, Clyde Cowan és Frederick Reines, gondolt egy nagyot és a béta-bomlás megfordításával (béta-befogás) láthatóvá tette ezeket a rejtélyes részecskéket is. A megfordítás azt jelentette, hogy a béta-bomláskor képződő antineutrínót (a részecske-antirészecske terminológiában nevezik így) befogja egy proton, ami által neutron képződik egy pozitron kilépése mellett. Tulajdonképpen a pozitron kilépés segíti a neutrínó detektálását, de a mérésnél különleges elővigyázatosságra van szükség, mert a kozmikus sugárzás, vagy a rádióaktivitás is létrehozhat pozitront. Ezért csak a föld mélyén jól árnyékolt környezetben végezhető el a mérés. Ráadásul a neutrínó igen gyengén reagál más részecskékkel, amit avval szokás jellemezni, hogy egy fényév hosszúságú, tehát a Naprendszer legkülső határáig érő ólomfalra lenne szükség, hogy a neutrínók felét elnyelje. A Nobel díj bizottság csak sokkal később ismerte fel a felfedezés jelentőségét, amiért 39 évvel később 1995-ben ítélte meg a díjat, amit már csak Reines kaphatott meg, aki még három évig élt a díj átvétele után.

Többféle neutrínó létezése

De mégsem az 1995-ben átadott díj volt az első, amivel a neutrínó kutatást jutalmazták, hanem az 1988-as. Ebben az évben két amerikai (Leon Lederman és Melwin Schwartz) és egy német tudós (Jack Steinberger) részesült a megtiszteltetésben, mert kimutatták, hogy az elektronnal sokban egyező, de jóval nagyobb tömegű müonok bomlásakor szintén kilép egy a neutrínó tulajdonságait hordozó részecske. Nem sokkal később, 1990-ben a Fermilab tudósai mutatták ki, hogy a müonnál is jóval nagyobb tömegű tau részecske bomlása is egy újabb neutrínó kibocsátásával történik. Az elemi részecskék tulajdonságait összegző Standard Modellben ezért a leptonok családjában már három elektrontípusú és három neutrínóhoz hasonló részecske szerepel. De amíg az elektron, müon és tauon esetén a tömegek nagy különbsége világosan elhatárolja egymástól a részecskéket, addig a neutrínók esetén nem volt világos, hogy ezek a részecskék igazából miben is különböznek, mert eredetileg tömeg nélkülieknek tartották a neutrínókat. Ennek oka, hogy a mérési pontosság határain belül a neutrínók mozgási sebessége azonosnak adódott a fénnyel, márpedig ekkora sebességgel csak nulla nyugalmi tömegű objektumok mozoghatnak. Szintén nyitott kérdés maradt, hogy létezik-e külön neutrínó és antineutrínó, ahogy az elektronnak és van antirészecske párja, a pozitron.

Szoláris neutrínó deficit

Ezek a kérdések a részecskék alaptulajdonságait érintik, ezért a neutrínók viselkedésének megértése a fizikai kutatás homlokterébe került. Új és új módszereket fejlesztettek ki, hogy minél megbízhatóbban mutassák ki a neutrínókat. Ebben értek el jelentős eredményeket az amerikai Ray Davis és a japán Masatoshi Koshiba, akik a neutrínók földön kívüli forrására voltak kíváncsiak, és főként a Nap felől érkező fotonok mennyiségének (fluxusának) meghatározására törekedtek. Ezt ismerte el a Nobel díj bizottság 2002-ben. Eredményeiket azt tette különösen fontossá, hogy kiderült egy anomália. A Nap fúziós folyamataira épített elméletből meg lehetett becsülni, hogy onnan mekkora neutrínó fluxus érkezik a Földre, de tapasztalataik szerint ennek csak felét-harmadát lehetett módszerükkel megfigyelni. Ez azért volt meglepő, hiszen a neutrínók mindenen könnyen áthatolnak, így a veszteség oka nem volt érthető. Először a napmodell hibájára gyanakodtak, de ezt hiába igyekeztek finomítani ettől nem csökkent az eltérés a mért és a számított fluxusok között.

A neutrínó oszcilláció színre lépése

Itt lép be a képbe a neutrínó kutatás különös egyénisége Bruno Pontecorvo, olasz származású tudós. Tudományos karrierjét még Fermi laboratóriumában kezdte, de Mussolini hatalomra jutása után, 1940-ben Párizsban folytatta tevékenységét, majd onnan a német megszállás elől menekülve az Egyesült Államokba emigrált. Ott sem tartózkodott hosszú ideig, Kanadába ment, majd az angol állampolgárság megszerzése után Angliában folytatta tevékenységét. Kutatási területe a magfizika volt és ezen belül is a neutrínó kutatás volt a fő területe. Kollégái ezért a Mr. Neutrínó névvel is illették őt.  1950-ben azonban egy római utazás során eltűnt és csak néhány évvel később derült ki, hogy családjával együtt a Szovjetunióba szökött. Haláláig Dubnában folytatta tevékenységét és ebben az időszakban érte el azokat az eredményeket, amely nagy lökést adott a neutrínók tulajdonságainak feltárásához. Ennek ellenére Nobel díjban nem részesült, amiben része lehetett a gyanúnak, hogy kémtevékenységet folytathatott a hidrogénbomba megvalósítása érdekében, bár ezt ő tagadta, sőt éppen a békés célú kutatás mellett állt ki, bizonyíték azóta sem került napvilágra  esetleges kémtevékenységéről.

De mi is volt, amit Pontecorvo hozzátett a neutrínó elméletéhez? A Standard Modell egyik tézisével szemben, amely szerint a neutrínónak nincs tömege, felvetette, hogy mindhárom neutrínó típusnak van tömege és a neutrínó három formája között oszcillációk jönnek létre. Ez a lassú oszcilláció szuperponálódik a neutrínó és az antineutrínó közötti gyors oszcillációra. A Napban keletkező neutrínók eredetileg elektron típusúak, de ez az oszcilláció révén részben átalakul müon és tau típusú neutrínóvá, és emiatt a Földre érkező neutrínó áramban már lecsökken az elektron neutrínók mennyisége. A mérőműszer alapvetően csak az elektron neutrínókat észleli és így a vártnál alacsonyabb lesz a mért fluxus. De hogyan mozoghatnak fénysebességgel a neutrínók, ha van nyugalmi tömegük? Erre a válasz, hogy minden mérés véges pontosságú, és a neutrínók sebessége nagyon közel lehet a fényhez, mégpedig annyira, hogy az eltérés már belül van a hibahatáron. Ha ismerjük ezt a kis eltérést és tudjuk a neutrínó energiáját, akkor már kiszámíthatjuk a nyugalmi tömeget, ami annál kisebb minél közelebb vagyunk a fénysebességhez. A növekvő pontosságú mérések miatt egyre lejjebb kellett szorítani a neutrínók lehetséges tömegét és ma már ott tartunk, hogy a neutrínók tömege legalább egymilliószor kisebb, az egyébként legkisebb tömegű részecskének tartott elektronnál is. Ezen a parányi tömegen belül is meg kell különböztetni a müon és a tau neutrínó tömegét az elektron típusú részecskétől, és mivel a nagyobb tömegű neutrínók kissé lassabban haladnak, így amikor a háromféle neutrínó hullámai szuperponálódnak, olyan lebegés jön létre, amelyben periodikusan változik a neutrínó áramon belül a három komponens aránya. Az L lebegési periódushossz az energiából és a tömegkülönbségek négyzetéből számolható az

összefüggés szerint. Pontecorvo a három neutrínóhoz kvantummechanikai „tömeg sajátállapotot” rendelt, amelynek háromdimenziós terében írta le a lehetséges keveredési állapotok oszcillációját. Ezt nevezi a szakirodalom PMNS mátrixnak az elmélet megalkotóinak neve alapján, mert ennek kidolgozásához három japán tudós (Maki, Nakagawa és Sakata) is hozzájárult.

A neutrínó oszcilláció bizonyításához a Napból származó részecskéken kívül tanulmányozták az atmoszféra felső határán a kozmikus sugárzás által keltett müonok neutronjait is, valamint érdekes adatokhoz lehetett jutni a szupernóva robbanásból származó neutrínók tanulmányozásával is. A különböző irányú mérések alátámasztották a neutrínó oszcilláció elméletét, amiért a legfontosabb bizonyítékokat szolgáltató japán Takaaki Kajitát és az amerikai Arthur Mc Donaldot a Nobel díj bizottság 2015-ben tüntette ki. További három tudós, akik ugyan nem kaptak Nobel díjat, de érdemes nevüket megemlíteni, kimutatták a neutrínók egy további fontos tulajdonságát. A fénytörés magyarázatánál jól ismert, hogy optikai közegekben a fotonok és a töltött részecskék kölcsönhatása miatt a fény lassabban terjed, mint vákuumban. Ehhez hasonló, de sokkal kisebb hatás lép fel a gyenge kölcsönhatás miatt a neutrínók és fizikai közegek között. Ezt két szovjet (Sztanyiszláv Mikhejev és Alekszej Szmirnov) és egy amerikai tudós (Lincoln Wolfenstein) mutatták ki. Rájuk utalva nevezik a jelenséget MSW effektusnak. Itt a hullámok koherencia hossza játszik szerepet, mert a sebesség változása a hullámok fázisát és ezáltal az oszcillációt is érinti.

Új magyarázat a neutrínó oszcillációra

Egy korábbi írásomban („Hogyan oszcillálnak a nulla nyugalmi tömegű neutrínók”) már rámutattam arra, hogy nullatömegű neutrínókkal is lehet magyarázni az oszcillációt a háromféle neutrínó között. Ehhez a fermionokra általánosított relativisztikus Dirac-féle hullámegyenletet hívtam segítségül (lásd: „A Dirac-egyenlettől az általános fermion egyenletig”). Itt csak a gondolatmenet vázlatát ismertetem, ami alighanem csak a kvantummechanikában otthonosan mozgó fizikusok számára lesz érthető.

Az elektron relativisztikus mozgásegyenlete

 A kiindulópont a relativitáselmélet alapját képező kovariancia elv. Az energia tekintetében ez azt jelenti, hogy négyzetes összefüggés írható fel az energia és annak két komponense között, melyek közül az egyik az impulzussal kifejezett mozgási energia, a másik a nyugalmi tömeghez tartozó m₀c² energia. Elektromágneses mezőben ezt egészíti ki a mágneses hatásokat leíró vektorpotenciál és az elektrosztatikus hatást megadó skalárpotenciál. Az előbbi a kinetikus energiához ad járulékot, az utóbbi közvetlenül a teljes energiát egészíti ki. Amikor a kvantummechanikára térünk át, akkor az energia lineáris összefüggését keressük az egyes tagoktól, ezért a kovariancia kifejezéséből négyzetgyököt kell vonni. Ezt oldotta meg Dirac, amikor a műveletet négydimenziós mátrixokkal, azaz spinorokkal hajtotta végre. Mivel a kinetikus tag vektoriális ez önmagában három tagot jelent, amihez negyedikként járul hozzá a nyugalmi energia. Ez magyarázza, hogy négydimenziós mátrixokkal lehet felbontani a négyzetgyököt és a kapott eredmény négy csatolt lineáris differenciálegyenletre vezet.

Az energia kétértékűségei

A kovariancia kérdését azonban más oldalról is megközelíthetjük. Amikor négyzetre emelünk, eltűnik az eredeti előjel, mert a negatív és pozitív számok négyzete azonos. A kovariáns kifejezésben három tag van a teljes energiával együtt, ezért háromféle alternatíva jelenik meg. Mi ennek az eredete? Ez részben az időhöz és részben a tér szerkezetéhez kapcsolódik. Amikor egy haladómozgás forgással jár együtt, akkor energetikailag nem tudunk különbséget tenni a két lehetséges forgásirány között. A másik, hogy a mozgást két időirányból is megközelíthetjük: következtethetünk a jelenből a jövőre, de fordítva is gondolkozhatunk, ha a jelen irányából a mozgások múltjára vagyunk kíváncsiak. Voltaképp ez a két alternatíva jelenik meg a Dirac-egyenletben is, az egyik a spin kétdimenziós tere, a másik az energiának adhat akár pozitív, akár negatív előjelet. Ennek eredete világosan látszik az energia operátor szerkezetéből, ami az energiát az idő-szerinti differenciálhányadossal fejezi ki. Van azonban egy harmadik alternatíva is: a koordinátatengelyek sodrásirányát választhatjuk jobb és balsodrásúnak is, ettől az energia nem fog megváltozni. Ezt a szimmetriát nevezzük kiralitásnak. Annak érdekében, hogy ezt a kettősséget is bevonjuk a formalizmusba már nyolcdimenziós spinorokra van szükség. A Standard Modell három részecske típusa: az egész töltésű elektron csoport, a nulla töltésű neutrínók és a törttöltésű kvarkok éppen ebben a királis térben értelmezhetők. Matematikailag ez úgy valósítható meg, ha az egyes kétdimenziós tereket a kétdimenziós Pauli mátrixokkal írjuk le, és ezek segítségével operátorként definiáljuk a tömeget és a töltést is. Evvel a kvantummechanika mélyebb szintjét hozhatjuk létre, mert ettől kezdve már valamennyi mérhető fizikai mennyiség operátoros alakban jelenik meg.

Mikor mérhetők pontosan a fizikai mennyiségek?

Amikor mátrixokkal adjuk meg valamilyen fizikai mennyiség operátorát, akkor az állapotfüggvény terében képzett diagonális mátrix mutatja, hogy a mérés pontos értéket adhat-e a mennyiségnek, ezek a sajátértékek. Ellenkező esetben csak valószínűségi kijelentéseket tehetünk és várható értékről beszélünk. A Pauli mátrixok esetén ezért a

komponensnek különös jelentősége van. A másik szélső példa, amikor nullák a diagonális elemek

,

ekkor a szóban forgó fizikai mennyiség várható értéke nulla lesz.

Amikor az általános fermion egyenletet elektronokra alkalmazzuk a töltésoperátor mátrixa

,

míg a tömegé

 lesz, azaz a részecskéhez egyaránt rendelhetünk töltést is, meg tömeget is. Az impulzus operátorában viszont a

nem-diagonális mátrix jelenik meg, ez azt jelenti, hogy az elektronnak nincs saját impulzusa (a várhatóérték nulla, ha a részecske nem mozog). A két Pauli mátrix sorrendje nem cserélhető fel (szorzatuk antiszimmetrikus), erre vezethető vissza a Dirac egyenletben, hogy a részecske tömege megnövekszik a sebesség függvényében. Hasonlítsuk ezt össze a neutrínóval. Ekkor a kép megfordul, akár a töltésről, akár a tömegről van szó, ott a nem-diagonális

Pauli mátrix jelenik meg, azaz mind a töltésnek, mind a tömegnek nulla lesz a várható értéke. Ez magyarázza, hogyan mozoghat a neutrínó fénysebességgel. Evvel szemben az impulzus mátrixát a diagonális Pauli mátrix definiálja, azaz a neutrínó rendelkezi saját impulzussal. A háromféle neutrínó tehát nem abban különbözik, hogy eltér a nyugalmi tömegük, hanem abban hogy rendelkeznek háromféle saját impulzussal. A részecskék hullámtermészete miatt az impulzushoz hullámhosszat rendelhetünk, ami a fénysebességű mozgás miatt λ = h/p_i lesz, ahol az i index jelöli az egyik neutrínót. Ebből következik, hogy a lebegési hossz 

 alakban adható meg. Az oszcillációs keveredést leíró PMNS mátrixelméletet ez a különbség azonban nem érinti.

Melyik modell van összhangban a kísérleti megfigyelésekkel?

