A pontszerűség mellett szóló érvek

Pontszerű-e az elektron? Bizonyos kísérletek szerint igen! Erre adnak példát a Bhabha kísérletek. Bombázzunk elektronokat pozitronokkal! A találkozáskor a két részecske gamma sugárzás kíséretében annihilál. Könnyebb egy térben kiterjedt töltésrendszert eltalálni, ha annak mérete nagy. A nagy energiájú szóráskísérletek azonban azt mutatják, hogy nagyon kicsi a találati valószínűség, és a mérési pontosság határain belül nulla az elektron töltéseloszlásának sugara. Más részecskéknél ez nem így van, így derítették fel különböző szórásvizsgálatokban a proton és neutron töltésének véges térbeli eloszlását.

Más jelenségekkel is összhangban van a pontszerűségi elv: az elektront ugyanis nem lehet kisebb egységekre felbontani. A felbonthatatlanság természetesen biztosan teljesül, ha tényleg pontszerű egy részecske, de ez önmagában még nem bizonyíték a pontszerűség mellett, mert a felbonthatatlanságnak más oka is lehet.

Ellenérvek a pontszerűséggel szemben

Más oldalról, milyen érvek hozhatók fel a pontszerűség ellen? Mindenekelőtt feltehető a kérdés, hogy lehet-e bármilyen fizikai objektum végtelenül kicsi, felbontható-e az anyag végtelenül apró darabokra? Itt lép be a démokritoszi atomelv, amelynek álláspontja szerint, kell lenni valahol egy oszthatósági határnak, még ha mai tudásunk szerint ez a határ nem is az, amit ma atomnak nevezünk, sőt az atommag is felbontható nukleonokra (proton és neutron), de még ez sem a végső felbontási határ, hanem annak is vannak kisebb elemei: a kvarkok. Ismereteinket összegző Standard Modell szerint, a már tovább nem bontható elemi objektumok az említett kvarkok, de ide tartoznak még a fermionok közül az elektron és neutrínó család tagjai, valamint a különböző kölcsönhatásokat közvetítő bozonok, jelesül a fotonok, a W és Z részecskék, és a gluonok. A kérdés persze fennmarad, biztosak lehetünk-e abban, hogy amit ma a fizikai világ legapróbb építőköveinek tartunk, nem oszthatók-e mégis tovább, lehet, hogy ezek is valamilyen folytonos anyagból épülnek fel? Ha persze az elektron tényleg pontszerű, lezárhatjuk a kérdést, hiszen a pont az a végső matematikai határérték, amely megfogalmazza a felbonthatatlan kiterjedés nélküliséget.

Ami azonban leginkább szembemegy a pontszerű elektron felfogásával, hogy az elektron olyan fizikai tulajdonságokkal rendelkezik, amely csak térben kiterjedt testeknek lehet: ezek a nyomatékot (momentumot) kifejező fizikai mennyiségek, jelesül az impulzus- és a mágneses nyomaték. Az előbbi arra utal, mintha az elektron tömege véges tértartományt foglalna el, az utóbbi szerint ez vonatkozik az elektron töltésére is.

Az ellentmondás feloldása fénysebességű forgásokkal

Lehet-e egyáltalán olyan fizikai objektum, amely két ilyen egymásnak ellentmondó tulajdonsággal rendelkezik? Ha a részecskékhez fénysebességű forgásokat rendelünk, akkor igen! Ennek magyarázatát a relativitáselmélet Lorentz transzformációja adja meg. Ha hozzánk képest egy test valamilyen sebességgel mozog, annak méretét a mozgás irányában kisebbnek látjuk, és ha elérjük a fénysebességet, akkor a méret nullára zsugorodik. De ez csak a mozgás irányára igaz, mert a mozgásra merőlegesen a méret ugyanakkora marad. Képzeljünk el egy R sugarú fizikai objektumot, álló esetben a kerület hossza 2Rπ. Kisebb lesz azonban a kerület hossza, ha forogni kezd a test ω = f/2π körfrekvenciával, és ha eléri a v = ωR kerületi sebesség a c fénysebességet, akkor a kör kerülete már nullára zsugorodik. De mi lesz a sugárral? Mivel a sugár mindig merőleges a mozgásirányra, ez változatlanul R értékű marad. De lépjünk tovább és képzeljünk el egy olyan forgást, amelyik egyszerre két egymásra merőleges tengely körül megy végbe, ez már egy gömb felületét futja be. Ennek a gömbnek a felülete a kívülálló számára már nulla lesz 4R²π helyett, de sugara változatlan marad.

