A fizika kalandja

A fizika kalandja

Relativitáselmélet és kvantummechanika a fénysebességű forgások tükrében

A harmadik kvantálás

2021. szeptember 29. - 38Rocky

Korábbi bejegyzések elérése

Korábbi írásokban többször előkerült a téma: hogyan egyeztethető össze a relativitáselmélettel a fénysebességű forgások koncepciója. Itt most továbblépünk, és azt vizsgáljuk meg, hogy el lehet-e jutni a relativitáselmélet törvényeihez, ha a fénysebességű forgás elvéből indulunk ki. A relativitáselmélet törvényei megjelennek a mikrovilág kvantummechanikai leírásában is, ezért azt a kérdést is felvetjük, hogy a kvantummechanikai egyenletek relativisztikus korrekciói hogyan építhetők fel a fénysebességű forgások alapján.

Elemi forgások és a külső mozgások

Kövessük ehhez kiindulásként „A mozgás mint a fizikai világ létalapja gondolatmenetét! A mozgásnak két alaptípusát különböztetjük meg, az egyik az elemi forgás, ami a részecskéket alkotja, ez a mozgás mindig fénysebességgel történik. A másik a már megalkotott részecskék külső mozgása, ahol a sebesség nem érheti el c-ét. Erről a külső mozgásról szól a szokásos fizika, ennek törvényeit fogalmazzák meg a klasszikus fizikában Newton mozgásegyenletei, vagy a kvantummechanikában a Schrödinger egyenlet, vagy ennek relativisztikus változata a Dirac egyenlet. Ezt viszi tovább a kvantumelektrodinamika mezőelmélete, amely az elektrodinamikát is kvantumos alapokra helyezi. Ez utóbbiból a virtuális fotonok fogalmát emeljük ki, amelyet a töltött részecskék állandóan kibocsátanak és elnyelnek, és ezek közvetítik a töltések között az elektromágneses kölcsönhatásokat. A kibocsátás és elnyelés folyamatához operátorokat rendelünk, amit kreáló és annihiláló operátoroknak nevezzünk, és ezek révén követjük az egyes részecske állapotok kvantumszámának változását. Ez a második kvantálás művelete.

A részecskék fizikai paraméterei és az elemi forgások

A fénysebességű mozgások koncepciójában a részecskék pozícióját felbontjuk két összetevőre: az r0 vektor a belső (azaz elemi) mozgásokat írja le, az rk vektor a külsőt, melyet a részecske centrumától számítunk:

r(t) = rk(t) + r0(t)

A részecskék szokásos fizikai paramétereit (tömeg, spin, töltés, mágneses dipólus) mint várható értékeket definiáljuk, amit az r0(t) által leírt belső mozgásokkal képzett integrálok határoznak meg. A modellben minden részecskét fénysebességű mozgások kombinációja adja meg, ahol a fotonokhoz egytengelyű, a fermionokhoz kéttengelyű fénysebességű forgásokat rendelünk. Ezek a forgások virtuálisak, azaz közvetlenül nem „fényképezhetjük” le pályájukat, szerepük abban nyilvánul meg, hogy létrehozzák a megfigyelhető fizikai tulajdonságokat. Ilyen tulajdonság – mint már említettük – a tömeg, az impulzus, az energia, az impulzusnyomaték, azaz a spin, és természetesen idetartozik az elektromos töltés is. Az elemi forgások hozzárendelését úgy végezzük el, hogy reprodukálják a már említett fizikai tulajdonságokat. Ez a hozzárendelés szükségképen valószínűségi jelleget ölt, melyben a belső mozgásokkal képzett várható értékek adják meg az egyes fizikai mennyiségeket, vagyis továbbvisszük a kvantummechanika szokásos szemléletmódját. Ezt a módszert nevezhetjük harmadik kvantálásnak.

A részecskék szerkezet meghatározó állandói: c és h

Az elemi mozgásoknak két szerkezet meghatározó állandója van, a c fénysebesség és a h Planck állandó. Az előbbi jelöli ki az energia és az impulzus arányát: E = p·c. Foton esetén ez a szokásos összefüggés, amit kiterjesztünk a fermionok belső, fénysebességű forgására is. Ennek megfelelően átfogalmazzuk a nyugalmi energia és nyugalmi tömeg ekvivalencia törvényét, amit írásunkban az elemi körforgás p0 amplitúdójú impulzusa és a nyugalmi energia közötti összefüggéssel definiálunk:

E0 = m0c2 = p0c

A másik szerkezeti konstans – fotonok esetén – a forgási frekvencia és az energia arányosságát fejezi ki:

E = p·c = h·f = ħω

ahol ħ = h/2π a redukált Planck állandó és ω = 2πf a körfrekvencia. A fénysebességű forgás koncepciójában a körfrekvencia a forgás szögsebességének felel meg. Az energia és frekvencia arányosságát szintén átvisszük a fermionok esetére is, de itt a kettősforgások miatt az Ω = ω/2 gömbfrekvencia jelenik meg a körfrekvencia helyett:

E0 = p0c = ħΩ = ħω/2

A gömbfrekvencia a szögsebesség fele, hiszen a kettősforgás kétszer szalad körbe, ami felezi a frekvenciát. A fénysebességű forgás alapelve, hogy kijelöl egy Rf sugarat, amelyhez c kerületi sebesség tartozik:

Rf = c

A fentiek alapján az Rf sugár és az impulzus szorzatával definiált impulzusnyomaték foton esetén ħ, fermion esetén – a feleződő sugár miatt – ħ/2 lesz, amit szokásosan az S = 1, illetve S = ½ spin jelöl.

A kovariancia törvény

Fotonok esetén nem beszélünk külső mozgásról, mert a fénysebességű terjedés a foton definíciós tulajdonsága. A nyugalmi tömeggel rendelkező fermionok térbeli – tehát külső – mozgásához pk külső impulzus tartozik. (Figyeljünk a vastag betűkre, amelyek mindig vektorokat jelölnek.) A részecske teljes impulzusát a külső és belső impulzusok összege adja meg:

p = pk + p0

Az impulzus nagyságát (ez már nem vektor!) a vektor négyzetéből határozhatjuk meg, ahol is

p2 = pk2 +2pk·p0 + p02

A sajátforgás impulzusa minden irányt egyforma valószínűséggel vesz fel, amiért <p0> = 0, és ha a külső és a belső mozgás független egymástól, akkor a két vektor szorzatának átlagértéke a két átlagérték szorzata lesz, vagyis a kereszttag eltűnik. Nem tűnik el viszont <p02>, mert a p0 amplitúdó minden irányban ugyanakkora pozitív mennyiség és egyenlő m0c-tel. Emiatt a belső mozgásra kiátlagolt impulzusnégyzet:

p2 = pk2 + m02c2

Az E = p·c arányosságot mint univerzális természeti törvényt értelmezzük, amely a teljes impulzusra vonatkozik, de nem érvényes a részleges külső impulzusra. Emiatt

E2 = pk2c2 + m02c4

Tehát az a feltételezés, hogy független egymástól a részecske külső és a belső mozgása, kiegészítve avval, hogy a fénysebesség és a teljes impulzus szorzata az energiával egyenlő, elvezet minket a relativitáselmélet alaptörvényéhez, amit az energia kovariancia elvének nevezünk.

A Lorentz transzformáció

Nézzük meg, hogyan állunk a tér és idő koordináták kapcsolatával, amit a Lorentz transzformáció ír le. A kvantummechanikai operátor formalizmus az energia és impulzus fogalmát az idő, illetve térkoordinátákkal való differenciálhányadosokra vezeti vissza (A szimbólumok feletti kalap jelöli az operátorokat):

Írjuk át ennek megfelelően a kovariancia elvet sajátérték egyenlet formájában:

Az egyenlet baloldalán a d’Alambert operátor szerepel, amely differenciális formában teremt kapcsolatot a tér és idő koordináták között. Érdemes megjegyezni, hogy a d’Alambert operátor kulcsszerepet játszik mind az elektrodinamikában, mind a relativisztikus kvantummechanikában. Töltésmentes térben felírva a Maxwell egyenleteket világosan látszik, hogy a d’Alambert operátor hatása akár az E elektromos mezőre, akár a B mágneses mezőre nullát eredményez. Ezt nevezzük Laplace egyenletnek, melynek megoldása írja le az elektromágneses mező hullámtermészetét. A fenti operátor sajátértéke viszont nem nulla, hanem pozitív, ami azt az esetet írja le, amikor a Maxwell egyenletek megoldását elektromos töltések jelenlétében keressük. A fenti relativisztikus egyenletben viszont nem a töltések, hanem a részecskék nullától különböző tömege vezet pozitív sajátértékhez a d’Alambert egyenletben. Vagyis a térben lévő anyagot egyaránt jelezheti a töltés, illetve a tömeg.

A d’Alambert operátor sajátérték egyenlete választ ad arra a kérdésre is, hogy milyennek kell lenni a koordináta transzformációnak. A klasszikus Galilei transzformáció, amikor egy x irányú u sebességű inerciarendszerben írjuk le a mozgást, az x’ = xu·t és t’ = t koordináta transzformációnak felel meg. A d’Alambert operátor ez esetben nulla sajátértéket ad, vagyis a Galilei transzformáció csak üres térben érvényes, és nem alkalmas olyan fizikai objektumok mozgásának leírására, amelyek tömeggel rendelkeznek. Nézzük viszont a Lorentz transzformáció hatását:

x’ = γ(xu·t)  és  t’ = γ(tu·x/c2)

ahol

γ = (1 – u2/c2)

A Lorentz transzformáció következménye a kovariancia törvény, mely szerint a tér és idő koordináták közötti eseménytávolság állandó:

c2t2 – (x2 + y2 + z2) = konstans

Ez a kovariancia törvény ekvivalens a d’Alambert operátor sajátegyenletével, ami nyilvánvaló, ha elvégezzük a differenciálásokat.

Iránytartó és irányváltoztató kölcsönhatások

Az eddigiekben a külső és belső mozgások függetlenségéről beszéltünk. Ez mindaddig helyes, amíg csak iránytartó kölcsönhatásokról van szó. (Az iránytartó kölcsönhatás gömbszimmetrikus külső mozgáshoz vezet.) Az elektromágneses kölcsönhatás általános esetben irányfüggő, amit felbonthatunk egy iránytartó és egy irányváltoztató (forgató) komponensre, az elsőt az elektromos, a másodikat a mágneses mezővel írjuk le. Irányfüggés egyébként a kölcsönhatás véges c sebességű terjedése miatt alakul ki, mert két test között a kölcsönhatást nem az határozza meg, hogy egymáshoz képest éppen milyen helyzetet foglalnak el, hanem az, hogy hol voltak korábban egymáshoz képest. Ez a retardációs hatás akkora irányfüggést okoz, amit a külső uk sebesség és a c fénysebesség aránya határoz meg. Ez mutatkozik meg a B mágneses és E elektromos mező közötti összefüggésben is:

B = ―ukxE/c

( A mágneses B mező definíciójára két konvenció létezik, sok helyen az itteni definíció helyett annak c-vel osztott értékét választják)

Az elektrodinamika skalár és vektor potenciáljai

 A kvantumelektrodinamikai felfogás szerint az elektromágneses kölcsönhatást virtuális fotonok váltják ki, egyrészt impulzusuk által (iránytartó elektromos erő), másrészt az impulzusnyomaték révén (forgató jellegű mágneses erő). A külső és a belső mozgások korábban feltételezett függetlensége viszont már nem érvényes, ha megjelenik a mágneses kölcsönhatás forgató hatása. A mágneses mező befolyásolja mind a külső mozgást (például az elektronok pályamozgását), mind az elektron (vagy bármely töltött részecske) belső forgását.  A kölcsönhatási mezőt potenciálok segítségével adhatjuk meg, amely annyiban tér el a potenciális energiától, hogy a potenciált szorozni kell az elektromos töltéssel. Az iránytartó elektromos mezőt a Φ(r) skalárpotenciál írja le, melynek térkoordináták szerinti deriváltja (gradiens) adja meg az elektromos mezőt: E = gradΦ(r), a forgató hatású mágneses mezőt az A(r) vektorpotenciál határozza meg a vektoriális differenciálás (rotáció) művelete által: B = rotA(r).

Kinetikus és potenciális energia

Az energiának két alapvető összetevője van, az egyik a mozgáshoz, a másik a mozgatáshoz tartozik, ezeket nevezzük kinetikus és potenciális energiának. A két komponens összegzési szabálya eltér az iránytartó és az irányváltoztató kölcsönhatás esetében. Skaláris mennyiségeket adunk össze az iránytartó elektromos kölcsönhatásnál, és vektoriális összegzésre van szükség irányváltoztatás esetén, amit a mágneses kölcsönhatás idéz elő. Emiatt a vektorpotenciál járulékát az impulzusvektorhoz adjuk hozzá:

p = pk + p0 + qA/c

(A c-vel való osztás alakítja át az energia dimenziójú qA potenciális energiát impulzus dimenzióba.) Meghatározzuk az így módosított impulzus nagyságát (ez már skaláris mennyiség), és ehhez hozzáadjuk a skalárpotenciál járulékát. A vektor nagyságának meghatározásánál közelítést alkalmazunk: négyzetre emeléskor elhagyjuk a vektorpotenciál négyzetét, ami csak elhanyagolható járulékot ad az impulzushoz. A legfontosabb relativisztikus tagokat megtartva:

p2 = pk2 + m02c2 + 2pk·p0 + 2qpk·A/c + 2q p0·A/c

Operátorok szorzatában rendszerint nem közömbös a tényezők sorrendje, de ettől eltekinthetünk megfelelően választott potenciálok esetén. A három utolsó tag képezi a Schrödinger egyenletet kiegészítő relativisztikus járulékokat. Ezeket meg lehet adni a Dirac által bevezetett spinor felbontással, de itt arra törekszünk, hogy a relativisztikus járulékokat a fénysebességű forgásokra vezessük vissza.

Relativisztikus korrekciók származtatása

Közelítésünk alapja, hogy a nyugalmi energia a domináns, amit kiemelünk a kifejezés elé és négyzetgyököt vonunk:

Ha a zárójelben szereplő mennyiségek kicsik, alkalmazhatjuk a sorfejtési közelítést, mely szerint

Ennek értelmében

p = m0c + pk2/2m0c + pk·p0/m0c + qpk·A/m0c2 + qp0·A/m0c2

Az E = p·c ekvivalenciát figyelembe véve, beírva az impulzus és energia operátorát és hozzávéve a qΦ skaláris potenciális energiát, kapjuk meg az atommag körüli pályán mozgó elektron Schrödinger egyenletét, kibővítve három relativisztikus taggal. Ez a három új tag: a spin-pálya kölcsönhatás és a mágneses Zeeman kölcsönhatás két összetevője, amely egyrészt a pályamozgástól, másrészt a részecske saját belső mozgásától származik. Elektron esetén q = ―e, ahol konvencionálisan a töltés negatív. Legyen a külső B mágneses mező homogén, ekkor a vektorpotenciál:

A = ½crxB = ―½cBxr

 Zeeman kölcsönhatás

Az elektronpálya mágneses mezőben történő energiaváltozása, azaz a Zeeman kölcsönhatás:

epk·A/m0c2 = e/(2m0c)Bxr·pk = e/(2m0c)B·rxpk = eħ/(2m0c)B·L = μBB·L

Ahol Lħ = rxpk a pálya impulzusnyomatéka és μB = eħ/(2m0c) a Bohr magneton. (Ha B-re annak c-vel osztott értékét választjuk, akkor a Bohr magneton kifejezésében nem jelenik meg c a nevezőben). Itt L(Lx, Ly, Lz) dimenziómentes kvantum operátor, amely ħ egységekben fejezi ki az impulzusnyomatékot, és sajátértékei csak egészszámok lehetnek. A mágneses mezőben fellépő energiát a részecske mágneses dipólusával jellemezhetjük:

Emágneses = ―μ·B

Ennek értelmében a pályamozgáshoz is tartozik mágneses dipólus: μL = μBL. Ez a dipólus hasonló szerepet játszik mágneses mezőben, mint a töltés elektromos mezőben a potenciális energia számításában. A dipólus viszont vektor mennyiség, amelynek a mágneses mezővel alkotott skaláris szorzata az energia. (A dipólus és a mező között képezhető egy vektoriális szorzat is, amely energia dimenziójú, de irányfüggő mennyiség és a dipólus időfüggését (forgását) írja le: dμ/dt = γμxB. A γ giromágneses arány határozza meg a dipólus forgási frekvenciáját (Larmor frekvencia).)

 Ha a mágneses mező irányában vesszük fel a z tengelyt, akkor Lz egészszámú sajátértékei határozzák meg a pálya mágneses kölcsönhatását.

 Az elektron sajátmozgásához tartozó mágneses kölcsönhatást analóg módon számíthatjuk, csak pk helyébe p0-át kell írni. Az egész értékeket felvevő Lz helyett, az Sz spin operátor lép fel, amely ±½ értéket vesz fel az elektront definiáló kettősforgás miatt (lásd fent). Az energiaszámításban az impulzusnyomaték feleződését kompenzálja a kölcsönhatásban fellépő kettes faktor, mivel két forgást kell figyelembe venni a várhatóérték képzésekor:

<r0xp0> = 2(±½ħ) = 2Sħ

Az elektron sajátforgásához tartozó mágneses momentum:

μS = 2μBS

(A kvantumelektrodinamikai számítások szerint a kettes faktor helyett kissé nagyobb szám szerepel a pontos képletben (2.0023), amit a virtuálisan kibocsátott és elnyelt fotonok hatása idéz elő.)

A teljes Zeeman kölcsönhatás a pálya és spin járulékok összege, vagyis

 ĤZeeman = μB(L+2SB

Spin-pálya kölcsönhatás

Utolsóként essék szó a <pk·p0>/m0c spin-pálya kölcsönhatásról, ami azt fejezi ki, hogy a kötött pályán mozgó elektron mozgása hatással van az elektron sajátforgására. Itt a levezetésnél kényegében a Wikipedia angol nyelvű szócikkét követjük: https://en.wikipedia.org/wiki/Spin–orbit_interaction.

A pk impulzus irányfüggését az U(r) = eΦ(r) gömbszimmetrikus potenciális energia határozza meg. Gömbszimmetria miatt az E elektromos mező gradiens művelete a Მ/Მr differenciálra egyszerűsödik, és E irányát az r/r egységvektor adja meg:

Felhasználva a korábban felírt összefüggést a mágneses és elektromos mező között, és átírva az uk sebességet pk/m0 alakba, a mágneses mező:

Ebben a pályamozgás által generált mágneses mezőben számítjuk ki az elektron 2μBS mágneses dipólusának energiáját. Ez az energia a négyzetgyök alatti kereszttagnak felel meg, ami kettővel osztódik a sorfejtés első tagjában, és így a spin-pálya kölcsönhatás kifejezése:

(A Wikipediában közölt levezetés ennek kétszeresét adja ki, amit egy ad hoc bevezetett új taggal korrigál. Az általunk követett módszerben erre nincs szükség)

 Dirac egyenlet kiterjesztése fermionokra

Dirac négydimenziós spinorok alkalmazásával bontotta fel a négyzetgyökös kifejezést.

Itt a ± szimbólumok feltüntetése jelzi, hogy a kovariancia kifejezése három különböző rejtett kétértékűséget tartalmaz. Dirac módszere alapozta meg a spin fogalmát, amit kétdimenziós Pauli mátrixok írnak le, további következménye a módszernek, hogy az energia sajátértékekre nem csak pozitív, hanem negatív megoldásokat is kapunk. Az utóbbi valójában abból fakad, hogy a kvantummechanika nem tud különbséget tenni a jövő és a múlt irányú folyamatok között. A folyamatok iránya viszont az energia előjeléhez kapcsolódik, hiszen az energia operátort az idő szerinti differenciálhányadossal definiáljuk.

A négyzetgyökvonás magában rejt azonban egy további kétértékűséget is, ami a négyzetes formában szereplő nyugalmi energiától származik. Ha nyolcdimenziós spinor felbontást alkalmazunk, ahogy azt már korábbi írásban bemutattuk, fellép egy újabb kétdimenziós Pauli mátrix, amely az anyag-antianyag kettősséget tükrözi, és képes leírni mind a törttöltésű kvarkokat, mind a töltés semleges neutrínókat. Ily módon lehetőséget kapunk, hogy a relativisztikus mozgásegyenlet ne csak az elektron típusú részecskéket, hanem valamennyi elemi fermiont leírja. Ez az általános fermion egyenlet egyúttal konzekvens kvantummechanikának is tekinthető, mert ebben nem csupán az energiát és impulzust, hanem a tömeget és a töltést is operátorok képviselik. A szóban forgó operátorok sajátértékei adják meg az egyes elemi részecskék töltését és tömegét.

Konklúzió

Az elemi objektumok mozgásának különböző mélységű szintjei vannak. A legfelső szintet írja le a szokásos kvantummechanika, amikor feltárja az elektron mozgásait az atomban. Ennél mélyebbre hatol a kvantumelektrodinamika, amikor már a kölcsönhatásokat is a fotonok virtuális képződési és eltűnési folyamataira vezeti vissza. A legmélyebb szintet a fénysebességű forgások alkotják, amelyek megteremtik a fotonok és az elemi részecskék világát.

Matematikai levezetésekkel bemutattuk, hogy a részecskék fénysebességű forgásokkal való értelmezése elvezet egyrészt a speciális relativitáselmélet legfontosabb törvényeihez, másfelől alkalmas arra, hogy kiegészítsük a kvantummechanika Schrödinger egyenletét a relativisztikus korrekciókkal. Az eljárás kiterjeszthető az elektronok mellett a többi elemi fermion tulajdonságainak leírásához is. Az egyes részecskéket az elemi forgások kiralitása alapján jellemezhetjük, bevezetve a harmadik kvantálás királis kvantumszámát.

 Korábbi bejegyzések elérése

 

A mozgás mint a fizikai világ létalapja

Az előző írás: Távolhatások és kontakt kölcsönhatások

Korábbi írások: Linkek

Hétköznapi világunk tapasztalatai a mozgást mindig valamilyen anyaghoz kötik, az anyaghoz pedig súlyt (tömeget) rendelünk hozzá. A mozgás tehát az anyag egyik tulajdonsága. Ez a természetes gondolkodás kiindulópontja. De mennyire helyes ezt a gondolkodást kivetíteni a mikrovilágra, amit a legapróbb fizikai objektumok alkotnak? Oda érzékszerveinkkel nem tudunk bepillantani, az információt különböző műszerek szolgáltatják és minden ismeretünket matematikai formulákba öntött összefüggésekből szerezzük. Mit mondhatunk ebben a világban a mozgás és az anyag viszonyáról, jogos-e a kérdés, hogy mi mozog? A következőkben kipróbálunk egy fordított logikai utat, ahol a mozgás az elsődleges princípium, és az anyag a mozgások speciális formájának megnyilvánulása. Ez a speciális mozgás, amely fénysebességgel megy végbe.

Csak néhány definíciószerű matematikai összefüggés szerepel az írásban, ehelyett inkább a fogalmi láncolatra kerül a hangsúly. Korábbi írásokban lehet a részletesebb matematikai levezetéseket megtalálni.

 Abszolút tér és idő Newton mechanikájában

Newton korszakalkotó munkájában a mozgást az abszolút tér és idő fogalmára vezette vissza, amelynek koordinátáival definiálta a sebességet és a gyorsulást mint a test s pozíciójának az idő szerinti első és második deriváltját:

Sebesség: v = ds/dt

Gyorsulás: a = d2s/dt2

(Kövér betű jelöli a vektorokat.) A gyorsulás alapvetőbb fogalom, mint a sebesség, mert a sebességet mindig valamihez képest adjuk meg, míg a gyorsulás számításánál a sebesség viszonyítási alapja nem játszik szerepet. Newton bevezette az erő fogalmát is mint a mozgások okát, és kapcsolatba hozta a gyorsulással, melynek arányossági tényezője az m tehetetlen tömeg:

F = m·a

A newtoni képben a tömeg a testet jellemző és változatlan alaptulajdonság, melynek szorzata a sebességgel a test impulzusa.

p = m·v

Az impulzus szintén koordinátaválasztástól függő mennyiség, viszont időszerinti deriváltja már nem függ ettől, és azonos az erővel:

F = dp/dt

Az erőtörvénynek ez az alakja egyesíti a három Newton törvényt, sőt a nyugalmi tömeggel nem rendelkező fotonok mozgására is alkalmazható: a foton bár közvetíti az elektromágneses kölcsönhatást, de rá nem hat közvetlenül az erő, ezért impulzusa, azaz sebessége nem változik. A newtoni erőtörvény integrális alakja az energiamegmaradás, mely szerint a potenciális és mozgási energiák összege a mozgás során állandó:

Ekin + V = ½mv2 + V = állandó

Ebből a newtoni erőtörvény a térkoordinátákkal képzett deriválással származtatható, melyben definíció szerint F = ―gradV. A kinetikus energia sebesség négyzetétől való függése, azaz Ekin = ½mv2, voltaképp a newtoni mozgástörvény következménye.

Elemi mozgások és a relativitáselmélet

Ettől a newtoni képtől kell elszakadni, ha el akarunk jutni a relativitáselmélethez. Ennek alapja, hogy minden távolhatás sebessége véges és független a koordinátarendszer választásától, ez pedig a c fénysebesség. A továbbiakban úgy értelmezzük c-ét, mint az elemi objektumokat (részecskéket) alkotó mozgások univerzális tulajdonságát, amely azonos valamennyi objektum esetén. Az elemi részecskék fogalma helyett elemi mozgásokról fogunk beszélni. A részecskefizika Standard Modelljében szereplő valamennyi részecskéhez – legyen szó akár fermionokról, vagy a kölcsönhatásokat közvetítő bozonokról – hozzárendelünk valamilyen c sebességű mozgáskombinációt. Ebben a felfogásban nem valamilyen előzetesen bevezetetett fizikai objektum tulajdonságáról beszélünk, például nem azt mondjuk, hogy a foton vákuumban fénysebességgel terjed, hanem azt, hogy a fénysebességű mozgások egyik megnyilvánulása a fény, illetve annak kvantuma a foton. A mozgásokat két típusba soroljuk, az elemi mozgásokat, amit belső mozgásnak is nevezhetünk, élesen szétválasztjuk a külső mozgásoktól. A c sebességű mozgás kizárólagosan részecske alkotó tulajdonság, vagyis a tömeggel rendelkező fizikai objektumok közötti sebesség nem érheti el c-ét, azt csak aszimptotikusan megközelítheti. Ez összhangban van a Minkowski féle négydimenziós téridő fogalmával, melyben a tér és idő koordinátákat a c sebesség összeköti a Lorentz transzformáció révén.  

Az elemi mozgás másik alapvető tulajdonsága az önmagába való periodikus visszatérés, ez alapján jellemezzük az oszthatatlan elemi részecskék világát, melyben minden elemi fizikai objektum egy-egy elemi mozgásforma. Az önmagába való visszatérés jellemzője a sajátfrekvencia, az idő skálázója. Az elemi mozgásformák nem függetlenek egymástól, erőt gyakorolnak egymásra, megváltoztatják egymáshoz viszonyított sebességüket, azaz gyorsulást hoznak létre. A gyorsulás mértéke pedig attól függ, hogy mekkora az elemi forgások sajátfrekvenciája. Minél nagyobb ez a frekvencia, annál jobban visszafogja a gyorsulást, ez a mozgásváltozást akadályozó képesség a tehetetlenség, vagyis a tömeg. Viszont ez a tömeg nem független a választott viszonyítási rendszertől, amelyben meghatározzuk az objektum sebességét, a mozdulatlannak tekintett elemi objektum nyugalmi tömegét definiálja az f sajátfrekvencia:

m0 = (h/c2)

A h/c2 arányossági tényezőben szereplő h Planck állandó c mellett az elemi mozgás másik alapvető állandója. Miként c az időt és teret kapcsolja össze, akként h az idő (frekvencia) és tömeg kapcsolási állandója.

Fermion: a fénysebességű kettős forgás

Az elemi mozgás önmagába való visszatérésének egyik módja a kettős forgás, vagy más néven gömbforgás, amikor a mozgás a tér minden irányát bejárja, a másik elemi mozgás a körforgás, amikor egy sík minden irányán halad végig a mozgás. Ezekben a mozgásokban az elemi jelleg abban nyilvánul meg, hogy a felületi, illetve kerületi sebesség mindig c bármekkora is a forgási frekvencia. A c felületi sebességhez viszont véges RF sugár tartozik:

c = 4πRF·f, azaz RF = c/4πf

Itt azért szerepel 4π és nem a kör kerületének és sugarának arányát megadó 2π, mert nem egyetlen tengely körüli forgásról, hanem kettős, azaz gömbforgásról van szó, amely befutja a gömb 4R2π felületét. A 4π faktor úgy is értelmezhető, hogy a kettős forgásnál a mozgás két kört fut be. Az m0 tömeg c sebességű elemi mozgásához p0 impulzushosszat rendelhetünk:

p0 = m0c

Ez a sajátimpulzus bejárja a gömb felületét és iránya merőleges a sugárra, így a kettősforgáshoz rendelhető impulzusnyomaték:

J0 = p0RF = (f·h /c2)c(c/4πf) = h/4π = ½ ħ

Itt ħ a h/2π redukált Planck állandó. A kettősforgással definiált részecskéknek – összefoglaló néven fermionoknak – azonos az impulzusnyomatéka, amit annak együtthatójával, az S = ½ spinnel jelölünk.

A fény is anyag

A relativitáselmélet alaptörvénye szerint a tömeg és az energia ekvivalens:

E0 = m0c2 = p0c

Ezt a nyugalmi tömeggel ekvivalens energiát nevezik nyugalmi energiának, noha ez a lehető legnagyobb sebességű forgás hozadéka, vagyis a fénysebességű elemi forgás kinetikus energiája, amit a fenti összefüggésben a sajátforgás impulzusával is kapcsolatba hoztunk. Viszont a fény is anyag, bár nem tartozik hozzá nyugalmi tömeg. Vagyis a tömeg nem szükségszerű velejárója az anyagnak. Az anyaghoz viszont mindig tartozik impulzus. Az energia és impulzus közötti arányosság zérus nyugalmi tömegű fotonok esetén is fennáll, vagyis az általános ekvivalencia törvényt az impulzus és energia arányossága fejezi ki a fénysebességen keresztül.

Kovariancia elv: a külső és belső mozgások összekapcsolása

Az elemi részecskék helyzetének változását a fizikai objektumok egymáshoz képesti távolságával jellemezhetjük, amit leírhatunk egy választott koordinátarendszer bevezetésével. A newtoni leírásban ennek alapja az abszolút tér, viszont a relativitáselmélet ránk bízza a választást, avval a kikötéssel, hogy csak a sebességet érinti választásunk, de a gyorsulás már ettől független legyen. Ezt nevezzük inercia rendszernek, amely annak köszönheti nevét, hogy ekkor a referencia rendszer nem hoz létre tehetetlenségi erőt. Az inercia rendszerben meghatározott v sebesség a nyugalmi értéknél nagyobb tömeget eredményez, vagyis a test külső pk = m·v impulzusa gyorsabban növekszik, mint a sebesség. Ehhez a külső impulzushoz adódik hozzá a kettősforgás p0 belső sajátimpulzusa:

p = pk + p0

Az eredő impulzusvektor hosszúságát a

p2 = pk2 +2pkp0 + p02

összefüggés adja meg, ahol a körforgásokra átlagolva a két vektor szorzata eltűnik, hiszen a p0 vektor minden irányt egyenlő gyakorisággal vesz fel. A pk = m·v és az E = p·c összefüggéseket alapul véve és szorozva c2-tel, kapjuk meg a relativisztikus kinetikus energiát, ami voltaképpen a relativitáselmélet energia törvénye, a nevezetes kovariancia elv:

Ekin2 = pk2c2 + m02c4

Ez a gondolatmenet mutatja, hogy a relativitáselmélet voltaképpen a részecskék sajátmozgásából és külső mozgásából származó impulzusok összeadási szabályából következik, vagyis a relativitáselmélet a fénysebességű forgások koncepciójából származtatható.

- - - - - - - - - - 

Megjegyzés: A kovariancia elv kvantummechanikai operátorokkal való átírásával, mely szerint:

eljuthatunk a tér és időkoordinátákra vonatkozó kovarianciához is:

- - - - - - - - - -

Fontos hangsúlyozni, hogy ez a relativisztikus kinetikus energia négyzetesen összeadott tagokból tevődik össze, amely a klasszikus ½ mv2 = p2/2m definíció általánosítása, mert abban az esetben ha v << c, a kovariancia elv visszaadja a klasszikus kinetikus energia képletét. A kovariancia elvből következik a tömeg sebességfüggésének szabálya is. Átrendezve az összefüggést:

m2c4 = m2v2c2 + m02c4

kapjuk, hogy

A vc határesetben a tömegnövekedés végtelenhez tart, vagyis a külső mozgás v sebessége nem érheti el a c fénysebességet. Ez visszaigazolja a korábbi posztulátumot, mely szerint a részecskék közötti sebesség nem érheti el a részecskét alkotó elemi mozgás c sebességét. A tömegnövekedés fenti szingularitása alapozza meg azt a lehetőséget, hogy a fénysebességű forgások tömeget hozzanak létre. Anyagmentes térben a tömeg természetesen nulla, de ezt a nullát mint határértéket kell értelmezni, melyet szorozva a végtelenhez tartó növekedési faktorral a szorzat véges értéket adhat. (Matematikailag, ha X végtelenhez tart, akkor 1/X határértékben nulla, viszont bármely X érték mellett (1/X)·X = 1). Másképpen fogalmazva, a térnek ugyan nincsen tömege, de ha léteznek benne c sebességű forgások, akkor az elemi mozgások térbeli pozíciójának gyorsításához a sajátfrekvenciával arányos erőre van szükség. A tömegn9vekedést jellemző γ faktor jelenik meg a Lorentz kontrakcióban is, amely a mozgás irányában való hosszúság csökkenését írja le, és nullára csökkenti a hosszúságot, amikor a sebesség eléri c-t. γ definíciója is összhangban van avval a posztulátummal, hogy a v sebesség nem lehet nagyobb, mint c.

