Elektron-pozitron annihiláció és a Pauli-féle kizárási elv

A fermionok fénysebességű forgásmodelljében a kettős forgások jobb és balsodrású kiralitásával értelmeztük a részecske-antirészecske kettősséget [1]. Az elektron negatív és a pozitron pozitív töltése is az eltérő kiralitással magyarázható. mert ekkor a két forgás egymásra ható Coriolis ereje fordított irányú.

Az elektronok egymás közötti kölcsönhatását (Pauli-féle kizárási elv) illetve az elektronok és pozitronok közötti annihilációt egyaránt a Coulomb-kölcsönhatással magyarázhatjuk. Két elektron nem lehet azonos kvantummechanikai állapotban a Pauli-féle kizárási törvény szerint. Ez azt jelenti, hogy két együttforgó és azonos kiralitású fermion nem lehet egyidejűleg a tér azonos pontján, mert ebben az esetben a szinkronmozgás végtelenül nagy Coulomb-taszítást hozna létre. A neutrínó esetén kérdéses a Pauli-elv érvényessége, mert az elektromágneses és erős kölcsönhatások hiánya miatt nem tudunk kötött neutrínó állapotot létrehozni. Töltés semleges összetett objektumokban (például neutronokban) az összetevő kvarkok elektromos taszítása akadályozhatja meg, hogy a részecskék kvantummechanikai állapota megegyezzék. Másfelől ha két különböző kiralitású és azonos tömegű részecske lenne egy pozícióban (például egy proton és egy antiproton), akkor a Coulomb-kölcsönhatás végtelenül nagy vonzóerőt hozna létre. Ez sem lehetséges, a két részecske ekkor annihilál és fotonokat bocsát ki. A csavarmozgási modell szerint ez azt jelenti, hogy a kétdimenziós forgásokból az egyik komponens kioltódik és így kettős forgás helyett egytengelyű forgások – azaz fotonok – keletkeznek. Két ellentétes töltésű, de eltérő tömegű elemi részecske azonban lehet egy helyen, erre példa, hogy a Hidrogén atom magjában az „s” elektron véges valószínűséggel tartózkodik, amit úgy interpretálunk, hogy ekkor a forgások nem kerülhetnek szinkronba az eltérő frekvencia miatt.

Az annihiláció fordított folyamata is létezik, például nagy energiájú fotonok töltött objektumokkal való kölcsönhatása kiválthatja elektron-pozitron párok képződését. Ez a folyamat a kiralitás megmaradás törvényének engedelmeskedik, amikor a képződő részecske párban a „második” forgások ellentett sodrásirányban kapcsolódnak az elsőhöz. 

 A gyenge és az elektro-gyenge kölcsönhatás 

Az elektromágneses kölcsönhatástól nagymértékben eltér a részecske típusok átalakítását előidéző gyenge kölcsönhatás. Ennek egyik formája a neutronok béta bomlása, amelyik a fizika egyik legkülönösebb jelensége, mert a többi fizikai kölcsönhatásban megfigyelhetetlen tulajdonságokkal rendelkezik. Egyik ezek közül a paritássértés, amit a forgás modellben a sajátforgások szimmetriatulajdonságára, a kiralitásra vezettünk vissza [2]. Van a jelenségnek egy még furcsább tulajdonsága, ami a bomlás kétlépcsős jellegéhez kapcsolódik. Az első lépésben a neutronból úgy lesz proton, illetve a Standard Modell szerint a -1/3e töltésű down kvarkból a +2/3e töltésű up kvark, hogy eközben kilép egy negatív töltésű ħ impulzusmomentumú (tehát S = 1 spinű) részecske is, amit W^- bozonnak neveztek el. Ez a bozon különös tulajdonságokkal rendelkezik, mert a tömege (80,385 GeV) közel százszor haladja meg a kibocsátó neutron tömegét és élettartama rendkívül rövid, nem haladja meg a 10^-24 másodpercet. Higgs a spontán szimmetriatörés koncepciójával magyarázza a nagy tömegű W^- bozon létrejöttél: az eredetileg szimmetrikus tér metastabil állapotot jelent, mint amikor egy golyót helyezünk el a körkörösen szimmetrikus mexikói kalap tetején, ahonnan a golyó bármelyik irányban legurulhat. A legurulás már kiválaszt egy irányt, ettől törik meg a szimmetria és a képződő részecske energiája a szimmetrikus és aszimmetrikus állapotok energiakülönbségének felel meg.

Az általam javasolt modell párhuzamba hozható Higgs elképzelésével. Az egyenes koordinátákból álló és transzlációs szimmetriával rendelkező euklideszi térben létrejöhetnek éles „begyűrődések”, ahol –m.c² mélységű a tér görbületéhez tartozó potenciális energia. Ez stabilizálja a bozont, amelynek spinje megegyezik a fotonéval, azaz ez a részecske is egydimenziós forgásból épül fel. Ennek a bozonnak rendkívül rövid az élettartama, ezért még a fény c sebességével haladva sem tehet meg hosszabb utat, mint 10^-16 m, ez a távolság pedig egy nagyságrenddel kisebb, mint a nukleonok sugara. A W bozonok sajátmozgását a fotonhoz hasonlóan úgy fogjuk fel mint egy forgás és egy transzláció kombinációját, de amíg a foton a forgástengely mentén halad, a W bozonoknál a haladás sugár irányú, azaz merőleges a forgástengelyre. A merőlegesség következtében fel lép a Coriolis-erő, ami magyarázza, hogy miért rendelkezik a W bozon ugyanakkora töltéssel, mint az elektron. A W bozonnak a fotonhoz hasonlóan két polarizációs iránya van, az egyikhez pozitív, a másikhoz negatív töltés tartozik a Coriolis-erő irányának megfordulása miatt.  A sugár fénysebességű növekedése spirális pályát hoz létre, mely szerint:

R_c(t) = R₀ + c.t

ahol R₀ a képződő bozon kezdeti sugara. Az R_c(t).ω = c  szabály miatt időben csökken az ω körfrekvencia és a tömeg:

 és

A fenti összefüggésekben ω₀ és m₀ a bozon kezdeti körfrekvenciája és tömege. A W bozon tömege sokszorosa az elektronénak (157 310-szer nagyobb), ezért azaz idő, ami alatt lecsökken az eredeti tömeg az elektron tömegének értékére gyakorlatilag csak az elektron de Broglie frekvenciájától függ, annak reciprokával egyezik meg:

t_el = ℏ/m_el.c² = 2,57x10^-21 s.

Az elfordulás fázisa a kezdő pozícióhoz képest logaritmikusan változik:

Az elektron kialakulásáig megtett fázisváltozás φ_el = ln(1 + m_W/m_el) = 11,97 radián, ami nem egészen két fordulatnak felel meg.

 Amikor a tömeg értéke eléri az elektronét, vagy legalábbis megközelíti azt, létrejön az elektronból és neutrínóból álló fermion pár. A W bozon spirális pályáját az ábra sorozaton mutatjuk be.

Folytatás a második részben: Az elektro-gyenge kölcsönhatás és a részecskék átalakulása_II

1. Lásd „A részecske fizika nyitott kérdései I és II” , illetve „A screw model for quantum electrodynamics” c. bejegyzéseket
2. A blog további begyzéseinek összefoglalóját lásd "Paradigmaváltás a fizikában"

Mi a fény?

Rockenbauer Antal

Maxwell történelmi jelentőségű felismerése volt, hogy az elektrodinamikai alapegyenletek a fényhullámokat is leírják, amivel az optika és az elektrodinamika szintézise létrejött. Ennek fontosságát így emeli ki Feynman [1]

„A fizika fejlődésének legdrámaibb fordulatai azok, amikor a nagy szintézisek végbemennek, amikor különbözőknek látszó jelenségekről hirtelen kiderül, hogy voltaképpen egyazon folyamat különböző megnyilvánulásai. A fizikai tudomány sikerének alapja az, hogy képesek vagyunk ilyen szintézisekre.

A fizika XIX. Századi fejlődésének talán legdöntőbb pillanata az volt, amikorm1860-ban egy szép napon J. C. Maxwell az elektromosság és a mágnesség törvényeit összekapcsolta a fény viselkedésének törvényeivel. Ennek eredményeképpen sikerült részben megmagyarázni a fény tulajdonságait . . . a fényét, amely ősidők óta finom, rejtélyes szubsztancia volt, olyan fontos, hogy a világ teremtéséről szóló fejezetben a bibliaírók külön aktusként írták meg a fény teremtését. „

Az igazsághoz az is hozzátartozik, hogy Maxwell sem előzmények nélkül alkotta meg a klasszikus elektrodinamika máig érvényes elméletét. Munkásságát a kísérletek és az elméleti felismerések hosszú útja előzte meg, melyek sorából érdemes kiemelni Gauss, Ampère és Faraday eredményeit.

A fentieken kívül emeljük még ki, hogy a Maxwell-egyenletek már magukban hordozták a speciális relativitás elvét is, hiszen Lorentz ebből vezette le alapvető transzformációs egyenleteit. Ezen túlmenően a hullámegyenletek megfogalmazása előkészítette a XX. századi fizika másik forradalmi felismerését, ami elvezetett a hullámmechanika, vagy más néven a kvantummechanika megalkotásához.

 Mi az a fizikai közeg, amiben az elektromágneses mező oszcillál? 

Felvetődik a kérdés, hogy mi a hullám közege, végül is mi az, ami mozog? A hang esetén a levegő gázmolekulái, a tenger hullámait a víz hozza létre, a húrnak saját anyaga rezeg, ha megpendítjük, de mi oszcillál a fény esetén? Maxwell még valamilyen viszkózus közegre gondolt, később bevezették az éter fogalmát, de a relativitáselmélet alapján ma már világos, hogy ilyen közeg nem létezik. A téridő-részecske koncepció alapján válaszolhatunk erre a kérdésre is: a tér fénysebességű csavarforgásaihoz kapcsolható az oszcilláló elektromos és mágneses mezők megjelenése. A fotont úgy értelmeztük, hogy a térpont a Compton-sugarú Rc = c/ω henger palástján egyrészt ω  szögsebességű forgást, másrészt c sebességű transzlációt végez Most ezt a képet egészítjük ki avval, hogy a csavarmozgást végző ponthoz rendeljük az egymásra merőleges E és B vektorokat. Ezek a vektorok írják le a fotonnak azt a képességét, hogy kölcsönhatásba kerüljön az elektromos töltésekkel és áramokkal. Itt a hangsúlyt a képesség szóra helyezzük, mert ne feledjük, hogy az elektromágneses mező csak úgy érzékelhető, ha elhelyezünk a térben valamilyen töltést, amire a mező hatni tud. Amíg ott nincs töltés, addig a mező csak fikció, csak matematikai segédeszköz annak leírására, hogy a tér egy kiszemelt pontján milyen lehetséges kölcsönhatással kell számolni. De abban a pillanatban, hogy a töltés megjelent már nem teljesül a kiindulási feltételünk, hiszen töltésmentes térre számoltuk ki az elektromágneses mezőt. A töltés által megfigyelt töltésmentes tér, tehát nem egyéb, mint logikai ellentmondás! A klasszikus elektrodinamika erre azt válaszolhatja, hogy tételezzünk fel egy végtelenül kis töltést, melynek hatása elhanyagolható. Az elektronok kölcsönhatása esetén ez az elhanyagolás azonban nem tehető meg, mert az elektronénál nem létezik kisebb szabad töltés.

Az ellentmondás ezért úgy oldható fel, ha a távoli elektronok kölcsönhatását három szakaszra bontjuk: először a gyorsuló töltés elektromágneses sugárzást bocsát ki, majd a sugárzás az üres térben tovább halad, végül eljut egy másik elektronhoz, ami kölcsönhatásba lép vele és így megváltozik az állapota. A fény, az elektromágneses sugárzás, tehát közvetítő eszköz, ami lehetővé teszi, hogy nagy távolságban lévő elektronok egymással energiát és impulzust közöljenek. Voltaképp ez a hatás felel meg az eltolódási áramnak [2] a Maxwell-egyenletben. Kétféle kölcsönhatást különböztetünk meg, egyrészt erőhatás lép fel a stacionárius pályákon mozgó elektronok között, ekkor beszél a kvantum-elektrodinamika virtuális (nem megfigyelhető) fotonok emissziójáról és abszorpciójáról, másrészt megváltoztathatja az egyik elektron gyorsuló mozgása – vagy stacionárius állapotok közötti energiaugrása – a másik elektron pályáját. Ezt a hatást már a valódi (megfigyelhető) fotonok közvetítik. A virtuális fotonok hatása az elektromágneses mezőre abban tér a klasszikus elektrodinamikai képtől, hogy az E és B vektorok nagysága az átlagérték körül ingadozni fog, ez a vákuumingadozás. Ezt az ingadozást veszi számba a kvantum-elektrodinamika, amikor az elektron anomális mágneses momentumát értelmezi. [3]

De tegyük fel a kérdést, hogy meddig él egy foton, a sugárzás részecskéje? Azt gondolhatjuk, hogy akár milliárd évekig, hisz a legtávolabbi galaxisokból is eljuthat hozzánk a fény. Ha azonban az idő dilatáció jelenségére gondolunk, mely szerint a gyorsan haladó rendszerben lassul az idő, akkor a  t_saját = t_külső (1 – u²/c²)^1/2  szabály alapján bármilyen hosszú, de véges, külső idő esetén az u→c határesetben a sajátidő nulla lesz. Tehát a fénynek nincs is saját belső ideje, sajátrendszerében nézve a képződés pillanatában azonnal eltűnik. Hasonló összefüggés adható meg a fény által megtett útra is, ahol a sajátrendszerben a Lorentz-kontrakció miatt a fény útja is nullára rövidül. Tehát a fény úgy kapcsolja össze a kölcsönhatásba kerülő elektronokat, mintha a téridőben közvetlenül érintkeznének egymással. A kölcsönhatás kontakt jellege magyarázza, hogy miért csak valószínűségi kijelentést tehetünk arról, hogy két kiválasztott elektron, vagy más fermion típusú elemi részecske mikor változtatja meg egymás állapotát: ez akkor következik be, ha a Compton sugarú gömbön értelmezett csavarmozgások fázisa megegyezik, ez a fázis azonban számunkra ismeretlen marad. A folyamat kimenetele így bizonytalan, amit a kvantummechanika az állapotfüggvény valószínűségi amplitúdójával vesz figyelembe. A kvantumelmélet ad magyarázatot arra is, hogy miért látjuk az évmilliárd fényév távolságú galaxisokat is: csak az onnan kibocsátott fotonok száma csökken mire megérkeznek hozzánk a rendkívül hosszú út után, de közben energiájuk állandó marad és így kiválthatják azt a reakciót, ami lehetővé teszi észlelésüket.

Az elektromágnesesség Laplace-egyenletei és a fotonok csavarmozgása

A fotonok csavarmozgása és az elektromágneses mezők Laplace-egyenletének kapcsolatát vizsgáljuk meg konkrét esetekben.  Egy-dimenziós esetben a hullámegyenlet megoldása könnyen áttekinthető, ezért először azt az esetet nézzük, amikor az elektromos- és mágneses mező azonos az xy síkban. Keressük a

parciális differenciálegyenlet megoldását, ahol az F vektor vonatkozhat akár az elektromos, akár a mágneses mezőre. Vezessük be az ς = z - c.t  változót, melyre

 és   

Az egyenlőségből következik, hogy bármely f(z – c.t) függvény kielégíti a hullámegyenletet. Ez viszont azt jelenti, hogy az xy síkban állandó f(z) függvény által leírt elektromos és mágneses mező c sebességgel terjed a z irányban. Az ilyen megoldást nevezzük síkhullámnak. Mivel az f(ς) függvény tetszőlegesen választható, így áttérhetünk a ς’ = -ς/c = t – z/c változóra is, ami megfelel a retardált időnek [4]. Ezért azt mondhatjuk, hogy a t időben z helyen lévő síkhullám azonos a retardált idő origóban lévő értékével: f(z,t) = f(0,t – z/c)). Az így definiált függvény pontosan megfelel a foton csavarmozgásának is, tehát teljes az összhang a klasszikus elektrodinamika és a z irányban c sebességű csavarmozgás között.

A hullámegyenletnek van azonban egy másik, úgy nevezett avanzsált megoldása is:  f(z,t) = f(0,t + z/c)), amelyet úgy is értelmezhetnénk, hogy bizonyos körülmények között a jövőbeli állapot határozná meg a korábbit. Ez viszont ellenkezik az oksági elvvel. Valójában azonban nem sérülhet az oksági elv. Arról van szó, hogy minden jelenséget két irányból közelíthetünk meg: a jelenlegi állapotok ismeretében következtetéseket vonhatunk le arról, hogy milyen lesz a jövőbeli állapot. Ezt teszi a meteorológus, amikor a pillanatnyi légköri adatokból kiszámítja, hogy másnap milyen idő várható. De lehet visszafelé is okoskodni, kiindulva a mai állapotból rekonstruálhatjuk, hogy milyen volt az időjárás egy nappal ezelőtt. Az első esetben pozitív előjelűnek vesszük az időt, a másikban negatívnak. Az elektrodinamika alapegyenletei nem azonosak a Coloumb-kölcsönhatás retardált időre vonatkozó törvényével, nem mondhatunk olyat, hogy előbb volt a töltés és utána jött létre az elektromos mező. A Maxwell-egyenletek nem fejeznek ki időbeli sorrendet az erők és az erők forrása között. Ennek következtében a hullámegyenletek mindkét időirányban egyaránt érvényesek, azaz egyaránt megadhatunk retardált és avanzsált megoldásokat. Ez matematikailag abban fejeződik ki, hogy a hullámegyenletekben kizárólag másodrendű deriváltak léphetnek fel, hiszen ha egy változó szerint kétszer deriválunk, akkor az előjel megmarad.

Nézzünk most egy általánosabb esetet. A gyorsuló ponttöltés nem síkhullámokat, hanem gömbhullámokat bocsát ki, és emiatt gömbszimmetrikus f(r) függvényt keressünk. Írjuk át a Laplace-operátort az r változó segítségével, mely szerint:

Így a hullámegyenlet:

Az egyenlet formailag megegyezik az egydimenziós hullámegyenlettel, csak az f(r,t) = r.F(r,t) jelölésre kell áttérni. Az F(r,t) függvény egyaránt jelölheti az elektromos és mágneses mezőt, vagy a skaláris- és vektorpotenciált, hiszen valamennyit azonos alakú hullámegyenlet határoz meg. A korábbi gondolatmenetet megismételve írhatjuk fel a megoldást, mely szerint r.F(r,t) = f(r – c.t), azaz

Következésképp a gömbhullám is c sebességgel terjed, de a csillapodás mentes síkhullámmal szemben az amplitúdó a kibocsátó töltés helyétől mért r távolság függvényében csökken. Az r→c.t határesetben a gömbhullám amplitúdója végtelenhez tart. Ebben a határesetben azonban nem érvényes a megoldás, mert abból a feltételből indultunk ki, hogy a vizsgált tartományban a töltés nulla. Ha viszont r = 0, akkor az elektromágneses sugárzást kibocsátó töltés már a vizsgált tértartományban van. Gömbhullám esetén is létezik avanzsált megoldás, ami annak a nézőpontnak felel meg, hogy a t időben épp r sugarú gömbhullámot mikor bocsáthatta ki a gyorsuló elektron. A csavarmodellben akkor kapunk gömbszimmetrikus pályán terjedő fotonokat, ha a haladási irányokhoz egyenlő valószínűségi amplitúdót rendelünk. Az egyenlő valószínűség annak felel meg, hogy amíg a foton nem lép kölcsönhatásba, addig az „irány” fogalmának nincs értelme. A téridő-részecske modell alapelve, hogy az irány, mint a tér egyik koordinátája csak akkor nyer értelmet, ha már létezik valamilyen kölcsönhatás. Az  r = 0 esetre vonatkozó divergenciát elkerüli a csavarmodell, mert az Rc = c/ω  Compton-sugáron belül nem értelmezi a haladási irányt.

 A blog további begyzéseinek összefoglalóját lásd "Paradigmaváltás a fizikában"

1. P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands: „Mai fizika”, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1970
2. Az eltolódási áram: Az elektromos mező időbeli változása az elektromos vezetőn kívül úgy generál mágneses mezőt, mintha ott is áram folyna
3. Lásd a „Screw model for quantum electrodynamics_II” bejegyzést
4. Az r távolságú mozgó töltés r/c idővel később fejti ki hatását a mező fénysebességű terjedése miatt

Téridő-részecske

Közvetlenül, vagy közvetve a fotonok révén nyerjük az információt a külvilágról, ezért alapvetően a fotonok természete határozza meg a fizikai világról alkotott fogalmainkat. Környezetünk tárgyairól a fotonok özöne érkezik hozzánk és minden egyes foton, valamelyik elektron állapotváltozásáról ad hírt. Megpróbáljuk rendszerezni az információt és képet alkotni az elektronok által képviselt fizikai objektumok elrendeződéséről, ehhez fejlesztette ki gondolkodásunk a tér fogalmát. A teret mint távolságok és irányok rendszerét fogjuk fel, de ezek a fogalmak kizárólag a nagyszámú foton érkezése miatt nyernek értelmet. A modern fizika azonban már képes egyedi elektronokat és egyedi fotonokat is megfigyelni, de vajon jogosan használjuk az egyedi foton mozgásának leírásához azt a fogalomrendszert, ami épp a nagyszámú fizikai objektum elrendeződését tükrözi? Hasonlóan vagyunk a fizikai idő fogalmával, ami segít az események egymásutániságát jellemezni, de ha egyetlen elektrontól érkező fotont figyelünk meg, akkor nincs szó egymásutániságról. A nagy sebességek birodalmában, ami jellemző az elemi részecskék világára már a folyamatok egyidejűsége is megkérdőjeleződik, ezért szükség volt a tér és idő fogalmának összekapcsolására, amit Minkowski után téridőnek nevezünk. A részecskék létezése azonban nem független a téridőtől és ez fordítva is igaz: a téridőt a részecskék építik fel, ezért eljutunk egy új fogalomhoz, amit téridő-részecskének nevezhetünk. Tömören úgy fogalmazhatjuk meg a fizikai világképüket, hogy a részecske a téridő létezési formája.