A tömeg és az impulzusnyomaték eredete

A tömeggel azonban bajban vagyunk, ugyanis véges tömeg nem mozoghat fénysebességgel, mert a c sebesség miatt ez végtelenül nagy lenne a relativitáselmélet szabályai szerint. Fordítsuk ezért meg a gondolatmenetet, és tegyük fel, hogy épp a c sebességű mozgás felelős a tömeg létrehozásáért! Ez a forgó test legyen tehát az üres tér lokális tartománya, amelynek nincs is tömege, de ez a nulla tömeg matematikai határértékként viselkedik. A határérték számítás szabálya szerint, ha egy nullához tartó függvény értékét végtelenhez tartó számmal szorzunk, akkor a szorzat felvehet véges értéket is! Alapul véve a Lorentz törvényből fakadó tömegnövekedési szabályt, amely szerint c sebességnél a tömeg végtelenszer nagyobb lesz, majd szorozzuk meg ezt a végtelenhez tartó számot a nulla határértékű tömeggel, akkor eljuthatunk a részecske véges tömegéhez. Ez a gondolatmenet a fénysebességű forgás koncepciója, amely feloldja az ellentmondást a szóráskísérletekben pontszerűként viselkedő elektron és a véges impulzusnyomaték létezése között. Ez a koncepció új funkciót ad a térnek, amely többé nem passzív tartály, amelyben a részecskék világa elhelyezkedik, hanem a részecskék megalkotója is. A térben minden mozgás sebessége relatív, de van egy nagy kivétel: a fénysebesség, amely a relativitáselmélet szerint mindig azonos vákuumban. Akár hozzánk közelítő, vagy távolodó objektum bocsátja ki a fényt, mindig azonos sebességgel teszi meg felénk az utat. Ezért a fénysebességet mint a tér szerkezeti állandóját foghatjuk fel. Ha a térben valamilyen ω körfrekvenciával forgás alakul ki, az kijelöl egy véges tartományt a térben, amelynek sugarát az R = c/ω szabály adja meg. Fogjuk úgy fel a fotont, mint a tér forgását, rendeljük hozzá az ω körfrekvenciához az E = ћω energiát, és a tömeg-energia ekvivalencia alapján adjuk meg az m = E/c² relativisztikus tömeget is. Foton esetén ez a tömeg nincs nyugalomban, mert a fény természeténél fogva c sebességgel száguld. Így a foton nem lehet nyugalomban, így nyugalmi tömege sincs, van viszont relativisztikus mozgási tömege! Ennek a tömegnek szorzata a fénysebességgel már mérhető mennyiséghez: az m·c impulzushoz vezet, amit ha megszorzunk a sugárral, megkapjuk a foton impulzusnyomatékát. A számítás eredménye épp azt a ћ = h/2π impulzusnyomaték, amit annak idején Planck megállapított! Még arra is választ kapunk, hogy bár a foton frekvenciája és energiája rendkívül széles határok között változik, az impulzusnyomaték mégis pontosan ugyanakkora marad.