Tehetetlenségi erők gyorsuló rendszerekben

A gyorsuló rendszerekben lévő tömeg tehetetlenségi erőt idéz elő. Ilyen gyorsuló rendszer a körmozgás is, amelyben fellép a sugár irányban kifelé ható centrifugális erő. Amikor tehát a fénysebességű forgás létrehozza a tömeget, az akkor lesz stabilis képződmény, ha létezik egy olyan erő, amely a centrifugális erőt kiegyenlíti. Ezt az erőt az általános relativitáselmélet szellemében a tér görbülete hozza létre. A körforgások miatti görbületet a kerület és a sugár arányával jellemezhetjük, amely kisebb lesz, mint 2π, a γ faktorral megadott Lorentz kontrakció miatt. Ha a tér a tömeg körül a Kepler törvénynek megfelelő frekvenciával és sebességgel forog, akkor a Lorentz kontrakció által kiváltott térgörbület létrehozza a Newton féle gravitációt. Evvel megfordítjuk a szokásos logikai utat, amikor a keringést a gravitációval magyarázzuk, mert ebben a felfogásban a forgás az elsődleges, ami kiváltja a gravitációt. Az Einstein által megfogalmazott posztulátumban a tömeg görbületet hoz létre maga körül a térben, de nincs magyarázat arra, hogy ez miért következik be. Ezt a posztulátumot egészítjük ki avval, hogy a tömeget alkotó fénysebességű forgás kilép az RF sugáron túlra, ahol frekvenciája lelassul a Kepler törvénynek megfelelően (A kerületi sebesség négyzete a sugár növekedésével csökken). Más szóval a belső sajátforgás külső forgást is indukál. Vagyis az általános relativitás alapfeltevését, mely szerint a tehetetlen és a gravitáló tömeg azonos, arra vezetjük vissza, hogy mind a tehetetlen tömeget, mind a gravitációt az elemi forgás hozza létre.

A tömegek között ható külső gravitációhoz hasonló módon működik a részecskét stabilizáló erős belső gravitáció, mert a részecskéket alkotó fénysebességű forgásoknál a kerület nullára csökken a sugár változatlansága mellett, amiért extrém nagyságú lesz a görbület. A számítások arra vezetnek, hogy az extrém görbülethez tartozó befelé húzó gravitációs erő ―ħc/R2 lesz, amely éppen kiegyenlíti a ħc/R2 nagyságú centrifugális erőt. Az elemi forgás egyensúlya az energiával is kifejezhető: a ħc/R kinetikus energiát kiegyenlíti a görbült tér negatív ―ħc/R potenciális energiája. Az elemi mozgások létrejöttéhez nem kell külső energia, a részecskék megalakulása a tér lokális szerkezetének átalakulása, amely egyrészt negatív potenciális energiát, másrészt pozitív kinetikus energiát hoz létre. A részecskék az impulzusmomentum (vagyis a spin) révén jöhetnek létre, amelyet egymással szemben forgó elemi mozgások generálhatnak az eredetileg üres térben.

Az elektromos töltés eredete és a foton elemi mozgásformája

A fermionokat alkotó kettős forgás létrehoz egy további tehetetlenségi erőt, nevezetesen a Coriolis erőt, amelynek iránya merőleges egyfelől az egyik forgás tengelyére, másfelől a másik forgás érintőjére, amely így párhuzamos lesz a centrifugális erővel. Az erő nagysága periodikusan változik az érintő körbefutása miatt, azaz egy teljes körre számolva az átlag nulla lesz. Ennek az erőnek amplitúdója ħc/R2. A Coriolis és a centrifugális erők összeadódnak. A Coriolis erő átlaga nulla, de hatására az egyik fél periódusban kifelé mutató erő meghaladja az erős gravitációt, a másik fél periódusban viszont megfordul a helyzet és az erős gravitáció visszahúzó ereje lesz nagyobb. Ennek következménye, hogy fél periódusonként kibocsátásra kerül, majd visszanyelődik egy körforgás. Ez már egytengelyű forgás lesz, amelyet a Coriolis erő a forgási tengely irányában lök meg, és ennek hatására létrejön egy fénysebességgel megnyúló hengeres spirálpálya. Ez az elemi mozgásforma a foton, melynek folytonos kibocsátása és elnyelése megfelel a kvantumelektrodinamika (QED) feltevésének, amely virtuális fotonokkal magyarázza az elektromágneses kölcsönhatást. Ezeknek a fotonoknak impulzusa löki el, vagy húzza egymás felé a fermionokat, létrehozva az elektromos Coulomb erőt, viszont a fotonoknak impulzusnyomatéka is van, melynek forgató hatása vezet a mágneses kölcsönhatáshoz a mozgó objektum retardációs hatása miatt. (A retardáció azt jelenti, hogy a hatás terjedéséhez is idő kell, amiért az egyik objektum korábbi pozíciója határozza meg a másik objektumra gyakorolt erőt).

A kettősforgásban a két körforgás iránya két geometriát képvisel, lehet jobbkéz, vagy balkéz szimmetriájú, ezt nevezzük kiralitásnak. Ennek megfelelően kétféle fermion létezik, az egyik anyag, a másik antianyag típusú részecske. A Coriolis erő iránya ellentétes a két királis szimmetriánál, amiért a két esetben a kibocsátási és visszanyelési periódusok, és evvel együtt a fotonok forgási iránya (polarizációja) is fordított lesz. A fotonok kétféle polarizációja okozza, hogy két fermion között vonzás és taszítás is lehet, az előbbit ellentétes polaritású, az utóbbit azonos polaritású fotonok szuperpozíciója idézi elő. Az erőhatás jellemzésére vezeti be a fizika a töltés fogalmát:

FCoulomb = q1q2/R2

A töltés tehát a részecskékhez rendelt technikai paraméter, amely jól írja le a részecskéket övező és a Coriolis erő által létrehozott foton felhők közötti kölcsönhatást. A töltés az elemi kettősforgások másik jellemzője a tömeg mellett. Ha elemi részecskéről van szó, akkor a q töltés egységesen ugyanakkora értéket vesz fel, amit +e, vagy –e elemi töltésnek nevezünk, ahol az előjel fordított az anyag, illetve antianyag típusú részecskék esetén. Például az elektron töltése negatív, a pozitroné pozitív. Viszont az elemi részecskék töltésének nagysága – eltérően a tömegtől – független az elemi forgás frekvenciájától, ugyanis a Coriolis erő amplitúdója csak a Planck állandótól és a fénysebességtől függ:

 e2/R2 = αħc/R2

Itt az α = 1/137 dimenziómentes Sommerfeld állandó a mozgás harmadik intrinsic konstansa, amely megmutatja, hogy a kettős forgások energiájának hányad része „tárolódik” a fermion foton felhőjében. Az α tényező az elektromágneses kölcsönhatás csatolási állandója.

A nyugalmi tömeg és a töltések kapcsolata

Amikor két ellentétes kiralitású és egymást vonzó elemi forgás – például elektron és pozitron – ütközik, annihiláció következik be. Ennek oka, hogy ilyen esetben már nem a kölcsönhatást közvetítő fotonok szuperpozíciója áll a jelenség mögött, hanem közvetlenül a fermionok elemi forgásai oltják ki egymást. Az ütköző részecskék kettős forgásaiból az egyiknél a forgás irányok ellentétesek, amiért megsemmisítik egymást, viszont a másik forgási iránya egyezik, amiért megmaradnak, és így két valódi (detektálható) foton jön létre a két fermion annihilációja során.

A foton egytengelyű fénysebességű forgása 2Rπ kerületet fut be, amihez a c sebesség miatt Rfoton = c/2πf sugár tartozik. Ekkor a kettős forgáshoz képesti kétszeres sugár miatt a forgás impulzusnyomatéka is megduplázódik, azaz ħ lesz. Ez a részecske típus kapta a bozon elnevezést, amely az S = 1 spinnel jellemezhető.

Fotonok kibocsátása a fermionok állapotváltozásához kapcsolódik. Foton kibocsátás külső erő hatása nélkül, spontán módon is létrejöhet megmaradási elvek teljesülése mellett. Az S = ½ spinű, azaz ½ħ impulzusnyomatékú, fermion úgy bocsáthat ki, vagy nyelhet el S = 1 spinű (ħ impulzusnyomatékú) fotont, ha közben a fermion spin vetülete is ugyanekkorát változik. A spinhez a belső kettősforgáson kívül külső forgást is rendelhetünk. A belső forgás határozza meg a spin nagyságát, míg a külső forgás két vetületi érték közül választhat. A külső forgásra példa a Larmor precesszió, amikor egy külső mágneses mező iránya körül végez forgást a részecske. Ezt az irányt konvencionálisan z-nek nevezzük, és ehhez rendeljük a fermion spin Sz komponensét, amely +½ és -½ értéket vesz fel, attól függően, hogy milyen irányban történik a forgás. Foton kibocsátás, vagy elnyelés a forgásirány megfordításával jön létre, mert ekkor Sz értéke egységnyit változik. (Ez elvben vonatkozik a QED elméletben feltételezett virtuális fotonokra is, tehát a részecske külső forgás iránya is állandóan ide-oda ugrik.) A forgás frekvenciája arányos a mágneses mezővel, ez a Larmor frekvencia, amelynek értéke nem érheti el a sajátforgásét, annál a technikailag megvalósítható mágneses mezőkben sok nagyságrenddel kisebb. Külső forgásnál már indokolt feltenni a kérdést, hogy mi forog. A Larmor precessziót úgy értelmezhetjük, hogy a külső mágneses mező forgatónyomatékot gyakorol a fermiont övező virtuális foton felhőre, és ezáltal a foton felhő forgásba jön. A virtuális foton felhőnek ezt a tulajdonságát írja le a mágneses dipólus.

Atomokban kötött pályán mozgó elektronok is kibocsáthatnak fotont, amit az optikai spektroszkópiában figyelhetünk meg. Ennek forrása az atommag körüli mozgási pálya Lzħ impulzusnyomatéka, ahol az Lz kvantumszám egész értékeket vehet fel. Foton kibocsátás, vagy elnyelés két pálya közötti ugráskor jön létre, amikor az Lz kvantumszám egységnyit változik. Ebben a folyamatban az elektron külső mozgásának impulzusnyomatéka konvertálódik a foton belső forgásából származó impulzusnyomatékba. Ez a konverzió ħ nagyságú kvantumokban történik, ami magyarázatot ad arra, hogy az elektronpálya impulzusnyomatéka miért csak ħ egészszámú többszöröse lehet.

A folytonosság kvantummechanikai követelménye

A fény kvantáltsága és az energiaváltozás kvantumos jellege kötött állapotú részecskék esetén nem jelenti, hogy akár a tér, akár az idő kvantált lenne. Ellenkezőleg, mivel a kvantummechanika differenciálhányadosokkal definiálja az energia és impulzus operátorokat, ez megköveteli, hogy a tér és idő koordinátáknak folytonosak legyenek minden határon túl. Ezért, ha meg akarunk felelni a kvantummechanika kívánalmainak, akkor úgy kell értelmezni az elemi forgásokat, amelyek nem sértik a folytonosság követelményét. A c sebességhez tartozó RF sugarat nem lépheti át az elemi forgás, vagyis ezen a határon a forgási frekvencia hirtelen nullára csökken. A folytonosság kritériuma azonban megköveteli, hogy a forgás leállása ne szakadásként következzen be, hanem egy véges tartományon belül. Korábban, amikor a gravitációt a kettős forgás RF határon való kilépésével magyaráztuk, hallgatólagosan ezt a kvantummechanikai folytonossági elvet követtük. Most a kérdés másik oldalát vesszük szemügyre, ahol a kettős forgás átalakulásáról lesz szó. Úgy fogjuk fel közelítőleg a kettős forgások által kialakított RF sugarú gömböt, hogy annak van egy véges ΔR vastagságú „héja”. A frekvenciaváltozás ütemét a df/dR = fR differenciahányadossal jellemezhetjük, ahol figyelembe vettük, hogy a részecskén kívüli tartományba már nem jut ki a forgás. A héj ΔR vastagságát a fénysebességű mozgás Δt = ΔR/c idő alatt lépheti át. Képezzük evvel az idővel a frekvenciaváltozás differenciálhányadosát:

Ekkor az Euler erő mintájára felírhatjuk a frekvenciacsökkenés miatt fellépő tehetetlenségi erőt:

Itt az Euler erőre hivatkozunk, de valójában annak kiterjesztéséről van szó. Az eredeti Euler erő a forgási frekvencia időbeli fékezése ellen ható tehetetlenségi erő, de ez esetben a frekvencia térbeli (sugár irányú) fékezéséről van szó. Az utolsó formulából látszik, hogy a forgási frekvencia térbeli lassításából származó tehetetlenségi erő nagyobb, mint a sajátforgás centrifugális ereje, illetve a részecskét stabilizáló extrém gravitáció, hiszen az RF forgási sugarat nem haladhatja meg a héj ΔR szélessége.

A gyenge kölcsönhatás világa

Ez a rendkívül nagy erő magyarázza a részecskefizika különös jelenségét, mely szerint bétabomláskor a fermionok (például a neutron) saját tömegét közel százszor meghaladó tömegű W részecskét hoz létre. Mint korábban említettük a szükséges energiát a görbület potenciálisenergiája és a sajátforgások kinetikus energiájának egyensúlya biztosítja. Ez az erő érintő irányban fut körbe, vagyis létrehoz egy fénysebességű egytengelyű forgást. Ez a forgás a fotontól eltérően nem terjed a tengely irányában fénysebességgel, hanem a forgás sugara tágul, vagyis egy síkban táguló spirális jön létre. A fénysebességű forgás játékszabálya szerint ez a tágulás lelassítja a forgási frekvenciát. Ez a mozgástípus alkotja a nagytömegű és töltéssel rendelkező W bozont. Mivel a sugárirányú tágulás merőleges a forgási tengelyre, így fellép a Coriolis erő, vagyis ennek a bozonnak van töltése is. Továbbá a W bozon nem hagyja el a fermion felületét, vagyis lokalizált, így tömeget is rendelhető hozzá. Összegezve: a W bozon és a foton közös tulajdonsága, hogy mindkettőt egytengelyű forgás alkotja, de amíg a fotonnak nincs nyugalmi tömege és a forgási frekvencia tetszőleges lehet, addig a különböző fermionok által kibocsátott W bozonnak van töltése és óriási nagy tömeggel rendelkezik. Miért azonos a W bozon tömege bármilyen részecske is bocsátja ki? Ennek okát a tér további határtulajdonságára lehet visszavezetni. Minthogy a W bozonnak van tömege, amihez centrifugális erő járul, ezt a lokális térgörbülettől származó extrém erős gravitációnak kell kiegyenlíteni. De a nagy tömeghez rendkívül kis RW = ħ/mWc sugár tartozik, viszont a sugárnak létezik egy alsó határa, amely behatárolja, hogy mekkora lehet az a maximális tömeg, amelyet a térgörbület még stabilizálni képes. A W bozon képződését nem külső erő okozza, hanem a fermion felületén működő belső erő, amely nem tűnhet el a fermion átalakulásánál, hanem átmegy a képződő W bozont stabilizáló erőbe:

 

Ez pedig meghatározza, hogy mekkora az a héjvastagság, amely képes létrehozni az ismert tömegű W bozont:

RF ΔR = RW2

Mivel a gömb sugarát nem haladhatja meg héjának vastagsága, azaz ΔR < RF, így RF > RW , vagyis a fermionok sugárral fordítottan arányos tömege nem lehet nagyobb, mint a W bozon tömege. Ez egyezésben van avval a részecskefizikai ténnyel, hogy nem lehet megfigyelni olyan fermiont, amelynek tömege meghaladná a W bozonét. Evvel magyarázatot kaptunk arra is, hogy miért nem találtak olyan hadront, amelyben a top kvark is jelen lenne, ugyanis a top kvarkra megállapított renormált tömeg már nagyobbnak adódott, mint a W bozoné.

A W bozont alkotó belső mozgás sugara fénysebességgel növekszik. A kerületi sebesség c értéke miatt a növekvő sugár a frekvencia lassulásával valósul meg, ami a frekvenciával arányos tömeg elvesztését hozza magával rendkívül rövid idő alatt. A W bozont csökkenő frekvenciája teszi alkalmassá, hogy különböző tömegű fermionokat alakítson át, amikor rezonanciába kerül velük. A gyenge kölcsönhatás hatótávolsága rendkívül rövid a W bozon gyors leépülése miatt. Mivel a W bozon forgási tengelye és terjedési iránya merőleges egymásra, ehhez a mozgásformához Coriolis erő, tehát töltés is tartozik, voltaképp a fermion saját töltése „ruházódik át” a kilépő W bozonra, vagyis a fermion elveszti töltését és semleges lesz. Ez a töltésmegmaradás elv folyománya, amit a Coriolis erő megmaradási elveként is értelmezhetünk. A fermionok tehát két folyamatban vesznek részt, egyrészt kibocsáthatnak egy fénysebességgel terjedő és nullatömegű részecskét, a fotont, másrészt létrehozhatnak egy töltéssel és tömeggel rendelkező W bozont, egy semleges fermionnal, a neutrínóval együtt. Ez a neutrínó hasonlít a fotonra, nincs tömege, nincs töltése, van viszont impulzusa és a mérések szerint fénysebességgel mozog, abban azonban különbözik a neutrínó a fotontól, hogy spinje S = ½, és nem vesz részt elektromágneses kölcsönhatásban. A töltéssemlegességet olyan elemi forgással értelmezhetjük, amely egyidejűleg végez jobb és balkéz szimmetriájú kettős forgásokat, ez vezet a Coriolis erő eltűnéséhez. A tömeg eltűnését úgy értelmezhetjük, hogy az anyaghoz pozitív, az antianyaghoz negatív tömeget rendelünk, és összegük nulla lesz, ha a két királis mozgás együtt van jelen. Mivel a kovariancia elvben kizárólag négyzetes tagok fordulnak elő, így nincs a tömeg előjelének szerepe a relativisztikus mozgástörvényben, a gravitáció szempontjából sincs szerepe az előjelnek, mert a térgörbületet nem függ tőle. A negatív tömeg azonban a klasszikus Newton törvényben az erővel fordított irányú gyorsulást idézne elő, ilyen mozgás viszont nem létezik. Valójában arról van szó, hogy a relativisztikus mozgásegyenlet négyzetes tagokból álló összefüggés, emiatt annak kis sebességre érvényes alakja is négyzetes, vagyis a Newton egyenletet is négyzetre kell emelni, ahol a tömeg előjele már nem játszik szerepet. Úgyszintén a kovariancia elvből következő tömeg-energia ekvivalencia törvényt is négyzetes alakban kell átírni: E2 = m2c4. A tömeg előjele egyedül az annihiláció esetén játszik szerepet, amikor eltűnik a tömeg két foton képződése során. Az annihilációval ellentétes folyamat a párképződés, amikor az elegendően nagy energiájú gamma sugarak elektron-pozitron párt produkálnak.(Ez a Breit-Wheeler folyamat, amelyben két gammasugár hozhat létre elektron-pozitron párt. Ennek kísérleti megfigyelését újabban nehéz ionok felgyorsításával sikerült elérni, ahol a nehéz ionok nagy mennyiségű virtuális fotont hoznak létre.)  Az elegendő energia azt jelenti, hogy a foton frekvenciájának legalább akkorának kell lenni, mint a képződő fermion pár saját frekvenciája. Ekkor a zérus nyugalmi tömegű fotonok hozzák létre a pozitív és negatív előjelű tömeget. A tömegmegmaradás törvényét az ellentétes előjelek biztosítják a párképződésben.

A tömeg előjele tehát együtt változik a töltéssel, kiterjesztve a részecskék tömege és töltése közötti szimmetriát. Megfogalmazhatjuk azt a szabályt, hogy ha egy elemi részecskének van töltése, akkor van tömege is, ha nincs töltés, akkor nincs tömeg sem. Természetesen ez a szabály csak a valódi elemi részecskékre vonatkozik, és nem az összetettekre. Ha több elemi objektum, például kvark, létrehoz egy összetett objektumot, ott a töltések semlegesíthetik egymást, szemben az összeadódó tömegekkel. Látszólag ellentmond az előbbi szabálynak, hogy létezik a gyenge kölcsönhatást közvetítő semleges Z bozon is, amelynek nincs töltése, de tömege meghaladja még a W bozonét is. Ez azonban csak látszólagos ellentmondás, a Z bozon tömegét impulzusmérésből, azaz meglökött elektronok kinetikus energiájából határozzák meg, és nincs szó közvetlen tömegmérésről. A Z bozon elemi mozgása két ellentétes kiralitású mozgás szuperpozíciója, ezért a részecskének tulajdonított mZ tömeg a pZ = mZ·c impulzusból leszármaztatott mennyiség.

Neutrínók típusai és szerepük a gyenge kölcsönhatás közvetítésében

A neutrínók is betölthetnek kölcsönhatást közvetítő szerepet. A csillagokból érkező neutrínó, ami egy neutron átalakulásából származik, eljuthat a Földre, ahol egy fermiont, például egy protont, átalakíthat. Ez azt jelenti, hogy a neutrínó két távoli fermion között hozhat létre kölcsönhatást, azaz a kölcsönhatások közvetítése nem a bozonok kiváltsága. Természetesen a neutrínó sohasem „egyedül dolgozik”, mind képződésekor, mind eltűnésekor szükség van a W bozon megjelenésére is.

Hány féle neutrínó van? A Standard Modell háromféle neutrínót különböztet meg, amit elektron, műon és tau neutrínónak nevez. Ennek oka, hogy az elektronnak létezik még két nagyobb tömegű változata, a müon és a tau részecske. Ezek a részecskék nem stabilak, a tau két neutrínó és a W- bozon közvetítésével müonra, a müon hasonló módon elektronra bomlik fel. A folyamat során fellépő neutrínók tartoznak az elektronhoz, müonhoz és a tau részecskéhez. De miért éppen ezek a neutrínók szerepelnének például a neutron, vagy a pi mezon bomlása esetén? További kérdőjelet vet fel a neutrínó oszcilláció kérdése. A Napból és csillagokból érkező neutrínók várt számánál jóval kevesebbet lehetett a földön detektálni, amit úgy értelmeztek, hogy az utazás során a különböző tömegű neutrínók egymásba alakulnak (oszcillálnak) és a detektor ezek közül csak az egyik típust érzékeli. Viszont a neutrínók sebességmérése a hibahatáron belül mindig a c fénysebességgel egyező értéket adott, vagyis a neutrínóknak nem lehet tömege. Ezt úgy értelmezi a jelenlegi modell, hogy mégis van tömegük, csak a sebességmérés pontossági korlátja miatt ez nem határozható meg. Ennél lényegesen kézenfekvőbb magyarázatot kínál a fénysebességű forgások koncepciója, amely a neutrínókhoz – hasonlóan a fotonokhoz – nem rendel tömeget, csupán impulzust, vagyis a neutrínók nem tömegükben különböznek, hanem az impulzus nagyságában. Arra sincs szükség, hogy éppen három diszkrét impulzusú neutrínót különböztessünk meg: úgyszintén a foton mintájára különböző impulzusú neutrínók jöhetnek létre az egyes bomlási és átalakulási folyamatokban az átalakuló fermionok tömegétől függően.

Az elmondottakat úgy is összefoglalhatjuk, hogy a fénysebességű forgás anyagképző mozgás. Az anyagképződés azonban nem okvetlenül tömeg, illetve töltésképző folyamat. Tömegképződésről van szó, amikor töltött objektumok (elektron, pozitron, W bozon) jönnek létre, ezek tiszta királis állapotok, míg impulzusképződésről beszélhetünk, ha semleges objektumok (foton, neutrínó, Z bozon) jönnek létre. Ezek királisan semleges elemi mozgásformák, rájuk nem is vonatkozik az anyag és antianyag megkülönb9ztetés. Léteznek azonban kevert királis mozgásformák is (kvarkok, gluonok), ahol törttöltések alakulnak ki és a szokásos tömeg helyett csak renormált tömegről beszélhetünk. Erről lesz szó a következő pontban.

Kvarkok és gluonok: a „Cukahara” szaltó

Szertornában alkalmazott egyik elem a Cukahara szaltó, amivel szemléltethetjük a kvarkok mozgásformáit. Ekkor a tornász a szaltót és a forgást kombinálja. Hasonló gyakorlatokat mutatnak be a toronyugrók is. Egy duplaszaltót lehet kombinálni egy forgással, vagy a szaltót összekötni egy duplaforgással. Az eddig tárgyalt fermionoknál, az elektron és a pozitron esetén két egyszerű síkforgás kapcsolódik össze, melyekhez bal, vagy jobbkéz szimmetria párosul. Ezek a tiszta királis állapotok. Kvarkok esetén is két forgás kombinálódik, de ezek összetett formák, akár az említett Cukahara figurák. Az egyes forgások három szakaszra bomlanak, amelyek kevert királis állapotokat hoznak létre, például két balkéz állapot kombinálódik egy jobbkéz állapottal, létrehozva 2/3e töltést a részleges Coriolis erők miatt, ezt nevezzük „up” részecskének, vagy fordítva két jobbos kiralitású részforgás kapcsolódhat egy baloshoz, amikor -1/3e töltés alakul ki, ez a „down” kvarkot határozza meg. Törttöltésű elemi objektumot azonban nem lehet megfigyelni, ezt fogalmazza meg a bezártság elv. Ez a mozgásforma önmagát nem stabilizálja, ehhez két vagy három kvark „összefogására” van szükség, az ilyen összetett objektumokat nevezzük mezonoknak és barionoknak. Legismertebb képviselőik a +e töltésű proton, amely két up kvarkból és egy down kvarkból áll, és a semleges neutron, amit egy up és két down kvark alkot.

Ezt az összetett mozgásformát két tehetetlenségi erő hozza létre, a már említett Coriolis erő, amely sugárirányú, és az érintő irányú Euler erő. A két erő eltérő irányultsága szükséges a „szaltók” és „forgások” kombinálásához. Minden kvarknak három állapota van, amit színnek nevez a részecskefizika, és tulajdonságait a kromodinamika mezőelmélete foglalja össze. A három ekvivalens állapotra kézenfekvő magyarázatot ad a fénysebességű mozgás elve: az egyes forgási tengelyek lehetnek x, y és z irányúak. A három tengelyiránnyal jellemzett kvarkokat 3x3 gluon kapcsolja össze, amiből a totálszimmetrikus kombinációt kizárja az elmélet, amiért 8 különböző gluonról beszél. Mivel szabad kvark nem figyelhető meg, így törttöltésük nem valódi, hanem kalkulált érték, és tömegük sem mérhető, amiért renormált tömegeket rendelnek az egyes kvarkokhoz. A kvarkoknak is három generációja van az elektron, müon, tau hármas mintájára. A magasabb generációhoz nagyobb tömeg, azaz forgási frekvencia tartozik. A kevert kiralitású fermionok olyan részecskéket hoznak létre, amelyek már vagy tiszta királis állapotúak, vagy semlegesek. Az egyes kvarkok renormált tömegének is adhatunk előjelet, pozitívot az anyagnak és negatívot az antianyagnak. Emiatt a semleges neutronnak is két típusa van, a pozitív tömegű neutron és a negatív tömegű antineutron, amelyek ütközéskor annihilálnak.

Még egyszer a gravitációról

Végül térjünk még vissza a gravitációra, hogy ezt is a belső forgások tehetetlenségi erejére vezessük vissza. Az Euler erőnek létezik egy másodlagos hatása is, amikor a fermion belsejéből mindkét forgást kilépteti. Ez a kiléptetés úgy fogható fel, hogy nem áll le teljesen a kettős forgás a részecske határán, hanem erősen lelassult frekvenciával fennmarad. Ez mint egy másodlagos felhő veszi körül a fermionokat. Ehhez sem tömeg, sem impulzusnyomaték (spin) nem tartozik, és így ez a kölcsönhatás nem rendelkezik kvantumos jelleggel. Hatása abban nyilvánul meg, hogy a fermion körüli tér is görbülettel rendelkezik. Ez hozza létre a részecskék közötti gravitációs vonzást. A relativitáselmélet szerint a tömeget körülvevő gravitációs mező, azaz a görbület is fénysebességgel terjed, amiért retardációs hatás az elektromágnesességhez hasonlóan itt is fellép. Ezt írja fel az Einstein által megadott gravitációs egyenlet, amelyben a térszerkezetét leíró görbületi tenzor foglalja magába a retardációs hatást, és ennek következménye a LIGO kísérletekben megfigyelt gravitációs hullámok kialakulása.

Foglaljuk össze a fentieket! Az elemi mozgások anyagképző potenciállal rendelkeznek, melyek különböző tehetetlenségi erőkhöz vezetnek (centrifugális, Coriolis és Euler). Ez egységes keretet biztosít a négy alapvető fizikai erő: a gravitáció, az elektromágneses, a gyenge és az erős kölcsönhatás értelmezéséhez.

EPILOGUS

Létezik egy teremtés előtti világ, ahová még műszereinkkel sem tudunk bepillantani. Ebben alakulnak ki az elemi mozgásformák, amelyek megteremtik az anyagot, viszont minden, amit látunk, minden, amit érzékelünk, vagy amit műszereinkkel megfigyelünk, már erre a teremtett világra vonatkozik. Ez határozza meg gondolkodásunk kereteit, ez építi fel a józan ész kapaszkodóit. Elfogadni és elsajátítani egy másfajta gondolkodást, ami a teremtés előtti világról szól, roppant nehéz, óriási szellemi kihívást jelent. Írásom ebben az irányban tett próbálkozás.

 

Távolhatások és kontakt kölcsönhatások

Az előző írás: A fénysebesség csökkenés mechanizmusa és a kvantum fluktuáció

Linkek a korábbi bejegyzésekhez

 

Távolhatások és kontakt kölcsönhatások

A Föld és a többi bolygó a Nap körül kering, a pályát a távoli égitestek közötti láthatatlan gravitációs erő hozza létre. Nincsenek a testek összekötve, ezért közöttük távolhatásról beszélhetünk. Az atommag körüli pályákon elektronok mozognak, ennek létrehozója a pozitív töltésű atommag és a negatív elektronok közötti elektromos vonzóerő. Bár itt a távolságok parányiak, mégis távolhatásról beszélhetünk, mert nincs látható kapocs a részecskék között. Ez a távolhatási kép volt uralkodó, amikor kialakult a kvantummechanika, és magyarázatot adott az atomok és molekulák szerkezetére. Később születtek meg a mezőelméletek, elsőként a kvantumelektrodinamika, amely alapvető változást hozott a fizikai szemléletben, előtérbe került a koncepció, hogy a távolhatás mögött kontakt mechanizmusok állnak, melyekben virtuális fotonok hozzák létre az elektromágneses vonzó és taszító erőt. A virtualitás azt jelenti, hogy ezek a fotonok közvetlenül nem figyelhetők meg.

Megfigyelhető és virtuális fotonok, a vákuum fluktuáció

A fény természetére először a Maxwell egyenletek megszületése adott magyarázatot, vákuumban is áramlanak elektromágneses hullámok, melyek képesek erőt gyakorolni, ha oda elektromos töltést helyezünk. Planck felismerése volt, hogy a fény is egyedi objektumokból áll, a fotonokból. A foton olyan fénysebességgel (c), haladó hullám, amelynek minden periódusára ugyanakkora lökő erő tartozik, és minden periódusának ugyanakkora az energiája, ezt fejezi ki, hogy a teljes hullám impulzusa a távolság egységre jutó hullámszám (p = h/λ), és energiája az időegységre jutó periódusok száma: E = hf. Itt h a Planck állandó, a téridő univerzális tulajdonsága a c fénysebesség mellett, ez a kvantum egysége is, amit gyakran a ħ = h/2π redukált Planck állandóval is jelölünk. A foton voltaképp két töltés kölcsönhatása a térben. Valahol a térben egy elektron állapota megváltozik, például a lámpa izzószálában, vagy a Napban, ezáltal útjára indít egy fotont, amely eljut valahol egy másik elektronokhoz, legyen az akár közel, de lehet fényévnyi távolságra is. Az „utazó” foton hatására megváltozik ennek a másik elektronnak az állapota. Ezen az állapotváltozáson alapul minden megfigyelés és a látásunk is.

E történet idáig a megfigyelhető valódi fotonokról szólt. A virtuális fotonoknak más a szerepük, nem az elektronok állapotát változtatják meg, hanem fenntartják, létrehozzák a töltések között ható erőt. Ennek eszköze a fotonok impulzusa, amely meglöki a töltéssel rendelkező részecskéket, így az elektronokat is. Minden töltéssel rendelkező elemi objektum, legyen szó elektronokról, vagy az atommagok protonjairól, állandóan kibocsát és elnyel virtuális fotonokat. A mechanizmusra szemléletes magyarázatot kínál a fénysebességű forgások koncepciója, melyben kettősforgások alkotják a részecskéket, összefoglaló néven a fermionokat. A részecske sajátforgásának centrifugális erejét a fénysebességű forgás által előidézett extrém térgörbület gravitációs ereje egyenlíti ki. Ez a magyarázat az általános relativitáselméletre támaszkodik. A két forgás között fellép egy további tehetetlenségi erő, a periodikusan változó Coriolis erő, amelynek átlaga nulla. Ennek az erőnek körüljárási irányát a két forgás királis szimmetriája szabja meg. A Coriolis erő periodikusan megtöri a forgást fenntartó erőegyensúlyt, a periódus egyik fázisában a kifelé ható erő lesz nagyobb, ekkor kerül sor az egytengelyű forgás, azaz a foton kibocsátására. A periódus másik felében a befelé húzó erő lesz a domináns, ekkor nyeli vissza a részecske a virtuális fotonokat. Kibocsátáskor a foton impulzusát az elektron biztosítja, amely ekkor a fotonéval ellentétes irányban lökődik meg, ezáltal téve eleget az impulzus megmaradásának. Elnyeléskor az elektron visszaveszi az impulzust, azaz fordított irányú elmozdulás következik be. A két folyamat összjátéka állandó fluktuációt okoz az elektron pozíciójában. Ezt nevezi a szakirodalom vákuum, vagy kvantumfluktuációnak, és ennek segítségével lehet magyarázni, hogy miért nagyobb az elektron mágneses nyomatéka, mint ami a relativisztikus Dirac egyenletből következik.