A relativitáselmélet kiindulópontja, hogy a foton vákuumban fénysebességgel terjed, de van-e értelme annak a fogalomnak, hogy vákuum? Ilyenkor részecskementes térre gondolunk, de ha már ott halad akárcsak egyetlen foton is, akkor nem beszélhetünk vákuumról. Szabatosabb ezért azt mondanunk, hogy a foton kölcsönhatásmentes állapotban fénysebességgel halad. A relativitáselmélet szerint a megfigyelőhöz képest nagysebességgel mozgó rendszerben a tér és az idő lerövidül, és ha ez a sebesség a fénysebesség, akkor az idő és az objektumok haladás irányában mérhető távolsága nullára zsugorodik. Képzeljük el, hogy egy távoli galaxisban egy gyorsuló elektron kibocsát egy fotont és az hosszú-hosszú út megtétele után eljut a szemünkbe, ahol aztán egy elektron elnyeli. Ez a folyamat indítja el azt a bonyolult reakcióláncot, amiért látjuk a csillagokat az éjszakai égbolton. A foton számára az a rendkívül hosszú út – ami számunkra millió, vagy milliárd fényévet jelent – nulla, és hasonlóan nulla az időtartam is. Valójában a két elektron között úgy jön létre a kölcsönhatás, mintha közvetlenül érintkeznének! Mi annak a feltétele, hogy a távolból érkező foton megindítsa azt a reakciót, ami a „látást” is előidézi? Az, hogy a foton-küldő (emittáló) és az átvevő (abszorbeáló) elektron sajátforgásának fázisa megegyezzen! És mi azaz energia, impulzus és impulzusmomentum, amit magával hordoz a foton, a fény? Ez felel meg annak az energiának, impulzusnak és impulzusmomentumnak, amit az egyik elektron akár egy távoli galaxisból átad egy másik elektronnak, amelyik lehet például a mi szemünkben is!

De létezik-e egyáltalán „a foton”, vagy csupán azért használjuk ezt a fogalmat, mert lehetővé teszi számunkra az elektronok közötti kölcsönhatások természetének megértését? (Itt csak az egyszerűség kedvéért beszélek elektronokról, voltaképp bármilyen töltött elemi részecske esetén ugyanerről van szó.) Bontsuk fel a kölcsönhatási folyamatot három szakaszra:

• a gyorsuló elektron kibocsátja a fotont
• a foton terjed a térben
• a fotont elnyeli egy másik elektron

A középső szakaszban a foton nem lép semmilyen kölcsönhatásba. Viszont minden megfigyelés a kölcsönhatásokhoz kapcsolódik, ezért erről az állapotról nem lehet semmilyen valóságos információnk! Nem meglepő tehát, hogy ehhez a szakaszhoz nem tartozik sem idő, sem távolság (relativitáselmélet), a kölcsönhatásmentes foton nem „formálja” a téridőt, erről a fogalomról nincs is értelme beszélni. Ez alapján érthetjük meg a foton különleges tulajdonságait. A foton gömbhullámokban terjed, mondja ki az optika egyfelől, másfelől viszont azt látjuk, hogy a fény útja mindig egyenes. Még különösebbek az úgynevezett kétréses kísérletek, amikor két résen keresztül léphet ki a fény, majd egy fényérzékeny lemezen újra találkozik. Az ernyő bizonyos helyein létrejönnek felvillanások, más helyeken viszont nem, akkor is, ha egyszerre csak egyetlen foton indul útnak. Tehát a foton önmagával hoz létre interferenciát! A felsorolt jelenségekre kielégítő magyarázatot nyújt a kvantumelektrodinamika (QED), amikor mikro-lépésekre bontja fel a foton útját és ezeket a valószínűségi amplitúdóval szorozva összegzi. Ezek a mikro-folyamatok a fotont „orfeuszi” részecskének tekintik, amelyik minden pillanatban és minden helyen újjászületik újabb gömbhullámokat indítva, amelyek végösszege végül kiválasztja a „legrövidebb” utat. Ez a kép összhangban van avval a felfogással, hogy nincs sajátidő és sajáttér a fénysebességű foton számára, ezért nem lehet irányokról sem beszélni. Az elmélet tehát joggal tételezi fel, hogy minden irány valószínűsége egyenlő, hiszen nincs is „sajátirány”. A QED szerint a mikro-lépések sebességét még a fénysebesség sem köti, sőt a foton még az idő „irányával” sincs tisztában, amikor létrejönnek elektron-pozitron párok és nincs megszabva, hogy párképződés, vagy foton annihiláció következik-e előbb. Mindez elfogadható olyan állapot leírására, amiről nincs valódi információnk, ahol nincs értelmezve a tér és idő. A mikro-lépések összegzése azonban mindig olyan eredőhöz vezet, ahol már érvényesül a kauzalitás, ahol a kölcsönhatások végsebessége megegyezik a fénysebességgel, ez már a téridő világa. 

A fotont és elektront úgy is megkülönböztethetjük, hogy csak az utóbbit tekintjük „téridőt létesítő” részecskének, amelyik számára létezik a „sajátidő” és „sajáttér”. Egyúttal ez a tulajdonság határozza meg, hogy az elektronoknak a fotonokkal szemben van nyugalmi tömegük is. Az elektronhoz hasonlóan valamennyi nyugalmi tömeggel rendelkező részecskét a téridő építőinek és egyúttal megnyilvánulási formáinak kell tekinteni, a fotonok szerepe, hogy létrehozza a téridőt építő objektumok között a kapcsolatot, a kölcsönhatást. Így jön létre fizikai világunk, amiben az elektromágneses erőkön kívül más erők is szerepet játszanak a részecskék közötti kölcsönhatások létrehozásában (az erős nukleáris és a gravitációs kölcsönhatás), a gyenge kölcsönhatás teszi lehetővé a téridő mozgásformáinak egymásba való alakulását, az erős gravitáció biztosítja a részecskéket alkotó sajátforgások stabilitását.

A blog további begyzéseinek összefoglalóját lásd "Paradigmaváltás a fizikában"

  Rockenbauer Antal

A modern fizika dilemmái

Haladás vagy zsákutca?

Rockenbauer Antal

  A fizikai törvények három alapvető kritériuma

Hétköznapi életünkben kialakultak fogalmaink a mozgásról, mint a tárgyak egymáshoz képesti viszonyáról, térbeli elhelyezkedésével és az események időbeli lefolyásáról. Valójában négy alapfogalomról van szó: a térről, időről, a tárgyakról és a mozgásokról. A fizika rendszerezett módon kapcsolja össze ezeket a fogalmakat és állapítja meg törvényeit. Ennek során elfogad bizonyos alapelveket. Törvényeit úgy akarja megfogalmazni, hogy érvényessége ne függjön a megfigyelőtől, és legyen reprodukálható bárki számára, aki azonos kiinduló feltételeket teremt. Ebben már benne rejlik az egyik fontos kérdés: mi annak a kritériuma, hogy tényleg azonosak-e a kezdő feltételek? Honnan tudhatjuk, hogy nem marad rejtve előttünk valami, ami befolyásolni fogja az eredményeket? A reprodukálhatóság pedig feltételezi a kauzalitást és a determinizmust: a vizsgált rendszer egy jól definiált állapotból mindig egy másik jól definiált állapotba megy át. Természetesen bonyolult rendszerekben, például egy gázban, nem követhetjük minden egyes atom és molekula mozgását, ilyenkor csak valószínűségi megállapításokat tehetünk, erre példa a termodinamika, de ekkor is feltételezzük, hogy ez a valószínűség nem a determinizmus hiánya, hanem csak annak lehetetlensége, hogy nyomon kövessük a rendszer összes elemének a mozgását.

Jogosan vetődik fel a kérdés, hogyan alkalmazhatjuk a mikrovilágban azokat a fogalmakat, amelyeket eredetileg a makrovilágban alakítottunk ki. Atomok és elemi részecskék esetén óriási léptékváltásról van szó. A szemünkkel közvetlenül látható milliméteres világtól hét nagyságrend választja el az atomokat:  tízmillió atomot kell összefűzni, ha a lánc hosszát szabad szemmel is látni akarjuk. Hasonlóan nagyságrendi ugrást jelent a sebességek terén a hétköznapi életben szokásos értékekhez képest a fény sebessége, amihez közel kerülhet az elemi objektumok mozgása is. Ne feledjük a fénynek a másodperc törtrésze elegendő ahhoz, hogy akkora utat tegyen meg, mint Földünk teljes kerülete, hol van ehhez képest a puskagolyó, a szuperszonikus vadászgépek, vagy akár az űrrakéták sebessége is, a különbség mintegy tízezerszeres! A fizikában is hasznos útmutató lehet a józanészre való hivatkozás, de erre csak korlátozottan szabad hagyatkozni, mert ez extrapolációt jelent: nincs garancia arra, hogy sok-sok nagyságrenddel kisebb távolságokban és hatalmas sebességeknél is ugyanolyan törvények uralkodnak, mint amit megszoktunk a mindennapokban. Ezért, ha a modern fizika törvényei a józanész számára nehezen befogadhatók, akkor különös gondossággal kell eljárni, lehet, hogy a józanész szavát kell igazítani a felismert új világhoz, de az is lehet, hogy a fizikai elméletek kidolgozói indultak el rossz úton. Az előbbire példa a geocentrikus világ elvetése. Évezredekig természetesnek tűnt, hogy a Föld körül forog az egész világ, erről naponta meggyőződhettünk, ha néztük a Nap mozgását, vagy éjszaka a csillagokét. De ma, amikor tudjuk, hogy Földünk egy apró porszem, sőt annál is kisebb a világegyetemhez képest, ma már a józanész sem állítja, hogy e-körül a porszem körül forogna egész univerzumunk. Az utóbbira is akad példa, amikor az elmélet elfogadhatatlan mértékben elrugaszkodik a valóság talajáról. Erről a kérdésre később még kitérek a kauzalitással kapcsolatban.

 A fizika mennyiségi viszonyokat vizsgál, ehhez szükség van matematikai összefüggésekre is. A fizika törvényei ezért matematikai alakban formálhatók meg. A fizikának ezért tisztelni kell a matematika logikáját, nem teheti meg, hogy önkényesen eltér a matematika szigorú szabályaitól. Ugyanakkor a fizikai elméleteknek, törvényeknek, akkor van értelmük, ha alá lehet vetni a kísérlet próbájának, ami vagy megerősíti elképzeléseinket, vagy cáfolja azt. A kísérleti ellenőrizhetőség nélkül a fizika elveszne az ezotériában. Amikor feltesszük a kérdést, hogy a fizika fejlődik-e vagy zsákutca felé halad, akkor azt vizsgáljuk, hogy mennyire sikeresen tisztázza az alapfogalmakat és azok kapcsolatát, valamint tiszteletben tartja-e az előbb felsorolt három követelményt: a kauzalitást, a matematikai korrektséget és a kísérleti kontrollálhatóságot. 

 A klasszikus fizika alapfogalmai: abszolút kategóriák

A klasszikus fizika megalkotta a maga fogalomrendszerét, a tárgyak mozgását a tömeg, erő, energia és impulzus kategóriáival jellemezte, leírja pályájukat a térben és időben a newtoni differenciálegyenletekkel, megfogalmazta az elektromágnesesség törvényeit Maxwell nevezetes négy egyenletében, bevezetve az elektromos töltés, az áram, az elektromos és mágneses tér fogalmát. A termodinamika összegzi az energia különböző formáinak egymásba alakításával mozgásba hozott rendszerek (gépek) működéséből nyert tapasztalatokat és törvényeivel kimondja, hogy nem lehet örökmozgót konstruálni. A klasszikus fogalomrendszer olyan kategóriákon alapult, ami a teret és időt egymástól függetlennek és abszolútnak tekintette, amiben a tárgyak, a fizikai objektumok elhelyezkednek és mozognak. A klasszikus leírás a fizikai objektumok tulajdonságait is abszolútnak tekinti, jól definiált tömeget és méretet rendel minden tárgyhoz.

 Relatív kategóriák megjelenése a modern fizikában: a téridőtől a téridő-részecskéig

A huszadik század hajnala forradalmi változásokat hozott a fizika egész szemléletében, ennek három fő fejezete a speciális, az általános relativitáselmélet és a kvantummechanika. A speciális relativitás új kapcsolatot teremtett a tér és idő között, sőt megváltoztatta a tárgyakról alkotott elképzeléseinket is. Eszerint nincs külön tér és idő, csak a kettő együtteséről a téridőről beszélhetünk. Nem mondhatjuk meg, hogy mekkora egy tárgy hosszúsága anélkül, hogy tisztáznánk milyen rendszerből nézzük. A gyorsan haladó vonat ablakából rövidebbnek látszik a vízszintesen tartott rúd, mint amekkorának az látja, aki a rudat a kezében tartja. A hétköznapi életben természetesen ezt nem vehetjük észre, mert ehhez olyan vonatra lenne szükség, amelyik egy másodperc alatt körbe futná a Földet, azaz közel kerülne a fény sebességéhez. De most képzeletben gondoljuk azt, hogy ilyen vonaton utazunk. Ebből a vonatból nézve megváltozik az idő futása és a tömeg is. Ha a vonat mellett álló ember egy rúgót tart kezében, amin egy súly fel és alá mozog, akkor a vonaton lassabbnak látszanak a rezgések, mint amit a rugót kezében tartó ember lát. Ezt a vonaton ülő úgy értelmezi, hogy odakinn lassabban telik az idő. A rezgésidőből, amikor a súly tömegére következtet, akkor azt állapítja meg, hogy nagyobb a tömeg, mint ami a földön álló megfigyelő megállapít. Tehát a hosszúság és az idő is relatív, ugyanez vonatkozik az objektumok tömegére is, de van-e akkor valami, ami abszolút? Igen van, és ez a négydimenziós térben mért hosszúság, amit a tér és idő koordináták alapján számíthatunk, ha az időt megszorozzuk a fény sebességével és figyelembe vesszük, hogy az időbeli komponens négyzetéből a térbeli komponensek négyzetösszegét kell levonni. Evvel megfogalmaztuk a relativitáselmélet legfontosabb tételét. A józanész nehezen követi ezeket a szabályokat, de a felhalmozott kísérleti tapasztalatok súlya miatt nem lehet kétségünk, hogy a különösnek tűnő jelenségek mégis a fizikai valóság alkotórészei. Megnyugtató, hogy a sebességeknek abban a tartományában, amivel mindennapjainkban találkozhatunk elhanyagolható mértékűek a relativisztikus effektusok. A klasszikus fizika a mozgások leírására bevezette az energia és az impulzus fogalmát. A relativitás elmélete szintén átrendezte ennek a két fogalomnak a viszonyát. Az energia négyzetéből és impulzus négyzetösszegének különbségéből álló mennyiség a tárgyak mozgásának igazi állandója, amelyik egyúttal kapcsolatot teremt a tömeg és energia között a nevezetes E = mc² ekvivalencia szabály szerint. Bár hétköznapi tapasztalataink alapján képzett fogalmainkkal nem könnyű érteni a speciális relativitás különleges szabályait, mégis egyértelmű, hogy az elmélet jelentős előrelépést jelent a fizika történetében, mert a megállapítások összhangban maradtak a fizika alapelveivel.

Szintén egyértelmű előrelépés az általános relativitás elmélete. Ebben Einstein tovább fejlesztette a relativitás fogalmát, mert már nem az egyenletes sebességgel száguldó vonatot vette alapul, tehát az inercia rendszert, hanem a gyorsulót. Mindannyian éreztük már, hogy a gyorsuló liftben nagyobb erővel tapad a lábunk a padlóhoz, vagy a gyorsuló vonaton a hátunk nekifeszül az ülés támlájának, ez a tehetetlenségi erő. Einstein ekvivalenciát állapított meg a gyorsuláskor fellépő tehetetlenségi erő és a tömegtől származó gravitáció között. A tömeg begörbíti a körülötte levő teret, ahogy egy súly besüppeszt egy gumimatracot, és emiatt a súly közelében levő tárgyak a súly felé gurulnak. Ez az elmélet tovább finomítja a téridő és a tárgyak kapcsolatát: többé a tárgyak nem passzív szereplői a térnek, hanem alakítói is, meghatározzák a tér struktúráját. A továbbiakban ezt a gondolatot akarjuk továbbépíteni, célunk egy olyan fizikai világkép kialakítása, ahol a téridő nem egy „tartály”, amiben a fizikai jelenségek, a részecskék és más fizikai objektumok mozgását leírjuk, hanem a tér, idő, a mozgások és a részecskék egymással kölcsönható világa, amelyben elválaszthatatlan egységet alkot ez a négy fogalom. A téridő a mozgásokban nyilvánul meg, ami kapcsolatot teremts a négy dimenzió között, ennek alapformája a fénysebességű forgás, ami nem más, mint az elemi részecskék sokasága. Ez alatt azt kell érteni, hogy a részecskék nem léteznek elválasztva a téridőtől, hanem annak mozgás szülte gyermekei. Ennek hangsúlyozására érdemes egy új fogalmat bevezetni: a téridő-részecske összetétel által. Ez a fogalom azt fejezi ki, hogy a részecske a téridő létezési módja. A részecskék által mutatkozik meg a téridő, részecskék nélküli térről és időről nem lehet beszélni. Ennek a koncepciónak kifejtése legfőbb célunk, amihez az utat a kvantummechanika nyitja meg. 

 A kauzalitás elvesztése a kvantummechanikában

Einstein elmélete a gravitációról nyitva hagyta a kérdést: miért és milyen mechanizmuson keresztül görbíti meg a tömeg a teret? Ez a kérdés azóta is a fizika neuralgikus pontja, neki feszültek már a fizikusok legjobb koponyái, de áttörés máig sem következett be, de ez a kérdés már átvezet a huszadik század fizikájának következő fejezetéhez, a kvantummechanika megszületéséhez. Hétköznapi életünkben „nagy” tárgyakkal kerülünk kapcsolatba, amit nagyszámú atom és molekula alkot és ahonnan óriási számú foton áradata érkezik hozzánk. Ezen alapul a méréstechnikánk is. A modern tudomány azonban eljutott arra a szintre, amikor már felmerül a kérdés, hogy mi van az atomok belsejében, sőt mi történik az egyedi fotonokkal, elektronokkal vagy atommagokkal. Kiderült, hogy szokásos fogalmaink már csak részben alkalmasak a mikrovilág folyamatainak leírására, szükség volt egy új matematikai formalizmusra, a függvények jól bevált világa helyett operátorokat kellett rendelni az energiához, impulzushoz és így tovább. A klasszikus fizikában megszokott folytonos változások helyett értelmezni kellett energiaugrásokat is, és az elemi folyamatok leírásában bekerült a valószínűség fogalma. Az a kép alakult ki, hogy a mikrovilágban többé nem érvényesül a kauzalitás és a determinizmus, ebben a világban a valószínűség az úr. Ha például egy üveglapra fény érkezik, akkor a fotonok 96 százaléka áthalad az üvegen és 4 százalék visszaverődik, de ha kiválasztunk egyetlen fotont, akkor mi dönti el, hogy melyik utat választja? A kvantummechanika erre a kérdésre nem ad választ. Ezért mondta Einstein „az Isten nem kockajátékos”. Fölvetette a kérdést, hogy a kvantummechanika valószínűségi világa mögött kell lenni valamilyen egyedi tulajdonságnak, amit rejtett paraméternek nevezett, amelyik eldönti, hogy egy kiválasztott foton milyen reakcióba lép az anyaggal, annak elektronjaival. A fizikustársadalom nem fogadta el Einstein érveit, helyette a koppenhágai iskola nézete vált elfogadottá. Amíg nem jön létre kölcsönhatás a foton, elektron vagy más elemi objektum között, addig a lehetőségek skáláját kell figyelembe venni, de amikor lezajlik a mikro folyamat, akkor beleesik a vizsgált rendszer valamelyik lehetséges állapotba. Ezt nevezték el a hullámfüggvény redukciójának. Ez az álláspont viszont a kauzalitás és determinizmus „leváltását” jelenti a valószínűségi elvvel. Ezt tekintem az első hibás lépésnek a fizika zsákutcája felé.

 Matematikai ellentmondások a részecskék mezőelméletében

A mikrovilág folyamatairól a fotonok adnak felvilágosítást, de minden foton kibocsátás, vagy elnyelés megváltoztatja az elektronok mozgásállapotát. Emiatt az elektronok mozgását nem tudjuk a fotonoktól elkülönülten tárgyalni, és szükség van olyan elméletre, amelyik a képződő és eltűnő fotonokat együtt tárgyalja az elektronok rendszerével. Ezt valósítja meg a tér-, pontosabban mezőelmélet, a kvantum elektrodinamika (QED). Az elmélettel látványos eredményeket lehetett elérni az elektron mágneses tulajdonságainak leírásában, de akadt egy bökkenő: amikor az elektronok sajátenergiáját meghatározták végtelenül nagy értéket kaptak. A probléma elméleti kiküszöbölésére tett erőfeszítések nem hozták meg a kívánt eredményt, ezért az elméleti fizika belenyugodott a ténybe: bizony a divergencia nem küszöbölhető ki, evvel kell „együtt élni” a továbbiakban. Ez a megalkuvó álláspont egy újabb törés a fizika történetében, mert megszegi a matematikai korrektség követelményét. A mezőelmélet módszertanát sikerült átvinni a magfizika más területeire is, jól bevált a nukleonok átalakulását előmozdító gyenge kölcsönhatás esetén és az atommagban uralkodó erős kölcsönhatás leírásában is, eltekintve persze a szokásos divergencia problémáktól.

 Húrelméletek: menekülés a valóság elöl

 A fizikusok nagy álma, hogy megalkossák a „mindenség elméletét”, ahol a mezőelméletben elnyeri helyét a gravitáció is, minden erőfeszítés ellenére sikertelen maradt. Ekkor indult meg a próbálkozás a szokásos téridőn kívüli további dimenziókkal. Maga az ötlet csábítónak tűnik, hogy valamiféle rezgő húrok hozzák létre az anyagi világ legkisebb építőköveit, az elemi részecskéket, de konzekvens elméletet nem sikerült alkotni, bárhogy is növelték elszánt tudósok a „láthatatlan” dimenziók számát. Ennek ellenére a húr, szuperhúr elmélet és társai olyan divatosak lettek, hogy egész iparággá nőtt a kutatásnak ez az iránya, vezető intézetek neves tudósai keresik meg evvel kenyerüket, sőt többnyire az ő véleményük a hangadó a tudományirányítás kérdéseiben is, de amit csinálnak, az már távol van a fizika alapvetésétől, mert főleg avval foglalkoznak, hogy megmagyarázzák miért nincs lehetőség az elmélet kísérleti ellenőrzésére. Ez már a fizika teljes zsákutcája, a három alapelvből semmi nem maradt! 

 Tényleg megtalálták a Higgs-bozont?

