Mottó:     Abban a világban, ahol nincs irányjelző,

az irány fogalma ki sem alakulhatott volna

Előhang

Minden fizikai törvény a determinizmus elvén alapul, de hogy mi is a determinizmus, azt csak a mikrovilágból tudhatjuk meg. Ennek oka, hogy a mikrovilág diszkrét lépései és valószínűségi jellege felfelé haladva fokozatosan simul bele a makroszkopikus világ folytonosságába és bizonyosságába. A fordított út viszont bizonyító erővel nem rendelkező extrapoláció, a makroszkopikus fizikai törvények nem vihetők át változatlanul a mikroszkopikus dimenziókba. A mikrovilág tanulsága, hogy a determinizmus a valószínűségen keresztül valósul meg.

Ahogy a determinizmusban megnyilvánul a véletlen, a véletlen is magában rejti a determinizmust, ezek nem egymást kizáró antagonisztikus fogalmak, hanem a természeti törvények keretei, melyek kikövezik az utat a mikrovilágtól a makroszkopikus jelenségek felé.

Bevezetés

A mikrovilág fizikai elméletéhez, a kvantummechanikához sok tévhit kapcsolódik. valamilyen különös világot képzelünk el, ahol a megszokott törvények nem érvényesülnek, ahol nincs determinizmus, ahol a valószínűség az úr. De honnan származnak, mi az eredete az olyan fogalmaknak – mint a determinizmus és a véletlen? Először ennek kell utánajárni, mert ezek a fogalmak is hétköznapi tapasztalataink általánosításából születtek meg. De mi történik, ha kilépünk a hétköznapi világból a mikroszkopikus objektumok tartományába. Vajon minden fogalmunk változtatás nélkül ott is alkalmazható?

 Célom annak megmutatása, hogy nincs szakadék szokásos törvényeink és a mikrovilág objektumainak szabályai között. Az eltérés onnan fakad, hogy elmulasztjuk fogalmi rendszerünk hozzá igazítását ahhoz a világhoz, ahonnan csak korlátozott mennyiségű és minőségű információ jut el hozzánk.

Mérőműszer és a megfigyelt mikrovilág

A mikro- és makrovilág megfigyelései között a legfőbb különbség, hogy a makroszkopikus objektumok mozgásait úgy tudjuk megfigyelni, hogy evvel a test mozgása nem változik meg, amire általában nincs lehetőség, amikor az elektron mozgását akarjuk nyomon követni. Ugyanis minden megfigyelés alapja valamilyen kölcsönhatás, köztünk, a műszerünk és a megfigyelt objektum között. A fő kérdés, hogy az a kölcsönhatási energia, illetve az impulzus, amivel a kölcsönhatás jár, hogyan aránylik ahhoz az energiához és impulzushoz, ami a megfigyelt objektum mozgását jellemzi.

A mérőműszer közvetett kapcsolatot teremt a makroszkopikus megfigyelő és a mikrovilág között. Hogyan tudjuk – például – egyetlen foton hatását megfigyelni? Ennek eszköze a fotoelektron sokszorozó. A foton kilő a fényérzékeny lemezből egy elektront, amelynek útjába egy olyan lemezt helyezünk, amelyet gyorsító feszültséggel láttunk el.  Ezáltal az elektron akkora energiára tesz szert, amely a második lemezből már több, mondjuk három, fotont tud kiszabadítani. Ez a három foton elérve a harmadik lemezt, onnan három elektront fog elindítani, és ezeket tovább gyorsítva a következő lemezből már kilenc foton fog kilépni. Lemezek sorát alkalmazva, akár milliószorosára növelhetjük meg a fotonok számát.  A műszernek tehát van egy bemenő oldala, amelyik a mikrovilág valamilyen jelenségét észleli, és van egy kimenő oldal, ahol már a kiinduló hatás átvált a makroszkopikus dimenzióba, amit az észlelő már látni fog. A műszer makroszkopikus eszköz, ami által a mikrovilág tulajdonságairól közvetett információhoz juthatunk. A közvetítés elemi lépcsőfokai azonban rejtve maradnak előttünk.