Vonzás, taszítás és a fotonok polaritása

De miért jön létre taszító erő két elektron között, és miért vonzás a pozitív töltésű atommag és a negatív elektronok között? A virtuális fotonok kibocsátása és elnyelése dinamikus egyensúlyt hoz létre, amit úgy foghatunk fel, hogy a részecskét kiegészíti egy virtuális foton felhő, amely létrehozza az elektromágneses kölcsönhatást. Ez a felhő képviseli az elektron mc2 energiájának egy kis hányadát, amit. a Sommerfeld féle α = 1/137 állandó mond meg, a szakirodalomban ezt nevezik finom-kölcsönhatási állandónak. Ez határozza meg az elemi töltés nagyságát is az e2 = αħc összefüggésben (e a töltés). A töltés előjelét viszont az határozza meg, hogy milyen a kettősforgás kiralitása, ami: jobb, vagy a balkéz szimmetriájú lehet. Például negatív töltéshez rendelhetjük a jobbkéz, a pozitívhoz a balkéz szimmetriát. Persze a választás önkényes, lehet fordítva is. A jobbkéz szimmetria esetén jobbsodrású, balkéz szimmetriánál balsodrásúak lesznek a kibocsátott fotonok a Coriolis erőnek megfelelően. Amikor két elektron kölcsönhatásba kerül mindkettő jobbsodrású fotonokkal van körülvéve, de mivel a másik elektrontól érkező fotonok terjedési iránya az elsőhöz képest fordított, a kölcsönhatás létrejöttekor a „befogadó” elektron oldaláról nézve megfordul a forgás sodrásiránya, azaz balsodrású lesz. A virtuális fotonok szuperponálódnak az átfedési tartományban, és az ellentétes polaritások kioltják egymást. Emiatt a két elektron közötti tartományban lecsökken az elnyelhető fotonok sűrűsége. A kibocsátás és elnyelés egyensúlya megbomlik, hiszen a foton kibocsátások gyakorisága változatlan marad, amiért összességében a taszító hatás fog dominálni, vagyis taszítják egymást az elektronok. Megfordul a kép a negatív és pozitív töltések kölcsönhatásakor. Ekkor a pozitív töltésű részecske balsodrású foton felhője a negatív töltés számára jobbsodrásúként viselkedik. Ez a két részecske közötti tartományban megnöveli a foton sűrűséget, amiért nagyobb lesz az elnyelések sebessége a kibocsátáshoz képest. Ez pedig már vonzást hoz létre a felborított impulzus mérleg miatt.

 A foton felhők sűrűsége a távolság négyzetével csökken, emiatt a vonzó, vagy taszító erő is ebben az ütemben változik, ami megfelel a Coulomb törvénynek, amely szerint FCoulomb = q1q2/r2, ahol r a q1 és q2 töltések távolsága. A q1 töltés erőkifejtési képességét leírhatjuk az E1 = q1/r2 elektromos mező fogalmának bevezetésével is, amikor is FCoulomb = E1q2.

Mágneses mező: a Coulomb kölcsönhatást kiegészítő retardációs hatás

Mozgó töltések esetén az erőhatás megváltozik, mert idő kell a virtuális fotonok áramlásához is, ezt pedig a c fénysebesség határozza meg. A fotonok érkezési ideje r távolság esetén Δt = r/c, ez alatt a v sebességű részecske eredeti helyéhez képest vr/c utat tesz meg. A töltések közötti erőhatás nagyságát és irányát ezért nem az határozza meg, hogy pillanatnyilag mekkora az r távolságuk, hanem az, hogy mekkora volt Δt idővel korábban (retardáció). Ha a mozgás nem az összekötő r vektor irányában történik, akkor fellép az r és v vektorokra egyaránt merőleges erő, ezt írja le a B mágneses mező segítségével a Lorentz formula:

FLorentz = q(E +vxB)

Ezt felfoghatjuk a B mágneses mező definíciójának, amely megmondja, hogy a hatás késlekedése (retardáció) miatt, hogyan kell korrigálni a töltések közötti erőhatást. A mágneses kölcsönhatás a Coulomb erőt kiegészítő relativisztikus járulék, amely azonban nem a vektor felbontásnak megfelelő v irányába mutat, hanem arra merőleges. Ennek oka, hogy amíg a Coulomb erőt a virtuális fotonok impulzusa hozza létre, addig a mágneses kölcsönhatás a fotonok impulzusnyomatékához kapcsolódik, amely pedig merőleges az impulzusra. Másként fogalmazva, arról van szó, hogy mozgó töltések esetén a foton felhők terjedési iránya szöget zár be egymással, ami merőleges irányban is létrehoz egy erőhatást.

Korábbi írásunkban részletesen foglalkoztunk avval a kérdéssel, hogyan hoz létre a fénysebességű forgás mágneses nyomatékot, amely arányos a töltéssel és a Compton sugárral. Az anomális mágneses nyomatékot a kvantum fluktuációk által megnövelt sugárral lehetett értelmezni. Ez a növekedés úgy is szemléltethető, hogy az elektron virtuális foton felhője megnöveli a részecske effektív sugarát.

Az s elektronok különös viselkedése: a Lamb shift

Az előző írásban már utaltunk rá, hogy a kvantum fluktuáció miatt bizonyos energiaállapotok degenerációja megszűnik, amit Lamb és Retherford meg is figyelt a Hidrogén atom két állapota között. Az energianívókat a Schrödinger egyenlet szerint az n fő kvantumszám határozza meg, de a relativisztikus Dirac egyenlet szerint ezek a nívók felbomlanak az L mellék kvantumszám szerint, ezt nevezik finom-kölcsönhatásnak, melynek mértéke a már említett α állandóval jellemezhető. Az L kvantumszám határozza meg az elektron pálya impulzusnyomatékát. Az L kvantumszám n-1-nél nem nagyobb egész értékeket vehet fel. Az alapállapot 1s1/2, az első három gerjesztett állapot 2s1/2, 2p1/2 és 2p3/2. Itt az elő szám az n fő kvantumszám, az s és p azt jelöli, hogy L = 0, vagy L = 1. Az S = ½  spin és L csatolódik, kiadva az eredő impulzusnyomaték kvantumszámot, ami ½ vagy 3/2 lehet, ezt jelöli az alsó index. Megfelelő frekvenciájú elektromágneses sugárzással az 1s1/2 alapállapot gerjeszthető a 2p1/2 állapotba, mert ekkor a foton ħ impulzusnyomatéka viszi át az elektront a magasabb impulzusnyomatékú L = 1 állapotba. A hőmérséklet függvényében bizonyos számban a Hidrogén atom magasabb energiájú állapotai is betöltésre kerülnek, ezért felmerül a kérdés, hogy lehetséges-e a részlegesen betöltött 2s1/2 és 2p1/2 állapotok között is átmenetet létrehozni elektromágneses sugárzással. Ennek ellentmondani látszik, hogy a két állapot energiája a Dirac egyenlet szerint megegyezik.

 Viszont Lamb és Retherford kimutatta, hogy a szokásos optikai átmeneteknél sokkal kisebb frekvenciájú (1057 MHz) mikrohullámmal mégis indukálható átmenet, azaz a két állapot energiája ennek mértékében különbözik.  Ennek oka, hogy a –e2/r2 Coulomb erő r = 0 szingularitása feloldódik a kvantumfluktuáció miatt. A Schrödinger és a Dirac egyenlet egyaránt megengedi, hogy az elektron véges valószínűséggel ott lehessen az atommagban is, ahol r = 0. Az energiaszámításban integrálni kell a teljes tértartományra, melynek során az egyes tartományokban való tartózkodás valószínűségét szorozni kell az ott érvényes potenciális energiával. Az r = 0 határeset közelében a valószínűség arányos a térfogattal, azaz 4r3π/3-mal, ezért összességében az innen származó járulék az r sugárral lesz arányos, azaz határértékben nullához tart. Az s és p pályák között fontos különbség, hogy az s pályáknak nullától különbözik a valószínűségi sűrűsége a magban, szemben a p pályákkal, amely ott nullasűrűségű. Ennek oka, hogy nulla impulzusnyomaték zárt pályán csak úgy jöhet létre, ha a mozgási irány áthalad a centrumon. Viszont a p pályák nullától különböző impulzusnyomatéka miatt a mozgó elektron nem juthat oda. Az energia integrál mégis megegyezik a 2s1/2 és 2p1/2 pályák esetén, tehát az s pálya mag helyén számított potenciális energiajárulékát a p pálya más tartományai kiegyenlítik. A fluktuációs hatás döntően a mag helyén csökkenti a negatív potenciális energiát, míg onnan távolabb kisebb a szerepe. Az s és p pályák vonatkozásában ez azt jelenti, hogy az eredetileg degenerált pályák közül a 2s1/2 pálya energiája lesz nagyobb.

A Lamb shift számításánál abból indulhatunk ki, hogy a V(r) potenciális energia hogyan változik, ha az r vektorhoz hozzáadunk egy kis δr értéket. A sorfejtési eljárásban δr különböző hatványait kapjuk, amelyben a magasabb hatványok már elhanyagolható járulékot adnak. A számításnál célszerű a  differenciál vektort alkalmazni. A potenciális energia változása:

A potenciális energia változásának várhatóértékét az elektron ψ(r) állapotfüggvényét tartalmazó integrál adja meg. A fluktuáció minden irányban egyformán valószínű, ezért az integráláskor az első tag eltűnik. A második négyzetes tagban a három ekvivalens irány miatt belép egy 1/3-as faktor, amiért a várhatóérték:

 Az 1/r szerint változó potenciális energia  operátorral képzett deriváltja a szinguláris r = 0 pontban ugyan végtelen, de a teljes térre vett integrál véges lesz, és arányos az állapotfüggvény négyzetének nullaponti értékével:

Ez azt jelenti, hogy az állapotfüggvénynek a potenciális energia szingularitás pontján vett értéke – más szóval a centrum állapotsűrűsége – határozza meg, hogy a fluktuáció mennyivel növeli meg a potenciális energiát. A 2s pálya állapotsűrűsége a centrumban:

Itt a0 a Bohr sugár. Hidrogén atomban a potenciális energia V(r) = -e2/r, amiért a fluktuációs energianövekmény:

Az elektronpályák kiterjedését jellemző Bohr sugár viszonyát a fénysebességű forgások Rc = ħ/mc Compton sugárhoz képest az α = 1/137 Sommerfeld állandó reciproka határozza meg, ez az állandó, amely kifejezi az elemi töltés nagyságát is az e2 = αħc összefüggésben

a0 = ħ2/me2 = ħmc = Rc

A korábbi részben tárgyaltuk az elektron anomális mágneses nyomatékának kérdését, amit az Aflu = αRc fluktuációs amplitúdóval lehetett értelmezni. (Ez a fluktuációs amplitúdó azonos a klasszikus elektronsugárral, amelyet úgy definiálnak, hogy a Coulomb energia egyezzen az mc2 nyugalmi energiával). A potenciális energia növekményében szereplő fluktuációs kitérés ennél nagyobb, mert nem arról van szó, hogy a virtuális fotonok kilépése mekkora fluktuációt okoz a mágneses mezőben forgó elektron pozíciójában, hanem arról, hogy a pályamozgás során a centrum felé haladó mozgást milyen mértékben téríti ki a virtuális fotonok kibocsátása és elnyelése az atommag pozíciójához érve. Az egzakt számítást a kvantumelektrodinamika végzi el, itt ehelyett a fluktuációs kitérés δr paraméterét igazítjuk a kísérletileg mért 1057 MHz shift nagyságához, mely szerint:

δr = 0,7338·10-13 m

Ez a kitérési amplitúdó 0,19-szer kisebb a Compton sugárnál, de 26-szor nagyobb, mint a fluktuációs amplitúdó. A kitérési amplitúdó nem univerzális állandója az elektronnak, hanem a Hidrogén 2s pályára érvényes. Más pályákon eltérhet az értéke, például a kompaktabb 1s pályán ennél kisebb lehet.

A s elektron különös viselkedése: a Fermi kontakt kölcsönhatás

Az atommagon áthaladó s elektronok másik közvetlen hatása, hogy emiatt az elektron mágneses nyomatéka közvetlen kölcsönhatásba kerül az atommag mágneses nyomatékával. Az elektron mágneses nyomatékáról az előző bejegyzésben volt szó. A nyomaték egysége elektron esetén a Bohr magneton:

μel = /2m = ecRc/2

amelyet az elektron S spinjével és a ge = 2,0023 faktorral szorozva kapjuk meg a nyomaték operátorát. A fénysebességű forgások modelljében ez az Rc sugarú köráramra vezethető vissza.

Az elektronspin rezonancia (ESR) kísérletekben külső B mágneses mezőbe helyezünk olyan elektronokat, melyek spinjét nem kompenzálja a kémiai kötés. Ez paramágneses vegyületekben valósul meg. Az ilyen anyagoknak két alaptípusa van: a szabad gyökök és az átmeneti-, illetve ritkafémek vegyületek. Az előbbiekben a vegyérték héjakban párosítatlan elektronok vannak, az utóbbiakban a belső d és f héjak elektronjai csatolódnak úgy, hogy nem jön létre spin kompenzáció. Ekkor az elektronok energiája két nívóra hasad, melyek között f frekvenciájú mikrohullámú térrel besugározva rezonancia átmeneteket hozhatunk létre:

h·f = geμBB

A rezonancia frekvencia voltaképp a forgást végző mágneses nyomaték Larmor frekvenciája. Megmérve az f és B paramétereket megkapjuk a mágneses nyomatékot. A legegyszerűbb szabad gyök a Hidrogén atom, melyben az atommagot egyetlen proton alkotja. Mivel a proton spinje I = ½, így az elektronhoz hasonlóan szintén rendelkezik mágneses dipólussal, melynek nagyságát mag magneton egységben adhatjuk meg

μN = /2mp

Ezt a gp = 5,586 faktorral és az I spinnel szorozva kapjuk meg a nyomaték operátort. Alkalmazva B mágneses mezőt az atommagokkal is rezonanciát figyelhetünk meg, ez a mag mágneses rezonancia (NMR) spektroszkópia, amely módot ad az atommagok, például a protonok mágneses nyomatékának mérésére is. Mivel a mágneses nyomaték fordítva arányos a részecske tömegével, ezért a magok mágneses nyomatéka legalább három nagyságrenddel kisebb az elektronhoz képest.

 A mágneses dipólus az iránytól és távolságtól függő mágneses mezőt hoz létre a részecske körül

Bdipol = 3(μp·r)r/r5μp/r3

Az ESR kísérletben ez a belső tér módosítja a külső B mágneses mezőt, és felbontja két vonalra a rezonanciát, ez a hiperfinom szerkezet, melynek nagyságát a dipólus mágneses mezőjének várható értéke adja meg a paramágneses vegyület alapállapotában. Amikor az elektron alapállapota p pálya, létrejön az irányfüggő belső mágneses mező, viszont eltűnik gömbszimmetrikus s pályákon, emiatt a Hidrogén atom 1s pályáján nem várnánk hiperfinom felhasadást. Mégis megjelenik hiperfinom szerkezet, de ekkor a felhasadás nem függ az iránytól, azaz izotrop struktúra jön létre. Ezt írja le a Fermi-féle kontakt kölcsönhatás. A jelenség magyarázata, hogy az s elektron nullától különböző sűrűséggel van jelen a mag belsejében, ahol a dipólus mágneses mezője szinguláris. A szingularitás szintje 1/r3 hatványú, az integrálásnál ezt kell szorozni a mag körüli tartományban az r3-al arányos tartózkodási valószínűséggel, így a kölcsönhatás várható értéke véges marad. De honnan származik ez az irány független kölcsönhatás? Ez származtatható a Dirac egyenletből, de hasonló eredményre juthatunk a klasszikus elektrodinamika segítségével is.

Tekintsük a részecskét a fénysebességű forgások elvének megfelelően véges ’a’ sugarú forgó gömbnek, melynek felületén a töltés egyenletesen oszlik el, ekkor az elektrodinamika szabályai szerint mindenütt azonos lesz a forgó töltések által keltett mágneses indukció a gömb belsejében, függetlenül a forgási tengely irányától:

Bbelső = 2μn/a3

A gömbön kívül továbbra is a dipólus szabály érvényes, amelyben a mágneses mező várható értéke nulla az s pálya szimmetriája miatt. Az ’a’ sugarú gömb belsejében az állapotsűrűség változása elhanyagolható, és azonos lesz a Hidrogén 1s pályájának centrumban felvett értékével:.

Az integrálásnál ezt szorozni kell a 4a3π/3 térfogattal, míg a gömbön kívüli tartomány nulla járulékot ad. Felhasználva az elektron és a proton μe = geμBS, illetve μp = gpμNI operátorát, jutunk el a kölcsönhatás nagyságát leíró Fermi operátorához:

Az energia operátornak ez az alakja pontosan megegyezik avval, amit perturbáció számítással a Dirac egyenletből is kaphatunk, és jól reprodukálja a Hidrogén atom ESR spektrumában a protontól származó 1424 MHz frekvenciájú hiperfinom felhasadást.

A Fermi kontakt tag mérése nem ad felvilágosítást arról, hogy mekkora a számításban feltételezett gömb ’a’ sugara, mert ez kiesik a számításból. A fénysebességű forgás modellben ezt azonosíthatjuk az elektron Compton sugarával, amely 137-szer kisebb az a0 Bohr sugárnál, melyet egyébként a fenti összefüggés alapján kiolvashatunk a proton hiperfinom felhasadásából. Felvethető még, hogy nem kerülhet-e kívülre a proton az elektron belsejéből a centrumtól kitérítő fluktuációk miatt. Mivel a Lamb shift alapján számítva a centrumtól való kitérés mértéke több mint ötször kisebb a Compton sugárnál, ez a lehetőség kizárható. Igaz ugyan, hogy a Lamb shift a 2s pályától származik, de a tényleges kitérés ennél csak kisebb lehet, hiszen a belső pálya kompaktabb. Szokás a Fermi kontakt kölcsönhatást úgy értelmezni, mint ami a proton belsejébe jutó elektrontól származik. Ez a felfogás onnan származik, hogy a nagyobb tömeg miatt a magot nagyobbnak képzeljük az elektronnál. Ennek azonban az ellenkezője igaz, hiszen a mágneses nyomatékból számolható Compton sugár az elektronnál jóval nagyobb. Mivel a proton sugár 0,865·10-15m, azaz jóval kisebb az elektron Compton sugaránál (386·10-15 m), így helyesebb az a felfogás, hogy a kontakt kölcsönhatás létrehozásakor a proton helyezkedik el a több nagyságrenddel nagyobb kiterjedésű elektron belsejében. Ennek az sem mond ellent, hogy a pozitronnal való bombázási kísérletben az elektron hatáskeresztmetszete nulla, mert ennek oka, hogy ilyenkor a fénysebességgel forgó objektumot kívülről tanulmányozzuk, amiért a felület nullának adódik a Lorentz kontrakció miatt. A mágneses mérésben viszont a proton belülről „látja” az elektront alkotó forgás gömbfelületét.

A gyenge kölcsönhatás kettősarca: távolhatás és kontakthatás

A két nukleáris kölcsönhatás közül a gluonok által közvetített erős kölcsönhatás a közvetlen kontaktusban lévő kvarkokat kettesével és hármasával összeragasztja a mezonokban és barionokban, úgy szintén az atommagokban ez a kölcsönhatás kapcsolja össze a protonokat és neutronokat. Ez a kölcsönhatás rövid távú, távoli kvarkok és nukleonok esetén nem játszik szerepet. A gyenge kölcsönhatás viszont már kettős arcát mutatja felénk. Ez a kölcsönhatás nem jön létre két fermion (S = ½ spinű részecske) között, hanem az egyes fermionokat alakítja át. Az elemi részecskék közötti minden reakció megköveteli az impulzusnyomaték változatlanságát, ami a spinekre vonatkozólag az ½ + ½ = 1 szabálynak felel meg. Emiatt csak úgy alakulhat át az S = ½ spinű fermion egy másikba, hogy az S = 1 spinű bozon (gyönge kölcsönhatásnál a W és Z bozon) mellett egy további fermion – nevezetesen a neutrínó – is szerepet kap. A gyönge kölcsönhatásnak ezért két közvetítője van. A W és Z bozonok élettartama és hatótávolsága rendkívül rövid, de ez elegendő a „helyben történő”, azaz kontakt átalakításához. Ilyen átalakítás a bétabomlás, amikor egy neutron átalakul egy protonná elektron és neutrínó kibocsátása mellett  A kvark elmélet ezt úgy írja le, hogy a neutront alkotó egyik d kvark (-1/3e töltés) alakul át u kvarkká (2/3e töltés). Az átalakulás első lépcsőjében egy W- bozon (-e töltés) és egy proton lép ki, majd a W- bomlik fel egy elektronra és egy neutrínóra. A neutrínóra azonban új szerep vár, ha ütközik valamekkora távolságban egy protonnal, ez gyenge kölcsönhatás révén kiváltja egy W+ bozon kilépését, és létrejön egy neutron. A következő lépésben a W+ szétválik egy pozitronra és egy neutrínóra. A kvark elmélet szerint a proton egyik u kvarkja alakul át egy –1/3e töltésű d kvarkba. A „két fermion plusz egy bozon” szabály minden lépésben teljesül. Ez már távoli kölcsönhatás két nukleon között, amelynek közvetítője a neutrínó. A neutrínó által közvetített folyamat analógiába hozható a foton szerepével: ott két távoli elektron állapotváltozását közvetíti, hasonló történik a bétabomlásban, ahol két távoli nukleon kvark struktúrájának változása között jön létre kölcsönhatás, amit a neutrínó közvetít. Mi teszi a neutrínót alkalmassá távolhatás közvetítésére? Ennek oka, hogy a neutrínó a foton fermion párjának tekinthető: ugyanúgy nincs töltése és tömege, és ugyanúgy fénysebességgel terjed a térben, és ugyanúgy rendelkezik impulzussal is. Az egyetlen különbség, hogy a foton egytengelyű forgás, míg a neutrínó két tengely körül forog. A neutrínó nulla tömegét és töltését a fénysebességű forgás elve a relativisztikus kovariancia elvére vezeti vissza, amely megengedi olyan kettős forgások kialakulását, melyben a töltés és tömeg operátorok nullatömegű és töltésű állapota jön létre.

Az elektron család három tagja

A mezőelméletekben a kölcsönhatást virtuális bozonok kibocsátása és elnyelése hozza létre. Gyenge kölcsönhatásban az elektron-müon-tau családban a bozon kibocsátás az eredeti részecske megszűnésével jár együtt, és keletkezik egy neutrínó is. Ez eltér az elektromágneses kölcsönhatás mechanizmusától, ahol fennmarad az eredeti töltött részecske, és az impulzusmegmaradás szabályából következőleg a foton kibocsátás-elnyelés folyamata fluktuációt idéz elő. Gyenge kölcsönhatásban viszont két új részecske képződik az eltűnő részecskéből, amiért a virtuális mechanizmusban a kibocsátás és visszanyelés helyett szétválás és visszaképződés valósul meg, Ennek folyamán az impulzus megmaradása nem idéz elő fluktuációt a részecske pozíciójában.

A fénysebességű forgás koncepciójának egyik kiemelkedő sikere, hogy értelmezni tudja az elektroncsalád tagjainak tömeg viszonyait, mindennek előtt a tau részecske tömegére ad pontos értéket, noha erre a részecskék Standard Modellje nem kínál magyarázatot. A modell szerint az impulzusnyomatékot a tömeg, a fénysebesség és a Compton sugár szorzata adja meg: az egyetlen tengely körül forgó W bozon esetén a momentum mWRWc = ħ, míg a tau részecskénél a kettősforgás miatt mτRτc = ħ/2. Kapcsoljuk össze, a két összefüggést:

A fermiont alkotó kettősforgási frekvenciája a részecske határán kívül nullára csökken, ami sugárirányú Euler erőt hoz létre. Ennek hatására lép ki a W bozon egytengelyű forgása, melynek forgási sugara fénysebességgel növekszik. Ez a mozgás egy spirált hoz létre, amelynek frekvenciája annak mértékében csökken, ahogy a sugár növekszik. A frekvenciaváltozás integrálja azt adja ki, hogy φ szögelfordulás a sugarat eφ faktorral növeli meg. A W bozon és a neutrínó, akkor tudja visszaalakítani a fermiont, ha a forgás fázisa visszatér az eredeti irányba, ami félfordulatonként történik meg. Az első félfordulatnál Rτ/RW = eπ = 23,14. Mivel mW = 80,395 GeV/c2 a számított tömeg mτ = 1,737 GeV/c2 lesz, ami kevéssé tér el a mért 1,777 GeV/c2 értéktől. A müont a W bozon második, az elektron a harmadik félfordulatával értelmezve 75 illetve 3,24 MeV/c2 tömeget kapunk, ami eltér a kísérleti 105,7 és 0,511 MeV/c2 értékektől, az eltérés különösen az elektronnál nagy, ott már csak nagyságrendi az egyezés. Ez arra utal, hogy a W bozon és a neutrínó újra összekapcsolódása nem pontosan az eredeti irányban történik, csak annak közelében, ahol az impulzus visszanyerés még bekövetkezhet. Mivel az elektron, müon és tau részecske tömege jelentősen különbözik, így a W bozon kilépésekor a szintén kibocsátott neutrínók impulzusa is nagyságrendileg fog eltérni. Ez avval jár együtt, hogy a visszaképződés csak az eredeti részecskét tudja regenerálni, és emiatt az elektron nem mehet át müonba, vagy tau részecskébe. Ez összhangban van az energiamegmaradás elvével is: a virtuális W kibocsátás csak átmenetileg töri meg az energiamegmaradás törvényét. A virtuális folyamatban ezt az teszi lehetővé, hogy a W bozon nagy tömegét a tér erős görbületéhez tartozó potenciális energia ellentételezi.  A tau és müon nem stabilisak, ez előbbi bomlási ideje 2,3·10-13s, az utóbbié 2,2·10-6s. Ezt úgy értelmezhetjük, hogy a virtuális szétválási és összekapcsolódási folyamatok során a tau és müon visszaképződése részleges, ilyenkor tovább fut a W bozon fázisa és a következő félfordulatnál hozza létre a kisebb tömegű elektron típusú részecskét a hozzá tartozó kisebb impulzusú neutrínóval együtt. A W bozon eltűnésének végállomása az elektron, ahol minden szétválást újra egyesülés követ, ennek oka egyelőre a téridő szerkezetének titka maradt.

Van-e kontakt kölcsönhatása a gravitációnak?

De mi a helyzet a gravitációval, milyen hatás tartja fogva a Holdat a Föld, a Földet a Nap körül? Van-e itt is egy kontakt kölcsönhatás, amely ezt megvalósítja? Ezt igyekszik értelmezni már száz éve a fizika valamilyen kvantumos mechanizmussal, mindmáig sikertelenül. A fénysebességű forgások részecske modellje ezt úgy értelmezi, hogy a kettős forgás nem marad teljesen a részecske határán belül, ennek parányi hányadát az Euler erő kiviszi. De ennek ára van: a külső tartományban a forgás frekvenciája lecsökken követve a Kepler törvényeket. Ez a forgás is c sebességgel terjed, amely tovább görgeti a tér görbületeit és a negatív előjelű, vonzó gravitációs potenciális energiát. Mivel a frekvencia lecsökken, így a kerületi sebesség nem éri el c-ét, amiért nem teljesül a tömeg létrehozásának feltétele, e nélkül pedig a kvantum sem jöhet létre, hiszen tömeg híján nem társul a gravitációs forgáshoz impulzusnyomaték. Kontakt kölcsönhatást közvetítő gravitációs mező tehát van, tehát létezik, de ez a mező nem kvantumos. Így teljesedik ki a koncepció, hogy minden távolhatás mögött van valamilyen kontakt kölcsönhatás is.

Vessük össze a bolygók keringését a Nap körül az elektronéval, amely az atom magja körül végzi végeláthatatlan pályamozgását. Mi tartja pályán az elektront? A kibocsátott és elnyelt virtuális foton felhők lökései. Ezek a lökések kvantumokban érkeznek. De mi tartja pályán a Földet a Nap körül? Ennek oka, hogy a tér a tömegek által megalkotott görbületi szerkezettel rendelkezik, melyben a mozgás a „terepviszonyokhoz” alkalmazkodik. Mivel a görbületek lerövidítik az utat, a testek úgy tudják megtalálni a legrövidebb mozgási pályát, ha a nagy görbületű tartományokba igyekszenek. Ebben hasonlítanak a fényre, amely a legrövidebb optikai úthosszat keresi.  A legrövidebb út keresése kényszeríti a Földet közelebb Naphoz, ahol nagyobb a görbület, azaz erősebb a gravitációs vonzás. A nagyobb vonzóerő gyorsuláshoz vezet, amellyel járó nagyobb impulzus eltéríti a mozgást a Nap felé haladástól, és az energiamegmaradás törvényének engedelmeskedve létrehozza a zárt elliptikus keringési pályákat. A tér görbületei folytonosan változnak, nincsenek szakadások, nincsenek kvantumok a részecskékből folytonosan kibocsátott gravitációs forgásokban. Mozgása során a tömeg magával hurcolja a térgörbületeket, amelynek kialakításához időre van szükség. Távoli kozmikus katasztrófák megkésett üzeneteiről tudósítanak a gravitációs hullámok a LIGO kísérletekben.

 

.

A fénysebesség csökkenés mechanizmusa és a kvantum fluktuáció

Rugalmas és rugalmatlan kölcsönhatások

Az előző bejegyzés: Második kvantálás: a valószínűség valószínűsége

  Linkek a korábbi bejegyzésekhez             . . .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ebben az írásban a fénysebességű forgásokat befolyásoló két jelenségről lesz szó. Egyik célunk annak tisztázása, hogyan érvényesül a fénysebességű forgások koncepciója optikai közegekben, ahol a fény sebessége kisebb, mint vákuumban. Ennek megértéséhez szükséges a kölcsönhatások rugalmas, illetve rugalmatlan jellegének megkülönböztetése is. Korábbi írásunk („Fizika vagy filozófia? Az energia. az idő és az anyag egységes világa”) részletesen ismerteti a fénysebességű forgások koncepcióját, de ott valamennyi megfontolás a vákuumban érvényes fénysebességből indult ki. Az írás másik célja, hogy számba vegye a kvantumelektrodinamika virtuális fotonjainak hatását, amely a fénysebességű forgások fluktuációját idézi elő. Geometriai képpel magyarázzuk, hogyan növekszik meg a mágneses nyomaték a fluktuációk miatt, és tisztázzuk a saját forgások és fluktuációk energia és impulzus viszonyait.

Fussunk először végig a fénysebességű forgás koncepcióját alkotó legfontosabb megállapításokon!

A tér, idő és anyag egységes világa

 

Gondolkodásunk kiindulópontja a megkülönböztetés, a szétválasztás, ezért beszélünk külön térről, időről és anyagról, de a fizikai világ mélyebb megértéséhez úgy juthatunk el, ha túllépünk ezen a szinten, és eljutunk az összekapcsoláshoz, és egységet teremtünk fogalmi rendszerünk egyes elemei között.

A tér és idő nem csupán rendezési elv, vagy matematikai absztrakció, ami által elhelyezzük a fizikai világ objektumait és sorba rakjuk eseményeit, hanem olyan entitás, amit fizikai objektumok és azok mozgásai építenek fel és jelölnek ki. Az első kérdés, ami felvetődik, hogy mi tűzi ki a tér pontjait, milyen mozgás köti össze ezeket a pontokat, és jelöli ki az irányokat? A tér önmaga végzi el a pontok kijelölését a részecskék megalkotásával, és a pontokat összekötő vonalakat is részecskék mutatják meg. Az így megjelenő fizikai világ viszont visszahat megteremtőjére, a térre és időre, és befolyásolja annak struktúráját, a geometria nem lesz független az anyagi világtól.

Mozgási állandók a téridőben

 

 A térnek három dimenziója van, ehhez kapcsolódik negyedik dimenzióként az idő. Az összekapcsolódás módja a c fénysebesség, a téridőt alkotó alapvető szerkezeti állandó, amely független a vonatkoztatási rendszertől. Ez határozza meg, hogy mekkora sebességgel jöhet létre bármilyen kapcsolat a tér pontjai között. A mozgások, változások mögött mindig ott van a változatlanság is. Az idővel szembeni állandóságot fogalmazzuk meg az energia által, míg ha a térben nem hat mozgató erő, az impulzus képviseli az állandóságot a helyváltoztatásban.