Bizonyos szempontból a Higgs-bozon kerüli felhajtás is beletartozik a képbe. Higgs feltevése a szimmetriatörésről az elméleti fizika egyik legszebb gondolata. A metastabil szimmetrikus tér átbillen egy alacsonyabb szimmetriájú állapotba, és az így nyert energia az alapja a részecskék tömegének, és ennek a folyamatnak első lépésében jön létre a Higgs-bozon, amelyik aztán tömeget adhat a többi elemi részecskének. Ennek a hipotézisnek bizonyítása a nagyenergiájú LHC kísérletek fő célja. A nagy felhajtás ellenére azonban nincs szó bármilyen bizonyítékról. Az elmélet a tömegről csak annyit jelent ki, hogy elég nagy legyen a tömeg továbbadáshoz, megmondja viszont a töltését és a spint. Mit talált viszont a kísérlet? Talált egy nagy tömegű részecskét, viszont semmit nem lehet tudni a töltésről és a spinről. Ezek után miféle bizonyítékról lehet beszélni? Ez különösen kérdéses azután, hogy a talált részecske tömege jóval kisebb a top kvarkénál, aminek újabban sikerült pontosan meghatározni az értékét. 

 Milyen legyen a következetes fizikai világkép?

A zsákutcából való kiútkeresés olyan elméletet kíván, amelyik betartja azokat a játékszabályokat, amit a fizikai megismerés megkövetel: a mikrovilág törvényei ne mondjanak ellent a kauzalitásnak, tartsák tiszteletben a matematika szigorú szabályait, azaz ne jelenjenek meg végtelenbe futó energiák véges rendszerekben, és ami mindennél fontosabb, hogy ne akarják elkerülni a kísérleti kontrollálhatóság követelményeit.

Egy ilyen elméletre tettem javaslatot a korábbi bejegyzésekben. A vázolt elméletben olyan fizikai világkép kidolgozására törekszem, ahol minden tárgy, minden objektum a téridő speciális mozgásformája és ez vonatkozik a fizikai erőkre is. A fizikai világ két egymásba fonódó, egymást kiegészítő alapelemre épül: a részecskékre és a részecskéket stabilizáló, forgásba hozó görbült téridőre. ahol a sajátforgások hozzák létre a téridő görbületeit, ez a görbület adja viszont azt az erőt, amely a forgásokat létrehozza.  Erre használom a téridő-részecske fogalmat. A részecskék és antirészecskék létezése a mozgások tükörszimmetriáján alapul, ez a szimmetria a kettősforgások kiralitása, amely lehet jobb- és balsodrású. Lásd a „Fénysebességű forgások és a relativitáselmélet I és II.

A blog további begyzéseinek összefoglalóját lásd "Paradigmaváltás a fizikában"

Folytatás a "Fénysebességű forgások ...." első részétől, [5] lábjegyzet

A szekuláris egyenlet:                                   

Az itt bevezetett x változó E/c = m.c -nek felel meg az energia és a tömeg ismert összefüggése miatt, azaz

Innen már megkapjuk a relativisztikus tömegnövekedés jól ismert képletét:

Az általános fermion egyenlet

A sajátforgás kiralitása nem szerepel a Dirac-egyenletben, ezért ennek beépítésével érhetjük el, hogy valamennyi fermion mozgását le tudjuk írni elektromágneses térben. Kiinduló pontunk, hogy a bővített egyenlet is feleljen meg a relativitás klasszikus mozgástörvényeinek. A Dirac által elvégzett mátrixfelbontás nem csak 4 dimenziós, hanem 8 dimenziós spinorokkal is elvégezhető. Ennek módja, hogy a direktszorzatok terét egy további kétdimenziós térrel, a fermionok tulajdonságait meghatározó királis térrel bővítjük ki. 

A pozitron pozitív és az elektron negatív töltését leírhatja a királis térben értelmezett  σ_z mátrix +1 és -1 sajátértéke. Bevezetünk egy töltés operátort, amelynek diagonális elemei adják meg a fermionok töltését, azaz nullát a neutrínó, ±2/3e és ±1/3e értéket az „up” és „down” típusú kvarkok esetében. Ennek érdekében a Pauli-mátrixok lineáris kombinációiból felépítünk egy operátort és annak adjungált párját:

U_n = σ_z.cos ρ + σ_x.sin ρ és U†_n = -σ_z.sin ρ + σ_x.cos ρ

Az így definiált két operátor szorzata a Pauli-mátrixokhoz hasonlóan anti-szimmetrikus:

U_n.U†_n = - U†_n.U_n

Ennek az operátornak az elemi töltéssel való szorzata definiálja a töltésoperátort: 

Q = U_n.e

Ekkor a Q operátor diagonális elemei megadják valamennyi elemi fermion töltését, ha bevezetjük a cos ρ = n/3 szabályt és n = 3, 2, 1 vagy 0. Ezt úgy is értelmezhetjük, hogy az elemi fermionok a királis térben négy különböző formációt alkotnak, amit az n kvantumszámmal jellemezhetünk, a részecskéket és anti-részecskéket pedig az operátor két diagonális eleme különbözteti meg. Az U_n operátor azonban nem csak az elemi részecskék töltését, hanem tömegét és impulzusát is meghatározza. Ezt illusztráljuk a nyugalmi tömeg és az impulzus operátor segítségével, amit a tömeg illetve energia kétdimenziós (pozitív, negatív) terében definiálunk:

M₀ = U_n._.m₀    és         P = U†_n.p 

A töltés, tömeg és impulzus operátorokat a Dirac-operátorba helyettesítve írhatjuk fel az általános fermion operátort: 

H_F,n = c.U†_n●σ●(I.p – U_n.e.A(r)) + U_n●I●I.m₀.c² + I●I●U_n.e.Φ(r)

Az U_n és U†_n mátrixok szorzatának anti-szimmetriája miatt ez az operátor is megfelel a relativisztikus invariancia követelményének hasonlóan a Dirac-operátorhoz. 

Minden n értékhez tartozik egy részecske és egy antirészecske az n = 0 neutrínó kivételével, ahol az antineutrínó operátora megegyezik a neutrínóéval. A különböző fermionokat szemlélteti a következő ábra:

Fermion állapotdiagram a bal és jobbsodrású forgási frekvenciák koordináta síkjában. A sugarak mutatják a töltést, a körívek a nyugalmi tömeget. Kvarkok és neutrínó esetén csak az első generációs részecskéket tüntettünk fel. A frekvenciaskála nem lineáris, csak a trendeket mutatja

 Az n = 3 kvantumszám visszaadja az elektron energia operátorát, a σ_z operátor +1 és -1 sajátértékei különböztetik meg az elektront és a pozitront. Érdekes tanulságot vonhatunk le az n =0 (neutrínó) és az n = 1 és 2 kvark egyenletből. Neutrínó esetén a töltésoperátor diagonális elemei nullák, ezért ekkor a skalár és vektor potenciál elhagyható:

H_F,0 = c.σ_z●σ●I.p + σ_x●I●I.m₀.c²

Ekkor az impulzus és a tömeg szerepe felcserélődik: a nyugalmi tömeg lesz nem-diagonális és az impulzus lesz diagonális. Mivel mérni csak a diagonális elemeket tudjuk, így a neutrínót nullatömegű, de véges impulzusú részecskének kell tekinteni. Ebben tehát hasonlít a fotonhoz, ahol az egytengelyű forgások miatt nincs se tömeg, se elektromos töltés. A neutrínónak azért lehet véges az impulzusa, mert az impulzusnövekedés is végtelen fénysebesség esetén és így a térpontok határértékben nulla impulzusa szorozva a végtelenhez tartó növekedési faktorral véges értéket adhat. A neutrínó véges tömegének létrejötte tehát analóg jelenség, ahogy az elektronnál és más fermionoknál a térpontok határértékben nulla tömegéből a fénysebességű forgások által létrejön a véges nyugalmi tömeg. Valamennyi kísérlet, amelyben meghatározták a neutrínók haladási sebességét, a fénysebességet hozta ki. Ez megfelel annak a követelménynek, ami a fénysebességhez köti a neutrínók impulzusának létrejöttét.

A Standard Modell három neutrínó típust különböztet meg, amit elektron, müon és tau típusú részecskének neveznek. A Standard Modell eredetileg nulla nyugalmi tömeget rendelt ezekhez a részecskékhez, amit látszólag cáfol a neutrínó oszcilláció jelensége, amely szerint a három típus egymásba alakulhat. Mivel a neutrínók rendelkeznek véges impulzussal, így valóban lehet három különböző típusuk nulla nyugalmi tömegük ellenére. Úgy is fogalmazhatunk, hogy szemben az elektronnal, amelyik rendelkezik a referencia rendszer választásától független saját (nyugalmi) tömeggel, a neutrínó rendelkezik a referencia rendszertől független saját impulzussal és a hozzá tartozó mozgási tömeggel. Ez az m₀ =  p/c mozgási tömeg szerepel a tömeg mátrix nem-diagonális elemeiben:

H_F,0 = (σ_z●σ.p + σ_x●I.p)c

Kvarkok esetén mind a töltés és a tömeg egyaránt tartalmaz diagonális és nem diagonális elemeket, azaz a kvarkok nincsenek sem töltés, sem tömeg sajátállapotban. Ennek felel meg, hogy csak „renormált”, tehát nem valódi tömegről beszélhetünk és nem lehet kísérletileg detektálni ezeket a részecskéket

Záró gondolatok

A fotonokra érvényes közvetlen kapcsolatot az energia és impulzus között kiterjesztve valamennyi elemi részecskére eljuthatunk egyfelől a relativitáselmélet transzformációs törvényeihez, másfelől a fénysebességű forgások koncepciójáig.  Dirac eredeti gondolatát továbbfejlesztve 8-dimenziós spinorok bevezetésével a töltést, tömeget és impulzust is 2x2 dimenziós mátrixokkal reprezentáljuk, ami olyan a relativisztikus hullámegyenlethez vezet, amelyik alkalmas valamennyi fermion elektromágneses kölcsönhatásainak leírására. Ebben a reprezentációban ez elektront és pozitront mint tömeg-, a neutrínót impulzus-sajátállapotú részecskét definiálhatjuk, a kvarkok viszont nincsenek sem töltés, sem tömeg sajátállapotban. A különböző típusú neutrínók közötti oszcilláció értelmezhető a részecskék eltérő sajátimpulzusával. 

A blog további begyzéseinek összefoglalóját lásd "Paradigmaváltás a fizikában"

 Rockenbauer Antal

Fénysebességű forgások és a relativitáselmélet:

A Dirac-egyenlettől az általános fermion egyenletig

Rockenbauer Antal

A részecskefizika nyitott kérdései I és II címen már ismertettem a fermionok sajátmozgásaira adott elképzeléseimet, ebben az írásban a modell mélyebb kvantummechanikai alapjait mutatom be.

A relativitáselmélettel összhangban levő kvantummechanikát Dirac alkotta meg. Ez a tudományos eredmény Maxwell teljesítményéhez mérhető, aki az elektromágnesesség alapegyenleteinek felírása által eljutott a fény természetének megértéséhez, Dirac sikeresen kapcsolta össze a két modern fizikai elméletet, előre megjósolta a pozitron – és általában az anti-részecskék – létezését és szilárd alapokra helyezte az elemi részecskék saját impulzusmomentumának, a spinnek fogalmát. A következőkben bemutatom, hogy a részecskék fénysebességű forgásán alapuló elképzelés hogyan helyezi új megvilágításba  a speciális relativitás elméletét és hogyan teszi lehetővé a Dirac-egyenletet kiterjesztését az elemi fermionok leírására.

Nézzük meg először a fénysebességű forgások kapcsolatát a relativitáselmélet transzformációs törvényeivel.

Sajátforgás és Lorentz-invariancia

A speciális relativitás elméletében az energia négyzetesen tevődik össze két komponensből, az egyik a részecske impulzusából származik, ez a relativisztikus kinetikus energia: E_kin =p.c, a másik a nyugalmi energia E_rest = m_oc² 

E² = E²_kin + E²_rest = c².p² + m²₀.c⁴ 

Mint látható a nyugalmi tömeggel rendelkező részecskék esetén kvadratikus reláció áll fent az energia két összetevője között. Ilyen összegzési szabály akkor várható, ha vektorokat adunk össze és a vektorkomponensek merőlegesek egymásra és így közöttük a skalárisszorzat eltűnik. A relativisztikus kinetikus energia vektoriális eredete az impulzus vektor jellegéből következik, de hogyan kapcsolhatjuk a nyugalmi energiát is valamilyen vektorhoz?  Erre a kérdésre választ ad az elképzelésünk, mely szerint a nyugalmi energia valójában fénysebességű forgásoktól származik (lásd „A részecskefizika nyitott kérdései I és II” című blogot), és ezáltal a részecske rendelkezik saját impulzussal és impulzusmomentummal.

Az elemi részecskéket két alaptípusba sorolhatjuk attól függően, hogy rendelkeznek-e nyugalmi tömeggel. Itt most két részecske fajtát emelünk ki: a zérus nyugalmi tömegű fotont, melyhez S = 1 spin rendelhető hozzá az egytengelyű forgás miatt, és a nyugalmi tömeggel rendelkező S = 1/2 spinű fermionokat (elektron, pozitron, proton, neutron), ahol a spin a részecskét létrehozó kettős forgásra vezethető vissza. A foton nulla nyugalmi tömege okozza, hogy az E = p.c összefüggés szerint közvetlen kapcsolat van az energia és impulzus között.

Alap feltevésünk, hogy az energia és az impulzus közötti E = p.c összefüggés minden részecskére igaz, ha figyelembe vesszük a részecskék sajátforgását is. Ennek értelmében mind az energiához, mind az impulzushoz a külső térben történő mozgásokon kívül a sajátmozgásokat is figyelembe kell venni. Kimutatjuk, hogy a teljes impulzus és az energia között ez a kapcsolat megköveteli a sajátforgásoknak fénysebességét, és ekvivalens elvnek tekinthető a speciális relativitáselmélet transzformációs törvényeivel. 

Fordítsuk meg Dirac eredeti gondolatmenetét, aki a relativisztikus egyenleteket vitte át a kvantummechanika területére, ehelyett jellemezzük a részecske mozgását kvantummechanikai állapotfüggvénnyel és ennek segítségével fogalmazzuk meg a relativisztikus invariancia törvényeit. Eszerint, ha a részecske rendelkezik nyugalmi tömeggel, ezt annak tulajdonítjuk, hogy létezik egy  p₀ impulzussal járó sajátmozgás, amely hozzáadódik a szokásos transzlációs vagy orbitális p₁ impulzushoz [1]:

p = p₁ + p₀ 

Izotróp sajátforgást feltételezve a p₀ impulzusvektor valamennyi orientációt egyenlő valószínűséggel vesz fel, azaz a részecske sajátmozgását leíró Ψ(r₀) állapotfüggvénnyel képzett  < p₀> várhatóérték nulla lesz. Ugyanakkor az impulzus négyzetének várható értéke – amely meghatározza a nyugalmi energiát – véges értéket vesz fel: p²₀ = <p²₀>. Mivel a p₀ vektor várhatóértéke nulla így a p₁-el alkotott szorzat várható értéke eltűnik, következésképp az E² = c²p² összefüggés két négyzetes kifejezés összegére bomlik fel

E² = c²(p²₁ + p²₀) 

ahol p₀ = m₀. c. Itt behelyettesítve az energia és impulzus operátorokat és az egyenletet átrendezve eljutunk a relativisztikus invariancia differenciális alakjához: 

Minthogy a téridő koordináták transzformációja lineáris, így a differenciális alakból következik az integrális alak invarianciája is, azaz

c².t² – x² – y² – z² = állandó

Tehát abból a két feltevésből kiindulva, hogy egyrészt az energia kifejezhető az impulzus és a fénysebesség szorzatával, másrészt a részecske sajátforgása izotróp, arra a következtetésre jutunk, hogy a részecske mozgását leíró mozgásegyenletek a Lorentz-transzformációval írhatók le. A nyugalmi energia és a spin izotróp sajátforgásra való visszavezetése, illetve a koordináta transzformációk Lorentz-invarianciája úgy értelmezhető, mint a speciális relativitás elvének két ekvivalens megfogalmazása. 

Az energia és tömeg ekvivalencia törvényét E = m.c² összekapcsolva az E = p.c részecske definícióval az impulzus p = m.c szorzattal adható meg, azaz minden részecske impulzusa a tömeg és a fénysebesség szorzata. A relativitáselmélet sebességekre vonatkozó szabálya szerint a c sebességű rendszerben az u sebességgel mozgó részecske teljes ebessége is c-vel lesz egyenlő. Ez vonatkozik a fénysebességgel forgó részecske sajátrendszerére is, amiért az impulzus kifejezésében a c szorzó lép fel. Ugyanakkor a külső rendszer u sebessége a relativisztikusan megnövekedett tömegen keresztül jelenik meg. Az E = p.c szabály ezért akkor érvényes, ha a részecske valóban a fény sebességével forog! 

Az elektron relativisztikus egyenlete elektromágneses térben 

Az elektromágneses erőtérben mozgó elektron energiáját a Φ(r) skalár potenciál, és az A(r) vektor potenciál segítségével adhatjuk meg, az előbbi a skaláris energiához, az utóbbi a vektoriális impulzushoz ad járulékot: 

(E – e.Φ(r))² = (c.p – e.A(r))² + m²₀.c⁴

Ide behelyettesítve az energia és az impulzus operátorát jutunk el a Klein-Gordon egyenlethez, amelyben az okoz nehézséget, hogy az energia kvadratikus, amiért a sajátérték egyenlet nem oldható meg a szokásos módon. Az állapotfüggvény meghatározásához ugyanis az energiában lineáris HΨ = EΨ  alakú differenciálegyenletre van szükség, amit a Klein-Gordon egyenletből négyzetgyökvonással hozhatunk létre. Dirac korszakalkotó ötlete volt, hogy ezt a gyökvonást mátrixfelbontással oldotta meg.

Az egyenlet valójában négy a spinorok (a vektor és β skalár [2]) által csatolt differenciálegyenlet, amit külön hangsúlyozni akarunk a négydimenziós I egységmátrix feltüntetésével a skalár potenciál kifejezésében:

H_D = c.a.(p – e.A(r)) + β.m₀.c² + I.e.Φ(r)

Írjuk fel a Dirac-spinorokat a Pauli-mátrixok direktszorzataival [3]:

H_D = c.σ_x●σ (p – e.A(r)) + σ_z●I.m₀.c² + I●I.e.Φ(r)

A tényezők sorrendje alapján definiáljuk a különböző Pauli-mátrixok szerepét, illetve azt a teret, ahol hatásukat kifejtik. A direkt szorzat első tényezője az impulzus tagban σ_x, a nyugalmi energiát adó kifejezésben σ_z. Mivel a Pauli-mátrixnak két sajátértéke van, nevezetesen +1 és -1, és ezek alkotják a diagonális σ_z két elemét, így a tömeg előjele lehet egyaránt pozitív és negatív. Az impulzus tagban a diagonális elemeket nem tartalmazó σ_x  szerepel, ami azt jelenti, hogy ebben a 2x2 dimenziós reprezentációban a kinetikus energia csak nem-diagonális elemeket ad, ami  – amint a sajátérték egyenlet megoldásából látható – visszaadja a relativitáselmélet tömegnövekedési formuláját [4]. Mindezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy az elektron olyan részecske, amelynek van saját tömege – a nyugalmi tömeg – ami független az inercia rendszer megválasztásától, de nincs saját impulzusa, mert ennek értéke a választott inercia rendszer sebességétől függ. A H_D Dirac-operátorban az impulzustól származó diagonális mátrixelemek nullák, ami avval ekvivalens a részecskéket fénysebességű forgásokkal értelmező modellben, hogy a részecske sajátforgása izotróp és így az impulzus átlagértéke nulla. A Coulomb-kölcsönhatást leíró tag első tényezője az egységmátrix, ami azt jelenti, hogy ez a kölcsönhatás független a tömeg előjelétől és a részecske sebességétől.

A direktszorzatokkal felírt Dirac-egyenletben a második helyen álló tényező a spint, azaz az elektron saját impulzusmomentumát definiálja:

S = ½ σ

Ez a tényező az impulzus tagban lép fel. Emiatt a spin járulékot ad az energiához, ha az elektron pályamozgást végez (spin-pálya csatolás), vagy ha mágneses tér hat rá (Zeeman-kölcsönhatás). A nyugalmi energia és a Coulomb-kölcsönhatás viszont nem függ a spintől, amit a szorzat második tényezőjeként feltüntetett egységmátrix mutat. 

Megjegyzések

[1 ] A félkövér betűk jelölik a vektoriális mennyiségeket.

[2] Négy darab 4x4 dimenziós mátrix reprezentálja a spinorokat, ebből hármat jelöl az α vektor és egyet a β skalár spinor, ahol az aláhúzás jelöli a mátrix jelleget. A spinorok szorzata anti-szimmetrikus:

_αi.α_j = - α_j.α_i

továbbá

_αi.β = - β.α_i

[3] A három σ  Pauli-mátrix 2x2 elemből épül fel

  A Pauli-mátrixok nem kommutálnak és szorzatuk anti-szimmetrikus hasonlóan az α spinorokhoz.

A Pauli-mátrixok ● szimbólummal jelölt szorzatai (direkt szorzat) építik fel a 4x4-es spinorokat. Ez a művelet a 2x2-es mátrixok mind a négy elemét egymással szorozva hoz létre 4x4 alakú mátrixokat

 és 

Ebben a kifejezésben I a kétdimenziós egységmátrixot jelöli: 

[4] Írjuk fel a Dirac-operátort az elektromágneses mező nélküli esetben és hagyjuk el a direktszorzat második tényezőjét (ezt megtehetjük, ha az u sebességű mozgás irányában vesszük fel a z tengelyt):

A sajátérték egyenlet a mátrix szekuláris egyenletéből képződik:

Folytatás a "Fénysebességű forgások_II blogban.    

A blog további begyzéseinek összefoglalóját lásd "Paradigmaváltás a fizikában" 

Second part from Ind. J. Phys., 89, 389-396 (2015)

A screw model for quantum electrodynamics: From gravitation to quanta

A Rockenbauer*

Department of Physics, Budapest University of Technology and Economics and

MTA-BME Condensed Matter Research Group, Budafoki ut 8, 1111 Budapest, Hungary

Abstract

A screw model is developed for photons and fermions to offer a physical representation for the Feynman’s arrow scheme in quantum-electrodynamics. This model interprets intrinsic parameters of particles: spin, rest energy and magnetic moment by self-rotations with the speed of light forming either a helical (boson) or a spherical (fermion) screws. Due to the extreme Lorentz contraction the surface of screws is zero, while the radius remains finite (Compton radius). According to the general theory of relativity, the non-Euclidean geometry of space-time caused by the self-rotation of particles should produce an intrinsic force, which is analogous to the gravitation, but being 32-42 orders of magnitudes stronger, we denote it as strong gravitation. It is a self-stabilizing force for the intrinsic rotations, which is the source of spin and defines the Planck constant. The spherical screws of fermions are formed by double rotations, where the two rotations have right or left-handed chirality representing the particles and anti-particles. The double-rotation produces Coriolis force, where the sign is determined by the chirality and this force is the origin of electric charge. Parity violation in the beta-decay of neutrons is related to the symmetry of reflection for the self-motion of particles. The finite radius of self-rotation may resolve also divergences in the theory of quantum-electrodynamics.