A mikrovilág dimenziói

Mekkorák a mikrovilág parányi objektumai? Nézzük először méretüket, például egy atomét. Ha százmillió (azaz 10⁸) atomot sorba rakunk – ilyen sorba rakás például egy kristályrács – akkor annak hossza 1 cm körül lesz. Mekkora egy atom tömege? Ha a százmilliót a harmadik hatványra emeljük (ez 10²⁴), akkor lesz az atomok össztömege néhány gramm (így jutunk el az Avogadro szám 6·10²³ nagyságrendjéhez). További kérdés, hogy mekkora sebességgel száguldanak az elektronok az atomok és molekulák belsejében? Akkorával, hogy evvel a sebességgel egy másodperc alatt Budapesttől akár Moszkváig is eljuthatunk. Ez a sebesség a fénysebesség hozzávetőleg századrésze. Hányszor tudja az elektron ekkora sebességgel körbejárni az atommagot? Nevezzük elektronévnek, azt az időt, ami alatt az elektron egyszer lefutja a pályát a mag körül. Ha így számolunk és figyelembe vesszük, hogy az említett óriási sebességgel mennyi idő kell egy körbefutáshoz, akkor az egy másodperc alatti évek száma százezerszer lesz hosszabb, mint az Univerzumunk kora. De játsszunk tovább a gondolattal és nevezzük egy elektronnapnak azt az időt, ami alatt egy teljes pályát leír az elektron az atommag körül, akkor az elektron egy másodperc alatt lesz annyi napos, mint amennyit az univerzum kora számlál!

Barátkozzunk tovább ezekkel a különös számokkal, kapcsolatba hozva természeti állandókkal. Csak a nagyságrendeket vizsgáljuk, és ne törődjünk az együtthatókkal. A pontos számértékek bármely kézikönyvben rendelkezésre állnak. Három fontos fizikai mennyiségre van szükségünk a becslésekhez: a c fénysebességre, amely 10⁸ m/s nagyságrendű, a redukált ħ = h/2π Planck állandóra, melynek nagyságrendje 10^-34 J·s. Ehhez járul még hozzá a dimenziómentes 0,01 nagyságrendű α Sommerfeld állandó. Ez utóbbi határozza meg az elemi töltések közötti erő nagyságrendjét az e² = αħ·c szabályon keresztül, ahol a töltés négyzetének nagyságrendje 10^-28. Ezen kívül még szükségünk van az elektron tömegének nagyságrendjére is, amely m_el = 10^-30 kg. Az előző pontban ismertetett nagyságrendek származtatásához használjuk Bohr klasszikus mechanikán alapuló érvelését. Hidrogén atomban a proton és az elektron közötti e²/r² Coulomb erő egyenlíti ki az elektron körforgásának m·v²/r centrifugális erejét. A körforgáshoz tartozó m·v·r impulzusnyomaték egysége a ħ redukált Planck állandó (Bohrnál ez még csak egy ad hoc feltételezés, a magyarázatot később adjuk meg). A két összefüggést összekapcsolva kapjuk meg a sebességet: v = e²/ħ = 10⁶m/s, egyezően a már említett értékkel. Az impulzusnyomaték kifejezéséből már származtathatjuk a pálya Bohr sugarat is:

R _Bohr  = ħ/m·v = 10^-10m = 10^-8cm. A másodpercenkénti fordulatok számát a sebesség és a sugár aránya adja meg: f = v/r = 10¹⁶ 1/s.  A kvantummechanikai számítások hasonló nagyságrendi viszonyokat állapítanak meg, ami már előrevetíti, hogy a kvantumelmélet nincs ellentmondásban a klasszikus mechanikával, hanem annak a mikrovilág dimenzióihoz alakított elmélete.

Hogyan írhatjuk le az elektron pályáját?