A téridő alapvető mozgásformái: körforgás és gömbforgás

 

Konkretizáljuk először a mozgásformákat az euklideszi geometria keretein belül! Ha a mozgás a pontokat összekötő vonalak mentén megy végbe, haladó vagy transzlációs mozgásról beszélünk, emellett létezik a mozgások olyan típusa is, amely az irányok megváltozásán alapul, és ha ez a mozgás a kiindulási irányba visszatér, körfolyamatról beszélhetünk. Ha valamilyen r sugárral és f frekvenciával körforgás megy végbe, annak kerületi sebessége v = 2πr·f = ω·r, ahol ω = 2πf a körfrekvencia.  A fénysebességű forgás azt jelenti, hogy létezik egy kritikus Rc = c/ω sugár, ahol a kerületi sebesség eléri a c határértéket. Ez a c kerületi sebességű körforgás, amely által az üres tér anyaggá, részecskékké válik, és megszületnek azok a tulajdonságok, amit energiának, tömegnek, impulzusnak, impulzusnyomatéknak és elektromos töltésnek nevezünk. A körforgás mellett létezik a körfolyamatnak olyan formája is, amely a tér minden irányát befutja, ez a gömbforgás, amit úgy is értelmezhetünk, mint két körforgás összekapcsolódását egy centrum körül. Ez a mozgásforma nem létezik a makroszkopikus objektumok esetén, kizárólag az elemi objektumok saját mozgásaiban nyilvánul meg. A térnek ez a forgástípusa alkotja a fermion típusú elemi részecskéket, melyek a tömeg megteremtésének színhelyét adják. Az üres térnek ugyanis nincs tömege, mégis a tér a tömeg forrásává válhat a relativitáselmélet szerint, mert fénysebességű mozgáshoz végtelenül nagy tömegnövekedés tartozik, amely a tér határértékben nulla tömegét véges nagyságúvá teheti. Az így képződő tömeg arányos a fermion saját forgásának frekvenciájával. A fermionnak elektromos töltése is van, melynek előjelét a két saját forgás királis szimmetriája határozza meg. A kiralitás révén formálódik ki az anyag és antianyag kettős világa, melynek ütközése az annihiláció, a fermionok eltűnési folyamata.

Mi a foton?

 

Itt térjünk ki arra, hogy a fénysebességű körforgás kapcsolódhat fénysebességű transzlációhoz is. A térnek ez a sajátos mozgásformája alkotja a kölcsönhatási bozonokat, melyek legismertebb képviselője, a foton, az elektromágneses kölcsönhatás közvetítője. A foton c sebességű transzlációját az teszi lehetővé, hogy a tengely körüli fénysebességű körforgás önmagában még nem hoz létre véges tömeget, mert nincs olyan kitüntetett pozíció a forgási tengelyen, ahová a tömeg lokalizálható lenne, szemben a gömbforgást végző fermionokkal. Más szóval a tömeg megjelenésének két feltétele van: a fénysebességű forgás és a lokalizálhatóság. Van viszont a fotonnak energiája és impulzusa is. A Planck formula szerint E = h·f = ħ·ω, ahol ħ = h/2π a redukált Planck állandó. A foton impulzusát a hosszegységre jutó hullámszám adja meg p = h/λ összefüggés szerint, amely egyúttal arányos az energiával, hiszen p = h·f/c = E/c, azaz E = p·c. A fotonnak tehát nincs nyugalmi tömege, de van impulzusa, amit az tesz lehetővé, hogy az impulzus nem pozícióhoz, hanem mozgáshoz kötött fizikai tulajdonság, melyet a fénysebességű helyváltoztatás hoz létre.

Mivel a sebesség a hullámhossz és frekvencia szorzata, azaz c = f·λ, és a fénysebességhez tartozó sugár Rc = c/2πf= c/ω, így a forgási kör kerülete – a foton saját rendszeréből nézve – megegyezik a hullámhosszal, vagyis Rc = λ/2π. A foton impulzusnyomatékkal is rendelkezik, amely az impulzus és a sugár szorzatából határozható meg:

p·Rc = (h/λ)·λ/2π = ħ

Így válik világossá a fénysebességű forgás elve alapján, hogy miért azonos a foton impulzusnyomatéka bármekkora is legyen a frekvencia.

Mi a fermion?

 

Gömbforgásként, azaz kettősforgásként értelmezett fermionokhoz ω körfrekvenciát rendelhetünk két fizikai elv egyesítésével: az egyik a Planck által megadott, a másik Einstein energia formulája:

mc2 = ħω

Hans Bethe zseniális ötlete volt, hogy a szimmetriaműveleteket összegző műveletek közé felvette mint identitás elemet, a 4π szögű forgást, és így beilleszthetővé tette a csoportműveletek közé az S = ½ spint is. Nála ez csak matematikai segédeszköz volt, melynek viszont a kettősforgás elve már fizikai tartalmat ad, mert a gömbforgás teljes fázistere 4π, szemben a körforgás 2π fázisterével, amely megadja az identitáselemet egytengelyű forgások esetében.  A fermion sugarát az ω körfrekvencia határozza meg:

Rc = c/ω = ħ/m·c

A fermion sugárhoz tartozó 2πRc kerület megegyezik a Compton által bevezetett λ = h/m·c hullámhosszal. Az m tömeget két c sebességű forgás hozza létre, ezért a p0 = m·c által definiált impulzus a teljes sajátimpulzus fele, amelynek kapcsolata a nyugalmi energiával a

2p0·c = mc2 azaz p0 = m·c/2

összefüggéssel fejezhető ki. A p0 impulzus feleződése – az egytengelyű fénysebességű forgáshoz képest – okozza az impulzusnyomaték feleződését is:

p0·Rc = (m·c)/2·(ħ/m·c) = ħ/2

Ily módon reprodukálja a fénysebességű forgás elve a Dirac egyenlet folyományát, mely szerint a fermionoknak saját impulzusnyomatékuk is van, amit az S = ½ spin jellemez. Az összefüggésből kifejezhetjük az Rc sugarat a saját impulzussal is:

Rc = h/p0

Ezáltal hasonló összefüggéshez jutunk a részecskesugár és saját impulzus között, mint ami elvezette de Broglie-t a részecskék hullámtermészetének kimondásához, mely szerint a mozgó részecske p impulzusához λ = h/p hullámhossz tartozik. Vagyis amíg a külső mozgáshoz hullámtulajdonság járul, addig a belső saját mozgást gömbforgás írja le.

A részecskékben fellépő tehetetlenségi erők

 

A részecskékben fellépő tehetetlenségi erőkkel részletesen foglalkozik a korábbi írás: (https://afizikakalandja.blog.hu/2020/04/17/a_fenysebessegu_forgas_koncepcioja_i_resz). Alapkérdés, hogy milyen erő kompenzálja a részecske saját forgásából származó mω2r centrifugális erőt? Erre a választ az általános relativitáselmélet alapján adhatjuk meg, amely kilép az euklideszi geometria világából. A gravitációs erő mezőelméletét úgy építhetjük fel, ha feltételezzük, hogy a tömeg maga körül a Kepler törvénynek megfelelő és a távolsággal lassuló frekvenciájú virtuális forgásokat gerjeszt. Ezek a forgások a Lorentz kontrakció miatt térgörbületet idéznek elő a tömeg körül, amely olyan erőt hoz létre, amely megfelel a Newton-féle tömegvonzási törvénynek. Az elvet kiterjesztve a részecskét alkotó fénysebességű forgásra extrém nagyságú térgörbület kapunk, amihez olyan erős gravitáció járul, amely kiegyenlíti a részecske saját forgásának centrifugális erejét. A tér ily módon képes stabilizálni forgási produktumát, a részecskéket.

Mért nincs a gravitációnak kvantuma?

 

A tömegből kiáramló fénysebességnél lassabb gravitációs forgások nem hoznak létre sem tömeget, sem impulzust, és így természetesen nem lehet impulzusnyomatékuk, valamint kvantumuk sem. Ebből adódik, hogy a gravitáció elmélete – az általános relativitáselmélet – a tér görbületein alapuló folytonos térelmélet, amely emiatt nem fogalmazható meg a többi fizikai kölcsönhatás kvantált mezőelméletének eszközeivel.

Az elektromos töltés eredete

 

Másik alapvető kérdés az elektromos töltés eredete. Ez a két forgás között fellépő periodikusan változó ħc/Rc2 amplitúdójú Coriolis erőre vezethető vissza. A Coriolis erő által generált virtuális fotonok intenzitása a ħc szorzattal arányos és független a fermion tömegétől. A virtuális fotonok által közvetített elektromágneses kölcsönhatás arányossági tényezője az α = 1/137 Sommerfeld, vagy más néven finom kölcsönhatási állandó, amely megadja az elemi töltés nagyságát:

e2 = αħ·c

Milyen információt szerezhetünk a fotonokról?

 

A fent ismertetett koncepcióban mindig a fény vákuumbeli sebességét vettük alapul. Indokolt ezért feltenni a kérdést, hogy milyen változást okoz a részecskék struktúrájában a fénysebesség csökkenése optikai közegekben?

Első lépésként gondoljuk végig, hogy mit kell érteni azon a kijelentésen, hogy a fény vákuumban mindig ugyanavval a c sebességgel terjed? Ez azt jelenti, hogy létezik a térben két elkülönült pont, az egyikben létrejön a fény, illetve a foton, ez az emisszió, a másikban pedig elnyelődik, ez az abszorpció. A két esemény között eltelt idő csak a két pont távolságától függ és nem számít egymáshoz képesti sebességük. De mit tudunk mondani a fotonról a két esemény között? Amikor vákuumról beszélünk, avval kijelentjük, hogy a foton nincs kölcsönhatásban a környezetével, más szóval erről az állapotáról nem kapunk közvetlenül semmilyen információt. Erre az állapotra csak visszakövetkeztethetünk azokból a megfigyelésekből, amely az elnyeléshez kapcsolódik, annak tér és időbeli periodikus változása alapján, vagyis az interferencia jelenségekből. Mivel menet közben nem látjuk a fotont, így nem arra a kérdésre tudunk válaszolni, hogy éppen hol van, hanem arra, hogy hol lehetett. Az utóbbi kérdésre adunk választ, amikor a foton hullámtermészetéről beszélünk. Mennyiben változik meg a kép, amikor a fény optikai közegben való lassulásáról beszélünk? A közeg jelenléte azt jeleni, hogy ekkor a foton már állandó kölcsönhatásban van környezetével, viszont az információt hordozó abszorpciós esemény már megváltoztatja a foton állapotát. Tehát amíg a foton a közegben van, tulajdonságait a kölcsönhatás ugyan befolyásolja, de információt adó esemény még nem történik vele, azaz továbbra is csak arra a kérdésre válaszolhatunk, hogy hol lehetett a foton az abszorpció előtt, és ott milyen kölcsönhatásra lett volna képes, ha valamilyen elektromos töltés kerülne az útjába.

Rugalmas és rugalmatlan kölcsönhatás

 

A kölcsönhatásnak két alaptípusa van, az egyik a rugalmas, a másik a rugalmatlan kölcsönhatás. Amikor elektromágneses sugárzás éri az anyagot, az elektromos tér hatására a töltések kényszerrezgésbe jönnek, amelynek frekvenciája megegyezik a sugárzással, de a rezgés fázisa késni fog. Elektronok esetén várhatunk nagyobb rezgési amplitúdót a kis tömeg miatt, ennek mértéke pedig akkor jelentősebb, ha közel esik a sugárzás frekvenciája az elektronmozgás sajátfrekvenciájához. Ha a sugárzás elektronátmeneteket hoz létre az anyagban, elnyelődésről beszélünk, transzparens közegről pedig akkor van szó, ha az elnyelődés kismértékű.

A fénysebesség lassulása optikai közegekben

 

Amikor nincs, vagy legalábbis elhanyagolható az elnyelődés, és nem változik meg a belépő sugárzás energiája sem, rugalmas kölcsönhatástól beszélünk, ahol csak az impulzus változik meg. Erre példa, amikor vízben, vagy üvegben, lassabban terjed a fény, de színe, azaz energiája nem változik meg. A fény sebességén itt fázissebességet kell érteni, ami kifejezhető a frekvencia és a hullámhossz szorzatával. A közegben fellépő lassulás mértékét fejezi ki az n törésmutató:

cn = c/n

Az n törésmutató a közeg makroszkopikus jellemzője, amely függhet a belépő sugárzás hullámhosszától is. Ezt a hullámhosszfüggést nevezzük diszperziónak, és ennek köszönhetjük, hogy a szivárvány, vagy a prizma fénytörése felbontja a fehér fényt komponenseire. A makroszkopikus jelleg abban is megnyilvánul, hogy nem atomonként, vagy elektronokként kell vizsgálni a jelenséget, hanem a közeg atomjainak, illetve töltésrendszerének egésze lép kölcsönhatásba az elektromágneses mezővel. A közeg mikroállapotai a termodinamika játékszabályai szerint más és más betöltési számmal rendelkeznek, amit a kvantummechanikai leírás úgy vesz tekintetbe, hogy ezekkel a betöltési faktorokkal súlyozza a lehetséges mikroállapotokat. Ez a formalizmus a makroszkopikus és mikroszkopikus világ találkozási pontja, a sűrűségmátrixos számítási technika. Ennek segítségével lehet felépíteni az egyes töltésektől származó járulékokból a törésmutatót, vagy a mágneses szuszceptibilitást, és ez írja le az egyes fizikai paraméterek hőmérsékletfüggését is.

 A relativitáselmélet szerint a vákuumbeli fénysebesség a kölcsönhatások felső határa, amiért azt várnánk, hogy az n törésmutató optikai közegekben csak nagyobb lehet, mint 1,0. Változatlan frekvencia mellett, úgy csökkenhet a sebesség a vákuumhoz képest, ha rövidebb lesz a hullámhossz:

λn = cn/f = λ/n

Ebből viszont az következne, hogy optikai közegben a fény hullámhossza mindig rövidebb, mint vákuumban.

A hullámok fázis- és csoport sebessége

 

Itt azonban hozzá kell tenni, hogy a frekvencia és a hullámhossz szorzata a fázissebességet adja meg, ami nem okvetlenül azonos a kölcsönhatási sebességgel. Az utóbbi felel meg a hullám csoportsebességének. A kettő közötti különbség akkor lép fel, ha nem egyszerű szinuszos hullámról van szó. Szemléltessük a különbséget a vízbe dobott kő példájával! Álló víz esetén a kavics beesési helye körül gyűrűk alakulnak ki, ahol a terjedési sebességet a hullámok frekvenciájának és szélességének szorzata adja meg, miközben a vízmolekulák a fel-le hullámzáson kívül nem mozdulnak el. Emiatt csak fázissebességről beszélhetünk. De mi történik, ha egy folyóba dobjuk a követ? Ekkor a koncentrikus gyűrűk középpontja a víz sebességével együtt halad, ezt nevezzük csoportsebességnek. A kialakuló gyűrűk első frontvonala ennél gyorsabban halad, mert itt összeadódik a gyűrűk képződési sebessége és a folyó sodrási sebessége.  A fordított történik a gyűrűk hátsó frontján, ahol a sebességet a két sebesség különbsége határozza meg. Ez példa arra, amikor a fázissebesség lehet kisebb is, nagyobb is, mint a csoportsebesség.

A fenti példával a kétféle hullámsebesség definícióját szemléltettük,  de más jelenségről van szó, amikor a fény álló közegben folytatja útját. Ez esetben modulált hullámok kialakulása húzódik meg a kétféle sebességdefiníció mögött. Matematikailag úgy hozhatunk létre modulált hullámot, ha például két hullám szuperponálódik, az egyik frekvenciája legyen f1, a másiké f2. Ekkor lebegés jön létre, lesz egy széles f1 – f2 frekvenciájú „boríték” hullám, amelynek belsejében keskenyebb és nagyobb frekvenciájú (f1 + f2) hullámok jönnek létre. Diszperzió esetén, azaz ha függ a frekvenciától a sebesség, a nagyobb frekvenciájú hullámok fázisa más sebességgel fog haladni, mint a széles hullámok centruma, azaz a fázissebesség eltér a csoportsebességtől.

Mikor jönnek létre modulált hullámok?

 

Szokásos optikai közegekben nem jön létre modulált hullám, emiatt a fény sebessége csak lassabb lehet a vákuumhoz képest, azaz n értéke 1,0 fölé megy. Levegőben a növekedés kicsi, n = 1,0003 körül van, vízben már jelentős a változás n = 1,333, az üvegekben megközelíti a 2-őt is. Ezt úgy foghatjuk fel, hogy ezekben a közegekben a fényhullámok jó közelítésben szinuszosak, ahol a fázissebesség egyúttal a fény kölcsönhatási sebessége is, amely nem haladhatja meg c-ét. Létrejöhetnek azonban speciális körülmények, amikor a fázissebesség átlépheti c értékét. Erre példa, amikor röntgensugarak haladnak át vízen, ahol n értéke – ha parányival is (10-6) – de kisebb, mint 1,0. A hullám modulációja ekkor azért következik be, mert a sugárzás frekvenciája közel van a rezonanciaértékhez. Szintén anomálisak a plazma állapotú közegek, például a Föld felső ionoszférája, amelyben a rádióhullámok fordított irányban hajlanak, mint amit a Snell szabály előír (a szabály szerint a beeső fényhez képest a megtört fény a merőleges irányában hajlik meg), jelezve, hogy itt a törésmutató kisebb, mint vákuumban. Ez esetben a töltések kaotikus áramlása okozza a fényhullám modulációját. Ennek az inverziónak köszönhetjük, hogy hosszúhullámú rádióadást nagy távolságban is foghatunk. Az említett példák demonstrálják, hogy a fázissebesség tényleg meghaladhatja a fény vákuumbeli – úgynevezett információtovábbítási – sebességét.

A sugárzás impulzusnövekedése optikai közegekben

 

Mivel a fény p = h/λ impulzusa fordítva arányos a hullámhosszal, az optikai közegbe való beérkezés során megnövekszik a fény impulzusa, amely növekmény az anyagi közeggel való kölcsönhatásból származik.

pn = hn = n·p > p

 Az optikai közegből való kilépés után a fény újra az eredeti sebességgel halad tovább, tehát az impulzusátadás csak addig áll fent, amíg tényleges kölcsönhatás van az elektromágneses sugárzás és a közeg töltésrendszere között. De mi a foton impulzusnövekedésének forrása? A hatás és ellenhatás törvénye szerint, amikor a foton periodikusan változó elektromágneses ereje hat a töltésekre, fellép ugyanakkora ellenhatás is, azaz a töltések is hatnak a fotonokra, az erőhatás pedig impulzusváltozással jár. Elvben a közeg töltésrendszerének impulzusa annyival csökken, amekkora nyereségre a fotonok szert tesznek, de a töltéshordozók nagy száma és tömege miatt a közeg impulzuscsökkenés észrevehetetlen.

A foton lecsökkent sebessége miatt, akár lassabban is haladhat, mint a nagy sebességre felgyorsított elektronok. A fénysebesség átlépésének pillanatát hirtelen fényfelvillanás kíséri, ez a Cserenkov sugárzás, amely fénytani analógiája a hangrobbanásnak, amikor a repülőgép átlépi a hangsebességet.

Itt jutottunk el ahhoz a ponthoz, amikor felvethetjük a kérdést, hogyan változik meg a foton struktúrája a fénysebességű forgás modellben. Ha a foton lassabban halad, lassabb lesz a körforgás kerületi sebessége is, mert nem rendelkezhet a foton egyidejűleg kétféle sebességgel. Ez a lassulás a körforgás sugarát érinti, amely emiatt szintén csökkenni fog:

Rc,n = cn/ω = Rc/n

A sugár tehát ugyanúgy kisebb lesz, mint a hullámhossz. Viszont változatlan marad az impulzusnyomaték, melynek definíciója:

pn·Rc,n = p·Rc = ħ

A Planck állandó a kvantum egysége, amely nem változik meg, ezért a sugár csökkenése impulzusnövekedéssel jár együtt. Felvetődik azonban a kérdés, hogy a sugár csökkenésére tudunk-e valamilyen közvetlen bizonyítékot felmutatni? Elvben ilyennek tekinthetjük a fényszórási és diffrakciós kísérleteket. Ezt ugyan a hullámhosszal szokás értelmezni, mert a jelenség akkor jelenik meg, ha a hullámhossz kisebb, vagy összemérhető a kristályrács atomjainak távolságával. Viszont a hullámhossz longitudinális jellemző, és amikor a fény atomok közötti réseken halad át, inkább a foton keresztmetszete (sugara) játszhat szerepet. Persze a hullámhossz és a sugár egyaránt csökken, így a két lehetséges magyarázat nem ütközik.

Az elektronsugár definíciója

 

Az anyag és sugárzási mező kölcsönhatásának másik megnyilvánulása, amikor elektromágneses sugárzás jelenlétében vizsgáljuk az elektron tulajdonságait. Ebben az esetben is felvethető a kérdés, vajon a kölcsönhatás megváltoztatja-e az elektron Rc sugarát? Amikor részecske sugárról beszélünk, meg kell különböztessünk kétféle definíciót, az egyik a hatáskeresztmetszetből, a másik a nyomatékokból származtatható. Az impulzusnyomatékot a „nyomatéki” sugárral, azaz Rc-vel, értelmezhetjük, másfelől „keresztmetszeti” sugárról van szó, amikor pozitronokkal bombázzuk az elektront, hogy meghatározzuk a részecske eltalálásának valószínűségét. Ezek a Bhabha szórási kísérletek arra az eredményre vezettek, hogy nulla az így mérhető hatáskeresztmetszet, azaz nulla a sugár. Ez jól értelmezhető a fénysebességű modellel, mert külső rendszerből nézve a Lorentz kontrakció miatt az elektron felülete nullának „látszik”. Itt a „látszik” szó azt jelenti, hogy ha az elektront saját forgó rendszerében néznénk, ott változatlan lenne a felület.

Az elektron mágneses nyomatéka

 

Vajon a külső megfigyelő milyen eredményre jut, amikor a mágneses nyomatékból határozza meg a sugarat?

 A μel mágneses nyomaték a B homogén mágneses mező hatására

fLarmor = B·μel/h

frekvenciájú forgást végez a mező iránya körül. Itt hangsúlyozni kell, hogy egytengelyű forgásról van szó, szemben az impulzusnyomatékkal, amely kettős tengelyforgás eredménye. A frekvencia és a B mágneses mező mérésével határozhatjuk meg a mágneses nyomaték kísérleti értékét. Az elektron mágneses nyomatékát a Dirac egyenletből lehet származtatni, de ugyanerre az eredményre vezet a fénysebességű forgásmodell is. A Maxwell egyenletekből származtatható mágneses nyomaték, melyet az Rc sugarú j = e·f = eω/2π nagyságú köráram hoz létre:

μel = j·F = e·f·Rc2π = eωRc2/2 = ecRc/2

ahol F = Rc2π a köráram által bezárt terület, és felhasználtuk, hogy fénysebességű forgásokban ωRc = c. Behelyettesítve a nyomatéki sugarat:  Rc = ħ/m·c,  jutunk el a Bohr magneton szokásos definíciójához:

μel = eħ/2m

A ténylegesen mért mágneses nyomaték azonban 1,00116-szor nagyobbnak adódik az elméleti értékhez képest. Ez úgy értelmezhető a fenti összefüggés alapján, mint a saját forgás p0 = m·c impulzusának csökkenése, illetve az Rc elektronsugár növekedése.

Virtuális fotonok és a fluktuációs amplitúdó

 

 A kvantumelektrodinamika (QED) mezőelmélete a mágneses nyomaték növekedésének okát kvantum-, vagy más elnevezéssel vákuumfluktuációra vezeti vissza. Az elmélet szerint az elektromágneses kölcsönhatást a töltött részecske, például az elektron által kibocsátott és elnyelt virtuális fotonok közvetítik. Arra viszont nem ad magyarázatot az elmélet, hogy miért következnek be ezek a folyamatok. Ezen a ponton nyújt segítséget a fénysebességű forgások koncepciója, amikor választ kínál erre a kérdésre is. A részecske stabilitását az adja meg, hogy a saját forgások kifelé mutató centrifugális erejét a tér extrém görbületéből származó erős gravitáció kiegyenlíti. Viszont kettősforgások esetén fellép a Coriolis erő is, amely ugyan átlagértékben nulla, de a periodikusan változtatja a kifelé mutató erőt, és emiatt a maximumoknál nagyobb lesz annál, amit az erős gravitációs képes ellensúlyozni, míg a minimumoknál megfordul a helyzet, és ott az erős gravitáció befelé húzó ereje lesz nagyobb. Az előbbi esetben történik a foton kibocsátás, míg az utóbbinál az elnyelés. A kibocsátott és elnyelt fotonoknak van impulzusa, ezért az impulzusmegmaradás miatt az elektron is meglökődik, ami pozíciójának állandó fluktuációját idézi elő. Ez átlagértékben nem okoz helyváltoztatást, de létrejön egy fluktuációs állapot, amit az Aflu amplitúdóval jellemezhetünk. Mekkora ez az amplitúdó? Itt két dolgot kell figyelembe venni, egyrészt, hogy mekkora átlagosan a virtuális fotonok impulzusa, másrészt, hogy mekkora a kibocsátó töltött részecske tömege. Az elemi részecskék töltése abszolút értékben megegyezik, ami azt jelenti, hogy a fotonok intenzitása azonos lesz egy adott távolságban a részecske centrumától, és ennek mértékét az α = 1/137 Sommerfeld állandó határozza meg az e2 = αħc összefüggés szerint. Viszont a fluktuációs amplitúdó csökken a tömeggel, és így arányos lesz Rc-vel a következő összefüggés szerint:

Aflu = αRc = αħ/m·c

Ebből látszik, hogy jelentős amplitúdójú fluktuáció a kis tömegű elektronok esetén jön létre.

A fluktuáció által megnövelt mágneses nyomaték

 

Az Rc-vel arányos mágneses nyomaték számításánál a fluktuáció miatt megnövelt Rflu,c sugarat kell figyelembe venni, amely akkor reprodukálja jól a nyomatékot, ha

Rflu,c = (1 + α/2π)Rc

Az α tényező 2π-vel való osztása annak a következménye, hogy a Larmor precesszió tengelyiránya tetszőleges lehet a 2π hosszúságú fázistartományon belül.

A QED által alkalmazott időtől függő perturbációs eljárás első közelítésének felel az a korrekció, ami a fluktuáció által megnövekedett sugárral magyarázható. A QED elmélet magasabb rendű korrekcióikat is figyelembe vesz, ami által több mint tíz tizedes jegyig lehet reprodukálni a kísérletileg mért értéket.

A fénysebességű forgások koncepciójában a sugárnövekedést a c forgássebesség lassulásával lehet értelmezni:

cflu = c/(1 + α/2π)

A fluktuációból és saját forgásokból eredő impulzusok összegzése

A fluktuációs mozgás sugárirányú és merőleges a részecske saját forgásának irányára, emiatt a két mozgáshoz tartozó impulzusvektor négyzetösszegében eltűnik a kereszttag, amiért:

p2 = pflu2 + p02

Ez megfelel a relativitáselmélet energia összegzési szabályának, amit a kovariancia elv ad meg.

E2 = p2c2 + m2c4

 Felhasználva a kovariancia törvényt, meghatározhatjuk a részecske saját mozgásán belül a fluktuációs és forgási járulékokat:

pflu2cflu2 + m2cflu4 = mc4

Ebből származtatható a fluktuációs impulzus:

pflu2 = (2α/π)m2c2

Ugyancsak a számításból adódik, hogy ennek felével csökken a p02 forgási impulzus, azaz a fluktuációs impulzusnak csak fele részben lehet a forrása. Ez azt jelenti, hogy a mágneses nyomaték Larmor precessziójában a fluktuációs impulzus másik felét a precessziót indukáló mágneses mező fotonjai szolgáltatják. Ez egy újabb példa a foton mező és az elektronok közötti rugalmas kölcsönhatásra.

Az elektront alkotó saját mozgások energiamérlege

 

Az impulzus négyzete a kinetikus energiával arányos, ezért úgy összegezhetjük megállapításainkat a fénysebességű forgások koncepciójában, hogy a részecske saját mozgásához tartozó energiának két összetevője van: az egyik a fénysebességű forgástól, a másik a fluktuációtól származik, és az utóbbi a sajátenergia 0,464 százalékát képviseli. Ezáltal veszi figyelembe a fénysebességű forgások koncepciója a QED virtuális fotonjainak hatását az elektron saját mozgására.

A fermionokat tekintjük a tér pontkijelölő objektumainak, a fluktuáció abban okoz változást, hogy az így kijelölt pontok pozíciója Aflu mértékében elmosódik. Fizikai objektum sohasem lehet pontszerű, a pont fogalma csupán matematikai extrapoláció. A tömegvonzás és az elektromos kölcsönhatás törvényei 1/r szerint változó potenciális energiára, illetve 1/r2 szerinti erőtörvényre vezetnek, melyek szingulárisak, ha a sugár eléri a nulla értéket. De van-e olyan mérés, amikor két fizikai objektum, két töltött részecske távolsága nulla lesz? Ilyen állapot megfigyelhetőségét a kvantummechanika bizonytalansági törvényei is kizárják. Ennek következményeiről lesz szó következű írásban, amely a Hidrogén atom spektrumában megfigyelt Lamb shiftre ad magyarázatot.

Az előző bejegyzés: Második kvantálás: a valószínűség valószínűsége

Linkek a korábbi bejegyzésekhez

Második kvantálás: a valószínűség valószínűsége

Az anyag részecske és hullámtermészete

 

Bevezetés

Az előző írásban a mikrovilág törvényeit kíséreltük meg úgy bemutatni, hogy elfogadható legyen a józanész számra is, ennek útja a fogalmi rendszer hozzáigazítása volt a számunkra elérhető információhoz. Kulcskérdés volt a mozgási pálya helyett a mozgási állapot fogalmát bevezetni, amelyben a valószínűség összekapcsolódik a determinizmussal. A kvantummechanika a valószínűségen keresztül enged betekintést a mikrovilágba, ennek megjelenése nem az alkalmazott matematikai formalizmus következménye, amely operátorokat rendel az egyes fizikai mennyiségekhez, hanem szükségszerűen következik abból, hogy olyan mozgásokat írunk le, amely nem látható közvetlenül, amire csak becsléseket tehetünk. Ez új megvilágításba helyezi az anyag kettős természetére vonatkozó felfogást, amelyben szemléletünk kettőssége tükröződik: részecskeként értelmezzük a közvetlenül megfigyelhető fotont, amely valahol ugrást idéz elő két állapotot között, de hullámként jellemezhető valószínűségi leírást adunk az ugrást megelőző állapotra. A valószínűségi leírás és ebből fakadóan a hullámtermészet, gondolati konstrukció, amely nem tévesztendő össze a megfigyelt valósággal, ahol kötöttebbek a szabályok a gondolat által megengedett utakhoz képest. Felmerül viszont a kérdés, hová tegyük de Broglie korszakalkotó felismerését, amely minden részecskének hullámtermészetet is tulajdonít, és amely elképzelés Davisson (Clinton Davisson, 1881—1958, Nobel díj: 1937)  és Germer (Lester Germer, 1896-1971) méréseivel alátámasztást is nyert? A válaszhoz tovább kell lépni a kvantummechanika elméletében, és szemügyre venni annak mélyebb változatát, amit mezőelméletnek, illetve második kvantálásnak is neveznek. A módszer matematikája messzire vezet, nem is célunk annak ismertetése, e helyett az elmélet fizikai tartalmára fokuszálunk, melynek összebékítése a józanésszel nagyobb kihívást jelent, mint amivel a hagyományos kvantummechanika fogalmi rendszerének bemutatásánál találkoztunk.

Klasszikus elektrodinamika

Az elektrodinamikai mezőelmélet fogalmi rendszerének ismertetése előtt fussunk végig vázlatosan a klasszikus elmélet fontosabb fogalmain. Kiindulópont a töltés fogalma, ezt tekintjük az elektromos erő forrásának, amely a távolság négyzetével fordítottan arányos

FCoulomb = q1·q2/r2

Ha a két töltés előjele megegyezik, akkor taszítás, ha ellentétes, akkor vonzás jön létre a töltések között. Ha egy rendszerben sok töltés van, akkor az erőhatás páronként összegzett tagokra bontható fel, sok töltés esetén ez nehézséget okoz, ami célszerűvé teszi, hogy bevezessük az egész rendszer erőhatásait összegyűjtő elektromos mező fogalmát, melyet az egységnyinek választott töltésre ható erővel definiálunk:

FCoulomb = E

Az elektromos mező a qi töltés ri(xi,yi,zi) koordinátákkal jelölt helyén jön létre az rj pontokban lévő qj töltések hatására, ahol az erők vektorokként adódnak össze (itt és a következőkben a háromkomponensű vektorokat vastag betűk jelzik), az i és j pontokat összekötő vektorok irányát az εij egységvektor jelöli:

Borbély paradoxon

A fenti összegzés azonban csapdát rejt magában! Az elektromos mező fenti definíciója ugyanis paradoxonhoz vezet, amit nevezhetünk borbély paradoxonnak.

A katonaságnál napi parancsba adják, hogy másnapra mindenki legyen megborotválva. Aki tud borotválkozni, azt maga végezze el, aki nem tud, azt a borbély fogja megborotválni. A parancs azt is tartalmazza, hogy a borbélynak csak azokat szabad megborotválni, akik ezt maguk nem tudják megtenni. A paradoxon onnan származik, hogy mit tegyen a borbély saját magával? Ha nem borotválkozik meg, akkor a parancs első részét szegi meg, ha viszont megborotválkozik, akkor a második részét, hiszen ő tud borotválkozni. Paradoxon olyankor jöhet létre, amikor van a csoportnak egy kiemelt tagja, aki, vagy ami, valamilyen műveletet végezhet a többiekkel, és ezt a műveletet önmagára is alkalmazni kell.

A mező definíciója megköveteli, hogy abban szerepeljen az összes töltés hatása, és érvényes legyen a teljes tértartományban. Mivel nem zárhatunk ki egyetlen töltést sem, így a mező hatása megjelenik a mezőt építő minden töltésen, noha a mezőt definiáló Coulomb erőnek csak két különböző töltés között van értelme. A mező definíciójának ez az ellentmondása okoz majd problémát a részecskék saját energiájának számításában, ahol végtelenül nagy érték jelenik meg.