Összehasonlítva az oszcillációs hossz kifejezését a Pontecorvo elmélettel, egyrészt a tömegnégyzetek helyett a saját impulzusok lépnek fel, másrészt esetünkben nem függ a hossz az energiától. Mit lehet mondani a kísérleti tapasztalatok alapján az oszcillációs hossz energiafüggéséről? A problémát az jelenti, hogy eddig nem sikerült a neutrínó fluxus periodikus változását megfigyelni, csak arról van tapasztalat, hogy mikor lép fel neutrínó deficit. A Napból érkező neutrínóknál a deficit független attól, hogy a Föld éppen milyen távol van a Naptól, pedig a keringés során a távolság 147 és 152 millió kilométer között változik. Ha periodikusan változó összetételt tételezünk fel, akkor a hullámhossznak legalább 10 millió kilométernek kell lenni. Más mérések során, így az atmoszférában képződő müonok bomlásakor képződő neutrínóknál azt találták, hogy a „felülről” érkező neutrínó fluxus nagyobb, mint ami „alulról” a Földön áthaladva érkezik. Mivel a Föld minimális mértékben nyeli el a neutrínókat, így a különbség az oszcillációval magyarázható, de ekkor a Föld átmérőjénél rövidebb lehet csak az oszcillációs hossz, tehát a korábbi becslésnél ezerszer rövidebb értéket kapunk. Ez úgy értelmezhető, hogy az oszcilláció a koherencia elvesztése miatt csillapodik és a keveredési arány bizonyos távolság után már nem változik. Emiatt a megfigyelések alapján csak a koherencia hosszról kapunk információt és nem dönthető el, hogy a neutrínók eltérő tömegére, vagy a neutrínó saját impulzusára alapuló modell írja le helyesen az oszcillációs jelenséget. A saját elképzelésem mellett szól, hogy egységes leírást ad a fermionokra és azon a kísérleti tapasztalaton alapul, hogy a neutrínók fénysebességgel mozognak.

A blog korábbi írásai a „Paradigmaváltás a fizikában” című bejegyzésen keresztül érhetők el.

Einstein általános gravitációs elméletének egyik izgalmas következménye a fekete lyukak létezése, amit később a csillagászati megfigyelések fényesen igazoltak. De valóban csak Einstein elméletéből következik, hogy léteznek fekete lyukak?

Newton egyenlet

Induljunk ki Newton gravitációs egyenletéből, amivel értelmezni lehet a bolygókeringés törvényeit. Ha a bolygó tömege nagyon kicsi a Naphoz képest és körpályákra szorítkozunk, akkor a centrifugális erőt egyensúlyban tartó gravitációs erő:

Az egyenlet egyik oldalán szerepel a tehetetlen tömeg, a másikon a gravitáló tömeg. A kettő egyenlősége miatt az egyenlőségből az m tömeg kiesik, és azt kapjuk, hogy

A sebességet meghatározó összefüggés ezért alkalmazható bármilyen kicsi is legyen a keringő tömeg, vonatkozik ez a fényre is, annál is inkább, mert az m = E/c² összefüggés szerint a fotonhoz is rendelhető mozgási tömeg. A foton viszont fénysebességgel mozog, ezért akkor kerül „kötött” pályára az M tömeg körül, ha

Itt a fénysebesség c = 3x10⁸ m/s és a gravitációs állandó G = 6,673x10^-11 m³/kg×s². (A relativitáselméletben a 2R_f sugár felel meg az eseményhorizontnak, mert ennél az értéknél az Einstein egyenletnek szingularitása van. Ez a kettes faktor a további meggondolások alapjait azonban nem érinti.)

Van egy másik feltétele is a fekete lyuk kialakulásának, mert az M tömeget magába záró objektum R_M sugara nem lehet nagyobb, mint a kötött foton pályasugara, azaz

A feltételek teljesüléséhez nem csak extrém nagy tömegsűrűség kell, hanem megfelelő méret is. Azonos sűrűségű égitesteknél azért kedvezőbb a nagyobb méret a fekete lyuk kialakulásához, mert a tömeg R_M harmadik hatványával növekszik, míg az R_f pályasugár arányos a tömeggel.

Milyen csillagok lehetnek fekete lyukak?

Nézzük meg a feltételek teljesülését különböző égitesteknél! A Föld esetén a csapdázott foton pályasugara kisebb, mint 5 milliméter, a Napnál pedig 1,5 km körül van, ami jóval kisebb az égitestek kiterjedésénél. A Földre vagy Napba érkező fényt ezért nem a gravitáció fogja foglyul ejteni, hanem az égitestek felületen nyelődik el, és az égitestek felszínéről kibocsátott fénysugarak zavartalanul távozhatnak. A galaktika óriáscsillagai sem viselkedhetnek fekete lyukként, mert a tömegükhöz tartozó pályasugár nem haladja meg a 200 kilométert, amelynél saját sugaruk sok nagyságrenddel nagyobb.  A fekete lyukhoz szükséges nagy sűrűséget sokkal inkább a neutroncsillagoktól várhatjuk. Ezeknek tömege 1 és 3 Naptömeg között változik és sugaruk 10 km körül van. Egy közepes neutroncsillag 3x10³⁰ kg tömegét alapul véve a sűrűség 6x10¹⁷ kg/m³-nek adódik, míg a kötött foton pályasugara 2,5 km körül lehet. Ebből látható, hogy a 10 km sugarú neutroncsillagok sem viselkednek fekete test gyanánt.

A nukleonok tömegsűrűsége

Mielőtt továbblépnénk, érdemes elgondolkozni rajta, hogy mi határozza meg a neutroncsillagok, illetve a fekete testek tömegsűrűségét. Induljunk ki a nukleonokból, a protonból és neutronból. A szóráskísérletek szerint a proton sugara r_p = 0,87x10^-15 m, tömege pedig m_p = 1,66x10^-27 kg, az ebből számolható sűrűség ρ_p = 6x10¹⁷ kg/m³, egyezően a neutroncsillagoknál becsült értékkel. Tehát a neutroncsillag olyan mint egy sűrűn pakolt hatalmas neutron tömb! Érdemes azt is megjegyezni, hogy ez a sűrűség meghaladja a nagyobb atommagok sűrűségét, ami 3x10¹⁷ kg/m³ körül van. A Standard Modell szerint egyaránt az erős kölcsönhatás tartja egyben a kvarkokat a nukleonokban, és a nukleonokat az atommagokban. A sűrűség csökkenése nagyobb atommagoknál részben az erős kölcsönhatás rövid hatótávolságának, részben a protonok közötti elektrosztatikus taszításnak tulajdonítható.

Egy kis kémia

Az atommagok szerkezetének megismeréséhez segít, ha párhuzamot vonunk az atomi elektronpályákkal. Az elektronok héjakba rendeződnek, mert a spinhez két, az L impulzusmomentumhoz 2L +1 azonos energiájú pálya tartozik, és a Pauli elv szerint minden pályán csak egyetlen elektron lehet. Ez vezet a molekulák kialakulásához, mert az egyik atom zárt héja feletti többletelektronját átadhatja egy másik atomnak, ahol a héjból egy elektron hiányzik, ez az ionos kötés.  Ennél sokkal fontosabb azonban a kovalens kötés, ahol az atomok „megosztoznak” az elektronokon kölcsönösen kialakítva zárt héjakat. Ennek „nagymestere” a szén, amelynek vegyértékhéja félig van tele, azaz félig üres, és ebből fakad, hogy a szerves vegyületek végtelen sokasága jön létre.

Egy kis magfizika

Az atommagot alkotó protonok és neutronok is héjakba rendeződnek, de itt nagyságrendekkel nagyobb az energia és sokkal kisebb a nukleonok közötti távolság. Erre szükség is van, mert az erős kölcsönhatásnak rövid a hatótávolsága. Az atomok szerkezetének kialakításában három erő: az erős- és gyengekölcsönhatás, valamint az elektromágneses erő összjátékára van szükség. Az erős kölcsönhatás nem tesz különbséget a nukleonok között, egyforma erővel köt össze két protont, két neutront, vagy egy protont és egy neutront. De akkor miért nem jönnek létre már normál körülményeink között is neutron agglomerátumok, hiszen ekkor nem kellene legyőzni a töltések miatti taszító erőt! Itt lép be a gyenge kölcsönhatás, amely negyedóránként alakítja át a neutront protonná és így a tiszta neutronból felépülő tömbök nem stabilak. A neutront és protont is tartalmazó atommagokban a gyenge-kölcsönhatás már nem végzi el az átalakítást, mert a protonok számának növekedése egyrészt erősebb taszítást okoz, másrészt a proton is magasabb energiájú pályára kerülhet. A legstabilabb, azaz a legnagyobb kötési energiával rendelkező atommagokban, ilyen a hélium a neutronok és protonok, egyaránt betöltött pályán helyezkednek el. Ha az atommagban a nukleonok száma n, akkor közöttük n(n-1)/2 pár alakul ki, amivel arányosan növekszik az erős kölcsönhatás hozadéka. Ezért lesz a kötési energia egyre nagyobb az ⁵⁶Fe izotópig bezárólag. Ha ennél is nagyobb a nukleonok száma, akkor már gyarapszik az olyan „távoli” párok száma, amelyek között nincs erős-kölcsönhatás, és ráadásul a nagyobb protonszám növeli az elektrosztatikus taszítást, hiszen ez a kölcsönhatás alig csökken a nukleonok közötti távolsággal. Emiatt válnak bomlékonnyá az olyan atommagok, ahol a protonok száma már közelít százhoz.

A neutroncsillagok fizikája

A neutroncsillagokban már egy új játékos ül le az asztalhoz: a gravitációs kölcsönhatás. Ennek ereje már eléri az erős kölcsönhatás szintjét, de „jobb lapokkal” rendelkezik, mert a kölcsönhatás nincs korlátozva az objektum méretével, ezért képes bármennyi neutron összetartására. De ne felejtkezzünk el a gyenge kölcsönhatásról, amelyik a neutron állományt fokozatosan protonná alakíthatja át, és ha túl sok a proton, az elektrosztatikus taszítás megakadályozhatja a neutroncsillag gyarapodását. Ez magyarázhatja, hogy a tömegük nem haladja meg a Nap háromszorosát.

Szupernóva robbanás

 A neutroncsillagok felfedezése 1935-ben James Chadwick (angol csillagász, 1891-1974, Nobel díj: 1935) nevéhez fűződik, aki a szupernóvák robbanását vizsgálta. A robbanás feltételét Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995, Nobel díj: 1983) indiai csillagász adta meg, mely szerint ehhez akkora csillag kell, melynek tömege legalább nyolcszorosa a Napnak.  Amíg a csillagban elegendő a hélium termelő üzemanyag a fúzióhoz, addig a sugárnyomás megóvja a csillagot az összeroppanástól, de amikor ez kezd kifogyni a csillag összeroskad és hatalmas energia kibocsátás után csak egy viszonylag kis mag marad vissza, ami lehet egy fehér-törpe, vagy egy neutroncsillag. Ez a robbanás nem szállítja el az óriáscsillag eredeti forgásához tartozó impulzusnyomatékot, viszont a tömeg és még inkább a sugár sok nagyságrenddel lecsökken, amiért a forgást akadályozó tehetetlenségi nyomaték sok nagyságrenddel kisebb lesz, felgyorsítva a forgási frekvenciát akár 10 nagyságrenddel is. A neutronok rendelkeznek mágneses momentummal is, mert az alkotó kvarkok töltés súlypontja nem esik egybe. Így a másodpercenként akár több százszor megperdülő csillag mágneses mezője szétküldi az energiát a lágy rádiósugaraktól kezdve a kemény gamma-sugarakig, létrehozva a pulzárokat.

Mi lehet a fekete lyukak anyaga?

A fekete lyukakról csak keveset tudhatunk, mert egyedül azáltal vehetjük észre jelenlétüket, hogy eltakarják a mögöttük lévő csillagokat. Tömegükre is tehetünk becsléseket a csillagok mozgását tanulmányozva, amit befolyásol a fekete lyuk tömege is. Ezek jellemző tömege a neutroncsillagoknál hozzávetőleg egy nagyságrenddel nagyobb, de a galaxisok centrumában létező óriási fekete lyukak ezt a méretet is sokszorosan meghaladják. A Napnál tízszer nagyobb tömegű objektumokban a kötött fotonok pályasugara már 25 kilométer fölé nő, elérve a fekete lyukak kiterjedését, ha ezek sűrűsége a neutroncsillagokéval egyezik meg. Nem kell tehát a fekete lyukak sűrűségének meghaladni a neutroncsillagét ahhoz, hogy képesek legyenek visszatartani saját sugárzásukat. Kérdés azonban, hogy miért lehet tömegük jóval nagyobb, mint a neutroncsillagoké? Ez úgy képzelhető el, hogy itt nemcsak a neutronok, hanem a protonok, sőt az elektronok is csapdázódnak. A hatalmas gravitációs erő az elektronokat olyan pályára kényszerítheti, ahol a protonok belsejében nagy az elektronsűrűség. Nagy tömegű radioaktív atomokban ismert a K-befogás jelensége. Ez azt jelenti, hogy a legbelső pálya elektronja befogódik, és egy proton neutronná alakul át. Ez a folyamat épp fordítottja a béta-bomlásnak. A fekete lyukban a protonok belsejében lévő nagy elektronsűrűség miatt a K-befogás valószínűsége is megnövekszik, kompenzálva a béta-bomlást, és elősegítve, hogy a fekete lyukak tömege jóval nagyobb lehessen a neutroncsillagoknál.

Mekkora lehet a fekete lyukak sűrűsége?

Lehet-e a fekete lyuk tömegsűrűsége nagyobb, mint a neutroncsillagoké? A válasz nem az erős gravitáció koncepciója szerint, mert ennek F_sgr = ℏc/r² erősségét a tér maximális görbülete határozza meg, ami akkor jön létre, ha a fénysebességű forgások olyan geometriájú részecskéket hoznak létre, ahol a felület nullára zsugorodik a Lorentz kontrakció miatt. Ennél nagyobb torzulás már nem képzelhető el, ezért a sűrűség sem haladhatja meg a nukleonokét. De ne legyünk telhetetlenek, hiszen elegendő lenne a parányi kávéskanalat megtölteni evvel az anyaggal, hogy a Gizai piramis tömegének ezerszereséhez jussunk!

A blog további írásaira a "Paradigmaváltás a fizikában” című bejegyzés hívja fel a figyelmet a megfelelő linkek megadásával.

Fontos epizódok a gondolkodás és a fogalmak fejlődéstörténetéből

Bérczi Szaniszló, ny. egy. docens, ELTE TTK Fizika Intézet, Anyagfizika Tanszék.

Nem is gondoljuk, milyen fontos nyomokat őriz a gondolkodás fejlődéstörténetéről a magyar nyelv. A magyar beszéd és gondolkodás rendszerelemzését egy fizikus végezte el, Bérczi Szaniszló. A szerző azt, hogyan lehet rendszereket áttekinteni a fölbontás és a visszaépítés (szétszedem-összerakom) elv alapján, már sok más tudományágban bemutatta, melyek közül néhány az irodalomban megadott [1], [2], és [3] ponton érhető el.

Legutóbbi összefoglaló cikkében, amely egy 2016-os előadásának nyomtatásban is megjelent változata [4], a gondolkodás és a beszéd őskori fejlődésének fontos mozzanatait az indukciós elv korai alkalmazásaként is bemutatja.

Az „Emlékek a gondolkodás fejlődésének néhány korai lépéséről a magyar nyelvben” (Reminescences of the early steps of evolution of thinking in the Hungarian language) c. cikk

https://www.researchgate.net/publication/312027126_Emlekek_a_gondolkodas_fejlodesenek_nehany_korai_lepeserol_a_magyar_nyelvben_Reminescences_of_the_early_steps_of_evolution_of_thinking_in_the_Hungarian_language?ev=prf_pub

E cikk lényege, hogy korai fogalmaink egyrészt az ősfizika gondolkodási stratégiáját mutatják be, másrészt az alkalmazott nyelvrendszertan föltárja a magyar nyelv ősi „nyelvkémiai” szerkezetét is. Ez utóbbi írása az I. Czuczor-Fogarasi Konferencián elhangzott előadásának írott változata és az Életünk hasábjain jelent meg [5]. Több e témában írott közlemény és füzet is elérhető erről az igen érdekes, a fogalomfejlődést föltáró témáról [6], [7], [8], és [9].