 Lehet-e az atomban ezt az óriási sebességű mozgást egy ilyen parányi méretben nyomon követni, megadhatjuk-e az elektronpályát a szokásos módon, feltüntetve pontról pontra az időt és a pillanatnyi tartózkodás helyét?  Amikor a bolygók pályáját követjük a Nap, vagy a Holdét Földünk körül, megtehetik ezt a csillagászok távcsöveikkel vizsgálva az eget. Amikor a teniszlabda útját követjük videóval, akkor is nyomon követhetjük a labda útját, és a sólyomszem technikával megnézhetjük, hogy a labda az érvényes területen belül, vagy azon kívül érte-el a pályát. Tudunk-e hasonló pályaképet felvenni az elektron mozgásáról is? Van, amikor igen, de van, amikor ez nem lehetséges. A gyorsítóból kilépő elektron pályáját nyomon követhetjük emulzióban, köd- vagy buborékkamrában, amikor célunk, hogy kövessük a mozgást elektromágneses mezőben. A detektálást lehetővé teszi a kölcsönhatás, amellyel az elektron változást hoz létre a közegben – például ionizációval ezüst atomokat kiszabadítva – amely révén kirajzolódik az emulzióban, hogy milyen pályát futott be az elektron. Ilyenkor a pályát atomról atomra tudjuk követni. Hasonló a helyzet a buborék és ködkamrában, ahol az átalakított apró buborékok vagy a ködszemcsék jelölik ki az utat. Ezekben a közegekben természetesen behatárolja a helymeghatározás pontosságát a szemcseméret, amely mindegyik technikánál meghaladja az atomi méretet. Szintén korlátozott pontosságú az impulzusmérés is, mert minden egyes reakciónak van egy energiaküszöbe, ráadásul az energia és az impulzus minden egyes reakció után fokozatosan csökken, amely befolyásolja a mért görbületi értékeket is, amikor az elektronpályát az elektromágneses mező eltéríti. A mérési pontosság korlátai azonban nem akadályozzák meg, hogy felrajzoljuk a mozgás pályaképét, egymást követő pontokra felbontva.

De mit tudunk mondani azoknak az elektronoknak a pályájáról, amelyek látható világunk túlnyomó részét teszik ki, amelyek az egyes atomokban és molekulákban végzik örök mozgásukat. Itt a helymeghatározásnál már szóba sem jöhetnek az említett mérési technikák, mert az atomi elektronpálya nem terjed túl az atomok közötti távolságon, ráadásul az elektronok csak akkor bocsátanak ki, vagy nyelnek el fotont, ha ugrást végeznek két állapot között. Emiatt az elektronok stacionárius (ugrást nem végző) pályákon való mozgásáról nem kapunk semmilyen információt. Ez avval jár, hogy a „mikor és hol” kérdése helyett csak a „hol lehet” kérdését vethetjük fel, hozzátéve, hogy az elektron mekkora valószínűséggel található meg az atom különböző régióiban. Honnan nyerhetünk segítséget, hogy ezeket a valószínűségeket megállapíthassuk? Ebben segít, hogy a klasszikus mechanika már feltárta a mozgás állandóit, az energiát, amely a kinetikus és potenciális energia összege, az impulzust, amely nem változik, ha nem hat külső erő a mozgó objektumra, és az impulzusnyomatékot, amely szintén állandó, ha nincs jelen forgatónyomaték. Ezek olyan fizikai mennyiségek, melyek szerepe független attól, hogy csillagászati távolságokról, hétköznapi világunk méreteiről, vagy parányi objektumok mozgásáról van szó. A keringő mozgásra példa a Nap körüli mozgást végző bolygók és aszteroidák serege. Kepler óta tudjuk ezeknek a pályáknak szabályait, amire a dinamikai magyarázatot Newton tömegvonzási törvénye adta meg. Ha az atomban kötött elektronpályákra korlátozzuk figyelmünket, ott is ellipszis pályákat rendelhetünk az elektronokhoz a klasszikus mechanika módszerét követve, melyek az excentrikusságban (lapultságban) különbözetnek. Ezeken a pályákon végig azonos az energia és az impulzusnyomaték. Az impulzusnyomaték két vektor szorzata, az egyik az impulzus, a másik a mozgási centrumból az érintőre merőlegesen húzott szakasz hossza, külön- külön mindkettő változik a mozgás során, de a vektorok szorzata állandó marad. Nem függ még a mérettől a szimmetria sem, amely emiatt központi szerepet játszik a mikrovilág parányainak – az elemi részecskéknek – tulajdonságaiban.