Keywords: Feynman’s arrows; QED; self-motion of particles; strong gravitation

PACS (2010): 11.30.Er; 12.10.-g; 12.20.-m; 13.40.Em; 14.60.Cd

Corresponding author, e_mail: rockenbauer.antal@ttk.mta.hu

..............

Eq. (16) gives also the angular frequency w and the central radius R_c:

ω = 2m.c²/ħ     and     R_c = ħ/2m.c                                              (17)

There is a factor 2 in these expressions compared to the de Broglie frequency and the Compton wavelength [8], respectively, which is again related to the definition of the double rotation. Actually the de Broglie frequency is equal to the two-dimensional angular frequency .

Let us rewrite Eq. (16) in the form of the Kepler’s law:

ħ.c/2m = ω² R³_c                                                                       (18)

A comparison of Eq. (18) with Eq. (5) shows the ratio of strong to weak gravitation at the shell r = R_c :

F_sgr/F_gr = ħ.c/(2γ.m²)                                                                 (19)

In the case of electrons the ratio is 2.85x10⁴² , for nucleons it is around 10³⁶, and for the heaviest particles it is around 10³².  For elementary particles the frequency jump is also enormous: 10¹⁶-10²¹ at the borderline of shell r = R_c

According to the outlined screw model, the quantum nature of elementary processes is related to the strong gravitation, which separates rotating domains in the space and stabilizes both one- and two-dimensional rotations (bosons and fermions), where the particles have angular momenta ћ and ћ/2, respectively. All informations, obtained from the motions of fermions (e.g. the motion of electrons in the atoms) are mediated by absorptions and emissions of photons with the angular momentum of ħ. Thus all physical laws of micro-world are governed by the quantum unites of Planck constant. This principle is expressed in the most consequent manner in the theory of QED. For this reason our screw model can be considered as a conceptual support for the basic idea of quantum physics.

The fermions, like electrons, muons and tau particles have well defined mass, that is the frequency of the double-rotation cannot change continuously contrary to the case of photons. Why are only discrete frequencies of the self-rotation allowed for fermions? It might be possible that the particle generating mechanism, like the symmetry breaking of Higgs process [11], can produce particles only with well defined mass, or the two simultaneous rotations can resonate only at definite frequencies. Our screw model cannot answer this question. Similarly this problem is left open in the Standard Model of elementary particles [16].

3. 3. Electromagnetic interactions

3.3.1 Electric charge as a Coriolis force in rotating frames

In certain aspects electrons behave like point-like objects, e.g. in Bhabha experiments studying the scattering of positrons by electrons [3, 4], the scattering cross section is found zero within the precision of the experiment. In the screw model it can be interpreted by the zero surface of sphere due to the rotation with the speed of light. But other properties of electrons can be explained by a finite radius, e.g. the magnetic moment. This latter property can be related to the finite R_c central radius. In the frames of the double-rotation, besides the centrifugal force, the Coriolis force [17] also appears because the second rotation will produce a motion with the speed u = r.ω in the frame of first rotation:

F_Coriolis = 2m.ωxu                                                        (20)

On the surface of the sphere at r = R_c, the peripheral speed of the second rotation is c, and this is perpendicular to the axis of other rotation, thus the Coriolis force is F_Coriolis = ±2m.ω.c. This force exerts a twist on the surface of the sphere, the sign ± describes the polarization of twist: it will be right-handed when the chirality of the double-rotation has this handedness, or left-handed in the opposite case. Since the angular momentum is ħ/2 and ω = c/R_c, the Coriolis force can be given as:

F_Coriolis = ±ħc/R²c                                               (21)

This force uniformly twists the entire 4R²_c.π surface of the sphere and generate virtual one-dimensional rotations, which we have postulated earlier as photons. The interaction mediated by the virtual photons is proportional to the total torsion force (the flux is ±4πh.c). Following the principle of QED, we assume that the electric force is mediated by virtual photons and the resulting interaction is proportional to the Coriolis flux. The electric charge in the Coulomb force:

F_Coriolis = ±e²/r² = ±α.ħ.c/r²                                            (22)

can be interpreted by the fine structure constant of Sommerfeld [18] α = e²/ħ.c = 1/137.036, which can be considered as an attenuating factor of  the Coriolis force. This attenuation factor is also a structural property of space-time similarly to the Planck constant and the speed of light. The Coulomb force is attractive if the two charged fermions have opposite chirality, and repulsive for fermions having the same chirality.

The zero charge of photons is explained by the cylindrical screw motion, since in this case the direction of propagation is parallel to the rotational axis, which produces zero Coriolis force. In the case of neutrinos the charge neutrality requires a further assumption of a superimposition of left- and right-handed screws. This assumption harmonizes with the basic principle of superposition of equivalent quantum states.

3. 3.1. Anomalous magnetic moment of electron

The theory of QED can reconstruct the anomalous magnetic moment of electrons with a very high accuracy [19]. Here we offer visualization for the major terms given by the perturbation computation of QED. Two kinds of motion of the electric charge can contribute to the magnetic moment: the orbital motion around a nucleus and the self-motion of electrons. The first contribution is proportional to the orbital quantum number L and the second to the spin S. The magnetic moment derived from the Dirac equation [14] is:

μ = μ_B(L + 2S)                                                          (23)

Here μ_B is the Bohr magneton.

According to the classical electrodynamics, the rotating charge produces magnetic moment μ = i.f/c, where the current I = e.ν, the area of circle f = r²π, thus the magnetic moment of orbital motion is:

μ_L = e.ν.r²π/c = e.ω.r²/2c                                                                                (24)

The relation between the quantum mechanical and classical orbital angular momentum: L.ħ = m.ω.r², gives the following orbital contribution:

μ_L =L. e.ħ/(2m.c) = μ_B.L                                                       (25)

The spin contribution can be computed analogously if we place the charge uniformly on the surface of the sphere at the radius r = R_c. The sphere can be decomposed into circles and the angular and magnetic moment can be obtained by integration. The question has been raised by Feynman [20], what is the origin of factor 2 in the Zeeman interaction. The answer is the difference between the one- and two-dimensional rotations. When we place the electron in magnetic field it induces a one-dimensional rotation. This rotation is superimposed on the two-dimensional rotation of the spin. It means that the spin contribution of magnetic moment is the same as obtained from the orbital motion if L = 1, but the spin is smaller by a factor two since S = ½, and thus the total contribution can be given as:

μ_S = 2μ_B.S                                                               (26)

The anomalous magnetic moment has further contributions, which are explained by the QED as coming from vacuum polarization [21].  In the one-loop approach individual photon absorptions and emissions are taken into account

μ_S = (2 + α/π)μ_B.S                                                        (27)

The theory of QED gives further terms as a power series of the fine structure constant α, when combined photon processes are taken into account. In the screw model these terms can be interpreted as the impact of Coulomb force in the stabilization of self-rotation: the centrifugal force is balanced by the sum of the strong gravitation and the Coulomb force:

2m.ω²R_c = ħ.c/R²_c + e²/(2πR²_c) = (1+α/2π)ħ.c/R²_c                                      (28)

The Coulomb force is divided by 2π since the balance extends in the whole perimeter. Eq. (28) can be rewritten:

ω.R²_c = (1+α/2π)ħ/2m                                                  (29)

By this correction the anomalous magnetic momentum of electrons can be obtained. It is not our purpose to derive the exact formula of magnetic momentum, only we want to demonstrate that the screw model is a useful visualization of the QED formalism. This interpretation also suggests that the rest mass of fermions could have a minor electromagnetic contribution beside the predominant strong gravitation. The above interpretation of the anomalous magnetic moment agrees with the results of MacGregor [22] that the Compton-sized  electron model quantitatively reproduces the spin, magnetic moment, and gyromagnetic ratio of the electron, correct to first order in α.

Though the theory of QED has great successes explaining certain properties of elementary particles, e.g. the anomalous magnetic moment of the electron, it still encounters divergence problems in the computations of self-energy [21]. The screw model may help to get rid off some of the divergences. The divergence can occur, when point like particles are assumed, since in this case the integration includes the space domain, where the radius is zero and the potential energy is infinite. In addition to the integration includes also virtual photons with infinite energy. In our screw model the point-like particles move on a finite sphere R_c and no mass and charge exist inside this sphere. Furthermore the double-rotation takes place by the de Broglie frequency, which could be the upper limit for the virtual photons. If these limitations are included in the field theories, the divergence may be avoided.

4. Conclusions

In order to rationalize the arrow model of Feynman [1] where he offers visual representation for the complicated calculations in the theory of QED, we have developed a screw model for particles. Both the photons and fermions are represented by rotation of space points with the peripheral speed of light either on the surface of a cylinder or on a sphere, respectively. The screw model is based on rotational frames, which leads to a non-Euclidean space, in which the curvature determines the force of gravitation. The function of curvature is designed to reproduce the Newton formula of gravitation and this formula is also suitable to determine the curvature, even when the rotation takes place at the speed of light. In this case the potential energy is found to be equal to –mc², which indicates that the rotation with the speed of light can produce the mass for the particles. The respective force termed as strong gravitation supplies the centripetal force balancing the centrifugal force of rotating object. The self-rotation of particles can also explain the origin of the spin, the rest energy and the magnetic moment.

The screw model suggests a new interpretation for the Planck constant defining it as a force constant of the strong gravitation. The quantum nature of micro-world can be considered as a consequence of the enormous jump of force by crossing the surface of the rotating sphere. The strong gravitation exceeds the standard gravitation by 32-42 order of magnitudes. The electric charge is interpreted as an attenuated Coriolis force of the self-motion. The sign of the charge and the particle-antiparticle duality are assigned to the chirality of the double-rotation. The parity violation in the beta decay of neutrons is explained by the incomplete character of usual reflection. If the reflection is extended to the space of self-rotations, which is an equivalent symmetry operation with the charge conjugation, the parity is no more violated. The anomalous magnetic moment of electrons can also be interpreted by the screw model. The divergence problems in the self-energy computations could be resolved if the particles are represented by rotations on a sphere with finite size and frequency. The photon mediated electromagnetic interaction is visualized by emission and absorption of the cylindrical rotations, which are produced by the spherical rotations of fermions.

 Further subjects of the blog, see: "Paradigmaváltás a fizikában"

References

[1]        R P Feynman QED, The strange theory of light and matter (Penguin books, Princeton University Press) (1985)

[2]        A Zee Quantum Field Theory in a Nutshell,. (Princeton University Press)  2nd Ed. (2010)

[3]        H J Bhabha  Proc. Roy. Soc. A154 195 (1936)

[4]        A Arbuzov, M Bigi, H Burkhardt et al. Phys. Lett. B. 383 238 (1996)

[5]        R P Feynman Quantum Electrodynamics (Westview Press) New Ed. (1998)

[6]        A O Barut and Nino Zanghi Phys. Rev. Lett. 52, 2009 (1984)

[7]        M Rivas J. Phys. A: Math. General 36,  4703 (2003)

[8]        S Ghosh, A Choudhury and J K Sarma Indian J. Phys. 86 481 (2012)

[9]        A Einstein Annalen der Physik 49 (1916),  archived from the original on 2006-08-29, retrieved 2006-09-03

[10]    K Schwarzschild Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 7 189 (1916)

[11]    P W Higgs Phys. Rev. Lett. 13 508 (1964)

[12]    P A M Dirac Proc. Roy. Soc. A117 610 (1928)

[13]    T D Lee and C N Yang Phys. Rev. 104 822 (1956)

[14]    L Foldy and S A Wouthuysen Phys. Rev. 78 29 (1950)    

[15]    H Bethe Ann.  Physik 395 133 (1929)

[16]    L K Gordon Modern Elementary Particle Physics (Perseus Books) (1987)

[17]    G Joos and I M Freeman Theoretical Physics (New York, Courier Dover Publication) (1986)

[18]    C M  Sommerfeld Phys. Rev. 107 328 (1957)

[19]    G Gabrielse, D Hanneke, T. Kinoshita, M Nio and B Odom Phys. Rev. Lett. 97 030802 (2006)

[20]    R P Feynman, R B Leighton and M Sands The Feynman Lectures on Physics (Addison-Wesley Publishing, Massachusetts) Vol. 2, (1964)

[21]    R P Feynman Phys. Rev. 74 1430 (1948)

[22]    M H MacGregor Foundations  Phys. Lett. 2 577 (1989)

"This accepted author manuscript is copyrighted and published by Elsevier.

It is posted here by agreement between Elsevier and MTA. The definitive

version of the text was subsequently published in [Ind. J. Phys., 89, 389-396 (2015)

date, DOI: 10.1007/s12648-014-0598-z]. Available under license CC-BY-NC-ND."

A screw model for quantum electrodynamics: From gravitation to quanta

A Rockenbauer*

Department of Physics, Budapest University of Technology and Economics and

MTA-BME Condensed Matter Research Group, Budafoki ut 8, 1111 Budapest, Hungary

Abstract

A screw model is developed for photons and fermions to offer a physical representation for the Feynman’s arrow scheme in quantum-electrodynamics. This model interprets intrinsic parameters of particles: spin, rest energy and magnetic moment by self-rotations with the speed of light forming either a helical (boson) or a spherical (fermion) screws. Due to the extreme Lorentz contraction the surface of screws is zero, while the radius remains finite (Compton radius). According to the general theory of relativity, the non-Euclidean geometry of space-time caused by the self-rotation of particles should produce an intrinsic force, which is analogous to the gravitation, but being 32-42 orders of magnitudes stronger, we denote it as strong gravitation. It is a self-stabilizing force for the intrinsic rotations, which is the source of spin and defines the Planck constant. The spherical screws of fermions are formed by double rotations, where the two rotations have right or left-handed chirality representing the particles and anti-particles. The double-rotation produces Coriolis force, where the sign is determined by the chirality and this force is the origin of electric charge. Parity violation in the beta-decay of neutrons is related to the symmetry of reflection for the self-motion of particles. The finite radius of self-rotation may resolve also divergences in the theory of quantum-electrodynamics.

Keywords: Feynman’s arrows; QED; self-motion of particles; strong gravitation

PACS (2010): 11.30.Er; 12.10.-g; 12.20.-m; 13.40.Em; 14.60.Cd

Corresponding author, e_mail: rockenbauer.antal@ttk.mta.hu

1. Introduction

Quantum electrodynamics (QED) constitutes an excellent mathematical method to describe the interaction mechanisms of light and matter [1]. Feynman describes the complicated quantum mechanical calculations by a visual model built up from a lot of arrows representing the photons. He characterizes the direction of arrows by the hand of an imaginary stopwatch that can time a photon as it moves. The movement of light is given by the summation of arrows rendered for the individual events and the probability of the final event is calculated as a square of the final arrow. In this paper we take an effort to find a physical representation for the arrows of Feynman in order to offer explanation for certain conceptual questions of quantum mechanics, like the origin of intrinsic parameters as the spin and the rest mass.

The Standard Model of elementary particles gives a complete description for the properties of elementary objects including fermions (leptons, quarks, hadrons) and the interaction mediating bosons as well as mesons [2]. The model is based on field theories for electromagnetic, weak and strong nuclear interactions (quantum chromodynamics, QCD), but it fails developing a consequent quantum field theory for gravitation. Another problem of field theories is that in the perturbation treatment infinite terms appear when the self-energy of particles is computed. In this paper we raise the question whether this mathematical problem is not related to the assumption of point like particles? The point like nature is proved by the scattering experiments of Bhabha [3, 4]. But how could a point like object have moments, like spin and magnetic dipoles? The Standard Model escapes this contradiction defining the spin as an “intrinsic” property. We point out how the contradiction between  the concepts of point-like and finite size of elementary particles can be resolved by utilizing the formulas of special  theory of relativity for motions with the speed of light. The key point of our analysis is an assumption for the self-motion of particles, which takes place on screw orbits (cylindrical or spherical) with the speed of light. We base this model on rotating frames by applying principles of the special and general relativity and point out that the rotating frames can be considered as the source of gravitation as well as the mass of elementary particles. This concept leads us for the assumption of a new form of gravitation that we call as strong gravitation, which force can stabilize the self-rotation of elementary particles. The question is raised whether the screw model can explain the origin of quanta and electric charge, and a proposal is made how to overcome divergence in quantum electrodynamics [5].

There are a few alternative classical models for the dynamics of electrons. Barut [6] has described the Dirac electron by representing the spin as an orbital motion due to the zitterbewegung. This model, however, can be hardly extended for photons and other bosons, which constitutes our major target. Rivas [7], on the other hand, has developed a mathematical model, where the dynamics of electrons can be described in terms of the evolution of the point charge. This suggestion contradicts with our approach based on the finite size of elementary particles. Ghosh [8] has studied in detail how the charge rotating at relativistic speed can account for the electromagnetic mass. None of the above mentioned works have raised the question of what force can stabilize any kind of self-rotation of the particles.

2. Theory
3. 1. Rotating frames in special relativity

The theory of special relativity is developed for inertial systems moving by constant speed, while the general relativity is based for linearly accelerating frames [9]. In this work we focus our attention to other type of accelerating system, where the frame manifests rotation with constant speed. As customary we denote the axis of rotation by z, and ω = 2π.ν  is the angular velocity of rotation. The peripheral speed is u = 2π.ν.r = ω.r at the radius r. If this speed is close to the c speed of light, the perimeter contracts according to the Lorentz rule. This relation can be applied even if the frame is not inertial, since for infinitesimal sections the curvature can be neglected and the whole perimeter can be derived by integration

Perimeter = 2r.π[1 – (ω.r/c)²]^1/2                                             (1)

Let us define the relativistic radius r_rel as Perimeter/2π:

r_rel = r[1 – (ω.r/c)²]^1/2                                                         (2)

Figure 1. The Lorentz contraction of peripheral radius due to rotation with the angular frequency ω, OB shows the central radius, AB the relativistic radius

The relativistic radius is smaller than the central radius, since the latter one is perpendicular to the motion and is not contracted as seen in Fig. 1. Consequently, the rotating frame has a non-Euclidean geometry. This phenomenon plays a crucial role, when we consider the basic concept of the theory of general relativity [9]. A particular property of rotation frame with a constant w frequency is its limited domain of space, since at the radius R_c = c/ω  its perimeter becomes zero and for this reason in the outside domain, where r > R_c, no rotation can take place with this frequency. For the mass m inside the limited domain of rotating frame r < R_c, we can apply the rule of mass enhancement:

m_rel = m/[1 – [1 – (ω.r/c)²]^1/2]                                                         (3)

The contraction of peripheral radius is compensated by the increase of mass and thus their product is a relativistic invariant:

m_rel.r_rel = m.r = constants                                                       (4)

This invariance has an important consequence, since it allows a space point without mass gaining finite mass if the speed of rotation agrees with c.

2. 2. Gravitation: curvature of space in rotating frames

The electromagnetic, strong- and weak nuclear forces are successfully described by quantum field theories assuming special mediating bosons for each interaction, but no satisfactory quantum theory exists for gravitation. Though a boson is assumed, which is called as graviton [2], but no experimental observation supports its existence and no consistent theory has been developed. In the following we suggest a self-motion in a screw orbit for particles aiming to interpret both the intrinsic parameters of particles and the origin gravitation. For this double purpose we assume two kinds of rotation of space points: a rapid primary motion with the peripheral speed c at the radius R_c, which creates the spin and mass, and a slow secondary motion outside this domain creating the force of gravitation. What essential is that both processes lead to the curvature of space-time, and while this curvature is extremely large at the radius R_c, it is very small outside this domain.

According to the general theory of relativity, the mass deforms the geometry of space-time, which in turn, is the source of gravitation. The question can be raised: what kind of mechanism deforms the space around the mass? To answer this question we assume an inductive effect of rapid self-rotation, creating a slow rotation outside the region of radius R_c. The general theory of Einstein describes the motions of large macroscopic objects, while our purpose is to develop a microscopic approach when the gravitation is directly related to the properties of elementary particles. For this reason we reverse the logical sequence applied by Einstein [10]. In his theory an equation is conceived, which is expressed in the curved coordinates of space-time, which at the first approximation can reproduce the Newton gravitation law. The validity of Einstein’s conception is proved so that his theory can explain minor deviations from the Kepler’s law in the planetary or stellar motion and describes well how the light moves beside massive objects, like the Sun. In our model we assume that the space points rotate at the distance R > R_c from a physical object with mass M according to second Kepler’s law:

γ.M = ω²R²                                                              (5)

Here γ = 6.673 x10^-11 m³/kg s² is the gravitational constant. This assumption is based on the fact that the planetary motion is independent on the mass of rotating objects. Thus even when its mass is zero, the rotation can exist. A particular feature of this rotation is the spherical symmetry, which is discussed later in the particle models. Due to the Lorentz contraction the peripheral radius r is smaller than the central radius R:

r = R[1 – (ω.R/c)²]^1/2                                                       (6)

Due to the spherical symmetry the radial φ_gr (R) component can describe the curvature of space, which in turn gives the gravitational potential for the rotating object of the mass m:

V_gr =  - φ_gr.m                                                               (7)

Without rotation no contraction takes place and the radial curvature should be zero. The dimension of space-time curvature can be chosen as c², thus the following trial function can be defined:

φ _gr (R) = c²[1-(r/R)²]                                                    (8)

Instead of the trial function (8), other φ (1-r/R) functions can be chosen, but it is the only function, which can reproduce the Newton law of gravitation when we take  into account the relativistic contraction in Eq. (6) as well as Kepler’s rule in Eq. (5). Then as shown in Fig. 2 the curvature can be given as:

φ_gr (R) = ω²R² = γ.M/R                                               (9)

Figure 2. Curvature of space geometry due to the self-rotation of particles, the drop of curvature at the Compton radius is 32-42 order of magnitude, the axes are given in arbitrary units with dimensions cm and , respectively

By this way we have arrived to the Newton-law:

V_gr =  -γ.M.m/R                                                                 (10)

From this equation Kepler’s law can be deduced, just we reconstructed our starting point. The essential point of this logic is that by postulating the trial function as Eq. (8), we have obtained a proper function for the curvature of space-time, which can derive the gravitational force balancing the inertial force in the rotating frame. Though we have used Kepler’s law without any relativistic corrections e.g. given by Schwarzschild [10], the same procedure can be repeated if we add further terms to the relation in Eq. (5). Since Eq. (8) can correctly describe the gravitation law, we can consider it as a proper expression for the curvature of space-time in rotating frames.