Irodalom:

[1] Acta Geologica Hungarica, 1980/1-4,

https://www.researchgate.net/publication/313220349_Cyclicity_in_the_Evolution_of_Matter_and_its_Application_to_the_Evolution_of_the_Solar_System

[2] Symmetry: Culture and Science, 2016, 27/1.

https://www.researchgate.net/publication/301363897_STRUCTURAL_HIERARCHY_Teaching_sciences_more_effectively

[3] Fizikai Szemle, 2017/1, 32-36. old.  

https://www.researchgate.net/publication/313036968_A_szerkezeti_hierarchia_es_a_folepites-lebontas_szetszedem-osszerakom_elv_The_structural_hierarchy_and_the_construction-decomposition_assembling-disassembling_principle

 [4] Emlékek a gondolkodás fejlődésének néhány korai lépéséről a magyar nyelvben. http://www.egipatrona.hu/mvsz/doc/Nemzetstrategiai%20berczi_175_214.pdf

[5] Életünk, 2011/3-4, 38-55. old.

Bérczi Sz. (2011): Magyar nyelvkémia. Életünk, 2011/3-4. szám. 38-55. old

https://library.hungaricana.hu/hu/view/Eletunk_2011/?pg=239&layout=s

[6] Bérczi Sz. (2013): Égberagadás, földreszállás az ősi eurázsiai díszítőművészetben, kitekintéssel a nyelvfejlődéstörténetre. Eurázsiai művészetek 28. TKTE, 52. old. Pirehab, Debrecen (ISBN 978-615-5412-00-4) http://www.federatio.org/tkte/Egberagadas.pdf

[7] Bérczi Sz. (2014): A fogalomfejlesztés művészete a Kárpát-medencében és Eurázsiában. Eurázsiai művészetek 29. TKTE, 56. old. Pirehab, Debrecen. (ISBN 978-615-5412-01-1) http://www.federatio.org/tkte/Fogalomfejlesztes.pdf

[8] Bérczi Sz. (2015): A gondolkodásművészet kifejlődése a Kárpát-medencében és Eurázsiában. Eurázsiai művészetek 30. TKTE, 52. old. Pirehab, Debrecen  (ISBN 978-615-5412-03-5)

[9] Bérczi Sz. (2016): A gondolkodás és a beszéd művészetének felvirágzása a korai időkben a Kárpát-medencében és Eurázsiában. Eurázsiai művészetek 31. TKTE, 52. old. Pirehab, Debrecen (ISBN 978-615-5412-04-2)

A blog további írásainak összefoglalása a linkekkel együtt elérhető a „Paradigmaváltás a fizikában” című bejegyzésben.

Belépünk a sötét szobába és felgyújtjuk a villanyt. Először csak körülnézünk, látjuk a különböző tárgyakat, majd megáll a szemünk egy piros virágon az asztal közepén elhelyezett vázában. Milyen egyszerű, mennyire hétköznapi mindez, és mégis a mögötte levő fizikai, kémiai, biológiai és pszichikai folyamatok mennyire bonyolultak, mennyire összetettek! Csak egészen vázlatosan foglaljuk össze, hogy mi történik ekkor. A bekapcsoláskor útnak indítjuk az elektronokat két különböző feszültségű vezeték között. Az elektronok a fématomok között kiépített sztrádán száguldanak, amíg a lámpa égőjéig jutnak, ahol már göröngyös földút vár rájuk állandó ütközéssel, rázkódással. Az elektronok emiatt sok energiát vesztenek, ami az égőszál atomjait felhevíti és izzásba hozza. A gyors rezgésbe hozott elektronok sugározni kezdenek, és ez a sugárzás eljut a szoba minden pontjába. A fény nekiütközik a tárgyaknak, ott részben elnyelődik, részben visszaverődik, de ennek mértéke más és más az egyes tárgyakon és ez függ a fény hullámhosszától is. A visszavert sugarak egy kis része épp a szemünkbe érkezik, ahol bonyolult folyamatok egész sorát indítja meg. A szemlencséhez érve kölcsönhatásba kerül az ottani molekulák elektronjaival, amelyek megváltoztatják a sugarak irányát. A sugarak az első pillantáskor szétszóródnak és eljutnak a retina pálcikáihoz, majd amikor a piros virágra koncentrálunk, akkor a lencse által fókuszált fénysugarak a sárga folt sűrűn pakolt csapjaihoz érkeznek meg. Az ott lévő pálcikák és csapok más-más hullámhosszú fénysugarakat nyelnek el, majd szabadítanak ki elektronokat, melyek az idegpályákon szaladnak tovább, hogy az agyba eljutva máig nehezen érthető reakciókat indítsanak el összegezve a két szemből és a különböző színekre érzékeny pálcikákból, csapokból érkező információt, hogy kialakuljon bennünk egy összesített kép az egész szobáról, a tárgyak elhelyezkedéséről, a virág színéről és még sokáig folytathatnánk. Ha csak nagyvonalakban akarjuk érteni, hogy egyetlen pillanat alatt mi minden történik bennünk a legkülönbözőbb tudományágak ismeretére lenne szükségünk. Mi a továbbiakban megmaradunk a fizika mellett. 

Az ezerarcú elektromágneses sugárzás egyaránt nélkülözhetetlen társunk mindennapi életünkben és legfontosabb információforrásunk az anyag szerkezetének megismerésében. A legkisebb energiájú, hosszúhullámú rádióhullám ma már a hírközlés alapvető közvetítője az adó és a vevő berendezések között, szerkezetkutatásban pedig ezen alapul az atommagok mágneses tulajdonságait felhasználó rezonancia spektroszkópia az NMR, amelyik módszer talán a legsokrétűbb információt nyújt a szerves molekulák – beleértve a fehérjéket is – szerkezetéről. E nélkül a gyógyszeripar már nem tudna meglenni. Emellett hasznos szerepet jut az orvosi diagnosztikában is belső szerveink tomográfiai feltérképezésével. A következő tartományt a centiméteres mikrohullámok jelentik, konyhánk jól bevált eszköze a mikrohullámú sütő. A szerkezetkutatásban viszont az elektron mágneses tulajdonságára építő rezonancia módszer az elektronspin-rezonancia spektroszkópia hasznosítja. A millimétertől a mikronokig terjedő birodalomba vezet át az infravörös (IR) hullám. Nekik köszönhetjük, hogy a nap melegét élvezni tudjuk. A spektroszkópiai szerkezetkutatásban pedig ez a sugárzás nyújt betekintést arról, hogyan vibrálnak, forognak az egyes atomok és atomcsoportok a molekulában. A fény, a látható csodálatos fény jön ezután, ennek jelentősége annyira nyilvánvaló, hogy nem kell külön írni róla. Túl a látható tartományon jön az UV (ultraviola) tartomány. Neki köszönhetjük meleg nyári napokon bőrünk barna színét is a D-vitamint. De jó, ha vigyázunk vele, mert bőrünkön sebet ejthet, szerencsére ezt a veszélyt mérsékli a sztratoszféra ózon rétege. A szerkezetkutatásban pedig a molekulák elektronjainak különös világába pillanthatunk be. Ezután már sokkal keményebb sugarak jönnek, amelyek áthatolnak testünkön is. Itt van a rejtélyes X- vagy röntgensugár, amivel átvilágítva testünk kirajzolódik csontszerkezetünk. Az anyagvizsgálatban pedig a kristályokon elhajló sugarak diffrakciója által fényképet készíthetünk a molekulák geometriájáról. Az atommagok belsejéből érkező gamma sugarak is segítenek az orvoslásban a rák elleni küzdelemben, az atomfizikusok pedig általuk látnak bele az atommagok belsejébe.

Az elektromágneses hullámok alapvető jellemzője a frekvencia, mert fénysebességű terjedésük miatt ez egyben elárulja hullámhosszukat és energiájukat is. Lássuk hát legfontosabb képviselőit a táblázatban.

Az elektromágneses sugárzás hullámhossza, frekvenciája és energiája 

A gravitáció és elektromágnesesség 

A gravitáció mellett a másik olyan kölcsönhatás, amely döntő szerepet játszik mindennapi életünkben, az elektromágnesesség. A két távolba ható erő sok hasonló tulajdonsággal rendelkezik. Mindkét erő az r távolság négyzetével csökken és arányos a kölcsönhatásban lévő objektumok alapvető fizikai jellemzőjével, ami a gravitációnál az objektumok m tömege, az elektromos kölcsönhatásnál pedig a q elektromos töltés.

A gravitációs erő formulája Isaac Newtontól (1642-1726) származik, akit ma joggal nevezhetünk matematikusnak, csillagásznak és fizikusnak is, de aki magát természetfilozófusnak tartotta. Nevezetes művét először 1687-ben adták ki a „Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica” (Természet Filozófia Matematikai Alapelvei” címen. De ejtsünk egy szót a mecénásról, Edmund Halley-ről is, akinek nagyvonalú támogatása nélkül nem jelenhetett volna meg a mű. Ebben fogalmazta meg Newton a mechanika alaptörvényeit és adta meg a tömegvonzás egyenletét:

ahol G = 6,674,10^-11m³/kg·s² az általános gravitációs állandó.

 Minden igazán nagy felfedezés úgy születik meg, hogy a tudós összekapcsol és egyesít látszólag különböző jelenségeket és törvényeket. Newton felismerte, hogy az az erő, ami a testek tömegét a földhöz vonzza, és ami szabadesésre készteti az elejtett tárgyakat, azonos avval, ami a bolygókat a Nap körül pályán tartja. Ez a nagy felismerés tette lehetővé, hogy magyarázatot nyerjünk a Johannes Kepler (1571-1630) által a bolygómozgásra felírt három törvényre is. Newton szintén jelentős eredményeket ért el az optika területén, neki lehet tulajdonítani a fény korpuszkuláris elméletét, bár részletesen vizsgálta a fény interferencia jelenségét is. Bár kora nagy géniusza volt, követésre méltó volt szerénysége, amit híres mondása jellemez ” If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants” (Ha  messzebbre láthattam, azért volt, mert óriások vállán álltam)

Az elektromágnesség elméletének története 

Az elektromágnesesség térhódítása 100 évvel Newton után indult el, amikor egy kíváncsi tudós békacombokkal kezdett el kísérletezni. Ez az orvos és teológus Luigi Galvani (1737-1798) volt. Ez is szép példa rá, ha egy tudós játszadozni kezd, akár megváltoztathatja egész világunkat. A békát késsel boncolva a comb összerándult. Ez ejtette gondolkodóba Galvanit, amikor elkezdett a békacombokkal kísérletezni és megfigyelte, hogy a combon átszúrt rézkampóhoz vasat érintve a békacomb összerándul, különösen akkor, ha az egyik fém a gerincvelőt, a másik az izmot érintette. Felismerését 1791-ben tette közzé „Kommentár az elektromos erők és az izommozgás kapcsolatáról” címmel. Galvani kortársa Alessandro Volta (1745-1827) ismerte fel 1792-ben, hogy a jelenség alapja a két fém érintkezése, amely villamos áramot indít meg, ha a fémek bizonyos folyadékba merülnek.

A két olasz tudós után egy francia nevét kell megemlíteni, mert Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) vezette be az elektromos töltés fogalmát és írta fel két töltés kölcsönhatását:

Amikor az atomokban és molekulákban határozzuk meg az elektron energiáját, akkor a k együtthatót szokás egységnek választani, ez annak felel meg, hogy a töltést az erőtörvény segítségével definiáljuk. A gyakorlatban kialakult elektromos egységek esetén az elektromos áram és feszültség alapján adjuk meg a töltést, ahol az áram egysége az Ampere (A) annak felel meg, hogy két egymástól 1 m távolságban lévő párhuzamos vezető között mekkora vonzó, illetve taszító erő lép fel (definíció szerint 2x10^-7 N). A töltés egysége pedig a Coulomb (C) az elektromos áram nagyságához kapcsolódik: 1 Ampere (A) áramot kapunk, ha másodpercenként 1 C töltés halad át egy vezetőn. Az 1 C töltés egyébként az elemi töltés 6,2415x10¹⁸ szorosa, vagy másképp fogalmazva az elemi töltés értéke q_e = 1,6022x10^{-19 .}. Ebben az egyenletrendszerben k =1/4πε₀  ahol ε₀ = 8,854·10^-12 A·s/V·m, amit a szakirodalom  a vákuum dielektromos állandójának nevez. 

Gondoljuk végig, hogy a két matematikailag azonos szerkezetű törvényben, mi az erő és az erő forrásának tekintett fizikai mennyiség, azaz egyfelől a tömeg és másfelől az elektromos töltés viszonya. Ahhoz, hogy egy fizikai törvényhez eljussunk, azt kell biztosítani, hogy a törvényben szereplő minden egyes mennyiségnek legyen egymástól független definíciója, azaz mérési utasítása. A G általános gravitációs állandó méréséhez szükség van két tömegnek (m₁ és m₂) és a közöttük ható gravitációs erőnek a mérésére. A tehetetlen tömegeket mérhetjük a gravitációs törvény alkalmazása nélkül is, ha például egy a rúgóra akasztott tömeg rezgési frekvenciáját határozzuk meg. A gravitációs vonzást is mérhetjük, ha a két tömeget egy vízszintes síkban elforduló tengelyre helyezzük és a két tömeg közé rúgót teszünk. A vonzás miatt a rúgó összenyomódik és a hossz változásából meghatározhatjuk a tömegek között ható vonzóerőt. Ennél jóval pontosabb mérést végezhetünk el torziós ingával, például Eötvös József  (1813-1871) is így határozta meg a tehetetlen és a gravitáló tömeg azonosságát, de itt most a hangsúly a mérési lehetőségen van. Evvel összehasonlítva a Coulomb törvényt, ami torziós ingával végzett mérésekből származott, ez esetben nincs arra lehetőség, hogy meghatározzuk az erőtörvényben szereplő töltéseket olyan mérésekkel, amelyek nem támaszkodnak ilyen, vagy olyan módon az elektromágneses kölcsönhatásra. Emiatt a töltésnek – eltérően a tömegtől – nincs a kölcsönhatástól függetlenül megadható egysége.

További kérdés, hogy a tömeghez hasonlóan van-e „tehetetlensége” az elektromos töltésnek is gyorsításkor? A válasz igen! Amikor az elektronokat gyorsítjuk sugározás lép fel, ami energiaveszteséget okoz. Ennek következtében a gyorsító erőnek nem csak a tömeggel arányos kinetikai energiát kell növelni, hanem további erő szükséges a töltéssel arányos fékezési veszteség pótlására is Ez a többlet erő arányos a gyorsulás és a töltés szorzatával, hasonlóan a Newton törvényhez, amelyben az erőt a gyorsulás és a tömeg szorzata adja meg. Két fontos különbség azonban fennmarad a két törvény között, mert egyfelől a fékezési sugárzás mértéke függ az elektromágneses kölcsönhatás erősségétől is, tehát nem kapunk az elektromágneses kölcsönhatástól független információt a töltés nagyságára, másrészt amíg a tömeg gyorsítását nem kíséri semmilyen sugárzás, addig a töltés gyorsítása sugárzás kibocsátásával és ezáltal energiaveszteséggel jár. 

A kölcsönhatási erő forrása és tárgya 

A két erőtörvény abban is hasonló, hogy szimmetrikus szerepet tölt be az erőhatás forrása (például m₁ és q₁) és az erőhatás tárgya (például m₂ és q₂), azaz a vonzhatóság, vagy taszíthatóság. Annak külön jelentősége van, hogy nincs „kevert” kölcsönhatás, amikor például az m₁ tömeg vonzása a q₂ töltésre hatna. A kétféle kölcsönhatás tehát teljesen elkülönül. 

Az erők pontszerű forrása 

A két kölcsönhatás távolságfüggése arra utal, hogy mindkettő a fizikai objektum egyetlen matematikai pontjából indul ki és a hatás gömbszerűen terjed, magyarázva, hogy miért változik a kölcsönhatás fordítottan a gömbfelülettel, ami a sugár négyzetével arányos. Ezt fogalmazhatjuk meg az erővonalak törvényével, amely szerint az erővonalak száma nem változik, és így az erővonal sűrűség fordítva arányos a felülettel. Ez nem triviális, mert a nukleáris erős és gyenge kölcsönhatásban az erővonalak eltűnnek az atommagok méretét meghaladó tartományban.