De térjünk rá a kettős forgással értelmezett elektronra. Itt a gömbfelület zsugorodik nullára a fénysebességű forgás miatt, ez tükröződik a Bhabha kísérletben is. A kettős forgást úgy foghatjuk fel, hogy először egy kiválasztott tengely körül 2π szögű forgatást végzünk el, majd ezt egy erre merőleges tengely körül megismételjük, azaz összességben 4π szögű forgatást hajtunk végre. Ennek a gömbforgásnak frekvenciája az egyetlen tengely körüli forgáshoz képest fele akkora lesz: Ω = ω/2. Ezt a gömbfrekvenciát hozzuk kapcsolatba a részecske tömegével: mc² = ћΩ. Az impulzusnyomaték komponenseit úgy kapjuk meg, ha az egyes tengelyek körül az ω körfrekvenciát vesszük figyelembe, ahol most ω = 2mc²/ ћ. Ezt behelyettesítve az impulzusnyomaték kifejezésébe kapjuk, hogy m·c·r = ћ/2. Így jutunk el az S = ½ spinhez, amelyik minden elemi fermion sajátja bármekkora is a tömeg. Spinnek nevezzük a ћ egységben megadott impulzusnyomaték együtthatóját, ez fotonoknál S = 1, az elektronnál S = ½ értéket vesz fel. Más részecskéket is a spinnel jellemezzük, amely bozonoknál S = 1 és fermionoknál  S = ½. Összetett szerkezetű részecskéknél ezt úgy általánosítják, hogy a spin bármely egész szám lehet bozonoknál, és bármely „félegész” fermionok esetén.

Centrifugális erő és az erős gravitáció

Ha egy m tömegű test ω körfrekvenciával kering egy R sugarú körön, akkor arra F_C = mω²R centrifugális erő hat. Emiatt felvetődik a kérdés, hogy milyen erő képes stabilizálni a forgást a szétrepítő erő kiegyenlítésével? (Lásd: Rockenbauer Antal: „A kvantummechanikán innen és túl. A fénysebességű forgás koncepciója, Scolar Kiadó, 2017, pp. 53-55). Helyettesítsük be a centrifugális erő képletébe az előzőekben alkalmazott összefüggéseket, ekkor a fénysebességű forgás centrifugális ereje F_C = ћc/R² lesz. Az ellensúlyozó erő megtalálásához forduljunk az általános relativitáselmélethez, amely a tér görbületével magyarázza a gravitációs erőt. Tételezzük fel, hogy a részecskét alkotó kettős forgás „kilép” a zárt tartományból, és frekvenciája követi a Kepler-Newton törvényt, amely szerint ω²r³ = konstans az r > R tartományban. Ennek a forgásnak a v = ωr kerületi sebessége bármely elemi részecske esetén sok nagyságrenddel kisebb a fénysebességnél, és csökken a távolsággal. A Lorentz-kontrakció szabálya szerint a kör kerülete a v/c aránytól függően lecsökken, és ezt a csökkenést vehetjük a térgörbület mértékének. A görbület mértékéből definiálva egy erőt, reprodukálhatjuk a Newton-féle gravitációs törvényt. Most alkalmazzuk ezt a formulát arra az esetre, amikor a részecske felületén a fénysebesség miatt a kerület hossza nulla lesz. Ekkor arra az eredményre jutunk, hogy ott a gravitációs erő épp ћc/R², azaz a gravitáció (ezt nevezzük erős gravitációnak) éppen kiegyensúlyozza a centrifugális erőt. A fénysebességű forgás modellje szerint tehát nem kell kívülről energiát igénybe venni a részecskék mc² nyugalmi energiájának biztosításához, mert ezt az extrém módon görbült tér potenciális energiája biztosítja. A részecskék „képződéséhez” tehát nem kell energia, csak az impulzusnyomaték forrását kell biztosítani. Evvel magyarázatot kapunk arra is, hogy a béta-bomlás folyamatában, amikor a neutron protonná alakul át egy elektron és egy neutrínó kibocsátásával, hogyan képződhet olyan közvetítő bozon (W bozon), amelynek tömege közel százszor nagyobb a kibocsátó neutronhoz képest.