3. Result and discussion
4. 1. Strong gravitation: extreme curvature for rotation with the speed of light

The great importance of Eq. (8) is that it can explain not only the usual gravitational force, but also the origin of mass. Imagine a rotation where the peripheral speed is equal to c, that is R = c/ω and r = 0. Let us substitute r = 0 into Eq. (8), then we obtain

φ_gr = c²   and V_gr = -m.c²                                              (11)

It means that the potential energy of this rotation is just equal to the rest energy of a particle with a mass m! This fact makes the screw motion as self-consistent, since the self-rotation of space points creates a centripetal force due to the curvature of space, which can completely counterbalance the centrifugal force created also by the same rotation. In this way the rotation of space points can stabilize itself. This lead us to the conclusion that the self-motion of space points rotating with the peripheral speed c can represent particles where the perimeter or surface is zero, and the kinetic energy is equal to the rest-energy: E_self =  -V_gr = m.c². This model suggests that the whole mass of particles is produced by self-rotation, but later we  points out that electromagnetic interaction can give also a minor contribution.

The rotational model of gravitation manifests a close analogy with the optical principle of light propagating in a trajectory with the least time. For massive objects the trajectory approaches the other massive objects, since in their surrounding the space is more contracted. The origin of strong gravitation is related to the trajectory of zero length caused by the self-rotation with the speed of light.

The strong gravitation represents the strongest force possible. Due to the attractive character of common gravitation its effect is added together and can be very strong when the density of mass is extremely large, like in the black holes. It cannot exceed, however, the strong gravitation, since the peripheral radius cannot be reduced further if this radius has already reached the limit, when it is zero. This condition can give an upper limit for the total mass of black holes.

The concept of strong gravitation can be considered as a corollary of Higgs theorem [11] for the origin of mass. While the principle of spontaneous symmetry breaking explains the first step for the formation of a massive particle, which is equivalent to the self-rotation with a speed of c, the strong gravitation offers the force necessary for sustaining this motion.

3. 2. Types of screw motions

The fermions with S = ½ spin and bosons with S = 1 spin require different symmetries for the self-motion. For the former – as it can be seen from the Dirac equation [12] – the expectation values are <S²_x> = <S²_y> = <S²_z> = ¼, , but this equality of the three spin components is not possible for spin S = 1. The eigenfunctions of S = 1 transform under the  L = 1 irreducible representation of rotation group, but a double group should be defined by the extension of rotation group with a 2π angle rotation, which is no more identity operation. This double group has also two dimensional irreducible representations, which can be assigned to the S = ½ spin. In the following subsections we show how the screw motion described by single rotations can represent the photons with cylindrical symmetry, and how the fermions, e.g. the electrons can be described by screws with spherical symmetry, which can be produced by two rotations.

3.2.1. Photons represented by cylindrical screws

In the screw model of photon, the particles are represented by a rotation of local space points propagating on the surface of a cylinder with the speed of light, the surface of a cylinder is zero and the central radius is determined by the frequency: R_c = c/ω. According to the theory of QED the photons can propagate each direction with the same probability, which means that the axis of screws has arbitrary direction. We postulate this screw motion as an analogue for the rotating arrows in described by Feynman [1], where the phase in the screw motion plays the same role as the hand of imaginary stopwatch.

One of the most important discoveries of modern physics is the equivalence of mass and energy, which should be valid also for the photons. For this reason the energy of photons can be expressed by the equivalent motional mass m:

ħ.ω = m.c²                                                                      (12)

This definition yields zero rest mass m₀ due to the extreme Lorentz contraction:

m₀ = lim(u→c)[m(1- u²/c²)^1/2 ] = 0                                                (13)

It means that we can consider the vacuum as a medium without rest mass, but it has the potentiality generating motional mass if the speed of any space points is equal to c. The energy Eq. (12) of photon gives also the momentum and angular momentum. For the momentum: p = m.c = ħ.ω/c = ħ.k, for angular momentum: I = m.c.R_c = ħ.ω.R_c/c = ħ.

The screw can be either left- or right-handed representing the two polarizations of photons, which define the angular momentum by the spin: I_z = S_z.ħ = ±ħ.

The potential energy gives also the force of curved space stabilizing the self-rotation:

V_sgr = -ħ.ω = ħ.c/r  and F_sgr = -ħ.c/r²                                              (14)

We suggest the nomenclature “strong gravitation” (SGR) for the fundamental force, which is created by the extremely curved space, in order to make distinction from the usual (weak) gravitation. The ratio of these forces is around 10³² -10⁴² for elementary particles (see later). We consider Eq. (14) as a basic structural law of the space-time, which plays fundamental role for determining the intrinsic properties of other elementary particles, like the fermions (see in the next subsection).

It is of great importance to point out, that the strong gravitation prescribes the same angular momentum ħ for all photons independently of their energy. By the screw model of photon we suggest a new interpretation for the existence of Planck constant, which can be defined as a force constant of strong gravitation. Since the space-time has the same basic structure in the universe, the same relations determine the intrinsic parameters of photons anywhere. Consequently both the Planck constant ħ and the speed of light c are universal constants manifesting the homogeny of space in the whole universe.

3. 2.2. Fermions represented by spherical screws

Fermions can also be defined by the screw motion of space points with c peripheral speed, but this motion takes place on the surface of a sphere instead of a cylinder. The spherical symmetry is necessary to explain the identical expectation values for the squares of the three spin components. While the symmetry of rotation for photons is cylindrical, which can be represented by a rotation around a single axis, for fermions the spherical symmetry requires double-rotation, where the axis of rotation also rotates on the same w angular velocity. For double-rotation the complete rotation covers two single circles, accordingly, we can define the two-dimensional angular frequency as a half of the usual ω angular frequency:

ϖ = ω/2 =π.ν                                                                      (15)

There is, furthermore, a particular geometric feature of double-rotation, since this motion has chirality: it can be either left- or right-handed. The time-inversion cannot transfer the two chiral geometries each other contrary to the cylindrical rotation of photons, where the two polarizations are time-inverted motions. The chirality allows defining two types of fermions: particles and antiparticles, e.g. electrons and positrons. There is a conceptual advantage of this rotational model, since there is no need for defining a vacuum with totally filled negative energy states like in the Dirac model [12]. The positron is simply a geometric mirror image of the electron and not a hole in the sea of electrons with negative energies. This concept offers a straightforward explanation for the parity violation in the beta decay of neutrons: only the external motional coordinates are reflected in the process of neutron decay without affecting the self-rotation [13]. To obtain a complete reflection one has to substitute the neutron with antineutron, and also the emitted proton, electron and neutrino should be replaced by their respective antiparticle. This operation is termed as charge conjugation, which is equivalent in our model with the reflection of self-rotation.

Being the peripheral speed c, the central radius is R_c = c/ω. All properties of fermions can be deduced from the balance between the centripetal force of the strong gravitation and the centrifugal force of the double-rotation:

ħ.c/R²_c = 2m.ω²R_c =  2m.c²/R_c                                                   (16)

In Eq. (16) the centrifugal force has a factor 2, since the double rotation consists of two separate rotations with the angular frequency ω. This relation gives an angular momentum I_z = m.c.R_c = ħ/2. Due to the spherical symmetry of rotation: I²_x = I²_y = I²_z =ħ²/4, which yields I² =  I²_x + I²_y + I²_z =3/4 ħ²  in a complete agreement of the S = ½ spin in the Dirac equation [14]. The unusual 4π periodicity of S_z = ½   spin eigenfunction exp(±i.ϖ.t) = exp(±1/2 i.ω.t) is in accordance with the definition  in Eq. (15), since the spin is defined in the space of the double-rotations. Thus the concept of double-rotation gives a logical explanation why the 4π rotation is defined as the identity operation in the double-group describing the transformation properties of systems including odd number of electrons [15].

See continuation in the second part: A screw model for quantumelectrodynamics_II

Further subjects of the blog, see: "Paradigmaváltás a fizikában"

Eq. (16) gives also the angular frequency ω and the central radius R_c:

ω = 2m.c²/ħ     and     R_c = ħ/2m.c                                              (17)

There is a factor 2 in these expressions compared to the de Broglie frequency and the Compton wavelength [8], respect

The Einstein-Podolsky-Rosen paradox and the screw model of elementary particles

Antal Rockenbauer

Abstract: The space and time are defined as fictitious coordinates in the state of non-interacting elementary objects. The hidden parameters suggested originally by Einstein, Podolsky and Rosen (EPR) as a deterministic extension for quantum mechanics are postulated in this work as local indefinite quantities, which definition excludes the principle of counterfactual definiteness and the Bell’s inequality. In the screw model the phase of self-rotation is considered as a local indefinite parameter, which assumption allows deterministic interpretation for the elementary processes described mathematically by the inherently probabilistic formalism of quantum mechanics. The uncertainty relations of quantum mechanics are related to the non-observable indefinite phase of the self-rotation of photons. The anomalous terms in the perturbation procedure of quantum electrodynamics are interpreted by the fictitious time and space. A few cases of thought experiments are discussed in terms of the outlined concept providing resolution for the EPR paradox.

Keywords: EPR paradox; hidden parameter; counterfactual definiteness; fictitious space and time

PACS Nos.:  03.65.Ud;  03.65.Ta

1. Introduction

In the previous paper [1] we suggested a screw model for the elementary particles in order to rationalize the role of Feynman’s arrows [2] in quantum electrodynamics (QED). The most important conclusion was the assumption of the strong gravitation, which could explain the origin of mass, charge and spin of the elementary particles produced by the self-rotation of space points with the speed of light.

In the present paper we focus on the question whether the screw model can give an answer for the quantum mechanical paradox put forward by Einstein, Podolsky and Rosen (EPR) [3]. The quantum mechanics can tell the probability of microscopic events when great number of photons has interactions with matter, but this theory cannot predict the outcome of experiments when only individual photons or particles are involved in the process. EPR investigated the consequence of this characteristic feature of quantum mechanics by a few thought experiments and concluded that quantum mechanics was a non-complete theory and suggested the existence of hidden variables (parameters), which can causally control the outcome of experiments including individual photons or particles.

In the subsequent years this question became a controversial issue and great efforts were invested to see if hidden parameters could exist at all. The best studied example is the case of two particles created in a single event and the question was raised whether these particles could have correlated polarization at distant places (see references in [4]). The experiments gave positive answer: such a correlation indeed exists between the simultaneously created “twin” particles.  E.g. Aspect [5] found opposite polarization for two photons emitted in the same process if the photons were detected in opposite direction at equal distance from the source. The central issue of debate was whether the correlation can be explained by hidden variables as suggested by EPR [3] or by

the non-local nature of interaction between the spatially separated twin particles [4] The latter explanation defines a particular quantum state for the two particles, what are called as entangled particles or photons The problem is that both explanations violate certain basic laws of physics.

The assumption of hidden variables was ruled out most convincingly by Bell [6], who devised a set of experiments where the overall probability in the spin polarization experiments yielded an inequality rule, which was found incompatible with experimental findings. In this analysis Bell defined the hidden variable as a parameter controlling the polarization of photons at any time and took into account the rules of the uncertainty relations in quantum mechanics. Since the Bell’s inequality seemed to exclude the concept of hidden variable to interpret the EPR paradox, quantum mechanics needed a new approach, which lead to the assumption of entangled state of the particles created in a single event. In this state the twin particles should always remain in a correlated state by a non-local interaction. In the Copenhagen interpretation of quantum mechanics [7] the reduction or collapse of wavefunction is assumed when an experiment is carried out. According to this concept, when the wavefunction of the first particle is collapsed so has to do the second, it means that polarization of the first particle immediately changes polarization of the second particle at a separated spatial location. For resolving the evident contradiction, the customary explanation states that this information cannot be transferred between the two distant measuring teams faster than the speed of light. It is, however, easy to see that the concept of non-local interactions is still in contradiction to the principle of relativity, since the entangled photons can produce interactions between the internal and external zones of the space-time cones. Suppose a supernova explosion billion years ago if entangled particles really exist, these pairs of particles should be also emitted. One particle of this pair can reach one galaxy, while the other can encounter another galaxy. If as a consequence of encountering, the polarization of the first particle is changed, then, according to the definition of entangled particles, at the same time the polarization should be changed for the other photon in the other galaxy. It means that an event in one galaxy has an immediate impact in the other galaxy.

In this paper we make an effort to show that the assumption of underlying deterministic and causal laws for the elementary processes can be reconciled with the probabilistic character of quantum mechanics. The arguments are partially based on our previously introduced screw model and partially on the concept of fictitious space and time related to the state when the studied particles or photons do not interact with the surroundings. We connect the “strange” behavior of the virtual photons in the theory of QED [3] to the fictitious character of space and time. We demonstrate that the above concepts can alleviate interpretational problems of the EPR paradox by giving a less stringent definition for the hidden parameter compared to the assumptions of Bell [6]. In order to emphasize this definition, we introduce the term “indefinite parameter”, which can prescribe the outcome of individual elementary processes even though the value of this parameter remains indefinite. The indefiniteness involves an inherent statistics yielding to the probabilistic laws of quantum mechanics. This indefinite character also obliterates the counterfactual definiteness, which principle was considered by Blaylock [4] as decisive for interpreting the EPR paradox.

2. Theory

2.1. Quantum mechanical probabilities and the intrinsic phase of screw motion

In the screw model, we can assign an intrinsic phase for the temporary state of self-rotation:

φ = 2πυ (t –t₀) + φ₀                                                                                                (1)

Here φ₀ depends on the prehistory of photons or electrons applied in the experiment. The phase of screw motion plays an analogous role as the direction of arrows in the QED concept of Feynman [2], and furthermore, it can be related to the phase of the imaginary argument of wavefunction for the quantum mechanical objects. We can extend Feynman’s concept devised primarily for photons by assuming arrows also for the self-motion of fermions. When the outcome of any individual physical events is considered, e.g. the probability of reflection or transmission when the light reaches the surface of glass, the probability of event can be characterized by the scalar product of arrows representing the phases of incident photon and the interacting electron in the glass. The other factor influencing the elementary process is the frequency, since all transitions take place as a resonance when the frequency of incoming photon is equal to the frequency difference between the respective states of electrons. Actually quantum mechanics considers only the frequency fit without taking into account the role of phase agreement. The probabilistic description of elementary processes is a consequence of missing information for the intrinsic phases, since we can not control the prehistory of particles, neither for photons nor for electrons involved in the interaction. We postulate also indefinite phase for the orbital motion of electrons. The unknown phase makes impossible guarantying identical experimental conditions and, for this reason, only a statistical prediction can be given for the outcome of measurements where the impact of possible phases is averaged. This situation does not influence the result of experiments if great amount of photons and particles are involved in the processes, but makes impossible predicting the outcome of the individual elementary events. The theory of quantum mechanics is in accordance with this situation, since the computation of expectation values and transition probabilities include averaging processes, which eliminate the unknown phase of wavefunction in the final formulas.

2.2. Uncertainty principle in the screw model

The uncertainty of any physical observables can be connected to the properties of photons carrying information on the transition between two states of the elementary system. If, e.g., the photon bears large energy hn, we can obtain precise information for the position, but poor for the momentum. If subsequently a second photon is applied with small energy, we can improve the precision for momentum measurement, but this system is no more in the same state as before, since the investigated object has been already disturbed by the first photon. Thus the uncertainty rules are related to the fact that we cannot carry out two experiments under identical conditions for any elementary process. In the measurement of position, the phase uncertainty limits the resolution, since it does not allow measuring the position of any objects by a better precision than the spatial separation between two turns in the screw motion of photons. Furthermore in the course of screw motion, the direction of momentum also depends on the unknown phase causing an uncontrolled change of the object’s momentum, which limits the precision of measurement in the amount of . (Here we disregard numerical factors in the order of unity.) Consequently, the product of these uncertainties cannot be less than the Planck constant h. The same holds for the product of time and energy uncertainties, since the phase uncertainty limits the precision of time determination by the period of one turn in the screw motion  and the energy of object can be altered by the quantum of photon. The product of the two uncertainties is again the Planck constant.

3. Results and discussion

3.1. Local indefinite parameters and fictitious coordinates of space and time

3.1.1. The strange behavior of photons in the theory of QED

In the screw model of photon, one can raise the question how a cylindrical motion can represent spherical propagation for the light. For answering this question we can start from the concept of the spatial “direction” in the case of the elementary processes. In the macroscopic world this concept is developed in our mental perception in order to organize information transferred by great amount of photons arriving from different points in the space, accordingly, the direction can not be considered as an a priory category, it depends on how we compare the different information collected in the course of observation. When the propagation of a single photon is mathematically described in a state lacking any interaction with its surrounding, we cannot compare the orientation of propagation with any external information, thus in the non-interacting state of photons the category of direction becomes meaningless, or in other words, the direction represents a fictitious coordinate. The situation is analogous when the polarization of photons or other particles is measured. The measuring device constitutes a macroscopic instrument including great number of atoms and molecules. The flood of photons arriving from the constituents of apparatus defines the direction, which serves as a base for the measurement of polarization. For this reason this measurement utilizes the information obtained not only from the individual photon under investigation but also from a large amount of photons emitted by the macroscopic instrument. A further question can be raised about the definiteness of polarization in the state preceding the interaction between the investigated photon and the measuring device. Obviously in the non-interacting stage, the photon state is not affected by any properties of the experimental device, that is, no information is available for the spatial direction defined by the instrument, which fact is expressed in the quantum mechanical formalisms by the principle of superimposition and identical probability amplitudes are postulated at all directions. For this reason we can consider the direction as a fictitious coordinate and speak about spherically propagating photons when the self-motion is presented by a helical screw. The appearance of superimposition in the mathematical formalism is the basic turning point that separates quantum mechanics from classical physics and assigns a wave character for the particles. This distinction can give a clear explanation to the dilemma of Schrödinger’s cat [8]. While for the quantum system, we can speak about a non-interacting state with fictitious space and time, the cat in the sealed box is always in an interacting state where the space and time are real. The interaction with the surroundings of cat is very different if the animal is dead or alive, thus we can not describe the state of the cat by neglecting the impact of surrounding and we can not apply the superposition principle, which is valid only for the fictitious space and time.

The distances and time become also fictitious for non-interacting photons, which is in accordance with the theory of special relativity [9] rendering zero length for the traveling path due to the Lorentz contraction and zero time due to the time dilution in the self system of photon. The time dependence is also missing for electrons orbiting in stationary state. Originally Bohr [10] introduced the concept of stationary orbits in atoms when he defined an orbital motion for electrons without electromagnetic radiation. In quantum mechanics these orbits are described by the time-independent eigenfunctions of the Hamiltonian. The time-independent orbital motion is again a consequence of the fictitious time.

The fictitious nature of space and time also rationalizes the appearance of unusual perturbation terms in the theory of QED [3] when the anomalous magnetic moment is calculated. The computations include also perturbation terms visualized by the Feynman diagrams when the impact of virtual electron-positron creation is taken into account even before the pair formation. Since in the QED formalism the virtual photons are described by fictitious coordinates, the usual constraints of real space and time are released, which are exemplified when the local motions can be faster than the speed of light and the flow of time can be reversed. The fictitious character of space is also manifested in the propagation of photons in which all points in the itinerary are considered as creating centers for new spherical waves, which are represented by sequences of the local arrows in the interpretation of Feynman. These arrows form a complex network for a single photon, while the actual interaction is determined by a resulting arrow composed as a sum of all possible individual arrows for which the orientation is governed by the “internal clock” of photon. The individual arrows represent the potential steps in the elementary process, while the final arrow indicates which possibility is realized in the experiment. As we pointed out in our previous paper [1], these arrows can be represented by the temporary phase in the screw motion, and the final phase of the resulting screw can determine which one is actually realized among the possible outcomes of an elementary event.

3.1.2. Bell’s inequality and counterfactual definiteness

In the screw model we postulate an intrinsic phase for the emitted photons, and we investigate if this phase can ensure determinism in the elementary processes. The internal “clock” of the photon is connected to the real time only at the two observable processes, namely at the creation and at the absorption, thus these events determine the real time elapsed in the course of photon propagation, which time prescribes the overall change of phase. As concerning to the spatial orientation for the propagation of photon, before the detection the intrinsic phase is not yet connected to the direction prescribed by our measuring device, consequently, we cannot assign a definite polarization to the intrinsic phase of the non-interacting photon. The polarization remains indefinite even if it has already been measured right after the emission, since the interaction will change the original phase and we cannot have any definite relation between the final polarization and the original phase of photon. This fact makes a decisive difference between the intrinsic phase in the screw model and the hidden variables assumed by Bell [7], namely the former parameter can not be considered as a classical variable, while the latter one is defined under the principle of classical physics. To accentuate this difference we introduce the term local indefinite variable or parameter for classifying the intrinsic phase of screw motion and speak about fictitious direction for the propagation of photon. In the derivation of Bell’s inequality, the basic point is the assumption of counterfactual definiteness [4], stating the outcome of any (even counterfactual) events is completely defined. This definition postulates the hidden parameters according to the concept of classical physics and for this reason the Bell’s inequality leads to the conclusion, that we can not extend quantum mechanics by any classically defined hidden variables. More concretely, while Bell’s concept of hidden variables assigns definite polarization for the photons at any time, in the case of indefinite variables, the polarization is defined only when the measurement has already been completed. It is the reason why the existence of local indefinite variables does not contradict to the laws of quantum mechanics, and the principle of determinism is in line with a probabilistic theory for elementary processes.

3.1.3. The reduction of wavefunction

 A clear distinction of fictitious and real time is also important for interpreting the “reduction” of wavefunction [9]. It is customary to speak about the reduction or collapse of the wavefunction when a measurement is carried out. Before the physical object interacts with the measuring device, the quantum mechanical system can be characterized by superimposition of states rendering probability distribution for the studied physical quantity, but as a consequence of measurement the measured quantity should have a well defined value, which corresponds to one of the eigenstates. According to our concept, the reduction of wavefunction just reflects the idea that before the interaction, which is necessary for gaining information for the physical quantities, we can use only fictitious coordinates and have only limited knowledge about the elementary system, and this limitation is acknowledged in quantum mechanics by introduction of the probability amplitudes. When the measurement is carried out, the obtained information is manifested by a definite wavefunction without any statistical character. In other words, the state of the microscopic system is not collapsed; this reduction is simply a mathematical operation when the fictitious coordinates are replaced by the real coordinates as the result of a real interaction.

3.2. Indefinite variables in atoms and molecules

In order to develop a consequent deterministic picture for all elementary processes, we have to postulate indefinite variables not only for the self-motion of particles, but also for the orbital trajectories of electrons in atoms and molecules. According to quantum mechanics the wavefunction can tell the spatial distribution of orbits, but no information can be given for the temporary position of electrons in the stationary states. The deterministic model is not equivalent to a completely defined classical motion for the electrons, since it requires at least two indefinite parameters in the course of orbital motion, namely the phase and the orientation. The phases of the orbital- and self-motion can be connected, but this relation is also indefinite.