A két törvény további közös vonása, hogy nincs megszabva a távolságra alsó határ sem, tehát elvben nulla távolságra is vonatkozik, ahol az erő már végtelenül nagy lehetne. Itt felmerül a kérdés, hogy mi az a lehető legkisebb távolság, aminél nem kerülhet közelebb egymáshoz két fizikai objektum, van-e valamilyen saját sugár, ami megakadályozza a további közeledést? Ha van, akkor ez egy további erőhatást jelent, ami az elektromágneses illetve gravitációs kölcsönhatásnál erősebben választja szét a fizikai objektumokat. Voltaképp ilyen erőhatásnak tekinthetjük a kvantummechanikában a bizonytalansági elvet, amely nem teszi lehetővé, hogy az elektron pozíciója és impulzusa egyidejűleg tetszőleges pontos értéket vegyen fel. (Lásd „Határozatlansági relációk a kvantummechanikában”). A pontszerűség elve komoly gondot okoz, amikor a kölcsönhatási mezők energiáját határozzuk meg (például gravitációs, elektromos és mágneses mezők esetén), mert a teljes energia végtelenül nagy lesz.   

Vonzás és taszítás a kölcsönhatásokban 

Az elemi részecskék világában a gravitáció elhanyagolható, mert erőssége sok nagyságrenddel kisebb az elektromos erőhöz képest. Becsüljük meg ezt az arányt! Két egymástól egy méter távolságban lévő 10,55 mC töltés (az elemi töltés 6,58x10¹³ szorosa) között 1 N erőhatás jön létre. Ez felel meg a gravitáció esetén 122 tonna anyagnak. A tömeg közel felét az egységnyi töltésű protonok teszik ki, melyek tömege 1,66x10^{-27 kg}. A 122 tonna anyagban 3,67x10³¹  proton van, ennek gravitációs hatása egyenértékű 6,58x10¹³ elemi töltéssel. Mivel az erő a töltések illetve a tömegek négyzetével arányos, így az anyagban levő pozitív töltések erőhatása, ha ezt nem kompenzálná az ugyanekkora számban lévő negatív töltésű elektron, 3,11x10³⁵-ször haladná meg a benne levő tömeg gravitációs vonzását.

Szemléltessük az arányokat Richard Feynman (1918-1988) nyomán egy hasonlattal. Képzeljünk el egymástól kartávolságnyira egy fiút és egy lányt. A töltések tökéletesen kompenzálják egymást: a protonok és az elektronok száma pontosan megegyezik, így nincs közöttük elektrosztatikus kölcsönhatás. De mi történik, ha a lány egy varázslattal elektronjainak egy százalékát átküldi a fiúhoz? Ekkor a lány pozitív, a fiú nagy negatív töltéssel fog rendelkezni. Mekkora lesz ekkor a vonzóerő közöttük? Talán akkora, amivel fel lehetne emelni a Parlament épületét? Sokkal nagyobb! Talán akkora, amivel a Himalája hegylánc felemelhető? Sokkal nagyobb! Az erő akkora lesz, ami elég lehetne az egész Föld súlyának felemeléséhez is! 

Elvi szempontból azonban nem is a nagyságrend a fontos, hanem az, hogy a kölcsönhatási erő az egyik esetben mindig vonzást hoz létre, míg a másik esetben lehet vonzás és taszítás is, amit a töltés előjelével írunk le. A gravitáló tömeg viszont mindig pozitív. Az elektromos kölcsönhatás két előjelének fontos szerepe van az elektromágneses sugárzás, azaz a fény létrejöttében is.

Az elektrosztatikus Coulomb kölcsönhatás különböző előjelére példa az atommodellben az atommag (pozitív) és az elektronok (negatív) közötti vonzás, illetve az elektronok közötti taszítás. Mozgó töltések között  a Coulomb törvényben leírt elektrosztatikus kölcsönhatáson kívül fellép mágneses kölcsönhatás is, amit eredetileg függetlennek gondoltak az elektrosztatikus erőtől, tradicionálisan épp evvel az erővel jellemezték az elektromos áramot és ezen keresztül a töltést. Ez logikus választás volt, mert így nem a törvényből kellett levezetni a kölcsönhatás létrehozó fizikai mennyiséget.

Kölcsönhatási mezők 

Az olyan rendszerekben, amelyben nagyszámú töltött részecske mozog már kényelmetlen páronként összegezni a Coulomb erőket és a mozgó töltések által okozott mágneses erőt, ezért szükséges bevezetni a mezők fogalmát. A hazai gyakorlatban inkább terekről szoktak beszélni, elektromos és mágneses tereket emlegetve, evvel elmosva a különbséget az angol szakirodalomban használt „space” és „field”  szavak között, ezért helyesebb a „field” magyar megfelelőjeként a mező szót használni. Az elektromágnesesség különböző közegekbe, például dielektrikumokba behatolva, megváltozik a kölcsönhatások erőssége, ezért szokás megkülönböztetni például mágneses teret és indukciót, evvel itt nem foglalkozunk, ezért a továbbiakban a mező fogalmára szorítkozunk. Mező alatt egyébként olyan térfüggő kölcsönhatási erőt értünk, amely az egységnyi tömegre, töltésre vagy áramra hat.

A mező fogalom bevezetésének van azonban egy fontos előfeltétele: legyen érvényes a szuperpozíció elve. A szuperpozíció elve megköveteli, hogy olyanok legyenek a távolba ható kölcsönhatások, amelyben a két kölcsönható objektum valamelyik jellemző paraméterének szorzata szerepel (például két tömeget, vagy töltést szorzunk, és nem írunk fel vegyes, vagy hármas szorzatokat, amikor egy harmadik objektum is szerepet kap a kölcsönhatásban. A gravitációs és a Coulomb erő megfelel ennek a kritériumnak. Az   elektromos mező azt mondja meg, hogy a tér egy adott pontjában mekkora erő hat az oda képzelt töltésre, míg a  elektromos potenciál a töltés energiáját adja meg. Ennek megfelelően az elektromos mező az összes töltésre elvégzett összegzést jelent a Coulomb erőből kiindulva:

A

 skaláris potenciál és az

  mező matematikailag ugyanúgy kapcsolódik össze (negatív gradiens), mint a potenciális energia és az erő. Azért mondjuk, hogy az elektromos mező képzelt töltésre hat, mert a fenti összegzés nem terjed ki arra a töltésre, amire az elektromos mező hat. Ez a definíció azonban problémát okoz, amikor az elektromos és a mágneses mező teljes energiáját számítjuk, hiszen ehhez az adott pontban elhelyezett töltés is hozzájárul.             

Mágneses kölcsönhatás: az elektromos erő relativisztikus effektusa 

Az eddigiekben a nyugvó töltések kölcsönhatását vizsgáltuk, de hogyan változik a kép, ha a két töltés egymáshoz képest egyenletes sebességgel változtatja a távolságát? Ebben az esetben már jóval bonyolultabb a kölcsönhatás a töltések között. Az első dolog, amivel meg kell ismerkednünk a retardált idő fogalma. Ha a tér egy adott A(x,y,z) pontjában akarjuk leírni, hogy milyen potenciálfüggvény írja le a B(x’,y’,z’) pontban lévő és mozgó ponttöltés hatását, akkor figyelembe kell venni, hogy mennyi idővel később ér el a hatás az A pontba. Azt is számításba kell venni, hogy a kölcsönhatás nem a t időben meglévő r távolságtól függ, hanem attól hogy a korábbi t’ = t – r’/c időben, mekkora volt a két részecske aktuális r’ távolsága. A t’ időt retardált időnek nevezzük.

A retardált idő meghatározásánál fontos szerepet játszik a fénysebesség terjedési sebességének állandósága. Itt megjegyezzük, hogy bármilyen erőhatásról legyen szó, annak terjedési sebessége nem haladja meg a fény sebességét vákuumban. Annak megfogalmazása, hogy a hatás sebessége állandó, fontos a tudományos megismerésben is. Ha ugyanis a hatás tényleges bekövetkezési ideje függene a kibocsátó objektum saját sebességétől, akkor nem tudnánk univerzális és reprodukálható törvényeket alkotni az elektromágnesességről, sőt a gravitációról sem. Hogyan tudjuk meghatározni két fizikai objektum egymáshoz képesti sebességét? Ez csak úgy lehet, ha létezik valamilyen kölcsönhatás a két objektum között, például az egyik helyen kibocsátott fénysugarat megfigyeljük a másik helyen. A megfigyelésnél alapul vesszük, hogy mennyi volt a fény repülési ideje, de ha ez a távolságon kívül a sebességtől is függ, akkor a sebességmérés bizonytalanná válik.

A retardáció miatt jön létre a mágnesesség, ennek nagysága az elektromossághoz képest a töltés sebességének arányától függ a fénysebességhez képest. A relativisztikus hatás és  mágnesesség viszonyát szemléletesen mutatja meg Feynman (R. P. Feynman, R.P. Leighton, M. Sands, „Mai Fizika, VI. 101-105 old., Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1970) A mozgó töltésre ható erőt keressük, amikor a t időben a B pontban lesz: A retardálás hatását mutatja az ábra az u sebességgel mozgó töltés esetén, ha a Coulomb erőt vesszük alapul

 Az x irányban u sebességgel haladó ponttöltés retardációs hatása

Mivel a fénynek is időre van szüksége, hogy az A pontból megérkezzen B-be, így a B pontban érzékelt erőt egy korábbi t’ idő alapján adhatjuk meg, amikor a töltés még a B’ pontban volt.

Az ábráról látható, hogy a Coulomb erő nem a sztatikus esetnek megfelelő AB irányban mutat, hanem lesz egy erre merőleges F’ komponense is a retardációs hatás miatt. Ez a retardációs erő a B  mágneses mezőhöz kapcsolódik, de nem azonos vele, mert nem veszi figyelembe a kölcsönhatás időtől függő komponenseit, viszont visszaadja annak nagyságrendjét. A mozgó töltésre ható tényleges erőt Lorentz formulája adja meg:

A töltések gyorsuló mozgása további erőhatáshoz vezet, így jön létre a fékezési sugárzás. Ennek hiánya az atomok elektron pályáin vezetett el a kvantummechanika törvényeinek megalkotásához. 

 Maxwell egyenletek és jelentőségük 

            Az elektrodinamika törvényeit foglalja össze a skóciai James Clerk Maxwell (1831-1879) négy egyenlete, amit a tudós 1864-ben tett közzé. A Maxwell egyenletekben kicsúcsosodó elmélet az elektromágnesség folyamatairól talán a klasszikus fizika legszebb része. Ennek fontosságát talán senki nem fogalmazta meg szebben, mint Feynman:

„A fizika fejlődésének legdrámaibb fordulatai azok, amikor a nagy szintézisek végbemennek, amikor különbözőknek látszó jelenségekről hirtelen kiderül, hogy voltaképpen egyazon folyamat különböző megnyilvánulásai. A fizikai tudomány sikerének alapja az, hogy képesek vagyunk ilyen szintézisekre.

A fizika XIX. Századi fejlődésének talán legdöntőbb pillanata az volt, amikor 1860-ban egy szép napon J. C. Maxwell az elektromosság és a mágnesség törvényeit összekapcsolta a fény viselkedésének törvényeivel. Ennek eredményeképpen sikerült részben megmagyarázni a fény tulajdonságait . . . a fényét, amely ősidők óta finom, rejtélyes szubsztancia volt, olyan fontos, hogy a világ teremtéséről szóló fejezetben a bibliaírók külön aktusként írták meg a fény teremtését. „

Ehhez még hozzátehetjük, hogy Maxwell egyenletek már magukban hordozták a speciális relativitás elvét, hiszen már Lorentz is ebből vezette le az alapvető transzformációs egyenleteket. Sőt, a hullámegyenletek révén előkészítője volt a XX. Századi fizika másik forradalmi felismerésének is, ami végül elvezetett a hullámmechanikának is nevezett kvantummechanikához. Az igazsághoz az is hozzátartozik, hogy Maxwell sem előzmények nélkül alkotta meg a klasszikus elektrodinamika máig érvényes elméletét. Munkásságát a kísérletek és az elméleti felismerések hosszú útja előzte meg, melyek sorából érdemes kiemelni Gauss, Ampère és Faraday eredményeit. 

Fizikai elvek a matematikai formulák mögött 

Korábban már utaltunk Feynman előadásaira alapozott könyvre, amely példa arra, hogyan lehet a mai fizika legfőbb törvényszerűségeit precízen és élvezhetően összefoglalni. Különösen szemléletes a matematikai formalizmus fizikai tartalmának érzékeltetése a választott példák sorozatán keresztül, és a fizikai gondolkozás megértéséhez nagy segítséget jelent olyan fejezetek beiktatása, ami a legkisebb hatás elvét tárgyalja, vagy ahogy utal a tudomány és fantázia kapcsolatára. Az általunk követett szemlélet azonban eltér Feynman koncepciójától a fizikai modellek és a matematikai egyenletek vonatkozásában. Itt idézek a könyvből:

 „Ma már világosabban értjük, hogy az egyenletek a fontosak, és nem az a modell, aminek révén eljuthatunk az egyenletekhez. Pusztán az a kérdés, vajon az egyenletek helytállóak-e vagy hamisak? A választ csakis a kísérletek adhatják meg, márpedig a Maxwell egyenletek helyességét megszámlálhatatlan kísérleti bizonyíték támasztja alá. Ha nem tekintjük az elmélet felépítéséhez használt „állványzatot”, megjelenik előttünk a Maxwell egyenletek gyönyörű „épülete”.”

Bár Maxwell elképzelése az elektromágnességet közvetítő médiumról ma már túlhaladott, ebből még nem következik, hogy az alkalmazott fizikai modell kevésbé lenne fontos, mint a matematikai egyenletek.  Ezért én inkább úgy képzelem, hogy a matematikai egyenletek képezik azt a szilárd gerendázatot, ami biztosítja a fizika épületének szilárdságát, stabilitását, de a lényeges mégis csak maga a teljes épület, ami megtestesíti a fizikai világképet.

Méltán tartjuk ezeket az egyenleteket a klasszikus fizika csúcspontjának. Ez a fizikai elméletek egyesítésének egyik mérföldköve, ami által sikerült a tünékeny és megfoghatatlan fény természetét összekapcsolva az elektromágnesesség jelenségeivel. 

A folytonosság paradigmája a klasszikus fizikában 

 Galvani békacomb kísérleteitől indulva történelmi távlatban rendkívül rövid idő alatt teljesedett ki az elektromágnesesség klasszikus elmélete (Galvani nevezetes publikációját 1791-ben jelentette meg). Mielőtt továbblépnénk érdemes elgondolkozni rajta, hogy mi jellemezte ennek a korszaknak a gondolkozását és minek köszönhető a tudomány látványos fejlődése. Ha egyetlen fogalmat akarunk kiemelni, akkor a folytonosságot kell megemlíteni. Úgy képzelték el, hogy a tér folytonos, az idő folytonos, folytonos a mozgás is, az anyag és jellemzői a tömeg és a töltés is folytonosan tovább osztható. Ebből indult ki Newton is, amikor a fizikában bevezette a differenciálok fogalmát, amely a folytonosság elvének matematikai tovább fejlesztése a függvények birodalmában. Felismerte, hogy a makrovilág bonyolult törvényei sokkal egyszerűbbek, ha elmegyünk a végtelenül kis változások birodalmába és differenciálegyenletekkel fogalmazzuk meg a legfontosabb összefüggéseket. Ez az út látványos eredményeket hozott a mechanikában és ez segítette elő a termodinamika és az elektromágnesesség törvényeinek megalkotását, Maxwell is így írta fel egyenleteit. Viszont a végtelenül kis változásokból el kell jutni a makroszkopikus törvényekig is. Ebben adta meg az útmutatást a zseniális német matematikus Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Az integrálszámításban a végtelenül apró elemekből végtelenül sokat összeadva juthatunk el a makroszkopikus törvényekig. A differenciálszámításban a skaláris és vektoriális műveleteket (gradiens, divergencia, rotáció) meg kell fordítani és ennek törvényeit adta meg Gauss. Emiatt a Maxwell egyenleteknek is két formáját szokás megadni, az egyik a differenciális, a másik az integrális alak. 