Az elektron anomális mágneses nyomatéka

Az elektronok véges mágneses nyomatékkal is rendelkeznek, melyet a relativisztikus Dirac-egyenletből lehet származtatni:

    M_S = 2μ_BS,

ahol μ_B = eћ/2mc a Bohr magneton. Ezt származtatni tudjuk fénysebességű forgással, ha az e elemi töltés körforgását vesszük alapul, és a mágneses nyomaték számításánál alkalmazzuk az elektrodinamika M = IF/c törvényét, ahol a töltés árama I = e·f = eω/2π, a kör területe F = R²π. A behelyettesítések után kapjuk, hogy:

M_S = eR/2 = μ_B = 2μ_BS

Az elektronok pályamozgása esetén, ha a pálya-impulzusnyomatéka Lħ, a megfelelő képlet: M_L = μ_BL. Miért lép fel a 2-es szorzó a spin járulékában? Ennek megválaszolásával a fizika már régóta küszködik. A kettős forgás koncepciója azonban kézenfekvő magyarázatot ad a kérdésre. A spint a kettős forgásból származtatjuk, viszont a mágneses nyomaték a mágneses mező körüli Larmor-precesszióból ered. Ez a forgás viszont egy tengely körül történik, amiért nem lép fel az impulzusnyomaték számításnál alkalmazott feleződési szabály.

A mágneses nyomaték azonban nem pontosan egyenlő a Dirac-egyenletből származtatott értékkel, hanem kissé nagyobb:

 M_S = 2,002319304μ_BS

Mi okozza ezt a növekedést? A kvantum-elektrodinamika (QED) mezőelmélete erre rendkívül pontos megoldást ad különböző szintű közelítések keretében. A QED alapgondolata, hogy az elektromos töltések vonzó-taszító hatását virtuális (közvetlenül nem detektálható) fotonok hozzák létre, amelyek állandóan kibocsátódnak és elnyelődnek, amely így fluktuációt okoz a részecske pozíciójában, és ez megnöveli a mágneses mező nagyságát. A nehézveretű elmélet helyett a fénysebességű modellel is magyarázatot adhatunk a legfontosabb tagra.

A részecske belső tartományából való foton kibocsátást a kettősforgás által kiváltott és ћc/R² amplitúdójú Coriolis-erő oszcillációja okozza (lásd: Pillantás az elemi részecskék belsejébe: kvarkok és gluonok különös világa). A foton kilépésekor ez az erő csillapodik az α = 1/137,036 Sommerfeld-állandóval, amely az e² = α ћc összefüggésben realizálódik. Ennek megjelenése hozzáadódik a centrifugális erőhöz, de amíg a centrifugális erő a teljes körön egyenletesen hat, itt a kilépés mindig valamelyik irányban megy végbe, amit a 2π-vel való osztás vesz figyelembe. A megnövekedett kifelé ható erőt már a valamivel erősebben görbült tér tudja kiegyenlíteni, ezért kisebb lesz az erős gravitációt okozó R_G görbületi sugár a centrifugális erő R_C sugarához képest:

ћc/R_G² = ћc/R_C² + (α/2π)ћc/R_C²

Innen kapjuk a töltés által körüljárt felület megnövekedését:

R_C²/R_G² = 1+ α/2π

Ez az arány jelenik meg az elektron anomális mágneses nyomatékának első korrekciós tagjában. (Bár a mágneses nyomaték lineárisan függ a részecske sugarától, mégis a felülettel való arányosság határozza meg a korrekciót, mert a tömeget létrehozó ω = c/R körfrekvencia azonos marad.) A számítás tovább finomítható, ha figyelembe vesszük, hogy a korrekció miatt csökken az elektron belső terének energiája 1 - α/2π mértékében:

R_C²/R_G² = 1+ ∝/2π(1 - α/2π)

Ekkor a mágneses nyomaték már csak a hetedik tizedes jegyben tér el a kísérleti adattól:

M_S = 2,002320104μ_BS

Szemléletesen úgy is fogalmazhatunk, hogy az elektronnak kettős héja van: a belső felülete határozza meg a tömeget és az impulzusnyomatékot, a külső a fluktuációs mozgás miatt alakul ki, amiben a belső gömb „lötyög”, és ezáltal megnöveli a töltés által bejárható nagyobb felületet.

Miért lesz végtelen az elektron sajátenergiája a QED elméletben?