Kvantummechanikai állapotok

Az atomok kötött elektronjainak mozgását a kvantummechanika írja le, amely a fentiek miatt már nem pályaleírás, hanem állapotleírás. A klasszikus pályaleírás megköveteli, hogy az idő függvényében meg tudjuk adni a részecske helyét. Ebből a pályafüggvényből az idő szerinti első derivált adja meg a sebességfüggvényt, a második a gyorsulásfüggvényt. A newtoni leírásban ez a gyorsulásfüggvény a mindenkori erővel arányos. Mivel az atomban keringő elektronok pályafüggvényei nem állnak rendelkezésre, így olyan leírásra van szükség, amelyben a pályafüggvény helyett egy új fogalmat vezetünk be, amit állapotfüggvénynek nevezünk.  Ez az állapotfüggvény a pálya egészének tulajdonságait foglalja össze, és arról nyújt számunkra információt, hogy mekkorát változnak az egyes fizikai állandók – mint az energia, impulzus és impulzusnyomaték – annak következményeként, hogy az elektron ugrást végez két állapot között. Mivel az ugrás két állapotfüggvényt köt össze, olyan formalizmusra van szükségünk, amely különböző függvények között teremt kapcsolatot valamilyen matematikai operáció által. Ez a műveletet a matematikában az operátor. Ez hozza magával, hogy a mikrovilágban új módon kell definiálni a mozgás fizikai állandóit, melyeket többé nem függvények építenek fel (például a sebesség függvényeként felírt ½mv² kinetikus energiát, vagy az m·v impulzust), hanem operátorok. Az egyes fizikai mennyiségek operátora rákérdez arra, hogyan változik meg hatására az állapot, amit egy függvény reprezentál. Evvel megfordul a logikai sorrend, amíg a klasszikus mechanikában azt mondjuk, hogy az energia időben nem változik, a kvantummechanikában azt a kérdést tesszük fel, hogy mi az a fizikai mennyiség, ami nem változik meg az időben, és ezt nevezzük energiának. Az időbeli változás matematikai kérdése az időkoordinátával képzett differenciálhányados, ez vezet minket el az energia operátorához. Az impulzust a térbeni állandóság jellemzi (a mozgó test impulzusa a térben mindenütt azonos marad, ha nem hat a testre külső erő), ezért a térkoordináták szerinti differenciálhányados lép fel az operátorban, míg az impulzusnyomaték az elforgatással szembeni változatlanságot írja le, ha nem hat a testre forgatónyomaték, ezért ekkor a forgási szöggel képzett differenciálhányados alkotja az operátort. Mérések révén kapjuk meg az egyes fizikai állandók értékét, ezt fogja az operátor formalizmus reprodukálni, mégpedig azáltal, hogy keresi az olyan függvényeket, amelyek nem változnak meg egy konstans szorzótól eltekintve, amikor alkalmazzuk a szóban forgó fizikai mennyiséghez rendelt differenciálhányadost. A keresési eljárás valójában egy differenciálegyenlet, melyet az operátor sajátegyenletének nevezünk, a keresett függvény lesz a sajátfüggvény, az együttható pedig a sajátérték, amit az adott fizikai mennyiséghez rendelünk. Az energiaoperátor kiemelt szerepének felel meg, hogy a hozzá tartozó sajátfüggvény a mikroobjektum  mozgását leíró állapotfüggvény.

A függvények végtelen sokaságából (ezt nevezik Hilbert térnek) az exponenciális függvények rendelkeznek avval a sajátsággal, hogy nem változnak meg differenciáláskor, tulajdonképpen ez az exponenciális függvény matematikai definíciója. Például az x koordináta szerinti differenciálás esetén

Tehát a ∂/∂x operátornak e^ax a sajátfüggvénye és „a” a sajátértéke.

A valószínűség belépése a kvantummechanikába

Mielőtt továbblépnénk a kvantummechanika operátorainak felépítésében, a valószínűségről kell beszélnünk. Miért jelenik meg szükségszerűen a valószínűség fogalma a mikrovilág mozgásainak leírásában. Amint arra már utaltunk a stacionárius elektronpálya nem látható, nem érkezik róla közvetlen információ, így pontról pontra nem bonthatjuk fel a pályát az idő függvényében. Mit tehetünk e helyett? Felvethetjük, hogy az elektron hol lehet és az adott helyeken mekkora gyakorisággal, illetve valószínűséggel fordulhat elő.