Töltés és áramsűrűség 

 A szuperpozíció elve szerint különböző töltések és áramok hatása összeadható. Bár az atomfizika a töltést már elemi egységekre bontja az elektrontöltés többszöröseként, a gyakorlatban mégis használhatjuk a folytonosság elvét a töltések óriási száma miatt, amelynek nagyságrendjét az Avogadro szám (600 000 000 000 000 000 000 000) adja meg (Amadeo Avogadro, olasz fizikus, 1776-1856). Ennek megfelelően kiválaszthatunk egy kis térfogatot, amiben még mindig nagyon sok töltés van. Ha ez a tartomány elég kicsi, akkor ezen belül a töltések sűrűsége, valamint a töltések sebessége, azaz az áram, állandónak vehető, amiért bevezethetjük a töltéssűrűséget:ρ = dq/dV   és az áramsűrűséget:

.

A Maxwell egyenletekben a sűrűségekből kiindulva határozhatjuk meg az elektromos és mágneses mezőket. Az első törvény mondja ki, hogy az elektromos mező forrása a töltéssűrűség, a második szerint a változó mágneses mező maga körül cirkuláló elektromos mezőt kelt, a harmadik törvény kimondja, hogy nincs mágneses töltés, a negyedik törvény szerint a cirkuláló mágneses mezőnek két forrása van: egyrészt az áramsűrűség, másrészt az elektromos mező változása. 

 Maxwell egyenletek fizikai tartalma 

A köznapi gondolkozás számára komoly kihívást jelent, hogy megbarátkozzon a vektorok differenciálegyenleteivel, ezért ezek bemutatása helyett, megelégszünk az egyenletek tartalmi ismertetésével, abban a reményben, hogy az olvasó számára az elektromágnesesség törvényei így is világosak lesznek. Az első Maxwell törvény, voltaképpen a Gauss törvény, amit nevezhetünk forrástörvénynek is, ekvivalens a nyugvó töltés Coulomb formulájával. Ezek szerint az elektromos mező nagysága a koordináta térben a pontszerű töltésből kiindulva sugárirányban csökken a felülettel, azaz a távolság négyzetével. Ezt úgy szemléltethetjük, hogy a töltésből kiinduló erővonalak bármely távolságban ugyanakkora számban metszik a gömb felületét, szokás ezért a Gauss törvényt az erővonalak megmaradási törvényének is hívni. A harmadik Maxwell egyenlet ennek ikertestvére lehetne a mágneses mező felépítésében, viszont nincs mágneses töltés, azaz mágneses monopólus. A szimmetriát kedvelő fizikusok ebbe nem nyugodtak bele, ezért létrejött egy „fizikus szekta”, akik kiegészítették ezt az egyenletet valamilyen kísérletileg sohasem látott mágneses monopólussal. Persze ha létezne mágneses töltés, akkor mágneses áram is lenne, ezért a második Maxwell egyenletet is bővíteni kellene. Evvel teljes szimmetriát kapnánk az elektromos és mágneses mezők között, de hát a természet – bár szereti a szimmetriát – sohasem törekszik a tökéletes szimmetriára. Sőt épp a szimmetriától való eltérés a fizikai jelenségek talán legfontosabb mozgató rúgója. Ha létezne mágneses monopólus, akkor az elemi részecskéket is fel kellene ruházni evvel a tulajdonsággal, és az sem lenne igaz, hogy a mágneses mező értelmezhető lenne az elektromos kölcsönhatás relativisztikus hatásaként. Ezért a magunk részéről nem akarunk a mágneses monopólusok kérdésével a továbbiakban foglalkozni.

De honnan származik a mágneses mező, ha nincs közvetlen forrása? Erre adta meg a választ a francia fizikus André-Marie Ampère (1775-1836), amikor megállapította, hogy az elektromos áram – azaz a mozgó töltés – maga körül forgó mágneses mezőt hoz létre. Ezt egészítette ki Maxwell a negyedik törvényben, de mielőtt erre rátérnénk, beszéljünk a második törvényről, amelyet az angol Michael Faraday (1791-1867) állapított meg! Ez kimondja, hogy az elektromos mező nem csak a töltés sztatikus hatásától származik, amit az első törvény mond ki, hanem akkor is létrejöhet, ha a mágneses mező változik. Ez a másodlagos elektromos mező a mágneses mező erővonalait öleli körül.

Maxwell negyedik törvénye az Ampère törvény kiegészítése egy új taggal, amit eltolódási áramnak is hívnak, mert az elektromos mező változása olyan hatást kelt, mint a mozgó töltések. Az új tag azt írja le, hogy az elektromos mező időbeli változása mágneses mezőt indukál az erővonalak körül. Miért lett ez a kiegészítés olyan óriási jelentőségű, amiről Feynman is olyan szépem írt?  Ennek oka, hogy szimmetrikus hatást hoz létre a két mező között, az egyik időbeli változása létrehozza a másikat, amelyik körülötte forog, és ez a hatás ide-oda megtörténik. Evvel a mechanizmussal gerjeszti egymást a két mező. Emiatt az elektromágneses mező leválik forrásáról a töltésről és áramokról, és önmagában létező fizikai szubsztancia lesz. Ott lesz tehát a vákuumban a két egymást körülölelő mező. amely fénysebességgel terjed a térben. Ennek oka, hogy a két mezőt összekapcsoló egyenlet – amit hullámegyenletnek nevezünk – olyan megoldással rendelkezik, amely előírja a fénysebességű haladást. Ez a hullám pedig nem más mint maga a fény! 

Lorentz erő 

A Maxwell egyenletek kizárólag az elektromágneses mező idő- és térbeli változásával foglalkoznak, de nem mondják meg, hogy maga az elektromágneses mező milyen erőhatást gyakorol. Ezt adja meg a Lorentz erő, amely szerint az elektromos mező az álló helyzetű töltésre, míg a mágneses mező a mozgó töltésre hat. Ez voltaképpen az elektromos és mágneses mezők definíciója: az elektromos mező az egységnyi töltésre gyakorolt erő, míg a mágneses mező az u sebességgel mozgó egységtöltésre ható erő szorozva a  c/u aránnyal. A Lorentz erőben megjelenő u/c együttható mutatja, hogy a mágneses mező voltaképp az elektromos kölcsönhatás relativisztikus effektusa. Viszont a c sebességű fényben a mágneses mező az elektromos mező egyenrangú társává válik, mert nem csökkenti erejét a töltés fénynél lassabb mozgása. 

 Maxwell egyenletektől a modern fizikáig

A Maxwell egyenletekből két út vezet a modern fizikához. Egyrészt az egyenletek szimmetriája megfelel a relativisztikus szabályoknak, így hozzájárulnak a relativitáselmélet megszületéséhez is. Másrészt bár az elmélet folytonos töltésekre és áramokra épül, mégis olyan az elektromágnesesség hullámegyenlete, amely összhangban van a kvantummechanika állapotegyenletével. a Schrödinger egyenlettel.

A blog további írásainak összefoglalása a linkekkel együtt: „Paradigmaváltás a fizikában”

A kvantummechanikai alagúteffektus ma már a mindennapi technika részévé vált az alagútdiódák kifejlesztésével, szintén fontos a szerkezetvizsgálatban is a szkenning alagútmikroszkópia területén, sőt ezen keresztül egy új tudományág, a kvantumbiológia kialakulásának is a tanúi vagyunk, de mi ennek a titokzatos jelenségnek az alapja? Ennek megértéséhez szükség van a mikrovilág törvényeinek megismerésére, amely sokban különbözik a klasszikus mechanika megszokott szabályaitól. Induljunk ki először egy klasszikus példából, például, hogyan tudja egy magasugró átugrani a magasra tett lécet?

A magasugró példája

Az a sebesség, amivel egy jó ugró felpattan a rekortánról 5 m/s körül van. Milyen magasra emelkedhet? A felfelé történő mozgás kinetikus energiája ½mv² alakul át az m·g·h potenciális energiává, amikor eléri a maximális magasságot, ezért h =  ½v²/g = 127 cm az elérhető emelkedés, figyelembe véve a test súlypontjának magasságát, ami az ugró testalkatától függ ez megtoldható 80- 100 centiméterrel, de ezzel még csak maximum 227 cm-nél tartunk, aminél a magasugrás világcsúcsa jóval nagyobb (245 cm, Sotomayor, 1993). Ennek oka, hogy megfelelő ugrástechnikával (Fosbury flop) a súlypont alatta maradhat a léc magasságának, mert az ugrás közben a test forgást végez, és amikor a léc fölé ér, a hát meghajlításával a  kéz, a fej és a lábak megfelelő pozíciójával a súlypont alacsonyabbra kerül. Természetesen az elektron nem tud hasonló eszközökkel élni, viszont segíti a kvantummechanika alagúteffektusa.

Kvantummechanikai alapfogalmak

Az alagúteffektus megértéséhez elengedhetetlen a kvantummechanika néhány alapelvének megfogalmazása. Ezt részletezi az „Út a kvantummechanika megértéséhez” című bejegyzés, amelynek itt csak néhány alapelemét ismertetem. Ami a legfontosabb, hogy értsük a klasszikus fizikai és a kvantumelven alapuló gondolkozás különbségét. Amikor mozgásokat írunk le, három alapkérdésre kell válaszolni: mi az ami állandó marad, mi az ami megváltozik és végül, hogy mi hozza létre a változást.

Az energia operátor és az állapotfüggvény

Minden mozgás, minden fizikai átalakulás legfőbb állandója az energia. Ez voltaképp az energia definíciója. Ha valami időben nem változik, arra a fizika azt mondja, hogy a vizsgált rendszer állapota állandó marad. A kvantummechanika alapelve, hogy a fizikai mennyiségeket hatásuk alapján definiálja, ennek megfelelően az energia operátora az a hatás, amely nem változtatja meg időben a fizikai objektum állapotát. Az idő szerinti változtatás matematika megfelelője a δ/δt differenciálhányados, ezt alkalmazzuk valamilyen δ(t) függvényre, amit a vizsgált fizikai objektum állapot meghatározójának tekintünk. Az állapotfüggvény változatlanságán azt értjük, ha képezzük ennek differenciálhányadosát, akkor egy konstans szorzótól eltekintve változatlan alakban kapjuk vissza az eredeti függvényt. Ez a konstans szorzó, amit az operátor sajátértékének nevezünk, határozza meg a klasszikus értelemben vett energiát. Szorozzuk még meg az idő szerinti differenciálhányadost a redukált Planck állandóval és az imaginárius egységgel, hogy eljussunk az energia operátorához (ennek indoklását a fent említett bejegyzés tárgyalja):

 Schrödinger egyenlet

A mechanikai energiát két tag összege adja meg akár a klasszikus, akár a kvantummechanikáról van szó, mégpedig a kinetikus és a potenciális energia: E = E_kin + V. Nem-relativisztikus közelítésben a kinetikus energia:

A p = m·v impulzus a mozgás másik fontos „megmaradási” mennyisége, amely a Noether-elv szerint azt fejezi ki, hogy a térkoordináták kezdőpontjának megválasztásától nem függ az impulzus értéke. Fogalmazhatunk úgy is, hogy az impulzus hatása a térbeli eltolással szembeni változatlanságban mutatkozik meg. Válasszuk meg a mozgás irányában az x tengelyt, ekkor a részecske mozgási állapotát jellemző ψ(x) állapotfüggvény x szerinti deriváltja, azaz δ/δx írja le az impulzus hatását. A megfelelő fizikai dimenzióhoz úgy jutunk el, ha a deriváltat szorozzuk a ℏ/i együtthatóval, mely szerint az impulzus operátora: ℏ/i ·δ/δx. Ezt behelyettesítve a kinetikus energiában p helyébe jutunk el az egydimenziós Schrödinger egyenlethez:

Stacionárius állapot

Ha a potenciális energia csak x-től függ és időben változatlan, akkor az egyenletből származtathatjuk az időtől független E energiát, ezt nevezzük stacionárius megoldásnak, amelyhez olyan állapotfüggvény tartozik, amelyben az idő és térkoordinátától függő rész szétválik:

A mozgást leíró klasszikus pálya abban tér el a kvantummechanikai állapotfüggvénytől, hogy az előbbiben nem választható szét a térbeli és időbeli függés, amit a sebességgel és a gyorsulással adunk meg. Stacionárius állapotban viszont nem beszélünk sebességről és gyorsulásról, pontosabban azt mondjuk, hogy kötött állapotban ezek várható értéke nulla. A várható érték egy statisztikai jellemző, amely megmondja, hogy átlagban mekkora az egyes fizikai mennyiségek értéke és az átlagot a Ψ(x,t) függvénnyel képzett integrál adja meg.

A hullámfüggvény rejtett fázisa

Minden kvantummechanikai számításnál, legyen szó a részecske térbeli tartózkodásának valószínűségéről, az egyes fizikai mennyiségek várható értékéről, vagy két stacionárius állapot közötti bekövetkező átmenet valószínűségéről, fellép az állapotfüggvény és ennek komplex konjugáltjának szorzata. Ennek a szorzatnak a teljes térre számított integrálját választjuk egységnek, ami a részecske identitásának kritériuma, amivel azt fejezzük ki, hogy mindig a teljes részecskét definiáljuk a térben és nem annak törtrészeit. Ez a matematikai eljárás a hullámfüggvény normálása.

A szorzat alakban felírt állapotfüggvény (lásd a 4. egyenletet) második tényezője az időbeli változás exponenciális függvénye, amely olyan periodikus változást ír le, ahol az amplitúdó egységnyi:

Itt a periodikus változás körfrekvenciáját az energia határozza meg: ω = E/ℏ. A kvantummechanikai részecske, például az elektron az atomban és molekulákban, eszerint „láthatatlan” körforgást végez, amit az időben változó ω·t fázis jellemez. Ez a fázis azonban rejtett marad, mert az exponenciális függvény szorzata komplex konjugáltjával egyet ad ki, vagyis nem módosítja sem az egyes operátorok sajátértékét, sem az átmeneti valószínűséget, más szóval ez a fázis nem mutatkozik meg méréseink eredményében. A fizikai mennyiségeket kizárólag az állapotfüggvény φ(x) tényezője határozza meg, amely viszont valószínűségi jelleget ad méréseinknek, ennek jól ismert folyománya a Heisenberg féle bizonytalansági reláció. Összefoglalóan úgy is fogalmazhatunk, hogy a stacionárius állapotban történő mozgás nem a tér és idő, hanem a tér és valószínűség dimenzióiban megy végbe.

EPR paradoxon

Bár az időben periodikusan változó fázisnak nincs közvetlen szerepe méréseink kiértékelésében, még is fontosak, ha érteni akarjuk a kvantummechanikai folyamatok statisztikus jellegét és az interferencia jelenségét. Amikor az elektromágneses sugarak elektronokra gyakorolt hatását vizsgáljuk, csak annak valószínűséget tudjuk megmondani, hogy mi lesz a kölcsönhatás eredménye, de mi történik, ha egy konkrétan kiválasztott elektronról, vagy fotonról van szó, akkor mi dönti el a folyamat eredményét? Ilyen és hasonló kérdéseket tárgyal az EPR (Einstein-Podolsky-Rosen) paradoxon. A paradoxon feloldását épp a rejtett fázis segítségével találhatjuk meg (lásd: EPR paradoxon).