A QED elmélete látványosan szép eredményre vezet az elektron anomális mágneses nyomatékának meghatározásával, mégis van egy súlyos hibája: a sajátenergia első perturbációjának számítása végtelenül nagy értékre vezet. Ha ezt önkényesen elhagyjuk, akkor a további tagok rendkívül nagy pontossággal adják vissza a kísérleti értéket. Az elméletnek ezt a gyenge pontját a klasszikus elektrodinamikától örökölte, amikor számba vette az elektron elektromos kölcsönhatásának sajátenergiáját. Ezt úgy végzik el, hogy az elemi töltést végtelenül kis elemekre bontják fel, és először elviszik ezeket a töltéseket végtelen távolságba, majd kiszámítják a munkavégzést, amikor a töltést egyetlen pontba egyesítik. Az alkalmazott módszer eleve ellentmondáson alapul, amikor felbontja az oszthatatlan elemi töltést. A végtelen sajátenergia pedig onnan származik, hogy az integrálást nulláig viszik, mintha tényleg egyetlen matematikai pontban lenne a töltés, ahol már a taszítási erő ellen végzett munka végtelenül nagy. A QED elmélete is a kölcsönhatást nulláig kiterjesztett integrálokkal írja fel, ezért jelenik meg ott is a szingularitás. Ezt a hibát kiküszöböli a fénysebességű forgás koncepciója, amely véges sugarat határoz meg a részecske számára. Az elektromágneses mező energiája a részecske által a belső tartományból a külső térbe kiküldött hányad, amit az α Sommerfeld-állandó ad meg, míg az mc² sajátenergia döntő hányada (1 – α = 0,9927-ed  része) belül marad. Helytelen ezért az olyan próbálkozás is, amely az elektromágneses mező energiájával akarja értelmezni a teljes sajátenergiát (lásd: klasszikus elektronsugár).

Anyag és antianyag a fénysebességű forgásokban

Az elmondottakon kívül a fénysebességű forgásmodell kézenfekvő magyarázatot ad az anyag és antianyag, illetve a pozitív és negatív elektromos töltés eredetére is. Ez a kettős forgás szimmetriájára vezethető vissza, amely lehet jobb és balsodrású is. Ez a szimmetria a háromdimenziós tér sajátja. A korábbi írásban (Pillantás az elemi részecskék belsejébe: kvarkok és gluonok különös világa) azt is kimutattuk, hogy mi a töltés eredete, és hogyan lehet a kvarkoknak 2/3e és 1/3e töltése is a forgás jellegétől függően. Itt csak azt kívánjuk leszögezni, hogy a fénysebességű forgásmodell alkalmas az egész részecskevilág leírására, azon túlmenően, hogy feloldja a látszólagos ellentmondást az elektron pontszerűsége és a fizikai nyomatékok létezése között.

Összetett részecskék spinje és a véges hatáskeresztmetszet

A pontszerűséggel kapcsolatban érdemes még kitérni arra a kérdésre is, hogy a proton töltéseloszlása a mérések szerint nem pontszerű, bár az elektronhoz hasonlóan a spinje ½. Az elektron impulzusnyomatékát a fénysebességű kettős forgásra vezettük vissza, ezért ha evvel magyaráznánk a proton spinjét is, akkor nulla hatáskeresztmetszetet várnánk proton esetén is a szóráskísérletekben. Ha nem tudnánk már az elméletből, hogy a proton három kvarkból épül fel, akkor már a véges hatáskeresztmetszet létezéséből levonhatnánk a tanulságot, hogy a proton összetett szerkezetű! Mivel a valóban elemi fermionoknak a kettős forgás koncepciója szerint ½ a spinje, így a spinek összeadási szabályából már következik, hogy legalább három komponensből épül fel a proton, ugyanis két ½ spin összege nulla, vagy egy lehet. Egyébként az összetett részecskék családjában vannak két kvarkra bontható mezonok is, ahol tényleg a spin 0, vagy 1 értéket vesz fel. Három ½ spin alkothat akár ½, akár 3/2 spint is. Léteznek ennek megfelelően olyan barionok is, melyeknek spinje 3/2. (Barionnak nevezzük a három kvarkból, vagy antikvarkból felépülő részecskéket, ennek legstabilabb két tagja a proton és a neutron).