For elementary objects the local symmetry reflects information deficit when certain orientations can not be distinguished. For this reason in quantum mechanics the symmetry plays a decisive role and the wavefunction is classified according to the irreducible representations of symmetry group [11]. The symmetry defines non-distinguishable quantum mechanical states where the dimension is given by the irreducible representations. In order to obtain deterministic theory, we assume indefinite variables that could resolve this ambiguity. Elements of the symmetry group are defined by the transformations not modifying the overall Hamiltonian of system, in atoms it is the rotational-inversion group, in crystals the finite point groups, respectively. The dimension of space formed by the indefinite variables depends on the actual symmetry: the higher is the symmetry the larger can be this dimension. In molecules and crystals the electrons have interaction with a set of nuclei, which gives information about the directions, and due to this additional information the number and degree of indefinite variables become smaller, which is reflected in the smaller dimension of irreducible representations of point groups compared to that of the spherical group.

As an example let us look the motion of electrons in atoms. Here the wavefunction is classified by the l orbital quantum number assigned to the 2l+1 dimensional irreducible representations of rotation-inversion group. The integer l value gives also the angular momentum in ħ units.  The seeming contradiction can be again explained by the fictitious direction leading to identical probability amplitudes at all orientations. Thus we attribute the isotropic distribution of s electrons to the fictitious direction of linear trajectories and not to any kind of secondary motion, which would rotate the orientation of linear trajectories. It means that in quantum mechanics the concept of isotropy is equivalent to the missing information about orientation. As we have already mentioned, the same concept can also explain how the cylindrical screw motion of photons can result to spherical waves.

 For the atomic orbits with non-zero angular momentum, there are degenerate energy levels and the electronic states can be represented by any linear combination in the respective basis. This feature is again related to the fictitious orientation. The inversion symmetry plays also important role in the properties of wavefunction, which is symmetric for even and anti-symmetric for odd l quantum numbers. In molecules and crystals the dimension of indefinite variables is reduced, since we have additional spatial information and in this case there are only finite number of elements in the point group. Look now the three anti-symmetric p orbits when l = 1. For spherical symmetry any linear combinations of these orbits are equivalent due to the lacking information for directions. In the case of rhombic symmetry where only the inversion symmetry exists, we have one-dimensional representations defining separately the p_x, p_y and p_z orbits. The exact determination of these orbits is related to the knowledge of principal directions. Since the angular momentum is non-zero, the orbits have zero probability at the center and due to the anti-symmetry, the probability amplitude changes sign while crossing the center, e.g. above the xy plane p_z is positive, below negative. For this orbit the probability amplitude is zero not only at the center but also in the whole xy plane. The question can be raised how an electron can communicate between the two lobes if we have zero probability for finding an electron in the plane of interception? No classical corpuscular model can answer this question, but it is in accordance to the wave characteristics of particles by assuming interference caused by the alternating sign of wavefunction (there are interference maxima both above and below the plane and minimum at the plane of interception). We assign this wave-like behavior to the inversion symmetry, since we cannot distinguish if the electron is above or below the xy plane. The indefinite character of inversion is expressed in the quantum mechanical formalism by the same absolute value of probability amplitudes for the two lobes of the p orbits. We can postulate as a general rule in quantum mechanics: anything that is not distinguishable experimentally is not distinguished, and everything that is indefinite is not defined.

In the framework of screw model, the wave nature of particles is compatible with the assumption of the deterministic elementary processes if we take into account indefinite variables. Quantum mechanics can tell the probability of transitions between two states of electron, e.g. when an s state is excited into a p state, but for a selected atom we cannot tell when the excitation will take place. In this case the causality requires well-defined relation between the indefinite parameters, and this relation has to be satisfied when the electron is excited to a higher level. This concept can be extended for multi-electron configurations. According to quantum mechanics the electrons are non-distinguishable and the wavefunction of the whole configuration changes the sign when two electrons are interchanged. In this case the permutation symmetry produces indefinite state function, since we do not have any information that could differentiate two electrons in the system.

The concept of indefinite parameters can be extended also to the field of nuclear physics. In this case indefinite variables can be assigned to the internal motion of constituents of the hadrons. The Standard Model [12] can give predictions for the probability of nuclear processes, but not able to tell when e.g. a selected neutron will decompose. For a deterministic theory we can assume a resonance between the rotational phases of three quarks, which can promote the beta decay.

3.3. Interference phenomena and the intrinsic phase of particles

While the phase in the wavefunction is eliminated when the expectation values or transition probabilities are calculated, it has crucial role when interference takes place. Interference can be observed not only for photons, but also for electrons and heavier atomic or molecular objects, which indicates the wave aspect of elementary particles. We interpret the wave aspect of elementary objects by the screw motion of photons and fermions combined with the fictitious nature of space and time coordinates in the non-interacting state of particles. In quantum mechanics interference is considered only between identical objects, like photons with the same frequency, or electrons with the same rest mass. In the screw model we generalize this concept speaking about asymmetric interference between individual photons and electrons: their interaction is determined by the relative phase between the respective self-rotations. In this interpretation the photons reaching the surface of a glass plate will be reflected, when due to the small phase difference, the interference pattern has a maximum, while the photon can transmit the glass if due to the lack of phase agreement an interference minimum is produced. The asymmetry of this interference is manifested by the smaller probability at the maximum than at the minimum.

3.4. Examples of EPR paradoxes

3.4.1. Single photon experiments

There are a few variations of EPR experiments when single-photons or particles are observed. In one of the thought experiment a half transmitting mirror and two detectors are applied for observing either the transmitted or the reflected photon. When single-photons are detected, only one of the two detectors can give a signal. In other arrangement, the photons are emitted from a source inside of a sphere, in which detectors are placed at all directions. If the photons are detected one by one, each time only one detector can give signal, but how this special detector is selected by the photon and why the other detectors remain silent? These questions lead Einstein to the conclusion that quantum mechanics is not a complete theory, and a hidden variable must determine which direction is chosen by the individual photons. The above thought experiment is interpreted by the Copenhagen school [7] as a reduction of the wavefunction claiming the original function describes all possible outcomes of the experiment built up as a superimposition of states, but as a consequence of the detection, the wave function is reduced into one of the states. By the screw model [1] we can interpret this phenomenon in terms of the relative phase between a photon and the interacting electron. The relative phase is an indefinite variable, and when this parameter has the proper value for the electrons in one of the detector, the respective device can give the signal. The observer can not predict the expected outcome of experiments due to the unknown prehistory of particles in the experimental device.

3.4.2. Two-photon experiments

There is another type of EPR experiments when from a source two particles (two photons or an electron-positron pair) are simultaneously emitted and the particles are detected equal distance from the source in opposite direction [5]. If the polarizations are detected in both detectors, the results are correlated; it means that we can have information from a particle at one point when we carry out the measurement at a distant spot. In terms of the concept of Copenhagen school, there is a strict correlation between the two reduced wave functions, which requires that the two particles should be in contact at any distance, that is the interaction has non-local character. The screw model can explain the correlation without assuming non-local interaction. For the simultaneously emitted particles the initial phases of self-rotation are correlated due to the conservation laws, but this correlation does not require the determination of phase, only the difference of phases should be fixed. It means that the assumption of Bell is too stringent when he defines the hidden parameter completely prescribing the starting polarization of simultaneously emitted photons. It is adequate defining the relative polarization of the two photons, which can be emitted with opposite polarization e.g. in the experiment of Aspect [5]. Since the frequency of the two photons agrees and the polarization is measured at equal traveling distance, their relative phase of self-rotation, and consequently the relative polarization still remains the same.

3.4.3. Two-slit experiments

A further type of EPR experiment is represented when the light can transfer in two different slits and interference is observed in a screen for coherent monochrome light. If individual photons are separately detected, the frequency of strikes in the screen agrees with the intensity of interference bands, which means that the individual photon must transfer simultaneously through both slits. It is in accordance with the screw model if we represent the photons by a set of cylindrical screws propagating in each direction by the same probability and the same phase. As we pointed out earlier, the uniform probability distribution is a consequence of the fictitious nature of direction. Actually this model represents a spherically propagating wave where inside a sphere with the radius r = ct each point can be considered as a source of a new spherical wave (here t is the real time elapsed after the emission of photon). The photon reacts predominantly with one of the electrons in the absorbing screen, but it can happen that none of the electrons fulfill the necessary resonance condition. In this case both slits are achieved by the photon where two spherical waves are created, which can produce the interference after the transmission through the slits. Feynman [2] discusses in detail the situation where the photons are detected also on the slits to see which slit that actually transmits the photon. In this case, however, no more interference can be observed on the screen. In the screw model we can explain this behavior by the interaction of the incident photon with the activated electron in the detector. From the two detectors only one can detect the photon, in which the phase of electron is adequately close to the phase of photon. We can not control, however, the prehistory of electrons, thus the interaction will change the original phase of photon at a random way obliterating any interference.

The above examples show how the screw model can resolve the EPR paradox offering an indirect support for the soundness of our previously outlined physical concept.

4. Conclusions

The EPR paradox can be resolved by a model based on the screw motion of particles combined with the concept of fictitious space and time coordinates in the non-interaction state of elementary objects. The key concept is the existence of indefinite parameters, which can offer determinism for the elementary processes without contradicting to the probabilistic laws of quantum mechanics. In the case of indefinite parameters the Bell’s inequality is ruled out, since the principle of counterfactual definiteness is not applicable, and this standpoint makes unnecessary for assuming entangled states and non-local interactions. In this aspect quantum mechanics is considered as a pragmatic theory, which applies an adequate mathematical formalism for describing elementary processes, but this theory avoids interpretation of the metaphysical questions about causality and determinism.

We postulate existence of the indefinite variables for all quantum mechanical processes starting from the self motion up to the propagation and orbital motions of particles or photons. The indefinite character is also related to the limited information of particles about space and time. The indefinite variable controlling the phase of self-rotations as well as the temporary position and momentum of particles can select the time when the elementary events take place, but there is no chance for the observer to determine this parameter due to the unknown prehistory of particles. The reduction of wavefunction in the course of measurement is interpreted by the fictitious nature of space and time in the non-interacting state, which coordinates are replaced by the real space and time when interaction occurs. The fictitious coordinates also rationalize why in the QED formalism the propagation of virtual photons have anomalous properties when e.g. the local speed exceeds the speed of light or the flow of time is reversed.

The above concepts are demonstrated for a few cases of EPR paradox including thought experiments with one- and two-photons; furthermore the problem of single photon diffraction is analyzed in the two-slit experiments.

 Further subjects in the blog, see:  "Paradigmaváltás a fizikában"

References

• [1]  A Rockenbauer Indian J. Phys. 89, 389-396 (2015), DOI 10.1007/s12648-014-0598-z
• [2]  R P Feynman QED, The strange theory of light and matter (Penguin books, Princeton University Press) (1985)
• [3]  A Einstein, B Podolsky and N Rosen Rev. 47 777 (1935)
• [4]  G Blaylock J. Phys. 78 111 (2010)
• [5]  A Aspect, P Grangier and G Roger Rev. Lett.  49  91 (1982)
• [6]  J S Bell, Mod. Phys. 38447 (1966)
• [7]  H Wimmel Quantum physics & observed reality: a critical interpretation of quantum mechanics (World Scientific) (1992)
• [8]  E Schrödinger Naturwissenschaften 23807 (1935)
• [9]  A Einstein Annalen der Physik 49 (1916)
• [10] N Bohr Philosophical Magazine 26 1 (1913)
• [11] H Bethe Physik 395133 (1929)
• [12] L K Gordon Modern Elementary Particle Physics (Perseus Books) (1987)

FOLYTATÁS 

A részecskefizika nyitott kérdései II

Az erős gravitáció és a tér fénysebességű forgásai

Rockenbauer Antal

Az elemi részecskékre vonatkozó ismereteinket a Standard Modell foglalja össze. Legfontosabb megállapításai, törvényei elfogadásra kerültek a fizikusok döntő többsége által. Anélkül, hogy vitatnám ezeknek a törvényeknek a helyességét, fölvetem azokat a kérdéseket, amelyeket ez a modell vagy nem oldott meg, vagy amivel egyáltalán nem is foglalkozik, majd bemutatok egy olyan elképzelést, amely számos felvetett kérdésre egységes és ellentmondásmentes választ tud adni.  Mindjárt a bevezetőben ismertetem ennek lényegét, ami nagyon röviden összefoglalható: minden elemi részecske létezése a fénysebességű forgáson alapul. Gondolataim alapjául két fizikai törvény szolgál: az egyik a speciális, a másik az általános relativitáselmélet. Mivel az a célom, hogy a leírtak érthetőek legyenek azok számára is, akik nem otthonosak a relativitáselmélet világában néhány egyszerű hasonlattal bemutatom a két elmélet számunkra fontos tételét. Azok számára, akik a pontos matematikai kifejtésre kíváncsiak hívom fel a figyelmet a témában megjelent angol nyelvű publikációmra.[1]

1. Rockenbauer: A screw model for quantum electrodynamics: From gravitation to quanta                                    Indian J. Physics,  89, 389-396 (2015) ,

MI a kiralitás?

Mielőtt a fermionok forgási szerkezetét tárgyalnánk, tisztázzuk a kiralitás fogalmát. A különböző szimmetriaműveletek közül a háromdimenziós térben értelmezett forgatás fizikailag is megvalósítható művelet. Ez azt jelenti, hogy a koordinátatengelyek irányát tetszés szerint választhatjuk ki. Válasszuk ki először az x és y tengelyt egymásra merőlegesen. Ha a papír síkjában maradunk, akkor az x és y tengely viszonya kétféle lehet, szokás szerint a pozitív 90 fokos forgatás, ami az óramutató járásával fordított sodrásirányt jelent, viszi át az x tengelyt azy tengely irányába. Definiálhatjuk azonban úgy is a koordinátarendszert, hogy az y tengely iránya mínusz 90 fokkal tér el az x tengelytől. Ha a síkból nem lépünk ki, akkor semmilyen forgatással nem tudjuk a két rendszert egymásba átvinni. Tükrözzük azonban a két tengely szögfelezőjére a koordinátákat, ekkor a két sodrásirányú rendszer átmegy egymásba. A tükrözést akkor tekintjük fizikailag is megvalósítható műveletnek, ha van olyan forgatás, amivel azonos eredményre vezet. Forgassuk el az xy koordináta tengelyeket a szögfelező körül 180 fokkal, ekkor ugyanazt kapjuk, mint az előző tükrözéssel. Ez a művelet azonban már a harmadik térdimenzióban történik, hiszen ez a forgatás már kilép a síkból. Ha tehát egy kétdimenziós világra korlátozzuk magunkat, akkor a tükrözés nem végrehajtható fizikai művelet, de ha egy háromdimenziós világból szemléljük a sík két tengelyének tükrözését, akkor a művelet fizikailag végrehajtható lesz. Az elmondottak szerint a kétdimenziós világban két egymásba át nem vihető xy koordinátarendszer definiálható, az egyik az óramutató járásával egyező, a másik ellentétes sodrásirányú x és y tengelyeket határoz meg, ha azonban megengedjük a kilépést a hármadik dimenzióba, akkor  ezek a koordinátarendszerek már azonosak lesznek.

            A háromdimenziós xyz koordinátarendszer felrajzolásakor az előzőek szerint az általánosság sérelme nélkül definiálhatjuk úgy az x és y tengelyeket, hogy a pozitív sodrásiránynak feleljen meg az irányítás. A harmadik tengely, amit z-vel jelölünk, azonban kétféle irányban definiálható: mutathat az xy síkból felfelé, ez a szokásos választás, de mutathat lefelé is. Az előzőt nevezhetjük jobbsodrásúnak, az utóbbit balsodrásúnak. Ennek szemléltetésére nyissuk ki jobb kezünk tenyerét, tartsuk vízszintesen és tenyerünk nézzen felfelé. Jelölje az x irányt a hüvelyk új, az y tengelyt a mutató új és mutasson a z irány felfelé. Tegyük most ugyanezt a balkezünkkel, de ezúttal a tenyerünk nézzen lefelé, hogy a hüvelyk és mutató új által definiált xés y tengelyek sodrásiránya megfelelő legyen. Ekkor azonban a z irány lefelé fog mutatni. Hiába forgatjuk azonban két tenyerünket, nem tudjuk úgy egymásra rakni, hogy az újaink fedjék egymást, azaz a háromdimenziós világunkban van két egyenértékű, de különböző koordinátarendszerünk. Megtehetjük persze, hogy két tenyerünket egymás felé fordítjuk, ekkor a két kéz egymás tükörképe lesz, de ez a tükrözési művelet a háromdimenziós térben nem felel meg semmilyen forgatásnak.

Fölmerül azonban a kérdés – egyébként pont az ilyen kérdések lendítik tovább a matematikát – vajon a négydimenziós téridőben átvihető-e egymásba a jobb és balsodrású rendszer? A válasz igen, de azért itt egy kicsit vigyázni kell! A relativitáselmélet összekapcsolja a tér és az idő koordinátáit, azonban a szimmetria nem teljes, mert az téridőben definiált távolság hosszában az idő koordinátától származó tag előjele negatív⁷. Van egy másik különbség is: az idő kerekeit nem lehet visszafelé forgatni. Ennek jelentőségét úgy érthetjük meg, ha meggondoljuk, mi történik, amikor az xy síkban levő tengely körül egy 180 fokos forgatást hajtunk végre az x és y tengelyek szögfelezőjére történő tükrözés helyett: ekkor a z tengely iránya megfordul, azaz a forgatás a z tengely irányát tükrözi. Úgy is általánosíthatjuk ezt a megállapítást, hogy egy alacsonyabb dimenziójú térben végrehajtott tükrözés olyan magasabb dimenziójú térben végrehajtott forgatásnak felel meg, amikor az új dimenziót megadó koordinátatengely iránya megfordul. Ha most a jobbsodrású xyz koordinátarendszert forgatjuk át a balsodrásúba, akkor olyan téridő forgást kell alkalmazni, amikor az idő iránya előjelet vált. Mivel ez nem lehetséges, így a relativitáselméletben definiált téridő bár négy dimenzióval rendelkezik, mégsem találunk olyan végrehajtható forgatást, ami a kétféle xyz rendszert egymásba átviszi. Matematikailag létezik ugyan ilyen forgatási művelet, de ez a tapasztalati világban nem hajtható végre.

Persze lehet tovább kérdezni: igaz, hogy mindennapi tapasztalataink világában az idő nem fordítható meg, de ez nem szükségszerűen teljesül az elemi részecskék birodalmában. Itt válaszul hivatkozhatunk a korrespondencia elvre: ha nagyszámú részecske tulajdonságait vizsgáljuk, akkor a kvantummechanikai törvények folytonosan átmennek a klasszikus fizika megállapításaiba. Tehát nagyszámú olyan folyamat együttese, amelyben megfordítható lenne az idő, már elvezetne olyan megfigyelésekre, ahol makroszkopikus méretekben tudnánk az idő irányát megfordítani. Képzeljük el, hogy mégis visszatérhetnénk a múltba és megváltoztatnánk valamit, ami megakadályozná, hogy megszülessünk. De ha meg sem születtünk, akkor hogy tehetnénk meg a múltba való kirándulást? Az idő irányának megfordítása ezért az oksági elvre alapuló egész logikai világlátásunknak mondana ellent. Az írás egyik célja, hogy hidat találjunk a modern fizika fogalomrendszere és a józanész között. A legfontosabb ilyen híd a korrespondenciaelv a makro- és mikrovilág törvényei között. Ezt felhasználhatjuk, hogy áthozzunk fogalmakat a modern fizikából a józanész világába, de a híd fordítva is járható: időnként a józanész alapján tehetünk mérlegre divatos elméleteket. Így például a józanészre támaszkodva ítélhetjük meg azokat a szofisztikált fizikai elméleteket, amelyek megengedik az idő irányának megfordítását. 

A fentiek miatt léteznek a háromdimenziós térben olyan objektumok, amelyek egymás tükörképei, de forgatással nem lehet egymásba transzformálni ezeket, ehhez kapcsolódik a kiralitás fogalma. Ha egy molekulában a szénatomhoz három másik atom kapcsolódik, például egy oxigén kettős kötéssel, egy hidrogén és egy klór, akkor síkban ábrázolva a három atom sorrendje lehet például O, H, Cl, de lehet O, Cl, H is. Azt hogy melyik atommal kezdjük a sort tetszés szerint választható, de amíg a síkban maradó kétdimenziós forgásokra szorítkozunk a két sorrend nem vihető át egymásba. Elforgathatjuk azonban a molekulát a CO tengely körül 180 fokkal – azaz kilépünk a síkból a forgatással – evvel már a két sorrendet egymásba tudjuk transzformálni. Emiatt azt mondjuk, hogy a két molekulaszerkezet azonos. Más a helyzet, ha négy különböző atom, vagy atomcsoport kapcsolódik a szénatomhoz. Legyen például, OH, H, Cl és F a négy szénhez kötődő csoport, illetve atom. Vegyünk két különböző sorrendet: OH, H, Cl, F illetve OH, H, F, Cl. Most ha egy forgatással a fluor és klór helyet cserél, akkor egyúttal megváltozik az OH és H sorrendje is, ezért nem lehet a két molekulát egymásba forgatni. Ebből a szempontból közömbös, hogy a négy kapcsolódó atom egy síkban fekszik, vagy egy tetraéder csúcsaiban helyezkedik el. Ilyenkor beszélünk kiralitás párról, amelyben azonos atomok kapcsolódnak össze, de a geometriai szimmetria mégis különbözik [2]. Ha két molekula kapcsolódási struktúrája azonos, és létezik a fenti értelemben definiált aszimmetrikus szénatom, akkor optikai izomerekről, vagy enantiomerekről beszélünk. Az optikai izomerek eltérő fénytani tulajdonságokkal rendelkeznek: amikor fotont nyelnek el, vagy bocsátanak ki, akkor a két esetben eltér a polarizáció sodrásiránya.

Kiralitás párok alakulhatnak ki, ha valamilyen tengelyre csavarunk fel egy szálat, itt is megkülönböztethetjük a jobb és balsodrású esetet, amit a haladási irányra vonatkoztatunk. A csavaroknál is ismerünk jobb és balmenetűeket, ahol a haladási irányt a csavar feje illetve hegye különbözteti meg. A biológiában a legismertebb példa a DNS molekula két összefonódó spirális párja, de itt mindig a jobbmenetű fordul elő szervezetünkben. Érdekes módon a természet a biológiai folyamatokban előnybe részesíti az L- típusú aminosavakat (balra forgató), és a D-típusú cukrokat (jobbra forgató).

A természet általában szereti a szimmetriát, de bizonyos esetekben mégis kénytelen a két lehetőség közül választani. Erre is találunk példát az anyag és antianyag kettőségével kapcsolatban. A fotonok esetén is létezik ez a kettőség: az elektromágneses tér körforgása a haladási irány körül lehet jobbsodrású és balsodrású is, az egyik esetben az impulzusmomentum iránya előre, a másikban hátrafelé mutat. Ez a jelenség a polarizált fény elnyelésekor és kibocsátásakor játszik szerepet, amit a kibocsátó vagy elnyelő molekula kiralitása határoz meg.