Lorentz erő

A töltések mozgást is végeznek, amely miatt kialakul egy másodlagos erő, amit a B mágneses mezővel jellemzünk. Ennek oka, hogy az erő terjedéséhez idő kell, amiért az erő iránya és nagysága „késve” követi a töltés mozgását. Ennek mértékét a Δt = rij/c retardációs idő adja meg, ahol c a fénysebesség, amely az elektromos erő terjedési sebessége. A két töltés között ható erő a korábbi helyzethez igazodik, ahol a tényleges helyzettől való lemaradás távolsága a töltés v mozgási sebességétől függ: vΔt = rijv/c. Ha a töltés nem a vele kölcsönhatásban lévő másik töltés irányában mozog, akkor az új rij vektor iránya is más lesz. Emiatt az F erő két komponensre bontható fel, ahol az elektromos mező mutat a két töltés pillanatnyi helyzetét összekötő egyenes irányába. A másik komponens nagysága megfelel a Lorentz erő mágneses komponensének, de iránya nem v-vel párhuzamos, hanem arra merőleges. Ennek magyarázatát az adja, hogy az elektromos kölcsönhatást a közvetítő fotonok impulzusa, míg a mágneses hatást a fotonok impulzusnyomatéka idézi elő. Az így definiált B mező jelenik meg a Lorentz erő kifejezésében:

FLorentz = q(E + vxB)

Bevezethető még a J = v elektromos áram fogalma is. Az áram a klasszikus pályafogalomhoz kapcsolódik, ahol ismertnek tételezzünk fel a töltés pályáját is. Szintén a klasszikus felfogásnak felel meg, hogy a töltésnek nincs legkisebb egysége, elvben tetszőlegesen kicsi lehet. Emiatt lehet bevezetni a térfogategységre jutó töltésmennyiséget, a ρ(r) töltéssűrűséget, és hasonlóan beszélhetünk a j(r) áramsűrűségről is.

Maxwell egyenletek

Az elektrodinamika elektromos és mágneses mezőjének egymáshoz képesti kapcsolatát, illetve a töltés- és áramsűrűségből való felépülését négy parciális differenciálegyenlet írja le, ezek a Maxwell egyenletek.

A Maxwell egyenletekről túlzás nélkül elmondhatjuk, hogy a klasszikus fizika csúcspontját képviselik, amely egyrészt választ ad a fény eredetére, másrészt csírájában már ott van benne a relativitáselmélet, és megalapozza a kvantummechanika hullám és részecske kettősségét is.

Az első egyenlet adja meg az elektromos mező forrását, ami a töltéssűrűségtől származik. Ez az egyenlet a Coulomb törvénynek felel meg. A második törvény a mágneses mező időbeli változása által létrehozott elektromos mezőt adja meg, amely ennek hatására körülveszi a mágneses mezőt. A harmadik egyenlet azt fejezi ki, hogy a mágneses mezőnek nincs a töltéssel analóg forrása, ezt úgy is mondják, hogy nem létezik mágneses monopólus. Az utolsó egyenlet összetettebb, amely azt fejezi ki, hogy mágneses mezőnek két forrása is van, az egyik az elektromos mező változása, a másik az áramsűrűségtől származik, a képződő mágneses mező körülveszi az elektromos mezőt, illetve az áramot.

Vektoralgebrai differenciálok

Néhány szót az egyenletekben szereplő matematikai szimbólumokról. A parciális differenciálás azt jelenti, hogy több változó, nevezetesen az idő és a három térkoordinátára felbontva történik a differenciálás. Az x, y és z koordinátákkal képzett differenciálhányadosból felépítünk egy vektort, melyet egy skaláris függvényre alkalmazva vektort kapunk, ez a gradiens, illetve röviden a „grad” művelet. Ezt a koordináták szerint differenciáló vektort alkalmazzuk az elektromos és mágneses mező vektoraira, alkalmazva akár a skaláris, akár a vektoriális szorzás szabályait. Skalárszorzatoknál ezt a műveletet nevezik divergenciának, vagy röviden „div műveletnek, amely alkalmas arra, hogy skaláris mennyiséget vektormezővel kapcsoljunk össze. Ez jelenik meg az első és a harmadik egyenletben. A vektoriális szorzat azt jelenti, hogy valamilyen vektort átviszünk egy másik irányba, azaz elforgatunk. Ezt nevezzük rotációnak, vagy „rot műveletnek, amellyel a háromkomponensű differenciáló vektor és az elektromos, illetve mágneses mező vektoriális szorzatát definiáljuk. A négy Maxwell egyenlet a következő:

A fény elektrodinamikai értelmezése

Vákuumban, ahol nincsenek töltések és áramok, a második és negyedik egyenlet azonos szerkezetű, az egyik azt írja le, hogy a mágneses mező változása maga körül elektromos mezőt indukál, míg a másiknál az elektromos mező változása hoz létre maga körül mágneses mezőt. A két egyenlet összekapcsolása a hullámegyenlet, melynek megoldása a fénysebességgel haladó periodikus hullám, amely pontosan megfelel a fény huygensi definíciójának. A Maxwell egyenletek alapján tehát a fényt elektromágneses sugárzásként lehet értelmezni, amely elszakad forrásától, a töltéstől, és önálló létezést nyer. A fény hullámtermészetének ez a felfogása egyúttal megfelel a relativitáselmélet kiindulópontjának is, mert a mágneses és elektromos mező kapcsolatát az inercia rendszertől független állandó határozza meg, a c konstans.

Az elektromágneses sugárzás tehát létezik vákuumban, de hogyan jön létre, hogyan kerül oda? Erre ad választ az első és negyedik egyenletben szereplő töltés- és áramsűrűség. Az egyenletek megoldása szerint a töltés sebességének megváltozása, tehát a töltés gyorsulása hozza létre az elektromágneses sugárzást. Mivel a klasszikus elektrodinamikában a töltés bármilyen kicsi lehet, így a töltés sebességének változását mindig elektromágneses sugárzás kibocsátása kíséri, és a sugárzás intenzitása is bármilyen kicsi lehet.

A Maxwell egyenletek megfogalmazásakor még a töltést az anyag specifikus tulajdonságának tekintették, az elektron, a proton és a többi töltött részecske felfedezése csak később történt meg. Emiatt nem merült fel, hogy a töltésnek lenne legkisebb egysége, amely már nem osztható tovább. Az elemi töltéssel rendelkező részecskék felfedezése viszont konkretizálta a fény forrását, amit a részecskékhez, mindenekelőtt az elektronokhoz lehet rendelni. Innen indulhat el a fény oda, ahol már nincs töltés, ahol már a hullámtulajdonság érvényesül. Amikor viszont eljutottunk annak felfedezéséhez, hogy a töltésnek van elemi egysége, az elemi töltés, azaz a töltés kvantumos, már közeledett a fizika ahhoz a felismeréshez, amit végül Planck a fekete test sugárzásának értelmezésével megtett, kimondva, hogy a fény is kvantumos, amelynek legkisebb egysége a foton. A töltés kvantáltsága szükséges feltétel a fény kvantáltságához, de önmagában még nem elégendő, mert a sebességváltozás mértéke a klasszikus mechanikában tetszőlegesen kicsi lehet a folytonossági elv miatt.

Potenciális energia az elektrodinamikában

A Maxwell egyenletek összefüggései a differenciálhányadosokra épülnek rá, ezáltal a formalizmus a kvantummechanika előképei is, amelyben az energiát és az impulzust szintén differenciálhányadosok képviselik. A mozgásegyenletek az energiamegmaradás elvén alapulnak, ezért az elektrodinamikában is meg kell adni az elektromos és mágneses mező kapcsolatát a potenciális energiával. Hasonlóan a mechanikához, ahol a potenciális energia térfüggéséből lehet származtatni az erőt, felírhatunk két potenciált, a V(r) skalárpotenciált, amely az elektromos mezőt, az A(r) vektorpotenciált, amely a mágneses mezőt definiálja a vektoralgebrai grad ill. rot differenciálhányadosok által. A potenciális energiát a potenciálok és a töltés szorzata adja meg. Ezek a függvények által definiált potenciálok lépnek fel mind a Schrödinger, mind a relativisztikus Dirac egyenletben. Bár csak a kinetikus energiát építjük fel operátorral, indirekt módon a potenciális energia számításában is szerepet kap az állapotfüggvény. A potenciális energiát az r pozíció függvényében adjuk meg, de stacionárius állapotban az r(t) pályafüggvényt nem ismerjük, ezért csak a w(r) valószínűségi eloszlásról beszélhetünk, amit az állapotfüggvény határoz meg. Az állapotfüggvény határozza meg a várhatóértéket, amit megfeleltethetünk a klasszikus V(r) és A(r) potenciáloknak, viszont a valószínűségi eloszlás együtt jár a várhatóértéktől való eltérés lehetőségével is. Ennek juttat majd szerepet a kvantummechanika mezőelmélete, a QED.

A kvantumelektrodinamika szemléletmódja

Az elektromágneses potenciálok kvantumelv szerinti származtatását a QED, oldja meg. A QED szemléletmódja különbözik a klasszikus kvantumelmélettől. Amíg az eredeti kvantummechanika a stacionárius állapotok meghatározására koncentrál, és az állapotfüggvények segítségével utólag számítja ki a kibocsátott és elnyelt fotonok energiáját és az ugrás valószínűségét, a mezőelméletben megfordul a sorrend, ebben az ugrás a kiindulópont. A módszer egyaránt számba veszi az elektronok és fotonok lehetséges állapotait, melyeket azok betöltési számával jellemez. Ezek a betöltési számok lesznek az új kvantumszámok, amiért a módszert második kvantálásnak is nevezik. Az ugrások leírása érdekében új operátorok is fellépnek a formalizmusban, amelyek vagy csökkentik (annihiláció), vagy növelik (kreáció) a betöltési számokat. Az elektronok és fotonok állapotát harmonikus oszcillátorok képviselik, melyben a részecskék spinje is szerepel, ez 1 a fotonnál és ½ az elektronnál. A kibocsátó töltés előjele határozza meg a foton polarizációs előjelét. Ez az előjel jelenik meg a foton impulzusának irányában is, amely a kölcsönhatásban lévő töltést ellökheti, vagy húzhatja a másik töltés felé. Szemléletesen úgy is elképzelhetjük a vonzó és taszító hatást, hogy a töltések közötti tartományban azonos polarizáció esetén feldúsulnak a virtuális fotonok, ellentétes esetben viszont ritkulni fognak. (Hasonló elv alapján a fénysebességű forgásokkal is felépíthető a mezőelmélet, amelyben egy- illetve kéttengelyű forgások szerepelnek oszcillátorok helyett, a kétféle spint fotonok és elektronok számára a forgástengelyek száma határozza meg, a polarizációs előjelet pedig a forgás sodrásiránya adja meg).

Az ugrást két állapot között úgy írja le a mezőelmélet, hogy az egyik elektron állapot megszűnik, a másik létrejön, miközben attól függően, hogy abszorpcióról, vagy emisszióról van-e szó, egy foton állapot is létrejön, vagy megszűnik. Ebben a szemléletmódban az elektronok és fotonok egyaránt aktív szerepet kapnak. A mezőelmélet arra is keresi a választ, hogy a tér két különböző pontján lévő elektromos töltés hogyan kerül kölcsönhatásba, és miért van retardáció (késlekedés) a kölcsönhatás megvalósulásában. Ennek okát a töltések által kibocsátott és elnyelt virtuális fotonokra vezeti vissza. Ezek a fotonok nem hoznak létre megfigyelhető változást az elektron állapotában, csak közvetítik az erőhatást, azaz létrehozzák az elektromos és a mágneses mezőt. Mivel ezek a fotonok nem figyelhetők meg közvetlenül, a szakirodalom virtuálisnak nevezi ezeket a részecskéket. 

A virtuális fotonok ugyanabból az okból jelennek meg a mezőelméletben, mint a stacionárius pályák fogalma az atomokban. A stacionárius pályákat nem láthatjuk, csak az ugrásokat két pálya között, ez vonatkozik az elektromágneses mezőre is, amely szintén nem látható közvetlenül, csak az általa mozgatott töltések megfigyelésével szerzünk tudomást róla. Ezt a láthatatlan mezőt építik fel a szintén láthatatlan virtuális fotonok, ami az elektrodinamika kvantumelméletében a valószínűség még mélyebb szintjéhez vezet. Ebben az értelemben mondhatjuk, hogy a mezőelméletben már a valószínűség valószínűségéről van szó.

Lamb shift és az elektron anomális mágneses momentuma

Bár Dirac a mezőelmélet alapjait már korábban lerakta, ez sokáig nem keltett komolyabb figyelmet az elméleti fizikusok között. Ennek az volt az oka, hogy a relativisztikus kvantummechanika kielégítő pontossággal írta le a kísérleti eredményeket. Később azonban a mérési pontosság növekedésének köszönhetően két olyan jelenségre derült fény, amit az elmélet már nem tudott magyarázni. Az egyik a Lamb shift. Hidrogén atomban különböző kvantumszám kombinációk azonos energiaértékkel rendelkeznek a számítások szerint. Lamb azonban kimutatta, hogy az elméleti egyezés ellenére is különböznek az energianívók. A másik az elektron anomális mágneses dipólus momentuma. Amint már szó volt róla, mágneses monopólus nem létezik a harmadik Maxwell egyenlet értelmében, viszont a negyedig egyenlet szerint köráram jelenlétében mágneses dipólus keletkezik. Ennek felel meg, hogy az atomi elektronok pályamozgása, amit az impulzusnyomaték jellemez, létrehozza a μ = μBL mágneses dipólust, ahol μB =/2m a Bohr magneton. Ez az összefüggés származtatható a klasszikus elektrodinamika alapján is. Az elektron Dirac elmélete viszont behoz egy új elemet, mely szerint az elektron rendelkezik saját impulzusnyomatékkal is, amit az S = ½ spin jellemez, amihez szintén járul mágneses nyomaték, kiegészítve a pályamozgás által létrehozott mágneses dipólus momentumot:

μ = μB(L +2S)

A spin előtti 2-es faktor a Dirac egyenlet hozadéka, ami viszont már nem értelmezhető a klasszikus fizika keretein belül. (A fénysebességű forgás koncepciója kézenfekvő magyarázatot ad a 2-es faktor eredetére, ami a kéttengelyű forgásból fakad. Ez ugyanis felezi a spint, viszont a mágneses momentum nem feleződik, mert azt egytengelyű forgás, a Larmor precesszió hozza létre).

Mi a kvantumfluktuáció?

Az elektron mágneses momentuma azonban nagyobb, mint ami a Dirac egyenletből következik, mégpedig μ = 2,0023 μBS. Ennek értelmezését oldotta meg a kvantumelektrodinamika elmélete, amely szerint a növekedést a kvantumfluktuáció okozza. Ez alatt azt kell érteni, hogy a virtuális foton kibocsátása, illetve elnyelése az elektron pozícióját állandó „rázkódásban” tarja, fluktuációt okoz. Az átlagos pozíció adja meg a szokásos potenciális energiát, de dinamikai jelenségekben a finomabb közelítések már az átlagtól való eltérés hatását is figyelembe veszik. A Larmor precesszió is dinamikai jelenség, amelyből a mágneses momentum meghatározható. Ha a klasszikus elektrodinamika alapján értelmezzük a mágneses momentumot, az arányos a töltés által a mozgás során körbezárt területtel, ez pedig megnövekszik a fluktuáció következtében.

Perturbációs eljárás a QED elméletben

A fluktuáció becsléséhez abból lehet kiindulni, hogy a virtuális fotonok kibocsátásának és elnyelésének intenzitása határozza meg az elektromágneses kölcsönhatás mértékét, amit az e2 = αħc összefüggésből származó elemi töltés nagysága jellemez. Itt α = 1/137 a Sommerfeld állandó, az elektromágneses kölcsönhatás csatolási együtthatója. (A fénysebességű forgások koncepciójában a belső kettősforgások Coriolis ereje bocsátja ki a virtuális fotonoknak megfelelő egytengelyű forgásokat). A fluktuáció mértéke arányos a virtuális fotonok intenzitásával, ami a Sommerfeld állandónak felel meg. Ezt szemlélteti körmozgás esetén a töltés által körbejárt területet 1+ α/2π mértékű növekedése, és az evvel járó momentumnövekedés. Ez már jó közelítésben egyezést ad a megfigyelt kísérleti értékkel. A QED elmélet számításai azonban nem ezt a szemléletes utat követik, hanem közelítő megoldást adnak a mezőelmélet által felépített egyenletekre. A módszer alapja az időtől függő perturbáció számítás. Ennek lényege, hogy először elhagyjuk az egyenletből azt a tagot, amely miatt a számítás nem végezhető el explicit módon. Ez jogos módszer, ha ez a tag kicsi. A megoldásként nyert állapotfüggvény alapján az elhagyott tag nagysága megbecsülhető, majd a következő közelítésben ezt korrekcióba lehet venni. A tovább finomított állapotfüggvény már pontosított becslést az eredetileg elhagyott tagra, amiért tovább lehet javítani a megoldás pontosságát. Ez az eljárás már rendkívül pontos értéket ad az anomális mágneses momentumra, amely tizenkét tizedesig egyezik a kísérleti értékkel.

Van-e fizikai tartalma a matematikai közelítés egyes lépéseinek?

Az egymást követő perturbációs lépések szükségessé tesznek különböző virtuális folyamatokat, melyeket Richard Feynman diagramjai szemléletes formában írnak le. Ezek között a józanész számára meghökkentő lépések is vannak. Példaként előfordulnak a fénysebességet meghaladó, vagy időben visszafelé mutató folyamatok is. Feynman meg is jegyzi könyvében (QED. The strange theory of light and matter), hogy ezek összebékítésére a józanésszel, kár is törekedni. Magam ezt másképp fogalmazom meg. Ugyanis a „furcsa” tagok fellépése a matematikai közelítés szükségszerű velejárója. Az időfüggő közelítő eljárás egyes lépéseiben előre futhatunk, ilyenkor a következő közelítésnél vissza kell lépni az időben, máskor viszont lemaradunk, amiért olyan tag lép fel a számításban, amelyik meghaladja a fény sebességét is. A számítás egyes lépései csupán matematikai közelítési eszközök, melyeknek nincs közük a realitáshoz. A lényeg csupán a számítás végeredménye, amelynek már valódi fizikai tartalma van. A másik megjegyzés pedig arra vonatkozik, hogy amikor virtuális folyamatokról van szó, akkor a valószínűség birodalmában járunk, ahol az utakat nem a részecske járja be, hanem a képzeletünk, midőn sorra vesszük a lehetőségeket. A lehetséges pályák valószínűségi összege pedig nem azt jelenti, hogy a részecske párhuzamosan több pályát is futna be egyidejűleg, hanem azt, hogy az okok számbavételénél több lehetőség is felmerül.

Szingularitás a QED számításokban

Van viszont a QED számításoknak egy csúnya szépséghibája, mert a sajátenergia számítás első perturbációja végtelent ad. Ezt mesterségesen próbálják kiküszöbölni, amikor a tömeget és a töltést önkényesen renormalizálják. Jobb ennél a szingularitást tudomásul venni, mert ennek oka – ahogy azt korábban előrevetítettük – a mezőfogalom definíciójában rejlik, amely elkerülhetetlen paradoxont hordoz magában. (A fénysebességű forgások koncepciója viszont segít a végtelen kiküszöbölésében, mert véges határt ad meg, ameddig érvényes a potenciálszámítás kifejezése, és ezért nem jön létre végtelen járulék.)

Az anyag hullámtermészete

Az elektrodinamika mezőelméletének elveit megismerve kezdhetünk hozzá a bevezetésben felvetett kérdés megválaszolásához: hogyan is értelmezhetjük az anyag kettős természetét, amely nem csak a foton tulajdonsága, hanem elvben bármelyik részecskéé, atomé és molekuláé.

De Broglie vetette fel, hogy minden részecskének van hullámtermészete is, ami az impulzushoz kapcsolódik és a hullámhosszal jellemezhető:

λ = h/p

Foton esetén ez abból következik, hogy az impulzus arányos az energiával a p = E/c = h·f/c = h/λ összefüggés szerint. Elektronok esetén Davisson és Germer nikkel egykristályon végzett diffrakciós kísérlete adta meg a bizonyítékot a hipotézisre.  A kristályban egymástól d távolságra atomokból felépülő síkok vannak, és amikor egy λ hullámhosszú sugárzás éri a felületet θ szögben, akkor diffrakciós maximum figyelhető meg a Bragg formula szerint (William Henry Bragg, 1862-1942 és Lawrence Bragg, 1890-1971, apa és fia, akik 1915-ben együtt lettek Nobel díjasok):

k λ = 2dsinθ,

ahol k = 1, 2, 3, …. egészszám.

A diffrakciós maximum oka, hogy az alsó síkból visszaverődő fény hosszabb utat tesz meg, és amikor az úthossz különbség a hullámhossz egész számú többszöröse a hullámok erősítik egymást, a többi irányban viszont kioltódnak.

Davisson és Germer nem a fönti elrendezést választotta, ahol a beeső sugárzás szöge változik, hanem a nikkel kristálylap síkjára merőlegesen érkező elektronok visszaverődését tanulmányozta különböző irányokban.  Ebben az esetben a diffrakciós maximum szögét a módosított Bragg törvény adja meg:

k λ = 2dsin(90 - θ/2)

Az elektronokat elektromos térben felgyorsították, így változtatva az impulzust, és azt tapasztalták, hogy 50 fokos visszaverődési szögnél a gyorsító feszültséget változtatva jelentős maximum figyelhető meg 54 V értéknél.  A nikkel egykristály rácstávolsága (d = 0,92x10-10m) és az 54 eV energiához tartozó impulzus alapján épp akkora hullámhossz adódott ki, ami a de Broglie hipotézisnek megfelelt. Később protonokkal, egyes kisebb atomokkal és molekulákkal is sikerült bizonyítani a hipotézis helyességét.

Rugalmas szórás és a fény lassulása optikai közegekben

A fenti kísérlet a rugalmasan szóródó elektronok megfigyelésén alapul. Bármely kölcsönhatást, akkor tekintünk rugalmasnak, ha annak során impulzusátadás megy végbe, anélkül, hogy közben megváltozna a komponensek energiája. Tegyünk egy kitérőt, annak érdekében, hogy lássuk fotonok esetén a rugalmas ütközés hatását. Erre példa, amikor a fény belép valamilyen optikailag sűrűbb közegbe, ahol a törésmutató mértékében lecsökken a sebessége:

cn = c/n,

ahol n a törésmutató. Amikor a fény az optikailag sűrűbb közegbe jut, például belép a vízbe, vagy üvegbe, ott a határréteg atomjaival, illetve elektronjaival kerül kölcsönhatásba. Ez a kölcsönhatás rugalmas, hiszen a nagyobb törésmutatójú közegben sem változik meg a fény színe, azaz a foton nem ad le energiát.  A lassulás oka, hogy lerövidül a hullámhossz, λn = λ/n, és így a sebesség cn = 2πλn kisebb lesz. Mivel a foton impulzusát a h/λ arány adja meg, így az impulzus megnövekszik a törésmutató mértékében:

pn = n·p

Következésképpen, optikai közegekben a fény lassabb haladása a megnövelt impulzusnak tulajdonítható.

A relativitáselmélet szerint fizikai közegekben a fény sebessége nem növekedhet meg a vákuumhoz képest, ami azt jelenti, hogy a töltésekkel kölcsönhatásba lépő fény a közeg atomjaitól kizárólag felveheti az impulzust, de azt nem adhatja át rugalmas kölcsönhatások esetén. Ha ugyanis is átadná és csökkenne saját impulzusa, akkor növekedne a hullámhossz, amiért a sebesség meghaladná a vákuumban elérhető maximális c értéket. Megfordul a helyzet, ha a kölcsönhatás nem rugalmas, mert ekkor az impulzusátadás egyúttal energia, azaz frekvenciacsökkenéssel jár együtt, oly módon, hogy a hullámhossz és a frekvencia szorzata már nem lesz nagyobb a c értéknél. Az impulzusnövekedés a sugárzás és anyag közötti kölcsönhatás tartományára korlátozódik, azon kívül nem lép fel, amiért gázokban a törésmutató növekedése a koncentrációval arányos. Sűrű, kondenzált közegekben a sugárzás eredeti impulzusa több mint duplájára nőhet, ezért néhány kristályban n értéke kettő fölé is mehet (Például germániumban n = 4,05). Az impulzus összegzési szabálya szerint ez úgy történhet meg, ha az első atommal való kölcsönhatás tartományán belül további atomokkal is létrejön a kölcsönhatás.

Mezőelméleti szempontból vizsgálva a jelenséget, az optikai közeg elektronjai virtuális fotonok kibocsátásával lépnek kölcsönhatásba a beérkező fénnyel, amelynek során a közeg által kibocsátott fotonok szuperponálódnak a kívülről érkező fotonokkal. Mivel minden foton impulzussal is rendelkezik, ez lehetővé teszi az impulzusátadást. Ez az impulzusátadás azonban egyirányú, a valódi foton úgy változtatja meg a virtuális fotonok állapotát, hogy saját impulzusa növekszik a virtuális fotonok, illetve az ezeket kibocsátó töltésrendszer rovására. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a fény valamilyen anyagi közeggel rugalmas kölcsönhatásba kerülve, azt maga felé húzza. Viszont rugalmatlan kölcsönhatás esetén arra nyomást gyakorol, ez a fénynyomás.

A későbbiek szempontjából fontos tanulság, hogy fotonok szuperpozíciója olyan folyamat, amely energiacsere nélküli impulzusátadást eredményez. A rugalmas kölcsönhatásban részt vevő fotonok szükségképpen virtuálisak, a megfigyeléshez ugyanis energiaváltozás is szükséges.

Elektron diffrakciója kristályokban

Visszatérve az elektron diffrakcióhoz, először azt kell megvizsgálni, hogy amikor az elektron ütközik a kristályráccsal, milyen folyamat játszódik le, és milyen kölcsönhatás lép fel ennek során? A kristály úgy viselkedik, mint egy tükör, amelyet a rendezett atomok elektronjainak potenciáltere hoz létre. A beérkező elektronok kölcsönhatásba kerülnek a szinuszosan változó potenciállal, ahonnan különböző irányban pattanhatnak vissza. Az irányváltozás impulzusváltozást jelent, amelynek hátterét a kristály egésze biztosítja, de annak nagy tömege miatt az elmozdulás olyan kicsi, hogy kísérletileg nem észlelhető. A mezőelmélet szerint az elektron és a rácsatomok által létrehozott potenciál kölcsönhatását virtuális fotonok közvetítik. A „támadó” elektront virtuális fotonok serege veszi körül, amely megütközik a kristály rendezett sorokban álló elektronjainak foton seregével. A csata addig tart, amíg a védekező fotonok serege nem állítja meg és taszítja el valamilyen irányban a támadó elektront. A két tábor fotonjai közül azok vesznek részt a harcban, amelyek frekvenciája megegyezik. A frekvencia egyezése ellenére az érkező elektron fotonjai többlet impulzussal rendelkeznek. Amikor elektromos feszültséggel gyorsítjuk az elektront, létrehozunk egy olyan töltéseloszlást, amely vonzó hatást gyakorol az elektronra. Ez a vonzó hatás a töltések által kibocsátott és elnyelt virtuális fotonok szuperpozíciója által jön létre, de azt is meg kell említeni, hogy az elektron felgyorsítása valódi fotonok képződésével is együtt jár.

A diffrakciós kísérlet már a gyorsítási szakasz után következik be, ahol megszűnik a megfigyelhető fotonok képződése. Ebben a tartományban többlet impulzussal mozognak a virtuális fotonok, igazodva az elektron impulzusához  A többlet impulzus miatt pedig megváltozik a szuperpozíciós struktúra az elektronból és a kristályból kilépő virtuális fotonok között. A struktúra változásában játszik szerepet, hogyan szuperponálódnak a virtuális fotonok, amelyek a kristályrács egymás mögötti pozícióiból indulnak. Teljesülni kell a rugalmassági feltételnek, mely szerint a visszalökött elektron impulzusa abszolút értékben változatlan marad. Ennek megvalósításához a rács két fotonjának „együttműködése” szükséges, megkövetelve, hogy az egymás mögötti síkokból érkező fotonok fázisa megegyezzen. Ez a fázis követelmény csak bizonyos szögek esetén teljesül, amely meghatározza, hogy milyen irányban fog kilökődni az elektron. Az imént részletezett mechanizmus lényegét úgy foglalhatjuk össze, hogy ugyanolyan játékszabályok játszanak szerepet elektron diffrakció esetén az interferencia létrehozásában, mint amikor elektromágneses sugárzás éri a kristályrácsot a röntgen diffrakció során.

A fénysebesség állandósága

Érdemes még kitérni a relativitás kiinduló elvére, amely szerint vákuumban a fénysebesség állandó. A diffrakciós kísérletben vákuumra van szükség, hogy az elektronok ne szóródjanak a kristály elérése előtt is. Hogyan egyeztethető össze a fénysebesség állandóságának törvényével, hogy a p = m·v impulzusú elektron által kibocsátott virtuális fotonoknak lerövidül a hullámhossza és ezáltal lecsökken a sebességük? Amikor az elektron impulzusáról beszélünk, akkor hallgatólagosan a laboratóriumi, azaz a nikkel egykristály inercia rendszerében gondolkozunk. Ebből a rendszerből nézve a mozgó elektron által kibocsátott virtuális fotonok impulzusa p = m·v értékkel megnövekszik, és hasonlóan az optikai kötegbe belépő fényhez, a sebesség lecsökken:

cel,foton = cvákuumv = cvákuump/m

Ez a változás látszólagos, abban az értelemben, hogy az elektron saját rendszerében semmi nem változik, a mozgó elektron impulzusának csak akkor van szerepe, amikor létrejön az elektron és a nikkelrács közötti kölcsönhatás.  A kölcsönhatás terjedési sebessége szempontjából is látszólagos a jelenség, mert az elektron v sebességét hozzá adva a virtuális fotonok csökkent sebességéhez, visszakapjuk a vákuumbeli fénysebességet, azaz nem kerülünk szembe avval az elvvel, amely megköveteli, hogy az elektromágneses kölcsönhatási sebesség ne függjön a mozgó objektum sebességétől. Valójában arról van szó, hogy a kibocsátó objektum fotonjainak terjedési sebessége látszólagosan megváltozik egy másik inercia rendszerből nézve, és éppen ez biztosítja, hogy a tényleges kölcsönhatás (információtovábbítás) sebessége független legyen a két inercia rendszer egymáshoz képesti sebességétől. A látszólagos jelleget hangsúlyozni kell, hiszen a virtuális fotonok sebességváltozása nem mérési adat, evvel szemben, amit mérésekkel ellenőrizhetünk, hogy mennyi idő kell a kölcsönhatás közvetítéséhez két mozgó objektum között. Ez utóbbira elvi lehetőséget ad, hogy ha gyorsítjuk az elektront, akkor detektálható, tehát valódi fotonokat is kibocsát.

(Az előzőekben nem a relativitáselmélet sebesség összeadási szabályait alkalmaztuk, amit az indokol, hogy a Davisson-Germer kísérletben az elektron sebessége nem haladja meg c századrészét, és így a kísérleti pontosság határain belül alkalmazni lehet az impulzus p = m·v formuláját és a sebességek vektoriális összeadási szabályát.)

Mit kell érteni az anyag hullámtermészetén?

A részecskék, vagy elterjedt megfogalmazásban az „anyag” hullámtermészete a kölcsönhatás jellegéből fakad, ebben a fotonok közvetítő szerepe jelenik meg, mint anyagi tulajdonság. Amit látunk, amit észlelünk az a részecske jelleg, de amikor értelmezzük a jelenség hátterét, a hullámképhez jutunk a valószínűség összegzési szabályai által. Magyarázatunk ésszerű és konzekvens, de mégis csak gondolati termék, a valóság olyan lenyomata, amit a foton mutat meg nekünk rajta hagyva saját bélyegét.

Davisson és Germer kísérletének fő jelentősége, hogy bizonyítékot ad a mezőelmélet virtuális fotonokra alapított koncepciójának helyességére. A virtuális foton a mozgató erő, a megfigyelhető foton a mozgási állapot változásának indikátora.

Linkek a korábbi bejegyzésekhez

A mikrovilág misztikumok nélkül

Jancsi és Juliska találkozása

 

Mottó:     Abban a világban, ahol nincs irányjelző,

az irány fogalma ki sem alakulhatott volna

Előhang

Minden fizikai törvény a determinizmus elvén alapul, de hogy mi is a determinizmus, azt csak a mikrovilágból tudhatjuk meg. Ennek oka, hogy a mikrovilág diszkrét lépései és valószínűségi jellege felfelé haladva fokozatosan simul bele a makroszkopikus világ folytonosságába és bizonyosságába. A fordított út viszont bizonyító erővel nem rendelkező extrapoláció, a makroszkopikus fizikai törvények nem vihetők át változatlanul a mikroszkopikus dimenziókba. A mikrovilág tanulsága, hogy a determinizmus a valószínűségen keresztül valósul meg.

Ahogy a determinizmusban megnyilvánul a véletlen, a véletlen is magában rejti a determinizmust, ezek nem egymást kizáró antagonisztikus fogalmak, hanem a természeti törvények keretei, melyek kikövezik az utat a mikrovilágtól a makroszkopikus jelenségek felé.

Bevezetés

A mikrovilág fizikai elméletéhez, a kvantummechanikához sok tévhit kapcsolódik. valamilyen különös világot képzelünk el, ahol a megszokott törvények nem érvényesülnek, ahol nincs determinizmus, ahol a valószínűség az úr. De honnan származnak, mi az eredete az olyan fogalmaknak – mint a determinizmus és a véletlen? Először ennek kell utánajárni, mert ezek a fogalmak is hétköznapi tapasztalataink általánosításából születtek meg. De mi történik, ha kilépünk a hétköznapi világból a mikroszkopikus objektumok tartományába. Vajon minden fogalmunk változtatás nélkül ott is alkalmazható?

 Célom annak megmutatása, hogy nincs szakadék szokásos törvényeink és a mikrovilág objektumainak szabályai között. Az eltérés onnan fakad, hogy elmulasztjuk fogalmi rendszerünk hozzá igazítását ahhoz a világhoz, ahonnan csak korlátozott mennyiségű és minőségű információ jut el hozzánk.