Az alagúteffektus potenciálfüggvénye

A kvantummechanikai mozgások jellegének ismeretében már felkészültek vagyunk, hogy megértsük az alagúteffektust is. Kövessük a legtöbb tankönyvben ismertetett utat. Először építsük fel azt a potenciálteret, amiben tanulmányozhatjuk a jelenséget. Egydimenziós közelítést alkalmazunk, amelyben az x koordináta mentén különböztetünk meg szakaszokat. Az első szakasz a negatív x értékekre korlátozódik, ahol a potenciális energia megadása nélkül csak annyit tételezünk fel, hogy a részecske valamilyen E energiájú stacionárius állapotban van. A második szakasz x = 0-tól x = d-ig tart, ahol fellép a V₀ potenciálgát, majd a harmadik szakaszban, ahol x nagyobb d-nél ismét legyen V = 0. Stacionárius állapotról van szó, ezért mindhárom szakaszban az energia E lesz. A Schrödinger egyenlet az időtől való függés leválasztása miatt csak a φ(x) függvényre szorítkozik:

A hullámfüggvényt kielégíti az

exponenciális függvény, ahol a k hullámszámot meghatározó összefüggés:

Az exponenciális függvény egydimenziós hullámot ír le. Az első és harmadik szakaszban V = 0, ezért a két esetben megegyezik a k hullámszám. A gáthoz érkező hullám részben visszaverődik, ezt úgy vesszük figyelembe, hogy egy A’ amplitúdójú és negatív exponensű tagot is felírunk. A harmadik szakaszban csak továbbhaladó hullámmal számolunk, amelynek amplitúdóját C-vel jelöljük. A második szakaszban viszont olyan a potenciálgát, amely magasabb az E energiánál, amiért negatív számból kell elvégezni a négyzetgyökvonást a (8) definíciós egyenletben, és így a gátba behatoló hullám elveszti periodikus jellegét és exponenciális növekedésnek, illetve csökkenésnek felel meg, amit a

kitevővel és B illetve B’ amplitúdókkal jellemzünk:

Az állapotfüggvény illesztése

Az alagúteffektus átviteli tényezőjét az A bemenő és a C továbbhaladó hullám amplitúdó négyzetének aránya fejezi ki, amit megkaphatunk a hullámfüggvény szakaszhatárokon való illesztésével. Az illesztés a függvények folytonos áthaladásán kívül megköveteli a deriváltak folytonos áthaladását is, mert csak így értelmezhető a hullámegyenletben szereplő második derivált. Ez négy független összefüggést jelent, amely elegendő az C²/A² arány meghatározásához:

A transzmisszió függése a gátmagasságtól és szélességtől

A transzmissziós valószínűség egyaránt függ a potenciálgát magasságától és szélességétől. Ezt mutatja be az ábra az E = 1 eV = 1,6·10^-19 J energiájú elektron esetében.

A vízszintes tengelyen a V₀ potenciálgát magassága szerepel 1 és 5 eV között, a fekete vonal felel meg 0,2 nm, a zöld 0,4 nm, a lila 0,6 nm és a piros 1 nm szélességű potenciálgátnak, demonstrálva a körülményeket, amikor a vezetőben egy, kettő, három, vagy öt molekuláris szigetelő rétegen kell az elektronnak átugrani. A függőleges tengely mutatja a transzmissziós valószínűséget, ahol az egység felel meg annak az esetnek, amikor minden elektron áthalad a potenciálgáton.

Látható, ha csak egyetlen szigetelő réteg van, akkor még jelentős magasságú gáton is áthaladhat az 1 eV energiájú elektron.

A számítások szemiklasszikus jellege

Bár a fent bemutatott számítások megfelelő leírást adnak a kísérletileg megfigyelhető alagúteffektusra, a belőle levonható elvi megállapításokat óvatosan kell fogadni, mert az eljárás nem követi a kvantummechanika szigorú szabályait, hanem ötvözi azt a klasszikus fizika elemeivel. Helyesebb ezért a módszert szemiklasszikusnak nevezni, ahogy ez Geszti Tamás könyvében is szerepel („Kvantummechanika”, Typotex, 2014, 67. oldal). Sajnos vannak olyan tankönyvek is (G. Heber – G. Weber, „A modern kvantumfizika alapjai”, Műszaki Könyvkiadó, 1964, 97. oldal), ahol úgy illusztrálják a klasszikus és kvantummechanika különbségét, hogy nem tesznek említést a számítás szemiklasszikus jellegéről, már pedig megtévesztő két módszer különbségéről úgy beszélni, hogy közben a módszerek kombinációját alkalmazzuk.

Vegyük hát sorra, hogy milyen kvantummechanikával ellentétes lépéseket tettünk az előzőekben.

1. A kvantummechanikai függvények megkövetelik a normálhatóságot, mert ez fejezi ki, hogy egy egész részecskét írunk le. A bevezetett hullámfüggvények azonban nem normálhatók.
2. Stacionárius állapotban nem beszélhetünk arról, hogy a részecske valamilyen potenciálgáton áthalad, mert nem tartozik az ilyen állapothoz időfüggés, csak valószínűségi eloszlás. Időbeli folyamatot a kvantummechanika két stacionárius állapot közötti átmenetként tud kezelni.
3. Nem lehet a hullámegyenletet külön szakaszokban megoldani és utólag a hullámfüggvényt összeilleszteni, mert a kölcsönhatásban a teljes térre kiterjedő elektroneloszlás egyidejűleg vesz részt. Ez felel meg annak, hogy az elektron a teljes potenciálteret „letapogatja”, és nem csak a potenciálgátat érzékeli.

Alagúteffektus az alfa-sugárzásban

Térjünk most vissza a magasugró példájához. A mozgás egymás utáni szakaszokra bontható térben és időben, először jön a nekifutás, majd az elrugaszkodás és végül az ugró átlibben a léc felett. Itt az elrugaszkodás pillanatában kell összegyűjteni azt a mozgási energiát, ami elég lesz a potenciálgát leküzdéséhez. Vessük ezt össze egy kvantummechanika példával, az alfa-bomlással, amit az alagúteffektussal lehet magyarázni. Ennek megfigyelése az atomfizika hőskorában történt Henry Becquerel (1896) és a Curie házaspár (Marie és Pierre) által. Az alfa-sugárzás során Hélium atommagok távoznak a radioaktív elemből, míg a béta-sugárzásban elektronok, a gammában nagy energiájú elektromágneses sugarak lépnek ki. A radioaktív elemet száz körüli proton és neutron építi fel. A magot összetartja a nukleonok közötti erős kölcsönhatás, amit gyengít a protonok egymást taszító hatása. A nukleonok mozgása héjakba rendeződik, a legstabilabb héjban, ezt nevezik s héjnak, két proton és két neutron helyezkedik el. A héjakban történő mozgáshoz kinetikus energia tartozik, ami azonban nem elég a magból való kilépéshez. Mégis időről időre egy-egy alfa részecske kiszabadul, ezt lehet magyarázni az alagúteffektussal.

Az alagúteffektus következetes kvantummechanikai számítása

 Ennek következetes kvantummechanika számítása úgy történik, hogy számba vesszük a teljes potenciális energiát és meghatározzuk a soknukleonos rendszer lehetséges energianívóit és a hozzátartozó hullámfüggvényeket. Lesz olyan megoldás, amelyben az alfa-részecskét felépítő nukleonok tartózkodási valószínűsége a potenciálfüggvény belső tartományába esik, de mindig van egy kis valószínűsége annak is, hogy a nukleonok a külső tartományban vannak. Ezek a kötött állapotok. A klasszikus példával szemben, tehát a nukleonok „kívül” is vannak, meg „belül” is egy időben. De olyan megoldást is kapunk, ahol már kikerülnek a nukleonok a belső tartományból. A kvantummechanika játékszabályai szerint képezhetjük a két állapot közötti átmeneti valószínűséget, amelyben kulcsszerepet játszik a kötött állapot hullámfüggvényének külső tartománya. Az ilyen számítás természetesen rendkívül összetett és számos numerikus közelítő eljárást igényel. Emiatt szokás a fentiekben ismertetett szemiklasszikus, vagy úgynevezett szemiempirikus módszerekhez folyamodni, de ilyenkor tisztában kell lenni avval, hogy számításaink csak közelítő érvényűek. 

Csillagok fúziós reakcióinak alagúteffektusa

Az alagúteffektusnak köszönhetjük, hogy a csillagok és közötte Napunk is évmilliárdokig ontják magukból a fényt és a hőenergiát. A csillagok „üzemanyaga” a két nukleon: a proton és a neutron. Ha ebből kettőt-kettőt összeházasítunk, akkor a Hélium mag képződésével óriásai energia szabadul fel: ez a fúziós reakció. Van azonban egy óriási akadály: a protonok közötti elektromos taszító erő, amely olyan potenciálgátat alkot, amelyet először át kell lépni ahhoz, hogy a nukleonok elég közel kerüljenek egymáshoz, amikor is a nukleáris vonzóerők működésbe léphetnek. A potenciálgát átlépéséhez még az a hőmérséklet sem elég, ami a csillagok belsejében uralkodik (14 millió Kelvin), ezért szükség van egy közvetítő láncolatra, amelyben a Hélium mag több lépésben épül fel. Ennek két alaptípusát tételezik fel, amíg a Napban és a hozzámérhető méretű csillagokban a felépülés három lépcsőben történik deutériumon és ³He izotópon át, addig a nagyobb tömegű csillagokban egy hatelemű ciklus jön létre, amelyben részt vesznek a szén, a nitrogén és az oxigén izotópjai, ahol már az alagúteffektus elegendő hatásfokú az egyes reakciólépések fenntartásához. Ez vezet egy jól kontrollált folyamathoz megakadályozva a csillagok felrobbanását szupernóvaként.

Alagúteffektus fémes, fél- és szupravezetőkben

Az alagúteffektus magyarázza, hogy miért tudjuk felgyújtani a lámpát szobánkban. A fémes vezető felülete oxidálódik, ami szigetelőréteget hoz létre a kapcsolóban. Ezt azonban az elektronok átugorhatják az ismertetett okokból. Szupravezetőkben is fellép hasonló effektus, ami különösen jellemző a magas hőmérsékletű szupravezető kerámiákban. Ez a Josephson effektus, amelyet felhasznál a korszerű méréstechnika is. A legismertebb alkalmazás a félvezetőket illeti, amikor az alagúteffektus segítségével alakíthatunk ki olyan vezetési mechanizmust, amelyben az áram csak egy irányban folyhat, ezek az alagútdiódák. Ennek változata, amikor a dióda rezonanciaszerűen működik, mert a diszkrét kvantumnívók közötti átmenet valamilyen kritikus feszültség esetén jön létre.

A fémfelület egyes atomjainak megfigyelését teszi lehetővé a szkening alagútmikroszkóp (STM, scanning tunneling microscope). A működés alapja, hogy az alagúthatás kritikusan függ két fémes vezető anyag közötti távolságtól (az egyik a mérőtű, a másik a vizsgált fémfelület), a mérés pontossága eléri a tipikus atomméret egy százalékát (0,001 nm).

Kvantumbiológia

Az alagúteffektus fontosságát felismerte a biológia is, ami egy új tudományág a kvantumbiológia kifejlődéséhez vezetett. Ez a hatás szerepet játszik a fotoszintézisben, sejtek lélegzésében és különböző enzimatikus folyamatokban, így a DNA spontán mutációjában is. Az utóbbi reakció a protonok alagúteffektusán alapul a hidrogénhidak átrendeződése során.

A blog további írásainak összegzése a megfelelő linkekkel megtalálható a „Paradigmaváltás a fizikában” című bejegyzésben.

Periodikus változások, mint a rezgések, vibrációk vagy hullámmozgások általános jelenségek mind a makro- mind a mikrovilágban. Megfigyelhetjük bármilyen fizikai közegben, legyen az szilárd, cseppfolyós vagy gáz, sőt még vákuumban is.  Ennek sok formáját ismerjük a természetben, rezeghet egy húr, rezeghet a levegő is, ami a hang formájában érkezik fülünkbe, hullámzik a víz, de rezeg az elektromágnesesség is a rádióhullámoktól kezdve a látható fényen át a gammasugarakig. Bizonyos objektumok egyes részei külön-külön is rezeghetnek, erre példa a molekulák kötéshosszának rezgése, a vibráció. De gyakran általánosítjuk a hullám fogalmat az élet, a társadalom és a gazdaság jelenségeire is. Mi a közös és mi az eltérő ezekben a periodikus jelenségekben? Ezt a kérdést taglalja a következő írás.

A periodikus változás jellemzői

Az első kérdés, amit fel kell tenni, hogyan jellemezzük a periodikus változásokat. Ennek egyik típusa a rezgés, amikor a periodikus mozgás helyhez kötött, a másik a hullám, amikor valamilyen közegben tovább terjed az időben ismétlődő változás. A hullámnak három fő jellemzőjét emelhetünk ki: a periodikusság térbeli és időbeli hosszát és a haladás sebességét. A térbeli ismétlődés egysége a hullámhossz, amit λ-val jelölünk, az időbeli hossz a „T” periódus idő, amelynek reciproka az „f” frekvencia, végül a sebesség, aminek szokásos jelölése „c” a latin celeritas után. A három mennyiség azonban nem független egymástól, mert a hullámhossz és a frekvencia szorzata a sebesség:λ·f = c.  A hullámzás mértékének további jellemzője az „A” amplitúdó és a φ fázis, ami megjelenik a hullám matematikai leírásában. Ha az idő függvényében írjuk le a hullámot, akkor az A·cos(2πf·t+φ), ha az „x” térkoordináta mentén, akkor az A·cos(2πc·x/λ+φ) függvényeket használjuk. Gázokban és folyadékokban a rezgési amplitúdó a haladási irányba mutat, ezt nevezik longitudinális hullámoknak, míg szilárd közegben a kitérés iránya lehet a haladási irányra merőleges is, ez a tranzverzális hullám. A tranzverzális hullám sebessége eltér és általában lassabb, mint a longitudinális. Erre ismert példa, ahogy földrengés esetén a longitudinális hullámok hamarabb érkeznek meg, mint a tranzverzális rezgések, az előbbiek emellett rövidebb utat járnak be, mert a Föld elasztikus magján is áthaladhatnak.

Rezgések szilárd közegben

 Hogyan hozhatunk rezgésbe egy testet és mi határozza meg a rezgés frekvenciáját?  Szilárd testeknél az alaktartósság a kiindulópont, ebben különbözik a folyadékokban és gázokban létrejövő hullámoktól. Az alaktartás egy erőt jelent, amely a testet eredeti alakjába hozza vissza és ez az erő határozza meg, hogy mekkora lehet a rezgés frekvenciája. Az erő jellemzője a rugalmassági modulus, amely kapcsolatot teremt a test méretváltozása, például a Δl megnyúlás és az ahhoz szükséges erő között, ami egy határon belül arányos egymással a Hook-szabály szerint: F = k· Δl. A molekulák szintén alaktartó fizikai objektumok, melyeket az atomok közötti kötéstávolság és kötésszög jellemez. Itt az alaktartáshoz tartozó erőt a kémiai kötés erőssége határozza meg.

A rezgések és hullámok csillapodása

Van azonban egy döntő különbség a makro- és a mikrovilág objektumai között: az előbbiben a hullám, vagy rezgés előbb utóbb elhal, csillapodik, ha nem érkezik újabb lökés, míg az utóbbi „örök” rezgésre van ítélve, amit a kvantummechanika zérusponti rezgésnek nevez. Ennek oka, hogy a makroszkopikus objektumokban a periodikus mozgás rendezettsége előbb-utóbb az egyes molekulák rendezetlen mozgásába megy át különböző véletlenszerű kölcsönhatások eredményeként. Ez a termodinamika entrópia növekedési törvénye, amely előírja, hogy a testekben a molekulák „kollektív” mozgásához tartozó mechanikai energiája átalakul rendezetlen mozgások hőenergiájává. Az entrópia fogalma a nagyszámok törvényéhez kapcsolódik (lásd: „Szimmetria jelenségek a mindennapokban és a modern fizikában”), és ez meghatározza, hogy az egyes vibrációk hányad része lehet „gerjesztett” illetve alapállapotban. Az egyedileg kiszemelt vibrációra azonban nem alkalmazható az entrópia elv, hiszen az mindig nagyszámú részecske eloszlását írja le. Ha a vibrációs állapotok száma eltér az egyensúlyi értéktől, akkor az átmenetek száma úgy alakul, hogy a mikroállapotok által képzett makroszkopikus fizikai mennyiség (például paramágneses rendszerben a mágnesezettség) közeledni fog az egyensúlyi értékhez. Bár minden egyes átmenet kvantált, a makroszkopikus paraméter mégis folytonosan változik, mert a molekulák óriási száma miatt az egyes ugrási lépcsőfokok a kis értékük miatt nem detektálhatók.