[2]  Ez nem azonos a kémiai nevezéktan izomerjeivel, ahol az atomok bruttó összetétele megegyezik, de egymáshoz való kötésszerkezetük eltér.

Fermionok mint kettős forgású részecskék: a gömbforgás 

Az egyedi fermionok gömbszimmetrikus részecskék, ez azt jelenti, hogy valamennyi kölcsönhatás független az iránytól. Szemben a fotonnal, ahol a saját mozgások terében a forgástengely kitűz egy belső irányt, a fermionok olyan sajátmozgást végeznek, ahol minden irány egyenrangú. Ez úgy jöhet létre, ha maga a forgástengely is forog, tehát két forgás kapcsolódik össze. Úgy is felfoghatjuk a kettősforgást, hogy az első forgás egy kört ír le, a másik pedig megforgatja a kört tengelye körül és ezáltal gömbfelszínt hoz létre. A részecske elképzelésénél abból is kiindulhatunk, hogy a fermionok – a neutrínó kivételével [3] – rendelkeznek nyugalmi tömeggel és elektromos töltéssel, de ezek a fizikai mennyiségek a térben lokalizáltan jelennek meg. Egytengelyű forgásnál nincs lokalizáció, mert a foton bárhol lehet a forgástengely mentén, szükség van ezért valamilyen pontkijelölő mechanizmusra, aminek megfelel a kéttengelyű forgás, ahol metszi egymást a két forgástengely.  Hasonló a helyzet – amint látni fogjuk a gyenge kölcsönhatás közvetítő bozonoknál is – ott a forgástengelyre merőleges transzláció egyenese jelöli ki a tér egy meghatározott pontját.

A kéttengelyű forgások lehetnek jobb- és balsodrásúak, azaz kiralitás tulajdonsággal rendelkeznek. Emiatt van minden fermionnak egy antifermion párja. Ez kézenfekvő magyarázatot ad arra, hogy miért létezik minden részecskének antianyag párja, és nincs szükség arra, hogy végtelenszámú betöltött állapotból hiányzó lyuk formájában értelmezzük az antirészecskéket [4].

A fotonokat, mint egytengelyű fénysebességű forgásokat értelmezve jutottunk arra a következtetésre, hogy bármekkora is legyen a forgási frekvencia a foton impulzusmomentuma azonos lesz, mert amilyen mértékben növekszik a szögsebesség, olyan mértékben rövidül a sugár. Hasonló szabály érvényes a kettős forgást végző fermionokra is. Viszont ekkor a „második” forgás megfelezi az impulzusmomentumot. Ez abból következik, hogy amíg a fotonoknál a forgástengelytől való r távolság határozta meg a nyomatékot, a fermionoknál az r sugarú kört forgatjuk meg főtengelye körül és emiatt a nyomaték feleződik [3]. A kéttengelyű forgás ily módon nagyon egyszerű geometriai magyarázatot ad arra, hogy miért éppen fele akkora a fermionok spinje, mint a fotonoké és az is érthetővé válik, hogy a nagyságrendekben különböző tömegű elemi objektumok miért rendelkeznek azonos impulzusmomentummal, azaz spinnel [4].

A kettős forgás miatt az extrém módon torzult tér centripetális erejének két különböző forgás centrifugális erejét kell kiegyenlíteni:

ℏc/r² = 2mω²r

 Ez az erőtörvény viszont ekvivalens a potenciális energia és a nyugalmi energia egymást kiegyenlítő hatásával [5]:

ℏc/r = mω²r² = m.c²

Az innen származtatott sugár r = ℏ/mc megegyezik avval a Compton-hullámhosszal, ami az elektronoknál és más elemi objektumoknál megfigyelt interferencia jelenségben játszik szerepet. Ez összhangban van a részecskék kettős természetével, amelyek egyaránt rendelkeznek hullám és korpuszkuláris tulajdonságokkal.

További kérdés, hogy miért nincs elektromos töltése a fotonnak és miért van az elektronnak és a pozitronnak? A magyarázatot a forgó rendszerben fellépő második számú tehetetlenségi erő adja meg. A centrifugális erőtől már szó volt, amely a sugárirányban kifelé hat és nagysága arányos a keringő test impulzusával és a forgási frekvenciával. Ha azonban a körforgást végző rendszeren belül egy test mozog, akkor ennek pályájára csavaró erő hat, amit Coriolis-erőnek [6] hívunk. Ez az erő szintén arányos az impulzussal és a forgási frekvenciával, de iránya nem kifelé mutat, hanem merőleges egyfelől a forgás tengelyére, másfelől és a test haladási irányára. Az említett három irány alkothat jobb és balsodrású rendszert is. Példaként gondoljunk a Földön kialakuló tenger- és légáramlatokra, amelyek forgásiránya ellentétes az északi és a déli féltekén. Ennek oka, hogy az áramlatok a hideg sarkok felöl a meleg egyenlítő irányában indulnak meg és így a Föld északtól délre mutató forgástengelyéhez viszonyítva ellentétes lesz az áramlatok iránya. Ugyanilyen Coriolis-hatás lép fel a kettős forgás miatt is, ahol a két forgás egymáshoz képest jobb- vagy balsodrású kiralitással rendelkezik, az egyiket rendelhetjük az elektronhoz, a másikat a pozitronhoz. A csavaró hatás egytengelyű forgásokat indít meg, ez nem más, mint a foton modellünkben. A kvantumelektrodinamika úgy értelmezi a töltött elemi részecskék közötti vonzást és taszítást, hogy például az elektron és a proton virtuális fotonokat bocsát ki, ahol a fotonok polarizációját a töltés előjele határozza meg. A különböző polarizációjú virtuális fotonok összegződő, vagy egymást kioltó hatása hozza létre a taszítást, vagy vonzást a töltött objektumok között. Itt a virtualitás azt jelenti, hogy ezek a fotonok nem „láthatók”, szerepük csupán az erőhatás közvetítése.

A kettős forgás Coriolis-ereje megegyezik nagyságát nézve a centrifugális erővel, azaz ℏc/r², mert a két forgás tengelye merőleges egymásra. A fotonok viszont nem rendelkeznek töltéssel, mert a haladási irányuk párhuzamos a forgás tengelyével és így a Coriolis-erő nulla [6]. A fotonok csavarforgása „rákapcsolódik” a töltött objektumok csavaró erejére, ezért alkalmasak két töltött objektum közötti kölcsönhatás közvetítésére. A fermionok és fotonok –  más szóval a kettősforgások és az egytengelyű csavarforgások – közötti csatolás állandója határozza meg, hogy milyen erős lesz két, egymástól R távolságban lévő elemi töltés között a kölcsönhatási erő, azaz a Coulomb-erő

F_Coulomb = e²/R² = aℏ.c/R²

Itt az a = 1/137 csatolási tényező a nevezetes Sommerfeld-féle finomszerkezeti állandó. Mivel a Coriolis-erő nagysága nem függ a részecskék forgási frekvenciájától, és ezáltal tömegétől, ezért a saját impulzusmomentumhoz (spinhez) hasonlóan valamennyi elemi fermion töltése azonos, csak előjelük különbözhet a kiralitástól függően [7]. Evvel egy újabb, a Standard Modell által nyitva hagyott kérdésre adtunk választ.

Létezik a fermionok és fotonok között két átalakulási folyamat is. Ha egy elektron és pozitron ütközik, akkor fotonokra sugároznak szét. Ezt a jelenséget a Dirac-féle lyukelmélet szemléletesen magyarázza: az elektron beleesik a negatív energiájú elektrontengerből hiányzó lyukba. Legalább ennyire szemléletesen magyarázhatjuk az annihilációs mechanizmust a kettősforgásokkal is. Az elektron és pozitron másodlagos forgása ellentétes irányú, ezért ütközéskor megsemmisítik egymást. Tehát csak az egyik forgás marad meg, ami a vázolt modell szerint épp a foton! Ennek a folyamatnak a fordítottja a párképződés, amikor egy nagyenergiájú foton ütközéskor elektron-pozitron pár jön létre. Ekkor a foton c sebességű transzlációs mozgása hasad fel két ellentett értelmű másodlagos forgásra, vagyis két ellentétes kiralitású részecske keletkezik.

Felmerül a kérdés, hogy miért éppen 1/137 a Coulomb-erőt meghatározó csatolási tényező? Erre nincs jelenleg valódi magyarázat. Az állandó úgy tekinthető mint  két különböző mozgásforma közötti csatolási együttható, ami a téridő egyelőre ismeretlen struktúrájából fakad. Hasonlóan nincs magyarázat arra sem, hogy az elektronhoz hasonló fermionok, mint a müonok és tauonok miért éppen 207-szer, illetve 3479-szer nagyobb tömeggel, azaz forgási frekvenciával rendelkeznek. Az is kérdés, hogy egyáltalán miért csak jól definiált tömegű fermionok keletkeznek, hiszen a fotonok esetén nincs korlátozva a frekvencia. A kérdések megválaszolásához szükség lenne a téridő szerkezetét mélyebben feltáró elméletre. Jelenleg csak feltételezhetjük, hogy a részecskeképződés a két forgás rezonanciáját igényli. Valamennyi mérésben, ahol megkísérelték a neutrínók terjedési sebességét meghatározni, a fénysebességet kapták a mérési pontosság határán belül. Ez azt valószínűsíti, hogy a neutron nyugalmi tömege nulla, hiszen csak ekkor mozoghat c sebességgel. Ennek ellentmondani látszik, hogy a neutrínónak három generációja létezik, az elektron-, a müon és a tauon típusú részecske es ezek egymásba alakulnak. Ezt nevezi a szakirodalom neutrínó oszcillációnak. De ha létezik három típus, akkor ezeket a nyugalmi tömegük különböztetheti meg. Ez a kérdés is a modern fizika egyik megoldatlan rejtélye..  

[3] A nyomatékszámításnál a tengelytől való tömegpontok távolságainak négyzetét kell összegezni. Az r sugarú és m tömegű karika tehetetlenségi nyomatéka m.r², ha a körre merőleges szimmetriatengely körül forgatjuk meg. Ha viszont a síkban fekvő főtengely körül forgatunk, akkor a tehetetlenségi nyomaték feleződik. Emiatt, ha a forgás sebessége azonos, akkor az utóbbi esetben a karika impulzusmomentuma pontosan a fele lesz az előbbinek.

[4]  Az impulzusmomentum együtthatója a spin irányfüggő, azaz vektor mennyiség. Amikor S = ½, 1 … spinről beszélünk, ez alatt a vektor hosszát értjük. A spinnek azonban a hosszán kívül csak egyetlen komponensét lehet meghatározni, ami konvenciószerűen a z irányú vetület, ennek értéke M = S, S-1, … -S lehet, például S = ½ esetben M = ½ és -½, S = 1 esetben M = 1, 0 és -1. Kivételt jelent a szabály alól a foton, illetve az S = 1 kölcsönhatást közvetítő bozonok esete, mert ott M csak két értéket (+1 és -1) vehet fel. Ennek oka, hogy az egytengelyű forgásnak csak kétféle forgási (polarizációs) iránya lehet, hasonlóan az S = ½ fermionokhoz. Az utóbbi esetben a polarizációs irány a két forgástengelyre egyaránt merőleges harmadik irány. Mágneses térben ez az irány határozza meg a tengelyt, ami körül a fermion mágneses momentuma Larmor-precessziót végez. A precesszió sodrásirányát a részecske kiralitása határozza meg, ami eltérő lesz elektronok és pozitronok esetén.

[5]  A ℏc/r = mω²r² összefüggést az r változó szerint deriválva kapjuk az erőkre vonatkozó összefüggést

[6]  A forgó rendszerben mozgást végző testre ható Coriolis-erő 2pxω=2m.uxω, ahol u, p és ω vektorok, melyek vektorszorzatát képezzük A vektorszorzat iránya merőleges a két komponensre, a tényezők sorrendjének felcserélése megfordítja az előjelet. A Coriolis-erő akkor a legnagyobb, amikor a forgási tengely merőleges a haladási irányra, viszont nulla lesz, amikor a két irány párhuzamos.

[7] Ez alól kivételt képeznek a kísérletileg megfigyelhetetlen, de a barionok és mezonok szerkezetét jól magyarázó kvarkok, melyek egyharmad és kétharmad töltéssel rendelkeznek. Ezt a későbbiekben kevert kiralitású részecskeként értelmezzük.

A negatív energia állapotok és az idő iránya

Diracnak azért volt szüksége, hogy feltételezze a végtelen számú negatív energiaállapot betöltöttségét, hogy magyarázza miért nem hullik le ebbe az állapotba az elektron, vagy más szavakkal miért lehet stabilis pozitív energiájú pályán, hiszen a kvantumfizika törvényei szerint az elektronnak el kell foglalnia a legkisebb energiájú pályákat. Ebből a koncepcióból következett a lyukelmélet, amit látszólag bizonyított is a pozitív töltésű pozitron megfigyelése. Amint már kifejtettük korábban, a pozitron tulajdonságait jól lehet értelmezni a kettősforgások kiralitásával, de még nem adtunk arra magyarázatot, hogy mi a helyzet az elektron negatív energiájú és negatív tömegű megoldásaival.

A Dirac-egyenlet alapja a relativitáselmélet energiára definíciója, amely négyzetes összefüggést ad meg a különböző tagok között. Ez szükségessé teszi a gyökvonás alkalmazását, így viszont a művelet kétértékűsége miatt egyaránt lesznek pozitív és negatív megoldások. Az energiát a kvantummechanikában olyan operátor határozza meg, amelyik az időszerinti változást írja le (parciális derivált). Ebből viszont az következik, hogy az idő irányának megfordítása az energia előjelét változtatja meg. Az időbeli folyamatok leírásánál két utat követhetünk: elindulhatunk a jelenből a jövő felé, de meg is fordíthatjuk a dolgot, amikor a múlt irányában vizsgáljuk a jelenséget. Relativisztikus egyenleteink nem különböztetik meg ezt a két utat, ami kifejeződik az egyenlet kvadratikus jellegében. Ami megtehető a jelenség matematikai leírásában nem tehető meg ténylegesen: a múltba nem lehet visszatérni. Viszont a negatív energiájú megoldás épp azt jelenti, hogy az időben visszafelé haladunk. Ha az elektron a pozitív energiájú állapotból átmenne a negatív tartományba, ahol még a tömeg is negatív, akkor megvalósítaná a múltba való visszatérést. Ez lehetetlen, tehát létezik egy kiválasztási szabály, amely megtiltja az ilyen típusú kvantumátmeneteket. Emiatt a már eleve betöltött negatív energiájú állapotok feltételezése nélkül az elektron ott maradhat a legkisebb pozitív energiájú állapotban.

A gyenge kölcsönhatás mint  spirálmozgás

A különböző típusú fermionok átalakítását előidéző erőt nevezzük gyenge kölcsönhatásnak. Szemben az elektromágneses kölcsönhatással, amely csak a fermionok állapotát változtatja meg, ez az erő megváltoztatja a fermionok nyugalmi tömegét és elektromos töltését is. A mezőelmélet az átalakulásokat szintén S = 1 spinű bozonokkal értelmezi, de ezeknek van tömegük, sőt töltésük is lehet, így a W^- részecske töltése az elektronéval, a W⁺ bozoné a pozitronéval egyezik meg, a Z bozon viszont töltés semleges. A gyenge kölcsönhatási bozonok tömege rendkívül nagy, közel 200 000-szer haladja meg az elektronét [8]. A legismertebb átalakulási folyamat a rádióaktivitásból ismert béta-bomlás, amikor a neutron protonná alakul át egy elektron és egy neutrínó [9] kibocsátása mellett.

Az átalakulás két lépcsőben történik, először a neutron protonná alakul át [9] egy W^- bozon kilépésével, majd a második lépcsőben válik szét a bozon egy elektronra és egy neutrínóra. Az a meglepő a folyamatban, hogy a neutron egy nálánál százszor nehezebb bozont bocsát ki. Higgsezt a tér spontán szimmetriatörésével magyarázta, amit – összhangban evvel az elképzeléssel – a tér fénysebességű forgás által létrehozott torzulásával értelmezünk. A forgás a W bozon esetén is egytengelyű, mert a spin S = 1. De miért van ennek a bozonnak tömege és töltése is, amikor a szintén egytengelyű forgásként értelmezett fotonnak egyik sincs? A választ a forgáshoz kapcsolódó transzláció iránya adja meg. A gyenge kölcsönhatású bozonok esetén a transzláció iránya merőleges a forgás tengelyére. Ekkor fellép a Coriolis-féle csavaró erő, amely pontosan megegyezik az elektronéval, a töltés előjelét pedig a kiralitás határozza meg. A merőleges irányú transzláció metszi a forgástengelyt, ami által kijelöl a térben egy pozíciót, és így létrejöhet a térben lokalizált tömeg is. A tömeg-energia ekvivalencia miatt ugyanis mindig van tömeg, ez vonatkozik a fotonra is, de a fotonnál ezt a tömeget nem tudjuk hova tenni, ekkor csak mozgási tömegről beszélhetünk.

A merőleges irányú transzlációnak van egy további rendkívül fontos hatása: a részecske sugara a fény sebességével növekedni fog [10]. A sugár viszont meghatározza a forgási frekvenciát, ami fokozatosan csökkenni fog, ez pedig egyúttal a tömeg elvesztését idézi elő. A gyönge kölcsönhatási bozonok sorsa így a gyors eltűnés, de ez a forgás lassulása kivált egy újabb tehetetlenségi erőt, amit Euler mutatott ki. Amikor egy kereket felpörgetünk, akkor a forgási frekvencia megváltozása a centrifugális erővel ellentétes irányú tehetetlenséget idéz elő. Fénysebességű forgások esetén a forgástengelyre merőleges irányú és fénysebességű transzláció épp akkora Euler-erőt hoz létre, mint a centrifugális-hatás [11]. A W bozon úgy kapcsolódik a fermionhoz, hogy változó forgási frekvenciája révén „áthangolja” a fermiont egy másik saját frekvenciára, azaz létrehoz egy új típusú részecskét. Gyorsuló forgáskor az Euler-erő teljesen kiegyenlíti a centrifugális erőt, amiért a spirális forgást végző W bozon energia felvétel nélkül létrejöhet, ha megkapja a „kezdő lökést” (impulzusmomentumot), amikor egy fermion spin vetületi kvantumszáma -½-ről ½-re változik. Ezzel szemben a foton emisszióhoz nem csak a vetületi kvantumszám változása által létrehozott „lökésre” van szükség, hanem a fermion energiájának változására is. Az emittált foton, amíg nem lép kölcsönhatásba egy másik fermionnal, megtartja forgási frekvenciáját, azaz energiáját. Más a sorsa a gyenge kölcsönhatás bozonjainak. Ekkor a spirális mozgás lassuló jellege miatt az Euler- és centrifugális-erő összeadódik, és így a tér görbületi energiája (az erős gravitáció) nem elegendő ahhoz, hogy stabilizálja a W bozon sajátforgását, és kellő kompenzáló erő hiányában a bozon gyorsan eltűnik.

A rövid élettartam miatt a W bozon csak rövid távolságot tehet meg, ami megmutatkozik a gyenge kölcsönhatás rendkívül rövid hatótávolságában is. A kölcsönhatás ereje sok nagyságrenddel elmarad az elektromágnesestől, emiatt a kettős univerzumban, melyben a részecskék világa kapcsolódik a sajátmozgást stabilizáló görbült tér világával, a gyenge kölcsönhatás gyenge kapcsolatot épít fel a két „világ” között. Emiatt van, hogy megmaradási törvényeink érvényesek a részecskék átalakulási folyamataiban. A W és Z bozonok megjelenése csak egy rendkívül rövid intermezzo, amelyik az energia megmaradás törvényét megszakítja és a bozonok eltűnésével az energiamegmaradás törvénye helyre áll.

A W bozon tömegváltoztató képessége teszi lehetővé, hogy egymásba alakuljanak a különböző tömegű fermionok kemény gamma-sugárzás kibocsátása nélkül. Ez történik például, amikor az elektron „nagytestvérei”, a müon és tauon átalakulnak elektronná a gyenge kölcsönhatáson keresztül [12]. A W bozon  „élete végén” meg kell, hogy szabaduljon impulzusmomentumától és töltésétől, ami azáltal következik be, hogy két fermion, azaz egy elektron és egy neutrínó keletkezik a W bozon eltűnésekor. Ez az átalakulás akkor következik be, amikor létrejönnek azok a rezonancia feltételek, amelyek szükségesek a kettősforgás megvalósulásához, mert emlékezzünk rá: amíg a foton bármekkora frekvenciával foroghat az elektron csak nagyon pontosan rögzített tömeggel, azaz forgási frekvenciával rendelkezik.

A W bozonokon kívül létezik a töltés semleges gyenge kölcsönhatási bozon is, amit a Standard Modell Z szimbólummal jelöl. Ennek szerkezetéről majd a neutrínók átalakulási folyamataival kapcsolatban fogunk írni.

Foglaljuk össze az elmondottakat! Az elektro-gyenge kölcsönhatást úgy tekinthetjük, mint ami három alapvető mozgásformát – gömbforgásokat (fermionok), csavarmozgásokat (fotonok) és spirálmozgásokat (W és Z bozonok) –  kapcsol össze. Két gömbforgás között csavarmozgások közvetítenek, az egyik gömbforgást a másikba spirálmozgások visznek át. Két azonos frekvenciájú, de ellentétes kiralitású gömbforgás eltűnhet (annihiláció), miközben csavarmozgást hoznak létre, de a csavarmozgás is átalakulhat az előbbi két gömbforgásba (párképződés). A gömbforgásnak a sajátfrekvencia megváltozása nélküli állapotváltozása hozza létre a csavarmozgásokat (foton emisszió), míg ha a sajátfrekvencia is megváltozik, akkor spirálmozgás keletkezik (W emisszió). A spirálmozgás pedig szétszakad két különböző kiralitású gömbforgássá (W eltűnés).

A részecskék világát a görbült tér háttér világával a gyenge kölcsönhatás kapcsolja össze. Ez a kölcsönhatás egyrészt gyönge, másrészt ideiglenes, csak a W és Z bozonok rövid élettartamáig tart. Amikor ezek a részecskék eltűnnek, akkor a részecskék ugyan átalakulnak, de a teljes energia változatlan marad. Tehát a kapcsolat tranziens jelenség, amely során a részecskék által átmenetileg felvett energia és tömeg teljesen „visszaadásra” kerül. Emiatt van, hogy a részecske világra az energiamegmaradás törvénye külön is érvényes, ha eltekintünk ettől a rövid intermezzótól.

Az ismertetett modell tehát az elektro-gyenge kölcsönhatás minden folyamatára szemléletes képet kínál, ily módon támasztva alá azt a koncepciót, hogy a részecske világ alapja a fénysebességű sajátforgás.