Mérőműszer és a megfigyelt mikrovilág

A mikro- és makrovilág megfigyelései között a legfőbb különbség, hogy a makroszkopikus objektumok mozgásait úgy tudjuk megfigyelni, hogy evvel a test mozgása nem változik meg, amire általában nincs lehetőség, amikor az elektron mozgását akarjuk nyomon követni. Ugyanis minden megfigyelés alapja valamilyen kölcsönhatás, köztünk, a műszerünk és a megfigyelt objektum között. A fő kérdés, hogy az a kölcsönhatási energia, illetve az impulzus, amivel a kölcsönhatás jár, hogyan aránylik ahhoz az energiához és impulzushoz, ami a megfigyelt objektum mozgását jellemzi.

A mérőműszer közvetett kapcsolatot teremt a makroszkopikus megfigyelő és a mikrovilág között. Hogyan tudjuk – például – egyetlen foton hatását megfigyelni? Ennek eszköze a fotoelektron sokszorozó. A foton kilő a fényérzékeny lemezből egy elektront, amelynek útjába egy olyan lemezt helyezünk, amelyet gyorsító feszültséggel láttunk el.  Ezáltal az elektron akkora energiára tesz szert, amely a második lemezből már több, mondjuk három, fotont tud kiszabadítani. Ez a három foton elérve a harmadik lemezt, onnan három elektront fog elindítani, és ezeket tovább gyorsítva a következő lemezből már kilenc foton fog kilépni. Lemezek sorát alkalmazva, akár milliószorosára növelhetjük meg a fotonok számát.  A műszernek tehát van egy bemenő oldala, amelyik a mikrovilág valamilyen jelenségét észleli, és van egy kimenő oldal, ahol már a kiinduló hatás átvált a makroszkopikus dimenzióba, amit az észlelő már látni fog. A műszer makroszkopikus eszköz, ami által a mikrovilág tulajdonságairól közvetett információhoz juthatunk. A közvetítés elemi lépcsőfokai azonban rejtve maradnak előttünk.

A mikrovilág dimenziói

Mekkorák a mikrovilág parányi objektumai? Nézzük először méretüket, például egy atomét. Ha százmillió (azaz 108) atomot sorba rakunk – ilyen sorba rakás például egy kristályrács – akkor annak hossza 1 cm körül lesz. Mekkora egy atom tömege? Ha a százmilliót a harmadik hatványra emeljük (ez 1024), akkor lesz az atomok össztömege néhány gramm (így jutunk el az Avogadro szám 6·1023 nagyságrendjéhez). További kérdés, hogy mekkora sebességgel száguldanak az elektronok az atomok és molekulák belsejében? Akkorával, hogy evvel a sebességgel egy másodperc alatt Budapesttől akár Moszkváig is eljuthatunk. Ez a sebesség a fénysebesség hozzávetőleg századrésze. Hányszor tudja az elektron ekkora sebességgel körbejárni az atommagot? Nevezzük elektronévnek, azt az időt, ami alatt az elektron egyszer lefutja a pályát a mag körül. Ha így számolunk és figyelembe vesszük, hogy az említett óriási sebességgel mennyi idő kell egy körbefutáshoz, akkor az egy másodperc alatti évek száma százezerszer lesz hosszabb, mint az Univerzumunk kora. De játsszunk tovább a gondolattal és nevezzük egy elektronnapnak azt az időt, ami alatt egy teljes pályát leír az elektron az atommag körül, akkor az elektron egy másodperc alatt lesz annyi napos, mint amennyit az univerzum kora számlál!

Barátkozzunk tovább ezekkel a különös számokkal, kapcsolatba hozva természeti állandókkal. Csak a nagyságrendeket vizsgáljuk, és ne törődjünk az együtthatókkal. A pontos számértékek bármely kézikönyvben rendelkezésre állnak. Három fontos fizikai mennyiségre van szükségünk a becslésekhez: a c fénysebességre, amely 108 m/s nagyságrendű, a redukált ħ = h/2π Planck állandóra, melynek nagyságrendje 10-34 J·s. Ehhez járul még hozzá a dimenziómentes 0,01 nagyságrendű α Sommerfeld állandó. Ez utóbbi határozza meg az elemi töltések közötti erő nagyságrendjét az e2 = αħ·c szabályon keresztül, ahol a töltés négyzetének nagyságrendje 10-28. Ezen kívül még szükségünk van az elektron tömegének nagyságrendjére is, amely mel = 10-30 kg. Az előző pontban ismertetett nagyságrendek származtatásához használjuk Bohr klasszikus mechanikán alapuló érvelését. Hidrogén atomban a proton és az elektron közötti e2/r2 Coulomb erő egyenlíti ki az elektron körforgásának m·v2/r centrifugális erejét. A körforgáshoz tartozó m·v·r impulzusnyomaték egysége a ħ redukált Planck állandó (Bohrnál ez még csak egy ad hoc feltételezés, a magyarázatot később adjuk meg). A két összefüggést összekapcsolva kapjuk meg a sebességet: v = e2/ħ = 106m/s, egyezően a már említett értékkel. Az impulzusnyomaték kifejezéséből már származtathatjuk a pálya Bohr sugarat is:

R Bohr  = ħ/m·v = 10-10m = 10-8cm. A másodpercenkénti fordulatok számát a sebesség és a sugár aránya adja meg: f = v/r = 1016 1/s.  A kvantummechanikai számítások hasonló nagyságrendi viszonyokat állapítanak meg, ami már előrevetíti, hogy a kvantumelmélet nincs ellentmondásban a klasszikus mechanikával, hanem annak a mikrovilág dimenzióihoz alakított elmélete.

Hogyan írhatjuk le az elektron pályáját?

 Lehet-e az atomban ezt az óriási sebességű mozgást egy ilyen parányi méretben nyomon követni, megadhatjuk-e az elektronpályát a szokásos módon, feltüntetve pontról pontra az időt és a pillanatnyi tartózkodás helyét?  Amikor a bolygók pályáját követjük a Nap, vagy a Holdét Földünk körül, megtehetik ezt a csillagászok távcsöveikkel vizsgálva az eget. Amikor a teniszlabda útját követjük videóval, akkor is nyomon követhetjük a labda útját, és a sólyomszem technikával megnézhetjük, hogy a labda az érvényes területen belül, vagy azon kívül érte-el a pályát. Tudunk-e hasonló pályaképet felvenni az elektron mozgásáról is? Van, amikor igen, de van, amikor ez nem lehetséges. A gyorsítóból kilépő elektron pályáját nyomon követhetjük emulzióban, köd- vagy buborékkamrában, amikor célunk, hogy kövessük a mozgást elektromágneses mezőben. A detektálást lehetővé teszi a kölcsönhatás, amellyel az elektron változást hoz létre a közegben – például ionizációval ezüst atomokat kiszabadítva – amely révén kirajzolódik az emulzióban, hogy milyen pályát futott be az elektron. Ilyenkor a pályát atomról atomra tudjuk követni. Hasonló a helyzet a buborék és ködkamrában, ahol az átalakított apró buborékok vagy a ködszemcsék jelölik ki az utat. Ezekben a közegekben természetesen behatárolja a helymeghatározás pontosságát a szemcseméret, amely mindegyik technikánál meghaladja az atomi méretet. Szintén korlátozott pontosságú az impulzusmérés is, mert minden egyes reakciónak van egy energiaküszöbe, ráadásul az energia és az impulzus minden egyes reakció után fokozatosan csökken, amely befolyásolja a mért görbületi értékeket is, amikor az elektronpályát az elektromágneses mező eltéríti. A mérési pontosság korlátai azonban nem akadályozzák meg, hogy felrajzoljuk a mozgás pályaképét, egymást követő pontokra felbontva.

De mit tudunk mondani azoknak az elektronoknak a pályájáról, amelyek látható világunk túlnyomó részét teszik ki, amelyek az egyes atomokban és molekulákban végzik örök mozgásukat. Itt a helymeghatározásnál már szóba sem jöhetnek az említett mérési technikák, mert az atomi elektronpálya nem terjed túl az atomok közötti távolságon, ráadásul az elektronok csak akkor bocsátanak ki, vagy nyelnek el fotont, ha ugrást végeznek két állapot között. Emiatt az elektronok stacionárius (ugrást nem végző) pályákon való mozgásáról nem kapunk semmilyen információt. Ez avval jár, hogy a „mikor és hol” kérdése helyett csak a „hol lehet” kérdését vethetjük fel, hozzátéve, hogy az elektron mekkora valószínűséggel található meg az atom különböző régióiban. Honnan nyerhetünk segítséget, hogy ezeket a valószínűségeket megállapíthassuk? Ebben segít, hogy a klasszikus mechanika már feltárta a mozgás állandóit, az energiát, amely a kinetikus és potenciális energia összege, az impulzust, amely nem változik, ha nem hat külső erő a mozgó objektumra, és az impulzusnyomatékot, amely szintén állandó, ha nincs jelen forgatónyomaték. Ezek olyan fizikai mennyiségek, melyek szerepe független attól, hogy csillagászati távolságokról, hétköznapi világunk méreteiről, vagy parányi objektumok mozgásáról van szó. A keringő mozgásra példa a Nap körüli mozgást végző bolygók és aszteroidák serege. Kepler óta tudjuk ezeknek a pályáknak szabályait, amire a dinamikai magyarázatot Newton tömegvonzási törvénye adta meg. Ha az atomban kötött elektronpályákra korlátozzuk figyelmünket, ott is ellipszis pályákat rendelhetünk az elektronokhoz a klasszikus mechanika módszerét követve, melyek az excentrikusságban (lapultságban) különbözetnek. Ezeken a pályákon végig azonos az energia és az impulzusnyomaték. Az impulzusnyomaték két vektor szorzata, az egyik az impulzus, a másik a mozgási centrumból az érintőre merőlegesen húzott szakasz hossza, külön- külön mindkettő változik a mozgás során, de a vektorok szorzata állandó marad. Nem függ még a mérettől a szimmetria sem, amely emiatt központi szerepet játszik a mikrovilág parányainak – az elemi részecskéknek – tulajdonságaiban.

Kvantummechanikai állapotok

Az atomok kötött elektronjainak mozgását a kvantummechanika írja le, amely a fentiek miatt már nem pályaleírás, hanem állapotleírás. A klasszikus pályaleírás megköveteli, hogy az idő függvényében meg tudjuk adni a részecske helyét. Ebből a pályafüggvényből az idő szerinti első derivált adja meg a sebességfüggvényt, a második a gyorsulásfüggvényt. A newtoni leírásban ez a gyorsulásfüggvény a mindenkori erővel arányos. Mivel az atomban keringő elektronok pályafüggvényei nem állnak rendelkezésre, így olyan leírásra van szükség, amelyben a pályafüggvény helyett egy új fogalmat vezetünk be, amit állapotfüggvénynek nevezünk.  Ez az állapotfüggvény a pálya egészének tulajdonságait foglalja össze, és arról nyújt számunkra információt, hogy mekkorát változnak az egyes fizikai állandók – mint az energia, impulzus és impulzusnyomaték – annak következményeként, hogy az elektron ugrást végez két állapot között. Mivel az ugrás két állapotfüggvényt köt össze, olyan formalizmusra van szükségünk, amely különböző függvények között teremt kapcsolatot valamilyen matematikai operáció által. Ez a műveletet a matematikában az operátor. Ez hozza magával, hogy a mikrovilágban új módon kell definiálni a mozgás fizikai állandóit, melyeket többé nem függvények építenek fel (például a sebesség függvényeként felírt ½mv2 kinetikus energiát, vagy az m·v impulzust), hanem operátorok. Az egyes fizikai mennyiségek operátora rákérdez arra, hogyan változik meg hatására az állapot, amit egy függvény reprezentál. Evvel megfordul a logikai sorrend, amíg a klasszikus mechanikában azt mondjuk, hogy az energia időben nem változik, a kvantummechanikában azt a kérdést tesszük fel, hogy mi az a fizikai mennyiség, ami nem változik meg az időben, és ezt nevezzük energiának. Az időbeli változás matematikai kérdése az időkoordinátával képzett differenciálhányados, ez vezet minket el az energia operátorához. Az impulzust a térbeni állandóság jellemzi (a mozgó test impulzusa a térben mindenütt azonos marad, ha nem hat a testre külső erő), ezért a térkoordináták szerinti differenciálhányados lép fel az operátorban, míg az impulzusnyomaték az elforgatással szembeni változatlanságot írja le, ha nem hat a testre forgatónyomaték, ezért ekkor a forgási szöggel képzett differenciálhányados alkotja az operátort. Mérések révén kapjuk meg az egyes fizikai állandók értékét, ezt fogja az operátor formalizmus reprodukálni, mégpedig azáltal, hogy keresi az olyan függvényeket, amelyek nem változnak meg egy konstans szorzótól eltekintve, amikor alkalmazzuk a szóban forgó fizikai mennyiséghez rendelt differenciálhányadost. A keresési eljárás valójában egy differenciálegyenlet, melyet az operátor sajátegyenletének nevezünk, a keresett függvény lesz a sajátfüggvény, az együttható pedig a sajátérték, amit az adott fizikai mennyiséghez rendelünk. Az energiaoperátor kiemelt szerepének felel meg, hogy a hozzá tartozó sajátfüggvény a mikroobjektum  mozgását leíró állapotfüggvény.

A függvények végtelen sokaságából (ezt nevezik Hilbert térnek) az exponenciális függvények rendelkeznek avval a sajátsággal, hogy nem változnak meg differenciáláskor, tulajdonképpen ez az exponenciális függvény matematikai definíciója. Például az x koordináta szerinti differenciálás esetén

Tehát a ∂/∂x operátornak eax a sajátfüggvénye és „a” a sajátértéke.

A valószínűség belépése a kvantummechanikába

Mielőtt továbblépnénk a kvantummechanika operátorainak felépítésében, a valószínűségről kell beszélnünk. Miért jelenik meg szükségszerűen a valószínűség fogalma a mikrovilág mozgásainak leírásában. Amint arra már utaltunk a stacionárius elektronpálya nem látható, nem érkezik róla közvetlen információ, így pontról pontra nem bonthatjuk fel a pályát az idő függvényében. Mit tehetünk e helyett? Felvethetjük, hogy az elektron hol lehet és az adott helyeken mekkora gyakorisággal, illetve valószínűséggel fordulhat elő.

Jancsi és Juliska találkozása

 A valószínűség szerepét szemléltessük egy egyszerű példával. Képzeljük  el, hogy két helyről, nevezzük A és B-nek, akarunk átmenni az egyikből a másikba, és a két helyet két út köti össze. Az egyik rövidebb, de sokkal kényelmetlenebb, nehezen járható, a másik kellemesen lankás, de jóval nagyobb távolságot kell megtenni a sok kanyar miatt. Mondjuk, Jancsi A-ból indul el B felé, míg Juliska pont fordítva B-ből megy A-ba. Mekkora a valószínűsége, hogy útközben találkozni fognak? Jancsi siet és inkább a rövidebb utat választja, legyen a választási valószínűség wA, rövid = 0,8 és wA,hosszú = 0,2. A két valószínűség összeadódik és kiadja a teljes, egységre normált értéket, azaz

wA,rövid + wA, hosszú = 1

Juliska inkább a kényelmes, hosszú utat kedveli: wB,hosszú = 0,7, de azért vele is előfordul, hogy sietni akar: wB, rövid = 0,3 . Az ő két választási lehetőségére is igaz, hogy

wB, rövid + wB,hosszú =1

Ez idáig a valószínűségek összeadódási szabálya. Mekkora az esélye, hogy találkozni fognak? Tegyük fel, hogy ismerjük Jancsi és Juliska szokásait, és meg tudjuk mondani, mekkora valószínűséggel választják a rövidebb és a hosszabb utat. Ha most arra vagyunk kíváncsiak, hogy egy adott napon találkoznak-e, erre becslést adhatunk a választási valószínűségek szorzatai által. Ha a fiú és a lány nem ismerik egymást, akkor a véletlen határozza meg, hogy aznap épp hogyan döntenek, amiért a független valószínűségek szabályát kell alkalmazni. A találkozás létrejöhet akár a rövid, akár a hosszú úton, és ezek esélyét kell összegezni a találkozási valószínűség számításakor:

Wtalálkozás = wA,rövid· wB, rövid + wA, hosszú· wB,hosszú = 0,38

Abból, hogy akár a rövid, akár a hosszabb úton is találkozhatnak, természetesen még senki nem gondol arra, hogy mindkét úton ott is lettek volna, ez csupán esélylatolgatás! Ha Jancsi és Juliska szokásaikat követik, akkor gyakran elkerülik egymást, egyiküknek már a számára kevésbé szokásos utat kell választani, hogy találkozzanak, viszont a másiknak maradni kell szokásai mellett. Az elkerülés valószínűségét hasonló módon adhatjuk meg:

Welkerülés = wA,rövid·wB,hosszú + wA,hosszú·wB,rövid = 0,62

Összesen két dolog történhet, vagy találkoznak, vagy nem, ennek felel meg, hogy a két esemény valószínűségének összege az egység:

Wtalálkozás + Welkerülés = 1

A valószínűség szerepe a kvantummechanikában

Jancsi és Juliska találkozásának valószínűségi szabályai hozzásegítenek minket, hogy eligazodjunk a mikrovilág valószínűségi birodalmában is. Képzeljük el egy Hidrogén atomot, amit egy proton és egy elektron épít fel, és tegyük fel a kérdést, hogy egy adott pillanatban az elektron épp hol található. Ez elvben meghatározható egy gondolatkísérletben, ha nagyon pontosan célzott pozitront küldünk a Hidrogén atom felé, mert találat esetén az elektron és pozitron annihilálni fog. Hogyan határozhatjuk meg ennek valószínűségét? Jancsi és Juliska példájához hasonlóan itt is beszélhetünk „választási” lehetőségről, viszont ekkor nem két út közül kell választani, hanem számtalan lehetőség közül, amely elvezet az atommagtól való r távolsághoz. Az útválasztás w(r) függvényének analógiájára értelmezhetjük a Ψ(r) állapotfüggvényt. De ez még nem az adott helyen való tartózkodás esélyét adja meg, a találati valószínűséghez az állapotfüggvény négyzetét kell képezni, hasonlóan ahhoz, ahogy Jancsi és Juliska találkozási esélyét számítottuk. Annyi az eltérés, hogy az állapotfüggvény komplex is lehet. amiért az abszolút érték négyzetét kell képezni a Ψ*(r)Ψ(r) szabály szerint. Az így képzett valószínűségi függvény már megadja számunkra a kvantummechanikai értelmezés szerint, hogy hol, mekkora valószínűséggel található meg az elektron. Ha bejárjuk az egész teret, valahol biztosan megtaláljuk az elektront, ami ahhoz a követelményhez vezet, hogy a  Ψ*(r)Ψ(r) függvény integrálása a teljes tértartományra az egységet adja ki. Ez a függvény normálási eljárása. Ez a feltétel azonos avval, amikor Jancsi és Juliska esetén a találkozás és az elkerülés valószínűségi összege az egységet adta meg.

A fizikai mennyiségek operátorai

Térjünk most vissza ahhoz a kérdéshez, hogyan építsük fel az operátorokat. Ha az exponenciális függvény kitevője valós szám, akkor a függvénynek valahol szingularitása lesz. A valószínűségnek azonban nem lehet szingularitása, ez úgy kerülhető el, ha a deriválás operátorát szorozzuk az imaginárius ”i” egységgel.

Itt k a periodikus függvény hullámszáma. Hasonlóan az idő szerinti derivált

Az időben periodikus függvényben ω a körfrekvencia.

 A kvantummechanikát azért nevezzük hullámmechanikának is, mert állapotfüggvény térben és időben egyaránt hullám sajátsággal rendelkezik. A mikrovilág hullámtermészetének alapja, hogy a fizikai állandókat differenciálhányadosok írják le. Nem szabad azonban elfelejteni, hogy amikor az elektron, vagy más elemi részecske hullámtermészetéről beszélünk, ez arra az állapotra vonatkozik, amikor épp nincs a rendszerről információnk, és csak a lehetőségek valószínűségi eloszlását keressük. Ha azonban konkrét mérést végzünk, és megfigyeljük, amikor az elektron átugrik egy másik állapotba, akkor a nyert információ már egyet kiválaszt a lehetőségek táborából, ilyenkor nincs szó többé hullámjellegről. Erre az esetre mondjuk, hogy az elektron nem hullámként, hanem részecskeként, vagy más szóval korpuszkulaként viselkedik.

Az egyes differenciálhányadosok fizikai dimenziója azonban nem egyezik az általa reprezentált fizikai mennyiségével, de ha megszorozzuk ezeket az impulzusnyomaték dimenziójú konstanssal, már eljutunk az energia, az impulzus és az impulzusnyomaték dimenziójához. 

Hátra van még a kérdés: hogyan válasszuk meg az impulzusnyomaték dimenziójú konstanst? Itt lép be a képbe az információ forrása, a foton. A mikrovilágról szerezhető információnkat az elnyelt és kibocsátott fotonok szolgáltatják, és emiatt a szerzett információ a hordozó tulajdonságaitól függ. Planck felismerése óta tudjuk, hogy a fény energiája nem bontható fel tetszőlegesen kis adagokra, van egy legkisebb egység, a foton. A foton energiája arányos a frekvenciával, és az arányossági tényező a h Planck állandó. Gyakran kényelmesebb az energia és a körfrekvencia arányossági tényezőjét megadni a ħ = h/2π redukált Planck állandó segítségével. Itt a 2π megjelenése annak felel meg, hogy ez a teljes körfordulat szöge radiánban. A foton rendkívül fontos további tulajdonsága, hogy impulzusnyomatéka is van, mégpedig a redukált ħ Planck állandó, és ez az érték nem függ attól, hogy mekkora a foton energiája, illetve hullámhossza, ugyanakkora az impulzusnyomaték a sok kilométeres hosszúságú rádióhullámokban, mint a legkeményebb gamma sugarakban, amely a kozmoszból érkezik. Ennek okát és magyarázatát a fénysebességű forgásokkal lehet megadni, de most erre nem térünk ki. Az elektronok által elnyelt és kibocsátott foton az impulzusnyomaték megmaradás törvénye miatt megköveteli, hogy az elektron a foton kibocsátása, vagy elnyelésekor éppen ħ nagyságban változtassa meg saját impulzusnyomatékát. Emiatt az atomban kötött elektron impulzusnyomatéka csak ħ egészszámú többszöröse lehet. Evvel választ adtunk arra a korábbi kérdésre, hogy miért tettük egyenlővé a korábbi becslésben az impulzusnyomatékot éppen ħ-val.  Az energiát, az impulzus három komponensét és az impulzusnyomatékot úgy kell definiálni operátorokkal, hogy a deriváltakat megszorozzuk ħ-val:. Ez összhangban van a foton energiájára (E = ħω = ħ/T, itt ω a körfrekvencia, T a hullám teljes periódus ideje), impulzusára (p =  ħ/λ, itt λ a hullám periódus hossza) és impulzusnyomatékára (L = ħ) vonatkozó összefüggésekkel is. Mindegyik operátort a függvényekre gyakorolt hatása alapján definiáljuk. A energiaoperátor definíciója:

Itt Ψ(x,y,z,t) a tér és időkoordinátáktól függő állapotfüggvény, amire kifejti hatását a „kalapos” E szimbólummal jelölt energiaoperátor. A további operátorok definíciója:

,   , 

Más jelölést választottunk az impulzus és impulzusnyomaték sajátfüggvényeinek, mert ezek különbözhetnek az állapotfüggvénytől. Ha a θ sajátfüggvény megegyezik a Ψ állapotfüggvénnyel, akkor a szóban forgó operátor sajátértéke a vizsgált mikro objektum fizikai állandója.

Az állapotfüggvény és a kvantummechanikai valószínűség

A Ψ állapotfüggvény a kvantummechanika kulcsfogalma, amely meghatározza a részecske tartózkodási valószínűségét egy adott x,y,z pontban:

W(x,y,z) = Ψ*(x,y,z)Ψ(x,y,z)

A valószínűséget az egységre normáljuk, ami azt jelenti, hogy a részecske valahol a teljes térben (főleg az atommag környezetében) bizonyosan megtalálható. Viszont, ha két különböző állapotról van szó, akkor az állapotfüggvények „ortogonálisak” egymásra, ami azt jelenti, hogy a teljes térre integrálva a két függvény szorzatát, nullát kapunk. Ennek matematikai szimbolikája:

Ahol δi,j = 1, ha i = j, egyébként nulla. A különböző állapotfüggvények ortogonalitása (megkülönböztethetősége) kívánja meg, hogy az állapotfüggvény a valószínűségnél mélyebb szintet képviseljen, hiszen az integrál eltűnése megköveteli, hogy az állapotfüggvény egyaránt felvehessen negatív és pozitív értékeket, szemben a valószínűséggel, amelyik csak pozitív lehet.

Az állapotfüggvény szintén megadja, hogy az adott állapotban mekkora értéket vesz fel az operátorral definiált fizikai mennyiség:

 Itt a definíció jobboldalán az integrál tömör jelölése szerepel. Az integrál fizikai tartalmát az adja meg, hogy a tér valamennyi pontjában a W(x,y,z) valószínűséggel súlyozzuk a keresett fizikai mennyiség helyi értékét.

Az energiamegmaradás és az állapotfüggvény

Hátra van még annak tisztázása, hogyan találhatjuk meg az állapotfüggvényt? Ebben segít a klasszikus mechanika energia megmaradási elve, amely két részre bontja az energiát. Az egyik a megvalósult mozgás jellemzője, a mozgási energia, ami nem relativisztikus közelítésben ½mv2 = p2/2m. Az impulzusra való áttérés teszi lehetővé, hogy a mozgási energiát a már bevezetett operátorok írják le. Az energia másik tagja, amely létrehozza a mozgást, a potenciális energia, ennek térfüggéséből lehet az erőt meghatározni (ez a gradiens művelet). Az időszerinti differenciálhányadossal definiált energiát egyenlővé téve az energia két tagjával, kapjuk meg a nevezetes Schrödinger egyenletet.

A kvantummechanika fenti bemutatásának az volt a célja, hogy lássuk az ad hoc feltevések nélküli logikai utat, amely meggyőzhet minket arról, hogy a mikrovilág mozgásegyenlete szükségszerűen épp olyan alakú, ahogyan azt Schrödinger megalkotta. Létezik még a kvantummechanikának a Heisenberg által megalkotott mátrix formalizmusa is, de kimutatható, hogy a két tárgyalási mód ekvivalens eredményre vezet.

Miért kvantumos a mikrofizika?

De miért kvantumos a kvantummechanika, azaz miért változik az atomban kötött elektronok energiája diszkrét értékekben? Az atomok Schrödinger egyenletének megoldásából ez természetesen kiadódik, de itt nem matematikai levezetést kívánunk bemutatni, hanem célunk feltárni a kvantum fizikai eredetét. Az ok valójában a forgási tér diszkrét szerkezete. Amikor ugyanis elvégzünk egy teljes fordulatot, akkor a tér eredeti pozíciójához jutunk vissza. Mivel az elektron mozgásának állapotát vizsgáljuk, ez az „örök visszatérés” az impulzusnyomaték ħ egészszámú többszöröséhez vezet., ezt igazolja vissza az impulzusnyomaték sajátérték egyenletének megoldása is, ami különböző kézikönyvekből elérhető. Itt csak annyit említünk meg, hogy az impulzusnyomaték vektor három komponensét a pxr vektoriális szorzat átírásával adhatjuk meg. Az impulzusnyomaték értékét annak négyzetével jellemezhetjük:

Ennek sajátértékét az L(L+1)ħ2 kifejezés szolgáltatja, ahol L a 0,1,2,3 … egészszámokat veszi fel. Az L érték egyúttal kijelöli az impulzusnyomaték z komponensének lehetséges értékeit, amely L, L-1, … –L egész szám lehet. Ha például L = 0, akkor csak egyetlen, ha L = 1, akkor három, ha L = 2 akkor öt különböző értéket vehet fel a z komponens. Kvantummechanikai sajátosság, hogy egyidejűleg nem adható meg az impulzusnyomaték vektor mindhárom komponense, ez a tulajdonság is az állapotfüggvény és a pálya fogalom különbségére vezethető vissza, mely szerint a valószínűség a stacionárius állapot leírásának szükségszerű eleme, márpedig a vektor mindhárom komponensének egzakt ismerete nem hagy teret a valószínűségnek.

Így jutunk el az elektronállapotok diszkrét energianívóinak kérdéséhez is. Mivel az atomban keringő elektron impulzusnyomatéka diszkrét értékű, és az energiát ennek nagysága határozza meg, így a kötött elektronok nívói is diszkrétek lesznek.

Az „s” pálya rejtélyei

Ejtsünk még néhány szót az elektron egy különös állapotáról, amikor nulla impulzusnyomaték tartozik a pályához, ez az „s” pálya. (Amikor pályáról beszélünk a bevett nevezéktant követjük, bár jobb lenne mindig állapotot említeni a pálya és az állapot fogalom különbsége miatt). Hogyan lehet nulla ez az érték? Úgy ha a pálya áthalad az atommagon egy egyenes mentén. Ez viszont avval jár, hogy az atommagban az elektron véges valószínűséggel jelen van, és ez meg is mutatkozik ez elektron és a mag mágneses nyomatékai közötti kölcsönhatásban (Fermi tag).

Viszont az atommagon való áthaladás azt jelenti, hogy ott az elektron és a proton között nulla lesz a távolság, és emiatt végtelen nagy vonzóerő lép fel. Miért nem nyeli el mégsem a mag az elektront? A magyarázat az elektron mozgásának valószínűségi leírásához kapcsolódik. A stacionárius állapotú elektronmozgást, így az „s” pályát sem látjuk, amit látunk, az mindig az átmenet, amikor az „s” állapotú elektron átugrik egy „p” (azaz L = ħ) állapotba. Az állapotfüggvény az egész pályára vonatkozik, abban nem lehet a mozgást egymás utáni szakaszokra bontani, és nem tudunk olyan kérdésre válaszolni, ha az elektron most itt van, akkor hol lesz ezután. Az állapotfüggvény egymásmellettiséggel váltja fel a pálya egymásutániságát. Mindig erre kell gondolni, amikor a kvantummechanikai mozgás értelmezésére kerül sor. Ha úgy tetszik a mozgást nem az időben írjuk le, hanem a valószínűség dimenziójában. Ha például a V (r)= -e2/r potenciális energia járulékát számítjuk ki, akkor szoroznunk kell az egyes tartományokra jutó valószínűséget a helyi potenciális energiával. Matematikailag ez a művelet a Ψ*(r)e2/rΨ(r) kifejezés egész térre való integrálását jelenti. Az r = 0 helyen ugyan a potenciális energiának szingularitása van, de a valószínűséggel való szorzás miatt már nem kapunk lokálisan végtelent. Ennek oka, hogy az r sugarú tartományra vonatkozó valószínűség integrálja r3 mértékében csökken, (amikor nullához közelít a tartomány sugara azon belül a W(r) valószínűség nem változik és az integrál arányos lesz térfogattal). Ha ezt az r3 függést az 1/r mértékében növekvő potenciális energiával szorozzuk, akkor az r = 0 környezetétől származó járulék már nem végtelenhez, hanem nullához fog tartani. Ismételten hangsúlyozni kell, hogy az állapotfüggvény nem azonos a klasszikus pályafogalommal, mert itt nem bontjuk fel a mozgást időben egymás utáni pontokra, hanem a valószínűség szabályait követve összegezzük a lehetőségeket, amelynek szabálya az egymásmellettiségre épül.. Az elektron „átjutása” a szingularitási ponton a kvantummechanikai alagúteffektus speciális esete. Alagúteffektusról olyankor beszélünk, ha az elektronnak át kell jutni egy olyan potenciálfalon, amelyhez „kevés” a mozgási energiája. Erre példa, amikor az elektromos vezetékek között a korrózió szigetelő réteget hoz létre, de az elektron képes ezt átugrani. (Fémek vezetési mechanizmusának tárgyalásába itt nem mennénk bele, mert az túl nagy kitérőt jelentene a fő mondanivalótól.)  A lényeg, hogy a szomszédos atomok állapotfüggvényei (és nem pályái!) jelentősen átfednek, azaz az elektron itt is lehet, meg ott is lehet. (De helytelen azt gondolni, hogy itt is van, meg ott is van!). Ezt a különbségtételt nem lehet eléggé hangsúlyozni, mert ez a kulcsa, hogy ne gabalyodjunk ellentmondásokba a kvantummechanikai folyamatok értelmezésénél. Idézzük fel Jancsi és Juliska példáját, akik bizonyos valószínűséggel választhatják akár a meredek, akár a lapályosabb utat, de ez nem jelenti azt, hogy egyidejűleg lennének mindkét útvonalon.

Térjünk még vissza az „s” elektronok különleges tulajdonságára: mivel nulla az impulzusnyomatékuk, így lineáris oszcilláció jön létre valamilyen irányban. Viszont a kvantummechanikai számítások nem tüntetnek fel megkülönböztethető irányt, azaz minden irányt egyforma valószínűséggel választ az „s” elektron. Klasszikus pályaképben gondolkozva úgy értelmezhetnénk a dolgot, hogy az oszcillációs irány folyton változik bejárva minden lehetőséget. De ez téves magyarázat, mert az irányváltás csak akkor következhet be, ha van valamilyen erő, amely az oszcilláció irányát elforgatja. Itt megint a pálya- és az állapotfüggvény modell ütközéséről van szó! Miért kapjuk azt, hogy minden irány valószínűsége azonos? Azért mert igazából az irány fogalomnak gömbszimmetrikus potenciál esetén nincs értelme. A makroszkopikus világban mindig valami kijelöli az irányokat, a függőlegest a gravitáció, a két vízszintes irányt szobánk falai, vagy a házak helyzete az utcán, vagy a fák, ha az erdőben sétálunk. Ezekre az információkra támaszkodunk, amikor irányokban gondolkodunk. Abban a világban, ahol nincs irányjelző, az irány fogalma ki sem alakulhatott volna.  Az elektron számára „az információt” a potenciális energiával adjuk meg, ha ez gömbszimmetrikus e2/r alakú, akkor nem létezik irányjelzés az elektron számára, az irányt csak megszokott gondolkodásunk fogalomrendszere viszi be. Az aktív elem a potenciális energia, a mozgás geometriáját és energiáját ez határozza meg. Ha viszont nem egy atomról, hanem valamilyen molekuláról van szó, ott már az elektronra hat a szomszédos atommagok Coulomb ereje is, ez már beviszi az irányt, ami abban mutatkozik meg, hogy az állapotfüggvény nem lesz többé gömbszimmetrikus „s” állapot.