Folytonosság, pontszerűség és diszkrét energiák

Hogyan kapcsolódik a részecskék pontszerűségének cáfolata a fizikai világ folytonosságának kérdéséhez? Az energia estén látszólag megszűnik a folytonosság, hiszen az atomban kötött elektronok diszkrét energiájúak, és adott frekvenciájú fény energiája is E = h·f nagyságú lépcsőkben változik. Fölvethető emiatt, vajon a tér és az idő se lenne folytonos? Nézzük először a klasszikus fizikát! Minden területen a folytonosságból indul ki, és differenciálegyenletekkel írja le törvényeit, akár mechanikáról, elektromágnesességről, vagy termodinamikáról van szó. Ez a szemléletmód abból indul ki, hogy – legalább is elvben – a mozgásokról folytonosan érkezik az információ a folytonosan érkező fény miatt. Gyakorlati szempontból ez a matematikai technika rendkívül hasznos, mert a végtelenül kis változások birodalmában lineárissá válnak a legbonyolultabb összefüggések is, ami nagyon megkönnyíti a számításokat. A nehézség mindig az integrálásoknál következik be, amikor makroszkopikus méreteket vizsgálunk.

Jelenlegi kvantumfelfogásunk szerint sem beszélhetünk kvantált térről, vagy időről. Ennek oka, hogy a kvantummechanika operátorait az idő és a térkoordináták szerint differenciálhányadosok adják meg, már pedig ez megköveteli, hogy a koordinátákat végtelenül kis elemekre tudjuk felbontani, és folytonosnak kell lenni az állapotfüggvénynek is. De mégis hol az a pont, ami kvantumok kialakulásához vezet? Ez a körmozgás, amelyben a szögkoordináta 360 fokonként visszatér önmagába, ez az önmagába való visszatérés vetítődik ki az anyag periodikus hullámaiban is. Klasszikusan a mozgás pontról pontra követhető, mert elvben tetszés szerinti kis távolságban és időközben érkeznek hozzánk a fotonok, de ez már nincs így a kvantumok világában, mert a stacionárius állapotban „néma” az elektron, nem bocsát ki, vagy nyel el fotont, kizárólag csak a különböző állapotok közötti ugrásokat látjuk. Ha ebből visszakövetkeztetünk az elektronpályákra, az csak az egész pályáról, azaz a teljes körforgásokról adhat információt. Ez az információ a pálya impulzusnyomatéka, amit a redukált Planck-állandó egész számú többszöröse ad meg. Miért kötelező, hogy ez így legyen, miért nem keringhet tetszésszinti pályán az elektron? Ennek oka, hogy az elektron kötőpályára jutását a fotonok segítik elő. A szabadon mozgó elektronnak nincs pálya-impulzusnyomatéka, amikor azonban az atommag közelébe kerül, a vonzás gyorsítást, ez pedig foton kibocsátást okoz, de minden ilyen kibocsátás alkalmából ћ egységnyi impulzusnyomaték változás következik be. Végül, amikor kialakul a kötött stacionárius állapot, egész számú lépés határozza meg, hogy milyen impulzusnyomaték tartozik a landolási pályához.

De hol lép be a kvantummechanikai formalizmusba, hogy az állapotfüggvény által meghatározott impulzusnyomaték csak ћ egész számú többszöröse lehet? Ezt az garantálja, hogy az energia, impulzus és impulzusnyomaték operátoraiban ott szerepel a ћ konstans mint a differenciálhányadosok együtthatója. Az impulzusnyomaték J_z = iћδ/δφ komponense a tengely körüli forgás poláris szögével képzett differenciálhányados, viszont a szög 360 fokos elfordulás a kezdő állapotnak felel meg. Ennek matematikai következménye, hogy az operátor sajátfüggvénye periodikus lesz, és a belső ismétlődések száma adja meg a kvantumszámokat.

További bejegyzések: "Paradigmaváltás a fizikában"