Kvantummechanikai mozgások a valószínűségi mezőben

A kvantummechanika minden egyes vibrációs állapotot – az alapállapotot is beleértve – hullámfüggvény periodikus változásával írja le, de ez a mozgás nem „látható”, mert a stacionárius (időben nem változó energiájú) állapotok nem bocsátanak, illetve nem nyelnek el fotonokat. A vibrációról mégis nyerhetünk információt, ha Röntgensugarakkal bombázzunk kristályokat. Ilyenkor az atomok térbeli elrendezését határozhatjuk meg, ahol az egyes atomok helyét meghatározó „foltok” nagysága tükrözi a vibrációs amplitúdót. Ez azonban nem időben jellemzi a vibrációt, hanem térbeli eloszlásán keresztül, megmutatva, hogy az egyes pozíciókat az atom mekkora valószínűséggel foglalja el. Úgy is fogalmazhatunk, hogy amíg a klasszikus mechanika időben ábrázolja a vibrációt, addig a kvantummechanika valószínűségi mezőben írja le a mozgást (lásd: Miért diszkrétek az energianívók kötött állapotban). Mivel a valószínűségi mezőben végbemenő mozgás nem jár detektálható fotonok kibocsátásával, vagy elnyelésével, a periodikus mozgás nem fog csillapodni.

A rugó rezgései

Rezgést egy szilárd testben úgy hozhatunk létre, ha energiát közlünk vele, ez lehet egyszeri, amikor egy kalapáccsal egy fémtárgyra ütünk, vagy meghúzunk egy rugót, de lehet periodikusan ismétlődő hatás is, például a hinta mozgásánál, amit megfelelő ütemben hajtunk meg, vagy centrifugáláskor, amikor a mosógépünk rázkódni kezd.

Nézzük meg a rugó példáját. Tegyünk rá egy súlyt, amitől megnyúlik. A ráható erő nagyságával lesz arányos a megnyúlás, legalább is egy határig. Ekkor a Δl megnyúlás kifejezhető Δl = k·m·g összefüggéssel („m” a tömeg, „g” a nehézségi gyorsulás). Ezen alapul a rugós mérleg is, amikor ismert súlyokkal kalibráljuk a mérleget és az így meghatározott skálát használhatjuk a súly, azaz a tömeg mérésére. De mérhetünk-e tömeget az űrhajóban, ha az a súlytalanság állapotában van? Ott hiába akasztunk egy tárgyat a rugóra az nem fog megnyúlni a gravitációs erő hiányában, de meghúzhatjuk a rugót a tárggyal együtt, majd engedjük el a tárgyat, ekkor a rugó rezgésbe jön, majd néhány rezgés után a mozgás megszűnik. Ez lehetőséget ad számunkra, hogy mérjük az időegység alatti rezgések számát, azaz a frekvenciát. A frekvencia a „k” erőállandó és a tömeg arányától függ. Ezt az összefüggést a Newton féle mozgástörvényből származtathatjuk, mely szerint a gyorsulás a testre ható „F” erővel arányos. Ennek differenciálegyenlete:

ahol „x” jelöli az egyensúlyi helyzettől való kitérést. Az egyensúlyi helyzetéből kimozdított rugót a rugalmas erő visszahúzza eredeti pozíciója felé, amit negatív előjellel vehetünk figyelembe, azaz F = -k·x. A differenciálegyenletnek eleget tevő periodikus függvény:

ahol f₀ a saját-, vagy rezonanciafrekvencia és φ a fázis:

A frekvencia tehát nem függ a kitérés „A” amplitúdójától, csak a „k” erőállandó és az „m” tömeg arányától. Ha a rugó saját tömege elhanyagolható a mérendő test tömegéhez képest, akkor ez az összefüggés módot ad rá, hogy a súlytalanság körülményei között is meghatározzuk a tárgy tömegét.  

Az ingamozgás

A sajátfrekvencia más példája az inga, vagy a hinta esete, mert ekkor nem az anyag rugalmas ereje hozza létre a lengést, hanem a gravitációs erő. Ha az „l” hosszúságú matematikai inga alfa szöggel kitér a függőleges iránytól, akkor a nehézségi erő érintő irányú komponense, azaz m·g·sinα erő fogja visszahúzni az ingát az egyensúlyi helyzet felé. A kilengés amplitúdóját az x = l.α ívhosszal jellemezhetjük és írjuk fel a mozgásegyenletet az alfa szöggel: α = x/l . Ha nem túl nagy a kitérés szöge, akkor sinα megegyezik a radiánban mért alfa kitérési szöggel, ebben a közelítésben a Hook-szabálynak megfelelő arányosságot kapunk, melyben k = m·g/l lesz. Ezt beírva a frekvencia kifejezésébe a k/m = g/l  egyenlőséghez jutunk, azaz az inga segítségével a Föld különböző pontjain mérhetjük a helyi nehézségi gyorsulás nagyságát.

A hullámok terjedési sebessége

Mechanikai hatásokkal bármely szilárdtest rezgésbe hozható, csak az a kérdés, hogy a rezgés meddig marad fent. Ennek a rezgésnek nem a frekvenciája jellemző a közegre, hanem a hullámok terjedési sebessége, amely a közeg rugalmasságától és sűrűségétől függ. Itt azért a sűrűség játszik szerepet, mert a külső deformáló erő miatt fellépő belső nyomás egyenletesen oszlik el a közegben és ez hozza mozgásba a homogén eloszlású tömeget. Az összefüggést leíró Newton-Laplace formulában szerepel a nyomás dimenziójú k’ rugalmassági modulus és a ρ tömegsűrűség:

A sebességnek eltérő értéke van longitudinális és tranzverzális rezgésnél, mert a hullám haladására merőleges rugalmassági modulus (nyírás irányú) gyengébb, mint a haladási irányú. A longitudinális sebesség vasban 5120 m/s, ami tetemesen meghaladja a hangterjedés sebességét vízben (1484 m/s), vagy levegőben (343,2 m/s), annak ellenére, hogy a vas sűrűsége a három közeg közül a legnagyobb. Ennek oka a nagy rugalmassági modulus, ami jóval meghaladja a víz, illetve a levegő nyomással szembeni kompressziós modulusát.

A zenei „a” hang

Folyadékokban és gázokban is érvényes a Newton-Laplace formula, ahol csak longitudinális hullámok jöhetnek létre, ha eltekintünk a víz felszínén kialakuló hullámoktól. A levegőben tovaterjedő sűrűsödések és ritkulásokat érzékeljük fülünkkel, ahol a periodikus változás frekvenciája határozza meg a hangmagasságot. Vegyünk egy 39 cm hosszú húrt és pengessük meg. Mit fogunk hallani? Ekkor is rezgések jönnek létre, amelynek hullámhossza a húr hosszúságához igazodik. Ha a húr két végét rögzítjük, akkor csak a húr közepe fog kitérni, amiért az alaphang hullámhossza a húr hosszának kétszerese lesz. A hullám terjedési sebességét figyelembe véve ez 6564 Hz-nek felel meg, ami rendkívül magas hang. Mi azonban csak a levegő rezgéseit hallhatjuk, mert a húron végigfutó longitudinális rezgések nem lökik meg a levegő molekulákat, erre csak a húr irányára merőleges kitérés képes. Ez viszont a levegőben 343,2/0,78= 440 Hz frekvenciájú rezgést produkál, ami megfelel a normál „a” zenei hangnak. Azonban a zenészek nem valamilyen húrt használnak a hangoláshoz, hanem a hangvillát, mert a húroknál kritikus a hőmérséklet és a rögzítés állandósága, emellett még zavarnak az intenzív felharmonikusok is. A hangvilla két ágának rezgési frekvenciája viszont kevéssé függ a körülményektől és értékét a villa szárainak hosszúságán kívül annak anyaga (sűrűség és rugalmassági modulus) és keresztmetszete határozza meg.

Molekuláris mozgások és rezgések

Az anyagok makroszkopikus tulajdonságai visszavezethetők a molekulák energia eloszlására. Jelöljük E_i-vel az egyedi molekulák energiaszintjeit. Szilárd testekben ezt a helyhez kötött mozgások, azaz a vibrációk határozzák meg, gázokban ehhez még hozzájárul a helyváltoztató mozgások energiája is, míg folyadékban a helyváltoztató mozgásoknak bizonyos fajtái jöhetnek létre. A lehetséges mozgástípusokat nevezzük a molekulamozgás szabadsági fokának. Egyensúlyi állapotban az E_i energiájú molekulák számát a hőmérséklet határozza meg, jelöljük ezt N_i,e-vel. Közöljünk energiát a rendszerrel, például úgy, hogy egy tárgyra kalapáccsal ráütünk, ha az szilárd, vagy egy dobra ütve hozzuk rezgésbe a levegőt. Molekuláris szinten ez azt jelenti, hogy megváltozik az E_i energiájú molekulák száma valamilyen N_i(0) értékre. A véletlenszerű mozgások kölcsönhatásba lépnek egymással (például gázokban ütköznek a molekulák), amely fokozatosan úgy változtatja meg az eloszlást, hogy az közeledni fog az egyensúly felé. Homogén anyagszerkezet esetén egyetlen T időállandóval jellemezhetjük ezt a változást, amely kimondja, hogy a változás sebessége arányos az egyensúlyi eloszlástól való eltéréssel:

Ez a differenciálegyenlet exponenciális közeledést ír le az egyensúly irányában:

Az egyes molekulák energiáját összegezve kapjuk a teljes energiát, ami ugyanevvel a „T” időállandóval közeledik az egyensúly felé. Ha a vizsgált tárgy rezgéseket végez, vagy egy gázban, illetve folyadékban követjük a hullámok terjedését, akkor az amplitúdó időbeli csökkenését a „T” időállandó határozza meg. Hasonló jellegű a csökkenés, amikor mágnesezettséget gerjesztünk periodikusan változó mágneses mező segítségével. (A molekulák vagy atomok mágneses dipólus momentumai hozzák létre a mágnesezettséget a mágneses mező hatására, ezt hívjuk paramágnesességnek) Valamennyi felsorolt esetben, ha kilökjük a rendszert az egyensúlyi állapotból, akkor ezt követően exponenciálisan fog a rendszer közeledni az egyensúlyhoz. Matematikailag ez azt jelenti, hogy a mozgás differenciálegyenletében fellép egy az idő szerint képzett első differenciálhányadosával arányos tag:

 Ha az „x” változó valamilyen irányban való elmozdulást jelöl, akkor a fenti kifejezés sebességgel arányos fékező hatást ír le. Mozgó járműveknél „s” a sebesség szorzója, amely kifejezi a súrlódás, vagy közegellenállás által okozott fékezési erőt, amelynek hatására, ha kikapcsoljuk a járművet meghajtó motort, akkor a jármű exponenciálisan lassul T = m/s időállandóval. Ha viszont mágneses jelenségeket vizsgálunk, akkor az „x” változó mágnesezettségnek felel meg és a csillapítási mechanizmus a relaxáció jelensége. A fenti energiaveszteségi tag okozza a rezgések és hullámok exponenciális amplitúdó csökkenését:

Ezt hívjuk csillapított rezgésnek, amely során a mozgási energia hőenergiává alakul át. Az f’ frekvencia eltér az f₀ sajátfrekvenciától a csillapítás hatására: f’² = f₀² – 1/4T². Az ábra mutatja a 10 Hz rezgés lefutását, ha a T csillapítási idő 0,5 s.

Itt a vízszintes skála az idő másodpercben megadva.

Kényszerrezgések

Amikor periodikus erőhatást gyakorolunk egy testre, akkor rákényszeríthetjük az alkalmazott frekvenciát, ez a kényszerrezgés. Ennek is van egy átmeneti szakasza, amit a „T” csillapítási idő határoz meg, de most foglalkozzunk az egyensúlyi válasszal. Ennek mértéke attól függ, hogy mennyire vagyunk közel a rendszer sajátfrekvenciájához. Ha épp egyezik evvel az alkalmazott frekvencia, akkor rezonanciáról beszélünk. A periodikus erő kifejezését a következő alakban adhatjuk meg:

Az egyensúly beálltakor az „f” frekvenciával gerjesztett rezgés amplitúdója fejezi ki a rezonanciát:

A második, egyszerűsített függvény a Lorentz görbe, illetve a Cauchy eloszlás. Példaként nézzük meg a rezonanciagörbét a korábbi lecsengést bemutató esettel, amikor is a sajátfrekvencia 10 Hz és a csillapítási idő 0,5 s:

Itt a vízszintes skála a frekvencia Hz egységben. A rezonanciagörbe élességét és az erősítés hatásfokát az f₀/T arány határozza meg, ami a fenti példában 20.

Mérések egyszeri és periodikus gerjesztéssel

A fizikai méréstechnikának két alaptípusa van, az egyikben meglökjük a rendszert és követjük az egyensúly időbeni visszaállását, a másikban valamilyen új egyensúlyi helyzetet hozunk létre. Legegyszerűbb példa erre a már említett súlymérés, ahol vagy a lengési frekvencia, vagy a megnyúlás mértéke ad felvilágosítást a súly nagyságára. A mérési pontosság szempontjából alapvető a „fékezés” hatása. Ha túl gyors a csillapodás, akkor kevesebb lengés alapján kevésbé pontos értéket kapunk a frekvenciára. Ha pedig a megnyúlást vizsgáljuk, akkor az erős csillapítás miatt a rugó nem éri el a teljes megnyúlást, mert már előbb lefékeződik. Pontos mérés tehát gyengébb csillapítást igényel, de ekkor a hosszabb mérési idővel fizetünk a nagyobb pontosságért.

Példák a mechanikai rezonanciára

Mechanikai rezonancia okozta Broughton híd leszakadását, amikor a katonák lépéstartással meneteltek át rajta 1831 április 12-én. A függő híd 44 méter távolságú felfüggesztéséhez 88 m hullámhossz tartozik. A tranzverzális rezgés saját frekvenciája 2 Hz körül lehetett megegyezve a menetelés ütemével.

Másik sokat emlegetett hídkatasztrófa a Tacoma Narrow Bridge esete, amelyik a szél hatására jött rezonanciába 1940 november 7-én, itt a felfüggesztési távolság 853 méter és a torziós rezgés saját frekvenciája 0,2 Hz volt. A katasztrófa eredeti magyarázatát von Kármán Tódornak köszönhetjük, akinek a vortex elméletét vették alapul annak magyarázatához, hogyan alakult ki a hídon torziós oszcilláció. Később a magyarázatot pontosították nem-lineáris hatások figyelembe vételével.