Eddig az „s” állapotról beszéltünk, de léteznek nullától különböző impulzusnyomatékú állapotok is, mint a „p” (L = 1), a „d” (L = 2) és az „f” (L = 3) pályák és még sorolhatnánk tovább. Például három „p” állapot van, amit a tér három irányába mutató px, py és pz pályákkal szokás ábrázolni, melyek energiája megegyezik. A „p” pályák ilyen kijelölése azonban önkényes, ugyanis a kvantummechanika játékszabálya szerint az azonos energiájú (degenerált) pályák bármely szuperpozíciója is egyenrangú állapotfüggvény. Ez azt jelenti, hogy képezhetünk belőlük gömbszimmetrikus függvényeket is, a három „p” pálya megkülönböztetése csak akkor lehetséges, ha a potenciálfüggvény alacsonyabb szimmetriájú.

Az elektron sajátforgása, a spin

Az elektronok mozgásának van egy másik típusa is, amikor az elektron pörög, hasonlóan ahhoz, ahogy forog a Föld is. Ez hozza létre a spint. Fontos különbségek vannak azonban a két objektum forgása között, Föld esetén a forgást időben egymást követő orientációkkal tudjuk leírni, amíg elektronnál ez nem lehetséges. A másik különbség, hogy az elektron egyszerre két tengely körül végez forgást, makroszkopikus testek ilyen forgást nem végezhetnek. Az elektron forgásának ezt a különleges típusát az teszi lehetővé, hogy nem időbeli egymásutániságról, hanem valószínűségi egymásmellettiségről van szó.  A forgásnak ez a kettőssége tükröződik egyfelől a feleződő ħ/2 impulzusnyomatékban, másfelől az anyag és antianyag kettősségében. A részletes magyarázatot ad erre a fénysebességű forgáskoncepció, melyre e helyen csak utalunk.

Molekulavibrációk kvantummechanikája

Fontos tanulságokat vonhatunk le a molekulavibrációk kvantummechanikájáról is. A kémiai kötésben álló molekulákban az egyes atomok az egyensúlyi hely körül oszcillálnak, amelyet az egyensúlyi pozíció felé mutató és a kitéréssel arányos visszahúzó erő hoz létre, ennek potenciális energiája V(x) = ½kx2. Ha m az oszcilláló atom tömege, akkor a klasszikus mechanika szabályai szerint a rezgési frekvencia f = (k/m)1/2. Ugyanez a frekvencia jelenik meg a kvantummechanikában a diszkrét energianívók számításakor, amely En = (n +½)h·f, és ahol az n = 0,1,2, … kvantumszám mindig egészszám. Makroszkopikus testek rezgési fázisát, például egy rúgó pillanatnyi megnyúlását, követni tudjuk az idő függvényében, de ez nem történhet meg a molekulavibrációnál, ezt a vibrációt csak közvetve figyelhetjük meg, amikor két szomszédos nívó között energiaugrás következik be h·f energiájú foton kibocsátása, vagy elnyelése révén. Ezért vibrációs állapotról, és nem vibrációs pályáról kell beszélni, vagy másképp fogalmazva, a kvantummechanikai vibráció a valószínűség egymásmellettiségében rajzolódik ki.

A klasszikus mechanika és a kvantummechanika oszcillációs frekvenciája megegyezik, amely mutatja, hogy a két leírási mód összhangban van, és mindkettő a rezonancia jelenségen alapul. A klasszikus pályamodellben a hullámok időbeli egybeesése a rezonancia oka, a kvantummechanikában viszont az állapotfüggvénynek, illetve a valószínűségnek egymásmelletti hullámhegyei és völgyei simulnak össze, amikor a foton elnyelődik, vagy kibocsátásra kerül a szomszédos ekvidisztans nívók között. A nívók közötti átmenet bekövetkezését szintén valószínűségi törvények szabályozzák, melynek mértékét az állapotfüggvények struktúrája szabja meg. Például x irányú és Ɛ intenzitású dipólus sugárzás esetén az átmeneti valószínűséget megadó integrál kifejezés:

 

Ez példázza, hogy a kvantummechanikában a jövő felé irányuló folyamatok is valószínűségi szinten determináltak, tehát arra a kérdésre, hogy „mi lesz a jövőben”, csak valószínűségi kijelentést tehetünk. Ezt a valószínűséget pedig az állapotfüggvények mondják meg nekünk.

Érdemes még külön szólni az n = 0 kvantumszámhoz tartozó vibrációs állapotról. Ez a legkisebb energiájú vibráció, amely szemben a klasszikus felfogással, amely szerint minden molekuláris mozgás leáll, ha elég alacsony a hőmérséklet, ez még akkor is fennmarad. Ezt a jelenséget hívja a szakirodalom nullponti rezgésnek. Viszont ez a rezgés nem időbeli folyamat, hanem mozgási állapot, és amíg a klasszikus rezgések leállnak, a valószínűségi eloszlás elkerülhetetlenül fennmarad. Fontos hangsúlyozni, hogy ez a valószínűségi eloszlás mérhető fizikai jelenség! A kristályszerkezet röntgen diffrakciós szerkezetvizsgálata az egyes atomok számára elkent képet rajzol fel, melynek mértékét és irányát a vibráció határozza meg. Mélyhőmérsékleten, ahol csak alapállapotú vibráció van jelen, az elkentség továbbra is látható, jelezve a nullponti vibráció létezését. A nullponti vibráció a határozatlansági reláció megnyilvánulása: ha nem mozdulna ki az atom egyensúlyi helyzetéből, akkor elvben nullára lenne leszorítható a helymeghatározás hibája, és így az impulzus hibájától függetlenül, a két hiba szorzata nulla felé tartana.

A határozatlansági relációk fizikai oka

Ez elvezet minket a kvantummechanika neuralgikus kérdéséhez, amely rengeteg félremagyarázás forrása, a határozatlansági, illetve a bizonytalansági relációhoz. Pedig ebben sincs semmi misztikus, csupán azt tükrözi, hogy a mikrovilágról nyert információ függ az információ hordozója, a foton tulajdonságaitól. A fény tulajdonságainak megismerésében áttörést jelentett a Maxwell egyenletek megalkotása. Az elektrodinamika alapján kaptunk egy olyan képet, egy olyan hatásmechanizmust, amely térben c sebességgel terjedő és periodikusan változó elektromos és mágneses mezővel jellemezte a fény hatását. Ezt fejlesztette tovább Planck felismerése, amikor a fényt is elemeire bontotta, amiből megszületett a foton fogalma.

De mit is tudunk valójában a foton útjáról? Tudjuk, hogy honnan indul el, például a felizzított fémszálból, amikor egy elektron megváltoztatva állapotát kibocsát egy fotont, láthatjuk az érkezés helyét is, ahol elnyelődik, vagy visszaverődik eljutva szemünkbe, ahol szintén egy elektron állapotát változatja meg. A foton pályáját azonban közvetlenül nem látjuk, csak diffrakciós, vagy interferencia kísérletek sorával következtetünk arra, hogy milyen tulajdonsággal rendelkezik. Ebből vonjuk le a tanulságot a fény lehetséges útjára, amit a hullámtermészet jellemez. De ez csak egy közvetett magyarázat és nem direkt megfigyelés. Alkalmas rá, hogy feltérképezzük a foton valószínű útját és lehetséges hatását, amit olyan képszerűen ír le Feynman nevezetes könyvében (QED. The strange theory of light and matter). Amit hangsúlyozni kell, hogy a foton útjának leírása is, akárcsak az elektron stacionárius állapotáé, a lehetséges utak valószínűségi térképe, amelyet a valószínűség összegzési szabályai adnak meg. Tehát nem a foton pályájáról kell beszélni, hanem a foton mozgási állapotáról a valószínűségi dimenzióban.

 A foton valószínűségi hullámai egyfajta mérőlécként szolgálnak, amelynek egysége a λ hullámhossz, amely egyben megadja a mérési pontosság határát is. De a foton hatását az impulzus jellemzi, melynek értéke p = ħ/λ. Ez azt jelenti, hogy amikor a foton valamilyen változást idéz elő az elektron állapotában, akkor megváltoztatja annak impulzusát is. Egy újabb méréssel rákérdezhetünk az impulzusra, de akkor már nem az eredeti impulzust kapjuk vissza. Ebből adódik, hogy mérésünk a hely és impulzus meghatározására nem lehet végtelenül pontos, a két hiba szorzata a ħ Planck állandó lesz. Hasonló bizonytalanság lép fel az energiamérésnél is. Itt a mérési pontosságot az korlátozza, hogy mennyi idő áll rendelkezésre az energiamérésre. Mivel a foton energiája E = ħ/T, így a mérésre fordítható idő és az energiamérés pontosságának szorzata szintén ħ lesz. Példa rá, amikor egy gyorsan mozgó folyadékmolekulában irányfüggő mágneses kölcsönhatást akarunk meghatározni, akkor a Brown mozgás korrelációs ideje határozza meg, hogy követni tudjuk-e a kölcsönhatás anizotrópiáját. Ha gyors a forgás, azt mondjuk, hogy az anizotrópia kiátlagolódik, lassú forgásnál viszont megjelenik az anizotrópia.

Visszakanyarodva a kristályok röntgendiffrakciós képéhez, ennek alapja a kölcsönhatás az elektromágneses sugárzás és a kristályrács atomjai között. A sugárzás elektromos terének hullámai rezgést idéznek elő, ezért még ha a mély hőmérsékleten le is állt a rezgés, nem kerülhető el, hogy ne indukáljon rezgéseket a röntgen foton. Rövidebb hullámhosszú sugárzást alkalmazva a letapogatás pontossága fokozható, de ez nagyobb impulzussal jár együtt, ami növekvő mértékben fogja gerjeszteni az alapállapotú rezgési állapotokat. Végtelen pontosságú diffrakciós kép ezért nem állítható elő, az atomi helyek elkentsége minden mérésnél megmarad. Az elkentség azonban nem okvetlenül az atomok bizonytalan pozícióját tükrözi, hanem azt, hogy erről a fotonok csak elkent képet tudnak adni.

Mi a determinizmus a mikrovilágban?

Sokáig botránykőnek számított, hogy nem érvényesül a determinizmus a mikrovilágban, és még olyan nagyságok is, mint Einstein, arra gyanakodtak, hogy valami hiányzik az elméletből, ki kellene egészíteni valamilyen rejtett paraméterrel. Ezt hosszú vitát váltott ki a fizikusok körében, amit az EPR paradoxonnak neveztek el a három szerző (Einstein, Podolsky és Rosen) kezdő betűi alapján. Többen kimutatták, hogy a formalizmus nem engedi meg ilyen rejtett paraméter bevezetését. A vita azonban rossz nyomon indult el, mert nem vetették fel, hogy mi is a determinizmus fogalmának eredete, hanem azt a megszokott makro világ kategóriái alapján fogták fel. A helyes kérdés nem az, hogy determinisztikus-e a mikrovilág, hanem az, hogy mi a determinizmus. Már Galilei óta arra épít a fizika, hogy vannak a természetnek megismerhető törvényei, amelynek feltárásához a kísérleti megfigyelések vezetnek el. A determinizmus felfogása szerint a jelen állapota egyértelműen meghatározza a jövőt. De ez felveti a kérdést, hogyan határozzuk meg teljes pontossággal a jelen fizikai állapotát? Minden mérésnek van valamekkora hibája, de erről feltételezik, hogy a hiba tetszésszerinti mértékben leszorítható. A kvantummechanika szerint viszont ez nem lehetséges, a valószínűségi eloszlás megakadályozza, hogy bizonyos mennyiségeket egyaránt pontosan határozzunk meg. Ha például a hely és impulzusmérésnek van egy hibája, akkor nem rajzolható fel a mozgási pálya sem. Ez persze így van, hiszen egész kiindulásunknak az volt az alapja, hogy nem tudjuk a szokásos módon felépíteni a pályákat az idő és a hely koordináták megadásával. Ebből a kiindulási pontból a határozatlanság már következik! De ha elvi akadálya van a jelen pontos leírásának, akkor hogyan várhatjuk el, hogy a jövő determinisztikusan meghatározható legyen? A dilemmából kiutat a kvantummechanika korrespondancia törvénye adja meg. Ez kimondja, hogy nagy kvantumszámoknál, vagy nagyszámú részecske esetén a kvantummechanika törvényei átmennek a klasszikus törvényekbe. Ehhez hozzátartozik az is, hogy a kvantummechanika annak valószínűségét is megadja, hogy egy adott állapot mekkora valószínűséggel megy át egy másik állapotba. A szokásos determinizmust tehát felváltja a valószínűségek determinizmusa, amely a makrovilágban átmegy a determinizmus szokásos felfogásába. Amikor a makroszkopikus determinizmust bele akarjuk erőltetni a mikrovilágba, akkor extrapolálunk, feltételezve,  hogy lefelé haladva a kisebb dimenziók felé a törvények változatlanok maradnak. Az extrapoláció azonban veszélyes, nem szabad bizonyítéknak felfogni. Lehet, hogy helyes, de az is lehet, hogy tévútra visz. Viszont a másik út járható, a mikrovilágból a makroszkopikus dimenziók felé haladva nem ütközünk ellentmondásba.

Ahogy a determinizmusban megnyilvánul a véletlen, a véletlen is magában rejti a determinizmust, ezek nem egymást kizáró antagonisztikus fogalmak, hanem a természeti törvények keretei, melyek kikövezik az utat a mikrovilágtól a makroszkopikus jelenségek felé.

Linkek a korábbi bejegyzésekhez

Fizika vagy filozófia? Az energia, idő és anyag egységes világa

 

Az energia, idő és anyag elválaszthatatlan egységéről vallott nézetem nem filozófiai indítású, hanem a fizika törvényein alapul. Ennek két gyökere van, az egyik a kvantummechanika, a másik a relativitáselmélet, beleértve annak speciális és általános változatát is.

A modern fizika fogalmi változásai

A tér, idő és anyag, (a fizikában pontosabb anyag helyett tömeget mondani), olyan kategóriák, amelyek megértése érdekében a fizika bevezeti saját fogalmi rendszerét, ezek az energia, az impulzus (lendület) és az impulzusnyomaték.  A klasszikus mechanikában ez a három mennyiség a mozgó testek passzív tulajdonsága, amely lehetővé teszi a mozgások matematikai leírását. A modern fizikában a kvantummechanikai szemléletmód már aktív értelmet ad legfőbb kategóriáinak, és mint a mozgásállapotra ható operátorokat írja le. Nem azt mondja, hogy az energia megmarad, hanem úgy veti fel a kérdést, mi az, ami a mozgás során megmarad, azaz nem változik az idővel, és ha ezt megtalálja, akkor ezt energiának nevezi.

Mozgási pálya és mozgási állapot

Itt jutunk el a kulcskérdéshez, aminek félreértése rengeteg problémát okoz. A kvantummechanika ugyanis nem mozgási pályákat követ végig, hanem mozgási állapotokat határoz meg. Ezeket az elmélet stacionáriusnak nevezi, ami alatt azt érti, hogy nem történik a mozgás során sem foton abszorpció, sem foton emisszió, azaz az elektron pályán belüli helyzetéről nem érkezik információ. Emiatt nem mondhatjuk meg, hogy egy adott pillanatban épp hol tart pályáján az elektron, vagy bármely mikroobjektum, hanem azt, hogy összességében hol lehet teljes útja során! Lényeges a teljes utat hangsúlyozni, mert a kvantummechanikai szemléletmód az információ hiányában nem bontja fel a mozgási pályát elemeire, hanem az egészről mond valamit. Tehát nem arról van szó, hogy az objektum egy adott pillanatban egyszerre több helyen lenne, hanem arról, hogy a teljes pálya befutása során összességében hol lehet, és erre ad az elmélet valószínűségi leírást. Ehhez a valószínűséghez juthatunk el az állapotfüggvény révén.

 

Az energiaoperátor

Visszatérve az energiához, ennek definíciója az állapotfüggvényhez kapcsolódik, és megmutatja, hogy mi az a legfőbb állandó tulajdonság, amely az adott állapotra jellemző. Az állapot időbeli állandóságának kérdését úgy vizsgálhatjuk, ha feltesszük az időbeli változás kérdését, amit matematikailag az idővel képzett differenciálhányados ∂/∂t operátora írja le. Ezt úgy tudjuk összekapcsolni az energiával, ha összeegyeztetjük a dimenziókat egy impulzusnyomaték dimenziójú konstanssal, mégpedig a redukált ħ = h/2π Planck állandóval:

Itt Ψ(x,y,z,t) a tér és időkoordinátáktól függő állapotfüggvény, amire kifejti hatását a „kalapos” E szimbólummal jelölt energiaoperátor. Ez nem azonos a szokásos energiával, de elvezet hozzá a sajátérték egyenlet megoldásával.  A definícióban szerepel az imaginárius egység, az i, de félrevezető lenne ebből arra következtetni, hogy valamiféle „imaginárius” kapcsolat van az idő és energia között. A formalizmusban i megjelenése csupán az operátorok sajátérték egyenletének matematikai tartozéka, amely elkerülhetetlen, amikor hullámfüggvényeket alkotunk meg.

Az impulzusoperátor

Az energiaoperátor definíciója tehát megvalósítja az idő és energia összekapcsolását az impulzusnyomaték közvetítésével. Evvel már tettünk egy fontos lépést célunk felé. A következő lépés a tér és az impulzus összekapcsolása. Az impulzus is az állapotot jellemző állandó, amely akkor érvényes, ha a vizsgált testre nem hat külső erő. A klasszikus newtoni definíció szerint, ha nem hat erő a testre, akkor egyenes vonalú egyenletes v sebességű mozgást végez, amit az fejez ki, hogy a p = m·v impulzus állandó. A kvantummechanika az állapotfüggvény útján értelmezi az impulzust is, mint operátort, amely nem változtatja meg az állapot térbeli pozícióját és sebességét, és ezért a definícióba a térkoordináták szerinti differenciálhányados kerül:

,   , 

Az impulzus háromkomponensű vektor, ezért három definíciós kapcsolatot ad meg a tér és impulzus három-három komponense között, melyek fizikai dimenzióját szintén az impulzusnyomaték váltja át egymásba. Az energia és impulzus operátorok definíciója az információ hordozójának, a fotonnak tulajdonságait tükrözi, hiszen a foton energiáját (E = ħω = ħ/T) a T periódus idő, impulzusát (p = ħω/c = ħ/λ) a λ periódus hossz adja meg.

Az impulzusnyomaték operátora és a kvantálás

A harmadik alapvető összefüggés, amely összeköti a teret a mozgásállandókkal a forgásoktól származik: a forgás ϕ fázisszögével végzett differenciálhányados adja meg az impulzusnyomaték operátor – szokásosan z-vel jelölt komponensének – definícióját

A forgási tér viszont kvantumos, amelynek egysége a teljes fordulat, amikor 2π szögű forgás után a fázis ismétlődik. A mozgásnak ez a kvantált egysége vezet el az impulzusnyomaték operátorának kvantumos sajátértékeihez, amely a már említett redukált ħ = h/2π Planck állandó, ahol ott szerepel a nevezőben a forgási tér kvantuma, a 2π. (Ennek matematikai származtatásához kell felhasználni az impulzusnyomaték definícióját, amely az impulzus p és az tér r vektorának szorzata: L = pxr. Felépítve az  operátort a három komponens négyzetéből, és elvégezve. a sajátérték számítást, azt kapjuk végeredményként, hogy az impulzusnyomaték sajátértéke csak ħ egészszámú többszöröse lehet.)

Diszkrét energianívók és a határozatlansági reláció

A kvantumos tulajdonság jelenik meg az elektronok kötött állapotainak diszkrét energiaszintjeiben és a határozatlansági relációkban is. A mikrovilágról szerzett információ nem választható szét az információt hordozók tulajdonságaitól, értelmezésük csak együtt lehetséges. Minden foton által közvetített folyamat a ħ impulzusmomentum kvantum segítségével történik, amely „skálázza” az elektronok energiaszintjeit is. A szerezhető információ határozatlansága a fotonok szerkezetéből fakad. A helymeghatározás pontosságát a foton hullámhossza korlátozza, az impulzus viszont fordítva arányos a hullámhosszal, mert p = ħ/λ. Ezért, ha a helymeghatározás pontossága érdekében nagyon rövid hullámhosszú sugárzást alkalmazunk, az impulzus nagyot lök az elektronokon, és így az impulzus meghatározás hibája megnövekszik. Tehát nem a mikrovilág folyamatai bizonytalanok, hanem az innen nyerhető információnak vannak átléphetetlen korlátai.

A kvantummechanika tehát megfogalmazza operátoraival a tér és idő kapcsolatát a mozgási állapot jellemzőivel, de hátra van még a tömeg bevonása a képbe. A felsorolt kvantummechanikai operátorok közös tulajdonsága, hogy bennük a tömeg nem szerepel. Ehhez vezet el az út az energiamegmaradás törvényén át, amit a speciális relativitáselmélet fogalmaz meg.

A tér is időkoordináták a newtoni fizikában és a relativitáselméletben

Mielőtt a relativitáselmélet gondolati kereteire kerülne sor, összegezzük a newtoni fizikai világkép legfőbb elemeit! Ebben a felfogásban a tér és időkoordináták függetlenek, amelyben elhelyezkedik és mozog a tértől függetlenül létező anyag, amelynek tömege van. Az eseményeket az abszolút idő állítja sorba, és ennek segítségével adjuk meg az ok-okozati kapcsolatokat. A vonatkoztatási rendszer kérdése már felmerül, amikor a mozgást olyan rendszerben írjuk le, amely valamilyen egyenletes v sebességgel mozog az alapul vett másik rendszerhez képest. Ebben választhatjuk eltérőnek az idő kezdőpontját és az origót is. Az időskála ekkor eltolódik, de független marad a tér koordinátáitól, viszont ezek a koordináták eltolódnak a sebesség irányában v·t mértékében. A lényeg, hogy nem jön létre az idő keveredése tér koordinátákkal. Ezt nevezzük Galilei transzformációnak. Evvel állítható szembe a relativitáselméletben a Lorentz transzformáció, amelyben v/c nagyságrendjében már keverednek a tér és idő koordináták.

A relativitáselmélet kovariancia törvénye és a tömeg létrejötte

 A relativitáselmélet alapösszefüggése közvetlenül összekapcsolja az energiát és tömeget az E = mc2 összefüggés által. Ez azonban még csak ekvivalencia törvény, és nem ad választ a tömeg eredetére. Ehhez már az energia kovariancia törvényéhez kell nyúlnunk, amely a hagyományos mechanika Emv2 kinetikus energia formulájának kiterjesztése nagy sebességű mozgások esetére:

A nulla m0 nyugalmi tömegű fotonoknál ez a jól ismert E = p·c összefüggéshez vezet, azaz a fénysebességű mozgás tömeg nélkül is képes impulzust generálni. Az E = p·c szabály azonban nem csak a foton jellemzője, hanem érvényes valamennyi fénysebességű mozgásra is, és ha felbontjuk a p impulzust az m·c szorzatra, eljutunk a tömeg és energia ekvivalencia törvényéhez. Nem véletlen tehát, hogy épp a c fénysebesség az átváltási faktor az energia, az impulzus és a tömeg között.

Ha a fenti összefüggésben felhasználjuk az impulzus p = m·v definícióját és a tömeg-energia ekvivalenciájának törvényét, akkor az objektum m0 tömegének növekedési törvényéhez jutunk:

A v = c határesetben a nevező nulla, ami azt jelenti, hogy a véges m0 tömegű objektum fénysebességű mozgás esetén végtelen nagy értékre tenne szert. Ebben a határesetben az összefüggés úgy is felfogható, hogy az egyébként nullatömegű tér tömeget generálhat. Ha ugyanis határértékben nulla a tér tömege, akkor a határértékben végtelenhez tartó szorzó már létrehozhat véges tömeget a határérték számítás játékszabályai szerint. A térnek ebben a felfogásban potenciális tömege van, amely valódi tömeggé válik fénysebességű mozgások által. De ha egy objektumnak van valódi tömege, akkor annak lenni is kell valahol egy körülzárt tértartományban. Fotonnál ez nem valósul meg, mert sorsa a fénysebességű mozgás, így nem lokalizálható a térben. Térben lokalizált fénysebességű mozgás úgy jöhet létre, ha két fénysebességű forgás egy gömb felszínét futja be. Természetesen ennek a „futásnak” menetét nem tudjuk nyomon követni, ezért a kvantummechanikai gondolkozás szellemében itt is a tér valamilyen lokális mozgási állapotára kell gondolni, amely számunkra olyan tulajdonságokban nyilvánul meg, mint a tömeg, a töltés és a spin.

Impulzus, impulzusnyomaték és fénysebességű mozgás

Mi a foton? A foton úgy jön létre, hogy valahol a tér egyik pontján egy elektron megváltoztatja állapotát, majd valahol c·t távolságban, ami akár több fényév is lehet, egy mások elektron állapota megváltozik. Ezt a két jelenséget kapcsolja össze ok-okozati láncolatba a foton fogalma. A fotonról két dolgot tudhatunk meg: hogy hol keletkezett (emisszió) és hol hozott létre kölcsönhatást (abszorpció). A fenti megfigyelhető és helyhez kötött jelenségek hordozzák magukon a részecske tulajdonságokat. Az interferencia és diffrakciós jelenségek hosszú sora arra késztet minket, hogy a két pont közötti tér és időtartományban elvégezzünk egy esélylatolgatást: milyen erővel és mekkora valószínűséggel hatna a foton az elektromos töltésre, ha útjába kerülne. De ez csak a kölcsönhatás lehetősége, amely jól modellezhető időben és térben periodikusan változó elektromos és mágneses mezővel, ami a hullámtulajdonság alapja. Tehát a foton részecske és hullámtermészete nem valamilyen különleges misztikus jelenség, ez csupán kétféle nézőpont: az egyik a már megvalósult, a másik a lehetséges kölcsönhatásra vonatkozik.

 Az emissziós és abszorpciós reakciók megmaradási törvényei alapján határozzuk meg, hogy a fotonnak mekkora az energiája, impulzusa és impulzusnyomatéka. De hogyan léphetnek fel ezek a mennyiségek olyan fizikai objektum számára, amelynek nincs is tömege?  Az impulzusnál – a tömeggel szemben – nincs olyan követelmény, amely valamilyen tartományhoz kötné, ez a fizikai mennyiség közvetlenül a mozgáshoz kapcsolódik, és nagyságát az energia, illetve az ω körfrekvencia adja meg, amely Planck felismerése nyomán: p = E/c = ħω/c..

A fotonnak ħ nagyságú impulzusnyomatéka is van, amely a p impulzus és az r forgási sugár vektoriális szorzatával értelmezhető, ennek szellemében rendelhetünk a fotonhoz ω körfrekvenciájú és r = c/ω sugarú fénysebességű forgást, amelyet kiegészít a tengelyirányú terjedés is. Így jutunk el a foton képhez, amelyet egy hengerpalást mentén továbbfutó spirálisnak képzelhetünk el, és ez a körforgás írja le az elektromos és mágneses mező periodikus változását. A foton konkrét útját az indulás és érkezés között azonban nem tudjuk nyomon követni, csak annyit mondhatunk róla, hogy a tér valamilyen mozgási állapota, de nem beszélhetünk arról, hogy a foton éppen hol van, csak teljes futási pályáról jelenthetjük ki, hogy azon belül hol lehet. A „lehet” tartománya pedig azt jelenti, hogy a henger tengelyének iránya egyforma valószínűséggel bármilyen lehet, és a képződéstől számolva c·t távolságon belül a foton szintén bárhol lehet. Így kapcsolódik egybe a foton spirális pálya modellje a huygensi gömbhullámú terjedéssel. Ha ezt figyelembe vesszük, elkerülhetjük a csapdákat, amit a kétréses kísérletek állítanak fel, amikor a késleltetett réslezárás felveti az idő megfordításának tévképzetét.

Lásd: https://afizikakalandja.blog.hu/2019/02/20/megfordithato-e_az_ido_iranya_megelozheti-e_az_okozat_az_ot_kivalto_okot

A fotonról mondottak legfőbb konklúziója, hogy a fénysebességű forgás az impulzusnyomaték kvantumának forrása.

Tömeg létrejötte gömbforgásokban

Térben lokalizált fénysebességű mozgás úgy jöhet létre, ha két fénysebességű forgás egy gömb felszínét futja be. Ennek felel meg, az elektron, amely két egybekötött – és ennek révén gömbszimmetrikus – forgásként értelmezhető. A gömbforgás úgy képzelhető el, mint két, egymásra merőleges 2π szögű forgás együttese, amiért a teljes fázistér 4π-re bővül, de értelmezhetjük a 4π fázisteret úgy is, mint az egységsugarú gömb felületét. A megkettőzött hosszúságú fázistér a teljes forgási frekvencia és a hozzá tartozó kvantum feleződéséhez vezet, amit az S = ½ elektron spin, illetve a ħ/2 impulzusnyomaték fejez ki. Ezáltal magyarázza a kettősforgás modellje az elektron, és általában a fermionok, megfelezett kvantumát. A kettős forgás szimmetriája lehet jobb és balsodrású, ennek felel meg az elektron és pozitron – tehát az anyag és antianyag – kettőssége. Elektron és pozitron találkozása annihilációhoz vezet két foton kilépésével. Ezt szemlélteti, hogy a fordított sodrásirányú forgások kioltják egymást, és ami fennmarad, már egytengelyű forgás, azaz foton lesz.

 A fénysebességű gömbforgás is impulzusgeneráló belső mozgás, amely a tér minden irányát egyforma valószínűséggel felveszi. Ezt p0 szimbólummal jelölve írhatjuk át a kovariancia egyenletben, hogy: p0c = m0c2. A gömbszimmetrikus belső forgás p0 impulzusa vektorként összegződik a külső mozgás p impulzusával, és eredőjükből származik a teljes impulzussal arányos mozgási energia:

EKin2 = (p + p0)2c2 = p2c2 + p02c2 + 2p·p0 = p2c2 + m02c4

Itt a teljes forgás valószínűségi átlagát képezve a 2p·p0 kereszttag eltűnik, és ezáltal érthetővé válik, hogy a kovariancia törvény miért négyzetesen összegzi a két energiakomponenst.

Kvantumelektrodinamika és fénysebességű forgások

A fizika mezőelméletei közül a kvantumelektrodinamika (QED), amely továbblép a tér és az anyag összekapcsolásában. Ebben az elméletben oszcillátorok képviselik a fotonokat és elektronokat, és a töltések közötti kölcsönhatást virtuális fotonok állandó kibocsátása és elnyelése hozza létre. A fénysebességű forgásmodell „materializálja” az oszcillátorokat, melyeket egy- és kéttengelyű forgásokkal helyettesít. A virtuális fotonok kibocsátását a két forgás között működő Coriolis erő idézi elő, melynek királis szimmetriája határozza meg a töltések előjelét.

A térgörbület részecskestabilizáció ereje

A QED virtuális foton koncepcióval analóg elv révén értelmezhetjük a gravitációt is. A mezőelméletek közös vonása, hogy minden kölcsönhatáshoz tartozik valamilyen közvetítő bozon, amelynek c terjedési sebessége okozza, hogy minden hatás késleltetve következik be. Ettől annyiban tér el az alábbi bejegyzésben: (https://afizikakalandja.blog.hu/2020/04/17/a_fenysebessegu_forgas_koncepcioja_i_resz)

részletesen ismertetett modell, hogy nem fénysebességű és ezért kvantumos forgások lépnek ki a fermion belsejéből, hanem a távolsággal csökkenő frekvenciájú és kerületi sebességű – a Kepler törvénynek engedelmeskedő (a frekvencia négyzete a távolság harmadik hatványával csökken) – kettősforgások. Fénysebesség nélkül viszont nem jön létre impulzusnyomaték, azaz a kölcsönhatás nem lesz kvantált. A Lorentz kontrakció szabálya szerint a forgások térgörbületet idéznek elő, amely az einsteini koncepció szerint gravitációs erőteret hoz létre. Az így származtatott összefüggés extrapolációja a részecske határfelületére – ahol a forgás már fénysebességgel megy végbe – mínusz m0c2 potenciális energiát generál, amelyhez tartozó visszatartó erő pontosan ellensúlyozza a részecskét szétfeszítő centrifugális erőt. Ez a stabilizáló erő az erős gravitáció. A kép így válik teljessé, melyben a tér „gyermekeit”, a részecskéket, saját görbületével stabilizálni is tudja, hiszen az m0c2 nyugalmi energiájuk ellentételeként ugyanakkora, de negatív előjelű potenciális energia is létrejön.

Tehát a részecskék létrejötte nullaenergiájú folyamat, ahol a térgörbület potenciális energiáját és tömeg nyugalmi energiáját egyaránt számításba kell venni!