Az elektromágneses és gyenge kölcsönhatás kapcsolatát illusztráljuk egy szemléletes példával. Képzeljük magunk elé a tengert, amiben egy hajó úszik. A hajó nem süllyed el, ami azArchimédesz által megállapított törvénynek köszönhető. A hajó egy bemélyedést (görbületet) hoz létre a vízben, a kiszorított víz súlya egyenlíti ki a hajó súlyát. Ennek analógiájára képzelhetjük el a teret, ahol a részecske forgása görbületet hoz létet és ez a görbület ellensúlyozza sajátforgásának kifelé perdítő hatását. Most vegyünk fel egy szemüveget, amelyikkel nem látjuk a tenger vizét csak a hajót. Ekkor úgy tűnik, hogy a hajó az üres térben lebeg. Valójában ez a helyzet, amikor tanulmányozzuk a részecskék mozgását, hiszen a fotonok nem adnak felvilágosítást a részecskéket magában foglaló térről és annak görbületeiről. Most cseréljük fel a szemüveget egy olyanra, amivel nem látjuk a hajót, csak a tenger vizét. Ekkor viszont egy hajó formájú bemélyedést fogunk látni, ahogy tovább halad. Ennek felel meg, amikor információt nyerünk a görbült tér szerkezetéről a gyönge kölcsönhatási bozonok detektálása révén.

[8] Az elemi részecskék tömegét MeV illetve GeV egységben szokás megadni, amely az elektron energiáját fejezi ki 1 millió, illetve 1 milliárd Volt feszültségű elektromos térben. Az elektron tömege 0,511 MeV, a protoné 1,007 GeV, a W bozoné 80,385 GeV, a Z bozoné 91,188 GeV, tehát a gyenge kölcsönhatási bozonok tömege hozzávetőleg 100-szor nagyobb a protonnál és 200 000-szer nagyobb az elektronnál

[9] A Standard Modell szerint a béta-bomláskor antineutrínó keletkezik, de nincs egységes álláspont, hogy tényleg különböző részecske lenne-e a neutrínó és az antineutrínó, ezért a szövegben csak neutrínóról beszélünk

[10] Fénysebességű forgások esetén ω = c/r és m = ℏω/c²

[11] Az Euler-erő a szöggyorsulással arányos: m.r.dω/dt és iránya azonos a centrifugális erővel lassuláskor, viszont ellentétes gyorsuláskor. A fénysebességgel táguló spirálmozgás során az szorzat állandó marad és így . Ebből következik, hogy az Euler-erő kifejezése: -m.ω.c lesz, ami megegyezik a centrifugális erővel.

[12] A müon tömege 106 MeV, a tau részecskéé 1777 MeV. Ezek a részecskék az elektronnal azonos kiralitású kettősforgást végeznek, de forgási frekvenciájuk nagyságrendekkel nagyobb és emiatt centrális sugaruk kisebb. Ez arra mutat, hogy a téridőnek létezik két magasabb forgási frekvenciájú gerjesztett állapota is. A két magas frekvenciájú gerjesztett állapot valamennyi elemi fermion (pozitron, neutrínó, kvarkok) esetén megfigyelhető, a Standard Modell ezért három részecske generációt különböztet meg.

A neutrínó és a Z bozon: szuperponált királis forgási állapotok 

A fermionok családjába tartozó neutrínó nem rendelkezik elektromos töltéssel, ugyanez érvényes a gyenge kölcsönhatás részecskéi közül a Z bozonra is. A neutrínó S = ½, a Z bozon az S = 1 spinje úgy értelmezhető, hogy az előbbi kéttengelyű, az utóbbi egytengelyű sajátforgást végez, de hogyan magyarázzuk a töltés semlegességet? Kiindulópontunk a kvantummechanika egyik alapelve: ha két mikro-rendszer azonos energiával rendelkezik valamilyen szimmetria miatt, akkor a két állapot szuperpozíciója is leírja a rendszer állapotát. Erre az elvre támaszkodik a Standard Modell is, amikor osztályozza a kvarkokból felépülő mezonokat és barionokat, ezért összhangban maradunk a szokásos részecskefizikával, ha ezt az elvet alkalmazzuk a két királis sajátforgás esetében is. Amíg az elektron és pozitron a jobb illetve balsodrású királis forgást végez, addig a neutrínóban a két királis állapot egyenlő súllyal szerepel és ezért töltés semleges lesz. Ugyan ez tételezhető fel a Z bozon esetén is, ott a W^- és W⁺ forgások egyenlő szuperpozíciós súlya vezet nulla töltéshez.

Az elektronhoz és a később tárgyalandó kvarkokhoz hasonlóan a neutrínóknak is három alaptípusa, un. generációja van, amit elektron, müon illetve tau típusú részecskének neveztek el. Elektronok és kvarkok esetén az egyes generációk tömegükben, azaz sajátfrekvenciájukban különböznek. Neutrínók esetében azonban nem sikerült a nyugalmi tömeget meghatározni, erre csak felső becslést lehetett adni a terjedési sebességük alapján. A neutrínók kimutatása a béta-bomlás folyamatának megfordításával történik, amikor a neutrínók protonokból neutronokat hoznak létre, amihez már eleve nagy energiájú részecskékre van szükség. Az eddigi kísérletek valamennyi esetben a fénysebességhez igen közeli haladási sebességet találtak [13], amiért az is feltételezhető, hogy a neutrínók egyáltalán nem rendelkeznek nyugalmi tömeggel. Ennek ellentmondani látszik az a megfigyelés, hogy a kozmikus sugárzásban a három típus egymásba alakul át, amit neutrínó oszcillációnak neveztek el [14].

A Standard Modell eredetileg nulla tömeget rendelt a neutrínók számára, mert ez összhangban van avval, hogy a neutrínók sebessége c, de ennek ellentmondani látszik a neutrínó oszcilláció, ahol éppen a tömegkülönbségek játszanak szerepet. Véleményem szerint az ellentmondás a tömeg és evvel együtt az elektromos töltés fogalmának újraértelmezésével megoldható. Ennek kiinduló pontja az elektron relativisztikus kvantumelmélete, amit Dirac alkotott meg [15].  A Dirac-egyenlet általánosításával kapott fermion egyenletben a forgások kétdimenziós királis terében kétszer-kettes mátrixok reprezentálják a tömeget és az elektromos töltést (lásd később).  A mátrixok diagonális elemei határozzák meg a részecskék fizikailag mérhető tömegét és töltését, amely nulla neutrínók estén, míg a kvarkok esetén a töltésre ±1/3 és 2/3 értékek adódnak ki. Neutrínóknál és kvarkoknál a tömeget reprezentáló mátrixnak vannak nem diagonális elemei is és ezáltal lehet értelmezni a három fajta neutrínó eltérő tulajdonságait az oszcillációs jelenséget is beleértve.

[13]  Nagy szenzációt okozott az a bejelentés, amikor egy kísérletben azt találták, hogy a neutrínók haladási sebessége meghaladja a fényét. Utóbb azonban a kísérleti körülmények ellenőrzése során kiderült, hogy az eredmény téves és a sebesség megegyezik a fényével a mérés pontossági határain belül. A fénynél nagyobb sebességet a kvantumelektrodinamika elmélete virtuális folyamatokban ugyan feltételez, mert ezáltal lehet bizonyos fizikai konstansokat értelmezni, de ezek a folyamatok csak a közelítő számításokban lépnek fel. Egyes kvantummechanika jelenségek esetén, amit EPR paradoxonnak neveznek Einstein, Podolsky és Rosen publikációja nyomán, olyan interpretációk is vannak, ahol nincs sebességkorlátja a kölcsönhatásnak. Evvel kapcsolatban szerepel a honlapon a „Determinizmus és kvantummechanika: a szabadság szintjei a fizikában” című írás.

[14] A neutrínó három alaptípusa kapcsolódik az elektron három generációjához (elektron, müon, tauon), keletkezési és átalakulási folyamataik egy generáción belül mennek végbe. A müon például első lépésben egy müon típusú neutrínóra és egy W^- bozonra „hasad” szét. Itt a széthasadásról csak korlátozott értelemben beszélhetünk, mert a képződő W bozon tömege ezerszer nagyobb, mint a „kibocsátó” müoné. A W bozon eltűnik miközben egy elektron és egy elektron típusú neutrínó keletkezik. A két új részecske energiája azonban nem örökli a W bozon óriási tömegét, tehát a W bozon megjelenésével együtt járó nagy energia és tömeg csak átmenetileg növeli meg a részecskevilág energiáját. A neutrínók három típusának egymásba alakulását (oszcillációt) a Napból származó és magfúziós reakciók során kibocsátott neutrínók számának a vártnál jóval kisebb fluxusa miatt tételezik fel. Az oszcilláció elméletében feltételezik az egyes generációk különböző tömegét és ezek négyzetes különbsége határozza meg az oszcillációs hullámhosszat.

[15]  A relativitáselmélet négyzetes összefüggést állapít meg az impulzus és a nyugalmi energia között, ami az elmélet egyik kovariánsa. Ide bevezetve az impulzus és energia kvantummechanikai operátorát az energiára kvadratikus kifejezést kapunk. De az operátorszámítás alapját képező sajátérték egyenlet lineáris formulát követel meg, amit Dirac azáltal oldott meg, hogy a négyzetgyökvonás műveletét négydimenziós mátrixokkal (spinorokkal) végezte el. Ezek a spinorok felbonthatók a kétdimenziós Pauli-mátrixok szorzatára, ahol az egyik tényező a spin definícióját adja, a másik pedig leírja a pozitív és negatív energiájú megoldásokat. A Pauli-mátrixok komplex számokból épülnek fel, de a két diagonális elem valós szám, amely megadja a spin z komponense két sajátértékét, illetve az energia és tömeg előjelét. Dirac módszerét tovább fejlesztve a négyzetgyökvonást 8*8 elemű spinorokkal is elvégezhetjük, ekkor fellép egy harmadik 2*2-es mátrix, amelynek valós diagonális elemei definiálják a neutrínók és kvarkok tömegét illetve töltését. Ez az általános fermion egyenlet egységes keretek között tárgyalja az elektront, pozitront, az neutrínót, valamint a kvarkok két alaptípusát (up és down) is, tehát kiterjed a Standard Modellben leírt valamennyi elemi fermionra.

Kvarkok és gluonok a Standard Modellben

A Standard modell a kvarkok két alaptípusát (flavour) különbözteti meg, az „up” típus elektromos töltése 2/3e, a „down” töltése -1/3e. A proton +e töltése két „up” és egy „down” kvark töltéséből adódik ki, míg a neutron esetén két „down” és egy „up” töltése hozza létre a semlegességet. A törttöltések bevezetését az indokolta, hogy a több száz kísérletileg megfigyelt mezon és barion szerkezete egyértelműen felépíthető két illetve három kvarkot tartalmazó struktúrákból. A kvarkok két típusának van antirészecske párja, amelyek töltése fordított előjelű, azaz -2/3e és +1/3e az „up” illetve „down” esetén. Amíg az összetett felépítésű mezonokban mindig egy kvark és egy antikvark található, addig a barionokat három kvark, az antibarionokat három antikvark építi fel. Minden kvarktípusnak három generációja van, ahol a magasabb generációk tömege jóval nagyobb és a belőlük felépíthető mezonok és barionok élettartama pedig jóval rövidebb. A kvarkok összes száma ezért 12. A különböző generációhoz tartozó kvarkok is kombinálódnak a mezonok és barionok felépítésében. 

A spinek összeadási szabálya szerint két S = ½ spin létrehozhat S = 1 triplett, illetve S = 0 szingulett állapotot. Ennek megfelelően beszélünk szingulett és triplett mezonokról. A Pauli-féle kiválasztási szabály nem engedi meg, hogy egy kvantummechanikai rendszerben két fermion valamennyi kvantumszáma megegyezzék. Mezonok esetén ez nem jelent megszorítást, mert azt mindig egy kvark és egy antikvark hozza létre. A barionokban már három kvark kapcsolódik össze, ekkor a spin összeadási szabály S =1/2 illetve 3/2 eredő spint hozhat létre. Az utóbbi esetben a három kvark spin vetületi kvantumszáma megegyezik, de ez a Pauli-elv szerint csak különböző generációjú vagy típusú kvark esetén megengedett. Ennek ellenére találtak olyan rövid élettartamú barionokat, amelyek három azonos kvarkból épülnek fel. Emiatt vált szükségessé, hogy bevezessenek a kvarkok számára egy új kvantumszámot, amit szimbolikusan „színnek” nevezték el. Ennek oka, hogy ez a kvantumszám nem játszik szerepet az összetett részecskék esetén, azaz ekkor a komponensek eredő színe kioltódik, akár csak a három alapszín együttese, amikor kialakul a fehér szín. Mezonok esetén minden szín a „komplementerével” találkozik, ami színkioltáshoz vezet, viszont barionoknál a kioltás úgy jön létre, hogy három különböző alapszín tartozik a három felépítő kvarkhoz, és így az optikához hasonlóan a színek együttese „fehér” lesz.

Az elektro-gyenge kölcsönhatás elméletéhez hasonlóan kidolgozták a kvarkokat összetartó erős kölcsönhatás mezőelméletét, amit kvantum-szindinamikának neveztek el, arra utalva, hogy a kölcsönhatás a kvarkok „színétől” függ. Ebben az elméletben a gluonoknak nevezett részecskék közvetítik a vonzóerőt. Mivel három szín van így két kvark kapcsolatát 3*3 színkombináció írja le, amiért elvben 9 féle gluon közvetíthet a kvarkok között. A színkioltást színek és komplementerük kombinációi hozzák létre, de ezek között van egy olyan kombináció is, amelyik már önmagában is „fehér”, ezért ezt a lehetőséget kizárják az elméletben, végeredményben ezért 8 különböző típusú gluon írja le az erős kölcsönhatást. A gluonok a fotonhoz és a W illetve Z bozonokhoz hasonlóan S = 1 spinnel rendelkeznek.

A kvarkok vibrációs modellje 

A kvark-elmélet neuralgikus pontja, hogy törttöltésű elemi objektumot nem lehetett megfigyelni még a nagy energiájú kozmikus sugárzásban és ütközési kísérletekben sem. Ezt a „bezártság” elvvel magyarázzák: két vagy három kvark szétválasztásához olyan nagy erőre lenne szükség, amely nem áll rendelkezésre sem a kozmikus sugárzásban, sem a gyorsítókban. Úgy képzelik el, hogy növelve két kvark távolságát a köztük ható vonzóerő is növekedni fog. Ebből a szempontból tehát pont fordítva viselkedik az erős kölcsönhatás, mint a gravitáció, vagy az elektromos töltések közötti erő. Ilyen típusú erő lép fel viszont a molekulákban két atom között a kémiai kötés révén. Ez az erő viszont vibrációt hoz létre az atomok között. A kvantummechanika fontos megállapítása, hogy az elemi rendszerek vibrációja semmilyen körülmények között nem „fagy be”, ezt hívják nullpont rezgésnek. Ezt a kvantummechanikai elvet a kvarkmodellre alkalmazva arra a következtetésre kell jussunk, hogy a mezonokban és barionokban kötött kvarkok is vibrációt végeznek! A vibráció a tér mindhárom irányában végbemehet, ezért logikus magyarázatot kapunk, hogy miért létezik éppen három szín, hiszen ezeket a színeket a vibrációkkal lehet azonosítani. A barionok „fehér színét” az okozza, hogy a benne levő három kvark a tér három különböző irányában rezeg, ami összességében gömbszimmetriát hoz létre. Mezonoknál viszont a két kvark ellenütemben végzi a vibrációt, ami megfelel a komplementer szín definíciójának. Önmagában ugyanis minden megfigyelhető részecske izotróp, azaz iránytól független objektum!

A neutrínók esetében már említettük, hogy a kvantummechanikai szuperpozíciós elv miatt létrejöhet olyan kettősforgás, ahol a két királis állapot együtt van jelen. Neutrínók esetén egyeznek a súlyfaktorok, kvarkokban különböznek. A súlyfaktorok segítségével a Standard Modell valamennyi objektumát jellemezhetjük: Az egyes részecskék töltése:

pozitron:        6/6→ jobb + 0/6→bal, töltés:  +e

up:               5/6→jobb + 1/6→bal, töltés +2/3e

anti-down   4/6→jobb + 2/6→bal, töltés: +1/3e

neutrínó:        3/6→jobb + 3/6→bal, töltés:    0

down:         2/6→jobb + 4/6→bal, töltés: -1/3e

anti-up:      1/6→jobb + 5/6→bal, töltés: -2/3e

elektron:        0/6→jobb + 6/6→bal, töltés:  -e 

A szemléletesség kedvéért a súlyfaktorokat hatodokban adtuk meg. Itt a jobb és bal a két kiralitást jelöli, természetesen önkényes, hogy melyikhez rendeljük a pozitív és melyikhez a negatív töltést. A súlyfaktorokat az általános fermion egyenlet töltésre és tömegre vonatkozó 2*2-es mátrixaiból képezhetjük [16].

De miért „ragaszkodik” a természet épp a hatodokban kifejezett súlyfaktorokhoz, hiszen a szuperpozíciós szabály tetszőleges faktorokat is megengedhet. A kvark-antikvark összetételű mezonok töltése lehet nulla vagy ±e. Az első eset nem jelent megszorítást a királis súlyfaktorra, a másodok pedig csak annyit követel meg, hogy a két kvarktípus (up és down) súlyfaktorainak összege egységnyi legyen. A három kvarkból felépülő barionok töltése lehet nulla, ±e vagy ±2e. Ekkor a különböző töltések úgy adódnak ki, ha a fenti „hatodokat” tételezzük fel a két alap kvark számára. Tehát azért „választja” ki a természet a fenti királis arányokat, mert nem produkál olyan összetett elemi objektumot, amely háromnál több kvarkból épülne fel [17]. Az elektron, pozitron és neutrínó is illeszkedik a képbe, ha hatodokban írjuk fel a szuperpozíciós arányokat.

Az eddigiekben minden egyes fizikai kölcsönhatást valamilyen tehetetlenségi erővel magyaráztunk, de milyen tehetetlenségi erő kapcsolható az erős kölcsönhatáshoz? A mezonokban és barionokban lévő kvarkokat úgy képzelhetjük el, hogy koncentrikus héjszerkezetet alkotnak, akárcsak az elektronok az atommag körül. A fotonok által közvetített elektromágneses kölcsönhatás a királis kettősforgások közötti „külső” kölcsönhatás. Az egymásba ágyazott kvark struktúrák viszont közvetlenül érintkeznek, ezért közöttük a Coriolis-csavaró erő csillapítás nélkül hat. Ez azt jelenti, hogy az erős kölcsönhatás nem csökken le a Sommerfeld-féle finomszerkezeti állandó mértékében, ami összhangban van a kvantum-színdinamika egyenleteivel.

 A héjstruktúra valamilyen irányú deformációja gyöngíti a héjak közötti átfedést és így a csavaró hatást, ami a deformáció növekedésével arányos erőt hoz létre, ami egymáshoz húzza a forgási héjakat. Ez az erő vibrációkat idéz elő a héjak között, amit a Standard Modell a gluonnak nevezett közvetítő bozonokkal ír le. Ez a bozon az egyik vibrációt kioltja (komplementer szín), a másikat felépíti (szín), ezért a vibráció két alaptípusának szorzatából épül fel a nyolctagú gluonok családja. A bozonok S = 1 spinjét a korábbiakban egytengelyű forgásokkal értelmeztük. Ebben az esetben a forgásoknak rezgések felelnek meg, mert a rezgés mindig felfogható, mint egy forgómozgás vetülete. A kölcsönhatás távolságát a héjak Compton-sugara határozza meg, innen fakad az erős kölcsönhatás rövid hatótávolsága.

Magyarázatra vár még, hogy miért nincs elektronok, pozitronok és neutrínók esetén erős kölcsönhatás?  Neutrínók esetén azért, mert az egyenlő súlyú királis héjak közötti tartományban a Coriolis-hatás kompenzálódik, elektron és pozitron esetén pedig csak egyetlen királis héj létezik, tehát nincs ami között  felléphetne a „belső” Coriolis-hatás.

A Standard Modell az erős kölcsönhatás alapján osztályozza az elemi fermionokat egyrészt leptonokra (elektron, pozitron és neutrínó), másrészt kvarkokra. Osztályozhatjuk az elemi objektumokat a királis héjak száma szerint is, mert evvel a mezonokat és a barionokat is belefoglalhatjuk a képbe. Ekkor az elektront és pozitront tekintjük egyhéjú részecskének, a neutrínó és a kvarkok képviselik a kéthéjú objektumokat, a mezonokban a héjak száma négy, a barionokban hat.

[16] A szuperponált állapotot leíró állapotfüggvényben a részállapotokat (itt |Jobb> és |Bal>) leíró függvényeket valószínűségi amplitúdókkal szorozva adjuk össze: f = cosα.|Jobb> + sinα.|Bal>    Egy adott fizikai mennyiség, például az elektromos töltés értékének meghatározásakor a töltésoperátor, amit a Q11 = -Q22 = e és Q12 = Q21 = 0 mátrix definiál, f függvénnyel alkotott várható értékét kell képezni, amely q = e.cos2α érték lesz. A pozitrontól elektronig terjedő hét részecskét az n kvantumszámmal értelmezve cos²a=(n+3)/3 definícióval, ahol n = 3, 2,1, 0,-1, -2, -3, valamennyi részecske töltését megkapjuk. Az n = 0 esetben, tehát a neutrínónál cos2α = 0, ezért nulla a töltés. Az általános fermion egyenletben definiált tömegmátrixban ekkor M11 = M22 =0 és M12 = M21 = m0 lesz, tehát nincs „diagonális” tömeg, de létezik nem-diagonális tömeg. Ez úgy fogható fel, hogy átlagértékben a tömeg nulla, de a tömegnek létezik statisztikai szórása, mert egyenlő valószínűséggel vesz fel negatív és pozitív értéket. Itt érdemes arra utalni, hogy az elektron Dirac-egyenletének vannak pozitív és negatív energiájú és ennek megfelelően pozitív és negatív nyugalmi tömegű megoldásai, bár az utóbbi kísérletileg nem lehet megfigyelni. További sajátsága a neutrínónak, hogy impulzusa diagonális, azaz P11 = -P22 = p0 és P12 = P21 = 0. Ezt úgy mondhatjuk, hogy a neutrínó tisztán „impulzus” részecske, szemben az elektronnal és pozitronnal, amelynek van nyugalmi tömege, de nincs nyugalmi impulzusa. Más megfogalmazásban ez azt jelenti, hogy a neutrínónak van kinetikus energiája, de nulla a nyugalmi energiája. Kvarkok esetén viszont olyan kevert királis állapotról kell beszélni, amelyik nincs sem nyugalmi tömegállapotban, sem nyugalmi impulzusa