Mágneses rezonancia

Mágneses rezonanciát hozhatunk létre ha az anyagokat mágneses mezőbe helyezzük és egyúttal mikrohullámmal (ESR = Electron Spin Resonance vagy EPR = Electron Paramagnetic Resonance), vagy rádiófrekvenciával (NMR = Nuclear Magnetic Resonance) sugározzuk be. A kölcsönhatás alapja, hogy az elektronok, illetve bizonyos atommagok (például a proton) saját mágneses momentummal rendelkeznek. Mágneses mezőben a mágneses dipólus momentumok diszkrét energia értékeket vesznek fel és ezek különbségét osztva a „h” Planck állandóval kapjuk meg a rezonancia frekvenciát:  f₀ = ΔE/h. A rezonancia akkor lép fel, amikor a sugárzási frekvencia egyezik az f₀ értékkel. A hagyományos spektroszkópiában a mágneses mező folytonos változtatásával veszik fel a rezonancia jelet, de elsősorban az NMR-ben már rádiófrekvenciás impulzusokkal „lökik” meg a mágnesezettséget és a lecsengő mágnesezettség jeléből egy matematikai művelettel (Fourier transzformáció) állítják elő a jelalakot. Az elektron mágneses tulajdonságát elveszíti, ha a kémiai kötésben elektronpárok alakulnak ki, de előfordul bizonyos anyagokban (szabad gyökökben és egyes átmenetifém vegyületekben), amikor egyes elektronok „pár nélkül” maradnak, ekkor alkalmazható az ESR spektroszkópia. Az atommagok jelentős része rendelkezik mágneses momentummal, így a proton és a ¹³C izotóp is, ami alkalmassá teszi az NMR spektroszkópiát szerves molekulák szerkezetének felderítésére. Az orvosi diagnosztika egyik fontos vizsgálati eszköze – az MRI képalkotás (Magnetic Resonance Imaging) – az NMR rezonancián alapul. Hidrogén atommagok rezonanciája révén rajzolódnak ki az anatómiai részletek azokban a szervekben, melyekben magas a víz, vagy zsírtartalom.

Elektromágneses hullámok és rezonanciák

Mechanikai rezgések, hanghullámok és molekulavibrációk esetén a hullámok létrejötte a molekulák, vagy atomok mozgásához van kötve. Más a helyzet az elektromágneses hullámokkal, illetve a fénnyel, amely vákuumban is terjed. Ennek példája, ahogy rádiónkkal, vagy a TV-vel a távoli adó által kibocsátott sugárzást vesszük. Ez is rezonancia jelenségen alapul, amikor a vevő rezgőkörének frekvenciája egy adó frekvenciájára van hangolva. De mi az a „közeg” ami hordozza a rezgést, mi az ami mozog az üres térben, a vákuumban?

A klasszikus elektrodinamika válasza, hogy az elektromos és a mágneses mező rezgéseit látjuk, amely „c” fénysebességgel terjed. Ezt avval egészíti ki a kvantummechanika, hogy bevezeti a foton fogalmát, mint az elektromágneses hullám legkisebb egységét. Tekinthetjük-e az elektromos és a mágneses mezőt, vagy a fotonokat ugyanolyan anyagnak, mint az elektront, a protont és a többi részecskét? Ha az anyag fogalmát a tömeggel azonosítjuk, akkor mondhatnánk, hogy ezek a mezők nem anyagiak, csupán matematikai leírásunk termékei, hivatkozva arra, hogy a fotonnak nincs nyugalmi tömege. De erre válaszul ott van a relativitáselmélet legfontosabb képlete, a nevezetes E = m·c² összefüggés. Ebből az következik, hogy mivel a foton rendelkezik energiával, így van tömege is, csak ez a tömeg nem nyugalmi, hanem épp a fénysebességű mozgás eredménye.

Lehet-e a tér az elektromágneses sugárzás fizikai közege?

További kérdés, hogy miért állandó a fénysebesség, miért nem mozoghat semmilyen fizikai objektum ennél nagyobb sebességgel? Keressünk ehhez párhuzamot a levegőben, vagy más közegben terjedő hanghullámok esetével! A Newton-Laplace egyenlet szerint bármely homogén közegben a hullám terjedési sebessége 4π²c² = k’/ρ, ahol k’ a közeg rugalmasságát jellemző nyomás dimenziójú mennyiség és ρ  a sűrűség. Állítsuk ezt párhuzamba a fénysebességgel, amely megadható c² = E/m formulával a relativitáselmélet szerint. Ha egy pontból fényt bocsátunk ki, akkor az c·t sugarú gömböt tölt meg a Huygens által megfogalmazott fényterjedési elmélet szerint. Osszuk el evvel a térfogattal az energiát és tömeget, ekkor kapjuk az ε energia és a ρ tömegsűrűséget, evvel átírva a tömeg és energia kapcsolatát írhatjuk, hogy c² = ε/ρ . Ez már közelebb van a hanghullámok sebességképletéhez. Vegyük még figyelembe, hogy az ε energiasűrűség nyomás dimenziójú mennyiség, valamint, hogy a fénynek is van nyomása a kísérleti tapasztalatok szerint, akkor már nem tűnik indokolatlannak, ha az ε energiasűrűséget párhuzamba hozzuk a közegek rugalmasságát jellemző k’ állandóval. Az analógiából tehát az következik, hogy a tér egy fotonokkal feltöltött közeg, amely a fénynyomáson keresztül rugalmassági állandóval rendelkezik, míg a fotonok mozgási tömege képezi a közegnek tekintett tér sűrűségét.

Lehet-e dobozba zárni a fényt?

De fel lehet-e tölteni tényleg a teret fotonokkal? A válasz igen, aminek a technikai megvalósítása a mikrohullámú üreg. Képzeljünk el egy jól vezető fémekből álló üreget, például egy kockát, amelybe elektromágneses hullámokat bejuttatva a hullám az üreg falán visszaverődik. Ilyenkor állóhullámok alakulnak ki. Úgy viselkedik az üreg, mint a trombita, vagy a hegedű hangdobozának belső tere, amelyben a hanghullámok ide-oda verődése hoz létre állóhullámokat. Ha az üreg mérete 3 cm, akkor ennek rezonancia frekvenciája 10¹⁰ Hz lesz. Ezt nevezik X-sávú mikrohullámú rezonátornak. Az üreg anyagától függ a jósági tényező, ami azt jellemzi, hogy hányszor verődhet egy foton a falhoz, mire elnyeli a fém. Már sikerült 10⁶ értékű jósági tényezőt is elérni, ami azt jelenti, hogy a betáplált energia 0,1 milliszekundum alatt csökken a felére. Az elektromágneses hullámokkal feltöltött tér, tehát olyan realitás, amely alátámasztja az elképzelést, amely magát a teret tekinti az elektromágneses sugárzás fizikai közegének, és nincs szükség arra, hogy feltételezzünk bármiféle „étert”.

A blog egyéb írásainak összefoglalása a megfelelő linkekkel együtt megtalálható a „Paradigmaváltás a fizikában” című bejegyzésben.

Ha elutazunk valahova és ha repülünk, akkor súlyunk eltér a megszokottól a fizika törvényei miatt még akkor is ha eltekintünk az élet szokásos jelenségeitől (anyagcsere, párolgás). A súly ugyanis a tömegre ható erő, amelyik más és más a Föld különböző pontjain és különböző magasságban. Ennek okait érdemes végiggondolni.

Mi a különbség a súly és a tömeg között?

Mindenekelőtt a tömeget és a súlyt kell megkülönböztetni, súlyról akkor van szó, amikor arról az erőről beszélünk, amely a tömegre hat itt a földön. Ez alapvetően a Föld gravitációs vonzásától származik, de ezen kívül figyelembe kell venni a Nap és a Hold hatását, valamint a Föld keringése és forgása miatt kialakuló erőhatásokat is. Amikor súlyról beszélünk, ne kétkarú mérlegre gondoljunk, hiszen ekkor a méréshez használt súlykészlet elemei azonosan változnak a mérendő súllyal, hanem rugós mérlegre. Ha ennek pontossága elég jó, akkor magunk is láthatjuk súlyunk változását, amikor utazunk, vagy a Föld különböző pontjain vagyunk.

A Newton-féle gravitációs törvény

A gravitációs törvény szerint az „R” távolságban lévő „m” és „M” tömegek között ható vonzóerő:

 ahol G = 6,674.10^-11m³kg^-1s^-2 az általános gravitációs állandó.

A Nap, Hold és a Föld gravitációs viszonya

Vizsgáljuk meg a különböző erők nagyságrendjét a Föld, a Nap és a Hold tömege és az átlagos keringési sugarak alapján, a Föld esetén a bolygó sugarát vegyük alapul.

A Föld felszínén a súlyt a „g” nehézségi gyorsulással jellemezhetjük:

Ezt visszavezethetjük a gravitációs törvényre, ha gondolatban a Föld egész tömegét a középpontba helyezzük és a Föld sugarát helyettesítjük az összefüggésbe:

Az innen számolt nehézségi gyorsulás g = 9,844 m/s², jó közelítésben egyezik a földön mérhető középértékkel. A g nehézségi gyorsulás ugyanis a földrajzi helyzettől és a felszíni magasságtól is függ. Az előbbi oka, hogy a Föld forgásának kerületi sebessége a délkörök mentén más és más.

Az árapály jelensége

Jól ismert az árapály jelensége a tengerek és óceánok partvidékén, amit a Nap és a Hold helyzetének változása hoz létre a Föld forgása miatt. Vizsgáljuk meg, hogy a Nap és a Hold mekkora erővel hat a földi testekre. Ennek összehasonlítására szolgál a táblázat utolsó oszlopa, amelyben a Földhöz viszonyítjuk az adatokat. Látható, hogy a Nap vonzóereje jóval nagyobb, még pedig 178-szorosa a Holdénak, de még ez is jóval gyengébb, mint a Föld gravitációs ereje. Egy 100 kilogrammos ember esetén ez 60 gramm súllyal egyenértékű. Vajon ez azt jelentené, hogy délben, amikor ez a vonzás levonódik a földi gravitációból, (ekkor a Nap vonzása fölfelé mutat), ennyivel könnyebbek lennénk, míg éjfélkor (ekkor a Nap vonzása lefelé mutat) ennyivel nehezebbek? Erről azonban nincsen szó, mert körforgásnál a centrifugális erő:

éppen kiegyenlíti a Nap gravitációs erejét. Itt a Föld átlagos keringési sebességét (30 km/s) és átlagos távolságát a Naptól kell figyelembe venni az erő számításánál. (A sebességet m/s, a távolságot méterbe átszámítva az erőt Newton egységben kapjuk, és 9,844 Newton felel meg 1 kilogramm tömeg súlyának.)

Ha ennyiszer nagyobb a Nap vonzóereje, akkor miért a Hold árapály hatása lesz 2-3-szor nagyobb a Naphoz képest, tehetjük fel a kérdést. Az árapályról szóló szócikkekben (például a Wikipediaban) erre nem kapunk pontos magyarázatot, csak annyit említenek meg, hogy a Hold kisebb távolsága az ok.

Képzeljük most magunkat a tenger partjára, amikor vagy a Hold, vagy a Nap épp a fejünk felett van. Milyen erőhatást gyakorol az égitest arra a víztömegre, amelyik tőlünk „x” távolságra van? Az ott ható erő nem lesz függőleges, hanem lesz egy a part felé mutató komponens is. A függőleges komponenst a centrifugális erő kiegyenlíti, de ez nem történik meg a vízszintes komponenssel, amely ezért a tenger vizét a part felé húzza. Apály esetén megfordul a helyzet, ekkor a part közeléből fogja a Nap vagy Hold vonzóerejének vízszintes komponense a vizet a mélytenger irányába húzni. Ez a vízszintes komponens a parttól való „x” távolság és az égitest „R” távolságának hányadosával lesz arányos és evvel a hányadossal kell szorozni az égitest gravitációs vonzóerejét. Mivel a Hold 390-szer közelebb van hozzánk, mint a Nap, így a part felé húzó erő számításánál ezt is figyelembe kell venni, ami így a Hold esetén 2,2-szer nagyobb lesz, mint amit a Nap hoz létre.

Súlyveszteség a repülőgépen

Szálljunk most fel egy repülőre és utazzunk el valahová. A fel és leszálláskori gyorsulást és lassulást ne vegyük figyelembe csak a magasságot és az útirányt. Ha 10 km magasan repülünk, akkor a Föld középpontjától mért távolságunk 6381 kilométer lesz, a négyzetes szabályt alkalmazva ez 100 kilós embernél 314 gramm súlycsökkenést fog okozni. Megérkezéskor is más lesz a súlyunk, attól függően, hogy északra vagy délre utaztunk. A tengerszint feletti magasságtól is függ súlyunk, így La Pazban 4000 méter magasan már számottevő a csökkenés, de most számoljunk tengerszinti magassággal és vizsgáljuk meg a délkörtől való függést. Ennek oka a Föld forgása miatt fellépő centrifugális erő, amelynek értéke függ a délkör szögétől a földfelszín kerületi sebességének változása miatt.

Súlyveszteség az egyenlítőnél

Az egyenlítőnél a legnagyobb a centrifugális erő, ahol a Föld 40 000 km kerülete 24 óra alatt fut körbe, ezért ott a kerületi sebesség v = 1667 km/h = 463 m/s. Evvel számolva a 100 kg súlyú ember súlya 337 grammal lesz kevesebb. Szálljunk fel ott egy repülőre és haladjunk kelet felé. Ha a gép sebessége a földhöz képest 1000 km/h, akkor ez az érték hozzáadódik a Föld forgási sebességhez, ami így v = 2667 km/h = 741 m/s lesz, az ehhez tartozó centrifugális erő súly egyenértéke már 862 grammnak felel meg, utasunk súlycsökkenése ekkor már a magassággal csökkenő gravitációval együtt meghaladja az 1 kilogrammot. Ha viszont a repülő nyugat felé veszi az irányt, akkor az eredő sebesség 667 km/h = 185 m/s lesz és a centrifugális erő súly egyenértéke csak 54 grammnak felel meg. Ennek gyakorlati jelentősége is van, mert amikor az egyenlítő közelében kelet felé bocsátjuk fel az űrrakétát, akkor számottevő energiát takaríthatunk meg.

Súlyveszteség Budapesten

De mi a helyzet itt nálunk Budapesten? A kerületi sebesség itt kisebb, mert a körforgás sugarát a forgástengelytől kell számítani, ami a délkör pozíciójától függ. A délkör szögét alfával jelölve ez a sugár R.cosα lesz. A kerületi sebesség is ennek mértékében változik, ezért a v²/R-el arányos centrifugális erő az egyenlítőnél mért értékhez képest szintén cosα mértékében csökken. A centrifugális erő ráadásul nem is függőleges, eltérően a gravitációs erőtől, hanem α szöget zár be vele, ezért a gravitációs erővel való összegzésnél a centrifugális erő függőleges irányú vetületét kell figyelembe venni, vagyis még egyszer szorozni kell a cosα tényezővel. Emiatt lesz az erő járuléka cos²α mértékében kisebb az egyenlítőnél számolt értékhez képest. Budapest a 47⁰ délkörön fekszik, ezért a csökkenés aránya 0,465 lesz, ennek megfelelően a 100 kilós emberünk súlya 157 grammal lesz kevesebb. A centrifugális erő másik hatása, hogy a súly iránya nem lesz pontosan függőleges. A centrifugális erő vízszintes vetületét sinα  határozza meg, ezért az egyenlítői centrifugális erőt  a sinα·cosα = ½sin2α  faktorral kell szorozni. Ez déli irányú kitérést hoz létre, amelynek szöge épp Budapest környékén a legnagyobb és értéke 0,18⁰ fok lesz.

 Súlyveszteség Budapestről elrepülve

Szálljunk fel most egy repülőre Moszkva felé. Budapest magasságában a földforgás kerületi sebessége 1137 km/h, ehhez hozzávéve a gép 1000 km/h sebességét a járat teljes sebessége 2137 km/h = 594 m/s lesz és emellett még a forgási sugár is kisebb lesz: 4344 km. Ezt is számításba véve  100 kilós emberünkre ható centrifugális erő 812 grammnak felel meg lesz, de ennek iránya nem esik egybe a gravitációs erővel. Ha ennek függőleges vetületét vesszük figyelembe, akkor a súlyveszteség 546 gramm lesz, majd adjuk ehhez hozzá a 10 km magasságban bekövetkező gravitációs csökkenést, akkor együttesen 858 grammot kapunk, tehát közel egy kiló lesz a súlyveszteség. Nyugati irányba, mondjuk Párizs felé már nem érdemes utazni, ha súlycsökkenésben reménykedünk, mert ekkor a teljes sebesség csak 137 km/h lesz, amihez már nagyon kis súlycsökkenés tartozik.

A blog további írásait összefoglalja a „Paradigmaváltás a fizikában” című bejegyzés a megfelelő linkekkel együtt.