A gyenge kölcsönhatás és a W bozon   

Nem kell tehát küszködni, hogy mindenáron kvantumos alapra helyezzük a gravitációt, hiszen jól értelmezhető a nem kvantált Kepler forgásokkal. Sőt az elképzelés mindjárt elvezet a gyenge kölcsönhatás magyarázatához is, amely alapvető a részecskék egymásba alakulási folyamataiban. A teret nem csak egyetlen átléphetetlen felső határ jellemzi – a c fénysebesség – hanem a maximális térgörbület is. Ez a görbületi határ jelenik meg a W bozon óriási tömegében, amely közvetíti a gyönge kölcsönhatást. A görbület negatív potenciális energiája adja meg a hátteret, amely lehetővé teszi, hogy bétabomlás során a neutronból kiléphessen a nála közel százszor nehezebb W bozon. Ezt úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a részecske átalakulások során az energiamegmaradás törvénye nem érvényes külön a részecskékre, hanem figyelembe kell venni a tér járulékát is: tehát a szokásos energiamegmaradás törvénye kiegészül a tér potenciális energiájával. Ez is arra mutat, hogy a tér és a részecskevilág egységes fizika világot alkot. Ha viszont az átalakulás már végbement, és csak stacionárius belső részecske állapotokról van szó, akkor elegendő az energiamegmaradás szokásos szűkített törvénye.

Az elérhető legnagyobb térgörbületnél az erős gravitáció már nem tudja féken tartani a fénysebességű forgást, amely felszakad és sugár irányban növekvő spirálist alkot: ez a W bozon. Ennek élettartama rendkívül rövid a sugárirányú és fénysebességű terjedés által okozott energiaveszteség miatt, ami megfelel a Standard Modellben összegzett megfigyeléseknek.

Lásd: https://afizikakalandja.blog.hu/2020/03/30/a_rejtelyes_gyenge-kolcsonhatas

 A gyenge kölcsönhatást közvetítő W bozon a foton szöges ellentéte, mert a fotonnak nincs se tömege, se töltése, a W bozon viszont a legnagyobb tömegű elemi részecske és van töltése is. A különbség oka a terjedés irányában van, amely fotonnál párhuzamos a forgási tengellyel (nincs Coriolis erő), míg a W bozonnál a terjedés merőleges a forgási tengelyre (van Coriolis erő). A W bozonnak azért van tömege, mert rövid élettartama alatt nem tud kilépni a keletkezési helyéről, tehát pozíciója lokalizálható.

A teljesség kedvéért említsük meg az erős kölcsönhatást is, amely egybeforrasztja a kvarkokat a gluonok közvetítésével. Ennek három szín-kvantumszáma nem más, mint a kvarkok nullaponti rezgése a tér három irányában.

Lásd: https://afizikakalandja.blog.hu/2021/01/29/az_anyag_hullam_es_reszecsketulajdonsagainak_egyesitese

Úton a fizika és filozófia egyesítése felé

A mikrovilág az impulzusnyomaték „tégláiból”, a kvantumból építkezik, ez hozza létre a kötött állapotok diszkrét energiaszintjeit. A fizika mezőelméletei a fénysebességű forgások koncepciója által keretbe foglalják a teret, időt és anyagot, létrehozva fizikai világunk egységes arculatát. Egykor a fizika és a filozófia között nem volt elválasztó határ, de talán a fizikai világ egységének keresése utat mutathat ebben az irányban is.

Előző bejegyzés

Az összes bejegyzés linkje

 

 

 

 

Linkek a korábbi bejegyzésekhez

 

 

Miben különböznek az elemi részecskék egy kollektív rendszerben, és ez miért vezet szupravezetéshez?

 

Minden mozgás valamilyen ellenállásba ütközik a súrlódás, vagy közegellenállás miatt, de mégis van egy nagy kivétel, a szupravezető, amelyben az elektronok ellenállás nélkül áramlanak. Mi az oka ennek a különleges jelenségnek? Ennek nyitját az anyag legkisebb részecskéinek tulajdonságaiban kell keresni, amely kapcsolódik a fermionok és bozonok belső szimmetriájához.

Fermionok és bozonok spinje

A részecskefizika fontos alapkategóriája a fermionok és a bozonok megkülönböztetése. Fermionnak nevezzük azokat a részecskéket, melyeknek feles, pontosabban félegész a spinje, azaz impulzusnyomatékuk a redukált ħ = h/2π Planck állandó fele, illetve ennek a fél értéknek páratlan számú többszöröse; míg bozonról beszélünk az egész spinű részecskéknél, ahol épp ħ, vagy annak egészszámú többszöröse adja meg ezt az értéket. A két részecsketípus kollektív viselkedése élesen eltér, amikor egy kölcsönhatási rendszer tagjai, mint például az elektronok az atomokban és molekulákban, vagy fémek vezetési sávjában. Ebben a rendszerben mindegyik elektron állapota valamiben különbözik a többitől, ezt fogalmazza meg a nevezetes Pauli féle kizárási elv. A kvantummechanika ezt az elvet úgy fejezi ki, hogy az elektronok pályái legalább egy kvantumszámban különböznek, de hasonló szabály vonatkozik a kvarkokra is, amelyek az összetett részecskéket (hadronokat, azaz barionokat és mezonokat) alkotják. A részecskék megkülönböztetésének ez a törvénye azonban nem vonatkozik az olyan rendszerekre, melyeket bozonok sokasága épít fel.

A Fermi-Dirac és Bose-Einstein statisztika

A kizárási szabály eltérő statisztikára vezet fermion és bozon rendszerek esetén. Egyensúlyi rendszerekben a részecskékre jutó átlagos termikus energia aránya a különböző energiaszintekhez képest határozza meg, hogy az egyes pályákra hány részecske jut. A Pauli elvnek engedelmeskedő részecskék esetén – ez vonatkozik például a fémek vezetési sávjában tartózkodó elektronokra – az eloszlást a Fermi-Dirac statisztika határozza meg, viszont bozonok esetén a Bose-Einstein statisztikáról beszélünk. A Fermi-Dirac statisztika sajátsága, hogy a legkisebb energiájú pályán nem gyűlhet össze az összes elektron, mert ennek korlátozott a befogadó képessége, így sok elektron magasabb energiájú pályára kényszerül. Emiatt kialakul egy energiaszint, amelytől lefelé szinte teljes a betöltöttség, ez a Fermi nívó, viszont a Fermi szint fölött már minimális az elektronok száma. Evvel szemben bozonoknál nincs korlátja annak, hogy hány részecske fér el a legalsó pályán, ekkor az átlagos termikus energia aránya a pályák energiaszintjéhez képest más eloszláshoz vezet. Ha kellően alacsony a hőmérséklet, akkor az összes bozon a legkisebb energiájú pályára kerül. Ennek a statisztikai különbségnek fontos szerep jut fémek vezetőképességének alakulásában, és ehhez kapcsolódik a szupravezetés jelensége is. Mielőtt figyelmünket erre a kérdésre irányítanánk, derítsük fel annak okát, hogyan tudjuk a fermionok és bozonok belső szimmetriájára visszavezetni az eltérő statisztikákat. A kvantummechanikai tárgyalásban a részecskét leíró hullámfüggvény tükörszimmetriájával jellemzik a bozonok és fermionok különbségét: a bozon hullámfüggvénye időtükrözéskor megtartja előjelét, szemben a fermionnal, ahol megfordul az előjel. Ez azonban csak a matematikai reprezentáció, amely nem tárja fel a valódi okot.

 

A klasszikus és kvantumfizikai elvek kapcsolata

A magyarázat indításához gondoljuk végig megszokott fizikai világunk egyik alapelvét: ugyanarra a helyre nem helyezhetünk el két fizikai objektumot, tehetjük a tárgyakat egymás mellé, vagy fölé, sőt ha, üregesek a tárgyak, akkor egymásba is helyezhetjük azokat, de még ekkor is mindegyiknek különböző térrész jut. Az elemi részecskék világában a különböző helynek a különböző kvantumszámok felelnek meg. Mivel nem láthatjuk közvetlenül az elektronokat az atomban, vagy molekulákban, így csak a lehetséges helyükre következtethetünk, ami valószínűséget rendel ahhoz, hogy milyen súllyal fordulhat elő az elektron az atommagtól különböző távolságban, vagy irányban. Ezt a valószínűséget az állapotfüggvény segítségével számíthatjuk ki. Makroszkopikus világban az egyes tárgyakhoz hozzárendelhetjük azt a tértartományt, amelyet elfoglalnak, az egyszerűség kedvéért most gondoljunk merev tárgyakra. Ennek felel meg a kvantummechanikában az állapotfüggvény térbeli eloszlása, amely elvben a teljes térre is kiterjed, bár az atomok méretén kívül a megtalálási valószínűség már elhanyagolható, de az atomon belül, sőt a kötésben levő atomok között is, az atomi pályafüggvények téreloszlása erősen átfed. Emiatt fogalmazza úgy a kvantummechanika azt az alapelvet, mely szerint két elektron nem lehet azonos pályán, hogy felírja az állapotfüggvények szorzatát (pontosabban mivel komplex függvényekről van szó az egyik komplex konjugáltját szorozza a másik függvénnyel), és elvégzi az integrálást a teljes tértartományra. Ha viszont két azonos pályáról van szó, akkor definíció szerint egyet kapunk, mint a részecske jelenlétének teljes valószínűségét. Ez a normálási eljárás, egyébként pedig bármely két eltérő pálya esetén az így képzett integrál már nulla lesz, ami azt jelenti, hogy nulla a valószínűsége annak, hogy két elektron pályája azonos legyen, vagyis átfedés jöhet létre közöttük. Ez a nulla valószínűség játssza el azt a funkciót, amit szokásos világunkban úgy fejezünk ki, hogy két tárgy nem lehet azonos helyen.

A fermionok belső szimmetriája

Most térjünk rá mondanivalónk legfontosabb részére: mégis mi lehet az a szimmetria különbség, amiért olyan különbözően viselkednek a fermionok és bozonok, amikor egymással kölcsönhatásba kerülnek? A magyarázat szép példája annak, hogyan tudjuk ezt a kérdést is megválaszolni a fénysebességű forgások elve alapján! A fermionokat úgy lehet ebben a modellben leírni, mint két összekapcsolt forgást, amelynek eredője gömbszimmetrikus mozgás. A gömbszimmetria azt jelenti, hogy nincs a részecskének kitüntetett forgástengelye, ezért a pályákat meghatározó kvantumszámokhoz – a spin kvantumszámon kívül – nem járul hozzá további állapot meghatározó dimenzió. A hadronokat felépítő kvarkoknál annyival bonyolultabb a kép, hogy ott belép a szín-kvantumszám is, és meg kell különböztetni az up és down típusokat, valamint a különböző generációkat is. De a lényeg, hogy a részecske belső aszimmetriájára utaló, kitüntetett irányról nincsen szó, ami lehetőséget adna, hogy különbséget tegyünk az egyes fermionok között. Az irányfüggetlenséget tükrözi az S = ½ spin is, mert amikor a három komponens négyzetének várható értékét képezzük, arra azonos értéket kapunk:

Az ½-nél nagyobb spinek esetén hasonló egyenlőség már nem írható fel.

A bozonok belső hengerszimmetriája

Hogyan értelmezhetjük a bozonokat a fénysebességű forgások modelljében? Itt csak egyetlen tengely körüli körforgásról (tehát nem gömbforgásról!) van szó, amelyhez a fotonok esetén tengelyirányú – míg a gyenge kölcsönhatásban kulcsszereplő W bozonok esetén – sugárirányú haladó mozgás párosul. Ebben a képben már van egy kitüntetett tengelyirány, ezért a bozonok seregében már létezik egy megkülönbözetési lehetőség az egyébként azonos energiájú – és a kvantummechanika szokásos megfogalmazása szerint megkülönböztethetetlen – részecskék között. Bozonok kvantummechanikai leírásában ugyanis nincs szükség arra, hogy ezt a tengelyirányt is beírjuk a koordináták közé, mert nem befolyásolja a bozonok megfigyelhető tulajdonságait, de mint különbségtevő elv mégis létezik! Ez a láthatatlan iránykülönbség, ami a bozon hengerszimmetriájának tartozéka, lehetővé teszi, hogy az azonos kvantumszámokkal rendelkező bozonok azonos pályán legyenek, mert választhatnak a végtelenszámú haladási irány között. Ezt támasztja alá az a fontos tény is, hogy egydimenziós rendszerekben a bozonokra is érvényesül a Pauli elv, ekkor ugyanis megszűnik az irányválasztás szabadsági foka. A bozonok tehát különbözhetnek egymástól, de ezt a különbséget nem tudjuk megfigyelni, ami úgy tükröződik a kvantummechanikában, hogy az irány dimenzió nem lép fel.

Összetett szerkezetű fermionok és bozonok

A fermionok és bozonok eltérő statisztikája azonban nem csak a Standard Modellben eleminek tekintett részecskékre vonatkoznak, hanem az összetettekre is, példa rá a bozonok közé tartozó mezonok családja (ezek egy kvark és egy antikvarból állnak), valamint a fermion jellegű barionok családja (ezek vagy három kvarkból, vagy három antikvarkból épülnek fel). Ide sorolhatjuk még az atommagokat is, ahol, ha a nukleonok száma páros, akkor az izotóp bozon típusú, ha páratlan, akkor fermion lesz.

A jelenség magyarázatában ekkor már nem az összetevők belső szimmetriáját kell vizsgálni, hanem a teljes struktúráét, amit az elemi összetevők – azaz a kvarkok és elektronok – mozgása határoz meg.

A spin eredete

A továbblépés érdekében még végig kell gondolnunk néhány dolgot a spinnel kapcsolatban, amely a belső forgáshoz tartozó impulzusnyomatékot adja meg. Az impulzusnyomaték a belső mozgások körbejáró impulzusához, illetve a részecske tömegéhez kapcsolódik. Az elektron viszont töltéssel is rendelkezik, amelynek körforgása az elektrodinamika szabálya szerint mágneses nyomatékot hoz létre, és ez a nyomaték a körülötte levő térben mágneses mezőt alkot. Ha külső mágneses mezőben vizsgáljuk az elektronokat, az forgásba hozza a mágneses nyomatékot, ez a Larmor precesszió. A technikailag megvalósítható mágneses mezőkben ennek frekvenciája sok-sok nagyságrenddel kisebb, mint a részecskét alkotó belső forgásoké. A Larmor precesszió valójában az elektront alkotó belső kettősforgásra ráépülő külső térbeli egytengelyű forgás. Ennek két sodrásiránya lehet, a jobb és bal, amihez két különböző energia tartozik, ez a Zeeman energia. A két sodrásirány átvihető egymásba az idő tükrözésével. A kvantummechanika ezt úgy írja le, hogy időtükrözéskor az elektron állapotfüggvényének előjele megfordul.

Kémiai kötés és kicserélődési energia

Molekulákat azonban az elektronok kölcsönhatása hozza létre, amelyek páronként kerülnek egymással kötésbe, de ebben a mágneses hatás alárendelt szerepet játszik. Annál fontosabb viszont a taszító jellegű Coulomb kölcsönhatás – amelyik azonos pályán mozgó elektronok esetén különösen nagy lesz – és eltérő értéket vesz, attól függően, hogy a két spin forgási iránya egyezik (ekkor S = 1 triplett állapot lesz), mint amikor ellentétes irányban forognak (S = 0, szingulett). Itt válik nagyon fontossá a Pauli elv, ugyanis ha a szóban forgó pálya az L = 0 kvantumszámú s pálya, akkor a spin két beállása csak ellentétes lehet.  De például az átmeneti és ritkaföldfémek L = 2 és L = 3 (d illetve f) pályáin már nincs ilyen megkötés, itt szingulett, triplett sőt magasabb spinű pályák egyaránt lehetnek. Egy különleges kvantummechanikai effektus határozza meg a triplett és szingulett állapotok szeparációját, amit a kicserélődés effektus okoz. Itt nem akarunk belemenni a számítások részleteibe, csak annyit jegyzünk meg, hogy ez a lehetséges valószínűségeket veszi számba: mekkora az esély, hogy melyik elektron van az egyik pályán, és melyik a másikon, de az is lehet, hogy kölcsönösen itt is ott is vannak. Ez utóbbi lehetőség miatt beszélünk kicserélődésről. A kicserélődési energiának kulcsszerepe van két atom közötti kémiai kötés kialakulásában. A kötés a külső L = 1 pálya-kvantumszámú p pályák között jön létre, ahol az Lz operátornak három különböző sajátértéke van a 2L +1 szabály szerint, és ez a háromszorosan degenerált impulzusnyomaték tér lehetővé teszi, hogy a molekulapálya szingulett, vagy triplett legyen. A kötőpálya szingulett, míg a lazító pálya triplett a legtöbb esetben. A kötő és lazító pálya már megfelel annak a követelménynek, hogy a két pálya között ne legyen átfedés. A kötő pálya nagy súllyal a két atom közötti zónában helyezkedik el, míg a lazító pálya ezt a tartományt elkerüli.

Mezonok hengerszimmetriája

Mi a szerepe a Pauli elvnek mezonok esetén, amelyek egy kvarkból és egy antikvarkból épülnek fel? Itt a kvantumszámok eltérési szabálya automatikusan teljesül, ezért egyaránt vannak triplett és szingulett állapotú részecskék, melyeket a kvarkok között működő erős kölcsönhatás hoz létre. De legyen szó akár szingulett, vagy triplett mezonokról, a két kvark egymást polarizáló iránya behoz egy belső irányt, amely eltér az egyes mezonok esetén, engedélyezve ezáltal, hogy ugyanabban az állapotban legyenek a Bose-Einstein statisztika szabálya szerint. Elmondhatjuk tehát, hogy az elemi kölcsönhatási bozonokhoz hasonlóan, mezonok esetén is a részecskék hengerszimmetriája áll a statisztikai tulajdonságok mögött. Az időtükrözéses koncepció ehhez úgy kapcsolódik, hogy amikor mindkét kvark állapotfüggvényét tükrözzük, akkor a szorzatfüggvény előjele nem változik.

Hogyan jön létre szupravezetés?

Érdekesebb azonban ennél az az állapot, amely fémekben és egyes kerámiákban alacsony hőmérsékleten megvalósul, melyekben bizonyos kristályrezgések páronként „egybecsomagolják” az elektronokat. Az elektronpárokat kialakító erő gyöngesége miatt a kritikus hőmérséklet meglehetősen alacsony, és ez alatt hoz létre a spin-spin kölcsönhatás polarizációt az elektronpár két tagja között, ami szimmetriacsökkenést (hengerszimmetriát) okoz a teljes kételemű struktúrában.

A szupravezetésnek részletesen kidolgozott kvantummechanikai elmélete van, de ebből csak annyit emelünk ki, hogy a „csomagok” már bozonként viselkednek, és lehetővé teszik, hogy akár valamennyi elektronpár a legalsó energiaállapotot foglalja el.

A szupravezetés típusai

A szupravezetőknek két főtípusa van, az egyikben a fémek vezetési sávjában sodródó elektronok mozgása változik meg a kvantummechanika szabályai szerint. Ez a jelenség mélyhőmérsékleten következik be (4K tartományban, ahol a hélium cseppfolyós lesz). A fématomok közötti kötések háromdimenziós láncolatokat (sávokat) alkotnak, és az atomok külső héjából távozó elektronok a legfelső sávot félig töltik fel, és ezáltal vezetővé válik a fém.  Szupravezető állapotban megszűnik a Pauli elv által megszabott korlát az összekapcsolt és ezáltal bozonként viselkedő elektronpárok létrejöttével. Ez létrehoz egy makroszkopikus kvantummechanikai állapotot, amelyben az elektronok ugyanolyan szabadon, ellenállás és energiaveszteség nélkül mozognak, mint amikor az atomokban keringenek.

A szupravezetés másik típusa elektromosan szigetelő kerámiában jöhet létre, viszonylag magas, a cseppfolyós nitrogénét (77K) is meghaladó hőmérsékleten. Ezeket átmeneti (réz) és ritka földfémek vegyületei alkotják, melyekben a d és f pályák hoznak létre háromdimenziós hálózatokat. Elektromos vezetés viszont nem jön létre, mert a sávok vagy telítve vannak elektronokkal, vagy üresek. A kritikus hőmérséklet alatt kialakulnak az elektronpárok, és ez lehetővé teszi, hogy a nagyobb energiájú sávokból lejussanak elektronok az alatta lévőbe. Számuk azonban korlátozott, mert az elektronok átrendeződése gyöngíti a kristályrács ionos kötéseit. Ennek következménye, hogy létrejön egy nem teljesen feltöltött sáv, és innentől kezdve már szabad az út az elektronok számára a makroszkopikus kvantummechanikai pályán. A második típusú szupravezetők áramvezető képessége azonban korlátozott, ami komoly akadályt gördít a technikai felhasználás elé..

Szupravezetés és termodinamika

A szupravezetés példa rá, hogy kvantum jelenségek megjelenhetnek makroszkopikus objektumokban is. Valójában minden atom, miden molekula egy miniatűr örökmozgó, mert az elektronok mozgását nem akadályozza semmilyen közeg. Hát mégiscsak lehet örökmozgót építeni a szupravezetés által, megcáfolható lenne a termodinamika entrópia törvénye? Nem, erről nincs szó! Van ugyanis egy fontos feltétel: a szupravezető állapot alacsony hőmérsékleten következik be, állandóan biztosítani kell ezért a hűtést. Ígéretesnek tűnt, amikor a cseppfolyós nitrogén hőmérsékletén néhány kerámiában sikerült megvalósítani szupravezetést, de szobahőmérsékletű szupravezetőt azóta sem lehetett előállítani. De még ha sikerülne is, akkor se építhetnénk örökmozgót! Ennek oka, ha valódi munkavégzésre fognánk be az áramló elektronokat, az már olyan mozgásokat idézne elő, amely hőt termelne, ezért hűtésre, azaz külső energia folyamatos felhasználására, továbbra is szükség lenne.

Az atommagok héjszerkezete

Lépjünk tovább a barionok világába, ahol három fermion, azaz három kvark, vagy három antikvark hozza létre a részecskét. Legismertebb példa rá a két nukleon, a proton és a neutron, az atommagok alkotói. Az erős kölcsönhatás által indukált spin-spin polarizáció működhet úgy is, ha mindhárom spinperdület sodrásiránya megegyezik, ekkor az eredő spin S = 3/2 értéket vesz fel, de lehet olyan is, ahol két spin az egyik, a harmadik a másik irányba perdül, ez felel meg az S = ½ spin állapotnak. Ilyen a proton és a neutron is. A játékszabály szerint ezek is fermionok. De mi okozza, hogy ezek is engedelmeskednek a Pauli-féle kizárási elvnek? A magyarázatot ismét az összetett részecske szimmetriája adja meg. Bár páronként nézve a három kvarkot, kijelölnek egy-egy specifikus polarizációs irányt, de a három részecske együttes mozgása már köbös-, vagy gömbszimmetriát hoz létre, amelyben nincs „választható” polarizációs irány, és így érvényes lesz a Pauli elv az atommagokat felépítő nukleonok esetén is. Ennek következménye, hogy hasonló héjszerkezet alakul ki az atommagokban, mint ami jellemzi az atomok elektronkonfigurációit. A kvantummechanika ezt a jelenséget úgy tárgyalja, hogy időtükrözéskor mindhárom kvark állapotfüggvénye előjelet vált, és ugyanez történik a három függvény szorzatával is, megtartva a fermion jelleget.

Magas spinű részecskék statisztikája

A Pauli elv érvényes a magasabb spinű S = 3/2, 5/2, 7/2… részecskékre is, ilyeneket találunk az izotópok atommagjai között. Az S = ½ spin komponensekre korábban felírt egyenlőség nem érvényes magasabb spinekre, azaz a spinek alkotta tér aszimmetrikus bozonokra, és fermionokra nézve is. A magyarázat itt is a szimmetriára vezethető vissza: páros számú nukleonból felépülő atommagok szimmetriája alacsonyabb a páratlan számúhoz képest. A kvantummechanika szokásos leírása szerint az időtükrözés okozta előjelváltás a teljes szorzatfüggvényre is vonatkozik, ha páratlan számú nukleon van az atommagban, megfordul az előjel; ha viszont páros a szám, akkor az előjel megmarad. Ennek az elvnek azonban kisebb a gyakorlati jelentősége, mert a természetben nem fordulnak elő olyan objektumok, amelyek kizárólag magasabb spinű részecskékből állnak össze, bár kísérleti megvalósításuk nem lehetetlen.

A csillagvilág és a Pauli elv

A Pauli elv alapján kapunk magyarázatot haldokló csillagok sorsára is, ilyenek a fehér törpék és a neutron csillagok. Az előbbiben az elektronok, az utóbbiban a neutronok hoznak létre degenerációs nyomást, ami abból fakad, hogy a kizárási elv nem engedi egy határon túl a fermionok összetömörítését. Ez akadályozza meg, hogy az óriási gravitációs nyomás ellenére a csillag nem roppan össze. A degenerációs nyomás fordítva arányos a részecske tömegével, magyarázva a neutron csillagok nagyobb sűrűségét a fehér törpékhez képest, amelyet a gravitációs erő által szétbontott atomokból kiszabaduló elektronok hoznak létre.

Összefoglaló megállapítások

Legfontosabb megállapításunk, hogy minden egyes fizikai objektumnak valamiben különbözni kell, ez az elv a Pauli elv általánosítása valamennyi részecskére. Ez automatikusan teljesül a párosítatlan elektronok számára, ha különböző molekulákhoz tartoznak, akár folyadék, akár szilárd fázisban vannak a paramágneses centrumok. Ekkor a Bose-Einstein eloszlás klasszikus határesetének megfelelő Boltzmann statisztikát kell használni. Kollektív rendszerekben, ahol a részecskék nem tartoznak elkülönült molekulákhoz, a spin határozza meg a statisztika jellegét. A fénysebességű forgások koncepciója szerint a fermionok gömbszimmetrikus, vagy köbös belső szimmetriával rendelkeznek, ekkor a kvantummechanikai leírás teljes és a részecske valamennyi tulajdonságát figyelembe veszi, ezért érvényesül a Pauli elv. A bozonok belső szimmetriája viszont hengerszimmetrikus, amelynek polarizációs irányáról nincs információnk. Emiatt a kvantummechanikai leírás nem teljes, viszont az azonos energiájú állapotokban számtalan lehetőség kínálkozik, amelyek a tengely irányában különböznek, és emiatt nem vonatkozik rájuk Pauli kizárási elve. Evvel továbbléptünk a Standard Modell felfogásán, amely csak leszögezi a fermionok és bozonok eltérő statisztikáját, és az állapotfüggvény időtükrözésével értelmezi, de ennek mélyebb fizikai okára nem ad magyarázatot.

A szupravezetők példáján azt is láthattuk, hogyan kapcsolódnak össze a fizika egyes törvényei, amikor a kvantummechanika kilép a makroszkopikus világba, ahol létrejöhetnek akadálymentes mozgások, anélkül, hogy ez ellentmondana a termodinamikának.

Következő bejegyzés

Korábbi bejegyzések listája: 

Valamennyi bejegyzés kiválasztható

Lohonyai Miklós Mihály: TEREMTÉSFIZIKA

Az isteni kettőspiruett

 

 

Isten játszott s az ÜRESSÉGBEN GONDOLATBAN elvetett

végtelen sok SEMMI-pontot, látszólagos űr-magszemet.

A sok semmi nagy óceánt, végtelen tartályt alkotott,

minden nyugodt volt, egyhangú, hiszen semmi sem változott.

 

Isten képzelete perdült: „Legyenek SEMMI-FORGÁSOK!”

S a mindent kitöltő semmibe elmélet-szikrát dobott.

FOTON lett a sok semmi-pont, amely FORGOTT és SZÁGULDOTT,

mindenütt az ürességben csodálatos FÉNY áradott.

 

„Sebességed legyen nagy, c”, szólt az Úr, „hogy messze haladj!

S ha már forogsz, perdülj c-vel, egyenes spirálként szaladj!”

A foton egy cső-tartomány, melynek nyitott a két vége,

hengerpalást szimmetria, geometriából nézve.

 

Mivel c fix, így a foton nyugalomban nem is lehet, 

frekvencia-tartománya széles skálát átölelhet.

Forgása REZGŐ VÁLTOZÁS, ezért IDŐ keletkezett,

és az idő semmittevőn, észrevétlen settenkedett.

 

A fény egyenesen rohant és LENDÜLETET generált,

az Úr tudta, ez IMPULZUS, megtörte már a létmagányt.

A perdülő semmi-pontnak megjelent a PERDÜLETE,

IMPULZUSMOMENTUMA lett, szakzsargonban kifejezve.

 

A fotonban ISTEN-ERŐ bújik meg, azt hozza-viszi,

tömege, bár VIRTUÁLIS, RÁHATÁSÁT mégis teszi.

A foton egy család tagja, a családi neve BOZON,

de további részletekkel az elmédet nem borzolom.

 

 

 

 

 

 

 

 

Isten tudta, mi történik, hogyha a fényt hasznosítja,

felszabadul a sugárban megtestesült ENERGIA.

A lendület és perdület soha nem enyészhet kárba,

AZ ENERGIA MEGMARAD, TÜKÖR ISTEN HATALMÁRA.

 

Céltalanul kószált a FÉNY, nem volt, ami befogadja,

arra gondolt a Teremtő: „Kell valami a tartályba.

Talán egy lomha állandó, nem csupán a fenti három,”

szólt magában a teremtő, „a TÖMEGET feltalálom!”

 

A forgás pompásan bevált, Isten persze ezt jól tudta,

úgy döntött hát, hogy a semmit helyben KÉTSZER MEGFORGATJA!

A dupla piruett égi, ősi TÖMEG-implikátor,

a semmi-pont kettősforgás nem más: TÖMEG-generátor.

 

Az ELEKTRON ettől lett hát gömbtérbe zárt struktúra,

hasonlít egy nem létező, dupla-pörgettyű-fotonra.

Az elektront VALÓS tömeg és ENERGIA jellemzi,

ehhez, fordítva eljárva, pörgést lehet rendelni.

 

E pörgés gigászi sodra az elektront széjjel-vetné,

ha TERÉNEK GÖRBÜLETE ezen sodrást nem fékezné.

Mit is teremtett így Isten? Hisz ez a GRAVITÁCIÓ!

Így ér össze NEWTON, s EINSTEIN, ebben lakik a RÁCIÓ.

 

Színdarabhoz kész volt a szín, de hiányzott a „rendező”,

Isten vonzáshálót képzelt, ebben gyűlt az égi ERŐ.

Mert a tömeghez erő kell, hogy legyen, ami megtartja,

avagy éppen elmozdítja, ha az Úr úgy szándékolja.  

 

FÉNY-IDŐ, GÖRBE TÉR, TÖMEG: „Kell még egynéhány szereplő!

Egypár ERŐ, KÖLCSÖNHATÁS, közösséget megteremtő.”

Isten ötlete a teret ERŐK TERÉVÉ formálta,

az erőtér szövedéke a görbe teret átjárta,

 

Több kölcsönhatás jött létre, nem csak a gravitáció,

elektromágneses, gyenge, erős: négy fő kreáció,

Az ERŐK feladata az, hogy ANYAGOT képezzenek,

önrezgésű részecskékből térgömböket rezgessenek.

 

Az elektron pindurka lett és rendkívül mozgékony,

jobb volt pórázon tartani, hogy ne ugrabugrálhasson.

Teremtett az Úr KVARKOKAT, s hozzá GLUON ragasztót,

ezekből épített nagyobb, helyben duplán pörgő-forgót.

 

PROTONBÓL és NEUTRONBÓL létrejött az ATOM MAGJA,

NUKLEON lett közös nevük, csaknem elkészült a munka.

A MATÉRIA GÖMBREZGÉS, A SEMMIPONT KETTŐS-PÖRGÉS,

AZ ANYAG BEL-VIBRÁLÁSA MAGA AZ ISTENI ZENGÉS.

 

Az atommag lomha lajhár, szárnyal, száguld az elektron,

társtalan bolyonganának, ha nem lenne a VONZALOM,

Ezért az Úr kitalálta az örök atom-szerelmet,

az atommag és elektron kölcsönösen enyeleghet.

 

A vonzalom szívvel töltött, TÖLTÉS ebből kerekedett,

óriás mag csöpp elektron töltésvonzással köttetett.

A mag töltése pozitív, az elektroné negatív,

szimmetrikus tulajdonság, egyforma mértékű, natív.

 

 

Mag adja az anyag zömét, az elektron lepel, felhő,

a mag-anyag aurája, összekapcsoló kísérő,

Melynek helye nem mérhető, mert olyasmi, mint a lélek,

de hogy ott van, megmutatja, ilyen a mikro-természet.

 

A sok FÉNYIDŐ s TÖMEGPONT kölcsönös szerelmet vallott,

nászörvényük szakadatlan nemzette a TÖMEG gócot.

Gócok sarja TÉR-IDŐBEN szerte terebélyesedett,

és ez által milliárdnyi ANYAG-HALMAZ megszületett.

 

A tér-időben az anyag olyannyira örvendezett,

hogy családfát alapított, ELEMEKBEN teljesedett.

ELEM-TÖRZSEK sokasodtak, táblarendjük növekedett,

egymásra kölcsön-hatottak, ELEM-RENDSZER keletkezett.

 

A történet itt nem állt meg, mert a törzsek elvegyültek,

végtelen sok nemzetséget szültek és VEGYÜLETEKET.

Elemek és vegyületek forgolódtak, örvénylettek,

CSILLAGOKBA szövetkeztek, GALAXISBA rendeződtek.

 

Galaxisok spiráljából VILÁGMINDENSÉGGÉ lettek,

Isten is elcsodálkozott, GONDOLATA mit teremtett!

Áll a nagy ház, melyben Isten kívül és belül is lakik,

szelleme mindent átölel, magára nem hagyott semmit.

 

Bármely elmélet egy modell, ismeretlenség-kutatás,

az isteni fürkészése, való-igazság-feltárás.

Antal világa szép tézis, amely azt is szemlélteti,

hogyan tud a Mindenható gondolata teremteni.

 

 

Lohonyai Miklós Mihály

Szentendre, 2021 január

A vers Dr. Rockenbauer Antal fizikaprofesszor

kettősforgás-elméletének ihletéséből született

 

A blog további bejegyzései: Paradigmaváltás a fizikában

süti beállítások módosítása