Jancsi és Juliska találkozása

 A valószínűség szerepét szemléltessük egy egyszerű példával. Képzeljük  el, hogy két helyről, nevezzük A és B-nek, akarunk átmenni az egyikből a másikba, és a két helyet két út köti össze. Az egyik rövidebb, de sokkal kényelmetlenebb, nehezen járható, a másik kellemesen lankás, de jóval nagyobb távolságot kell megtenni a sok kanyar miatt. Mondjuk, Jancsi A-ból indul el B felé, míg Juliska pont fordítva B-ből megy A-ba. Mekkora a valószínűsége, hogy útközben találkozni fognak? Jancsi siet és inkább a rövidebb utat választja, legyen a választási valószínűség w_{A, rövid} = 0,8 és w_A,hosszú = 0,2. A két valószínűség összeadódik és kiadja a teljes, egységre normált értéket, azaz

w_A,rövid + w_{A, hosszú} = 1

Juliska inkább a kényelmes, hosszú utat kedveli: w_B,hosszú = 0,7, de azért vele is előfordul, hogy sietni akar: w_{B, rövid} = 0,3 . Az ő két választási lehetőségére is igaz, hogy

w_{B, rövid} + w_B,hosszú =1

Ez idáig a valószínűségek összeadódási szabálya. Mekkora az esélye, hogy találkozni fognak? Tegyük fel, hogy ismerjük Jancsi és Juliska szokásait, és meg tudjuk mondani, mekkora valószínűséggel választják a rövidebb és a hosszabb utat. Ha most arra vagyunk kíváncsiak, hogy egy adott napon találkoznak-e, erre becslést adhatunk a választási valószínűségek szorzatai által. Ha a fiú és a lány nem ismerik egymást, akkor a véletlen határozza meg, hogy aznap épp hogyan döntenek, amiért a független valószínűségek szabályát kell alkalmazni. A találkozás létrejöhet akár a rövid, akár a hosszú úton, és ezek esélyét kell összegezni a találkozási valószínűség számításakor:

W_találkozás = w_A,rövid· w_{B, rövid} + w_{A, hosszú}· w_B,hosszú = 0,38

Abból, hogy akár a rövid, akár a hosszabb úton is találkozhatnak, természetesen még senki nem gondol arra, hogy mindkét úton ott is lettek volna, ez csupán esélylatolgatás! Ha Jancsi és Juliska szokásaikat követik, akkor gyakran elkerülik egymást, egyiküknek már a számára kevésbé szokásos utat kell választani, hogy találkozzanak, viszont a másiknak maradni kell szokásai mellett. Az elkerülés valószínűségét hasonló módon adhatjuk meg:

W_elkerülés = w_A,rövid·w_B,hosszú + w_A,hosszú·w_B,rövid = 0,62

Összesen két dolog történhet, vagy találkoznak, vagy nem, ennek felel meg, hogy a két esemény valószínűségének összege az egység:

W_találkozás + W_elkerülés = 1

A valószínűség szerepe a kvantummechanikában

Jancsi és Juliska találkozásának valószínűségi szabályai hozzásegítenek minket, hogy eligazodjunk a mikrovilág valószínűségi birodalmában is. Képzeljük el egy Hidrogén atomot, amit egy proton és egy elektron épít fel, és tegyük fel a kérdést, hogy egy adott pillanatban az elektron épp hol található. Ez elvben meghatározható egy gondolatkísérletben, ha nagyon pontosan célzott pozitront küldünk a Hidrogén atom felé, mert találat esetén az elektron és pozitron annihilálni fog. Hogyan határozhatjuk meg ennek valószínűségét? Jancsi és Juliska példájához hasonlóan itt is beszélhetünk „választási” lehetőségről, viszont ekkor nem két út közül kell választani, hanem számtalan lehetőség közül, amely elvezet az atommagtól való r távolsághoz. Az útválasztás w(r) függvényének analógiájára értelmezhetjük a Ψ(r) állapotfüggvényt. De ez még nem az adott helyen való tartózkodás esélyét adja meg, a találati valószínűséghez az állapotfüggvény négyzetét kell képezni, hasonlóan ahhoz, ahogy Jancsi és Juliska találkozási esélyét számítottuk. Annyi az eltérés, hogy az állapotfüggvény komplex is lehet. amiért az abszolút érték négyzetét kell képezni a Ψ*(r)Ψ(r) szabály szerint. Az így képzett valószínűségi függvény már megadja számunkra a kvantummechanikai értelmezés szerint, hogy hol, mekkora valószínűséggel található meg az elektron. Ha bejárjuk az egész teret, valahol biztosan megtaláljuk az elektront, ami ahhoz a követelményhez vezet, hogy a  Ψ*(r)Ψ(r) függvény integrálása a teljes tértartományra az egységet adja ki. Ez a függvény normálási eljárása. Ez a feltétel azonos avval, amikor Jancsi és Juliska esetén a találkozás és az elkerülés valószínűségi összege az egységet adta meg.

A fizikai mennyiségek operátorai

Térjünk most vissza ahhoz a kérdéshez, hogyan építsük fel az operátorokat. Ha az exponenciális függvény kitevője valós szám, akkor a függvénynek valahol szingularitása lesz. A valószínűségnek azonban nem lehet szingularitása, ez úgy kerülhető el, ha a deriválás operátorát szorozzuk az imaginárius ”i” egységgel.

Itt k a periodikus függvény hullámszáma. Hasonlóan az idő szerinti derivált

Az időben periodikus függvényben ω a körfrekvencia.

 A kvantummechanikát azért nevezzük hullámmechanikának is, mert állapotfüggvény térben és időben egyaránt hullám sajátsággal rendelkezik. A mikrovilág hullámtermészetének alapja, hogy a fizikai állandókat differenciálhányadosok írják le. Nem szabad azonban elfelejteni, hogy amikor az elektron, vagy más elemi részecske hullámtermészetéről beszélünk, ez arra az állapotra vonatkozik, amikor épp nincs a rendszerről információnk, és csak a lehetőségek valószínűségi eloszlását keressük. Ha azonban konkrét mérést végzünk, és megfigyeljük, amikor az elektron átugrik egy másik állapotba, akkor a nyert információ már egyet kiválaszt a lehetőségek táborából, ilyenkor nincs szó többé hullámjellegről. Erre az esetre mondjuk, hogy az elektron nem hullámként, hanem részecskeként, vagy más szóval korpuszkulaként viselkedik.

Az egyes differenciálhányadosok fizikai dimenziója azonban nem egyezik az általa reprezentált fizikai mennyiségével, de ha megszorozzuk ezeket az impulzusnyomaték dimenziójú konstanssal, már eljutunk az energia, az impulzus és az impulzusnyomaték dimenziójához. 

Hátra van még a kérdés: hogyan válasszuk meg az impulzusnyomaték dimenziójú konstanst? Itt lép be a képbe az információ forrása, a foton. A mikrovilágról szerezhető információnkat az elnyelt és kibocsátott fotonok szolgáltatják, és emiatt a szerzett információ a hordozó tulajdonságaitól függ. Planck felismerése óta tudjuk, hogy a fény energiája nem bontható fel tetszőlegesen kis adagokra, van egy legkisebb egység, a foton. A foton energiája arányos a frekvenciával, és az arányossági tényező a h Planck állandó. Gyakran kényelmesebb az energia és a körfrekvencia arányossági tényezőjét megadni a ħ = h/2π redukált Planck állandó segítségével. Itt a 2π megjelenése annak felel meg, hogy ez a teljes körfordulat szöge radiánban. A foton rendkívül fontos további tulajdonsága, hogy impulzusnyomatéka is van, mégpedig a redukált ħ Planck állandó, és ez az érték nem függ attól, hogy mekkora a foton energiája, illetve hullámhossza, ugyanakkora az impulzusnyomaték a sok kilométeres hosszúságú rádióhullámokban, mint a legkeményebb gamma sugarakban, amely a kozmoszból érkezik. Ennek okát és magyarázatát a fénysebességű forgásokkal lehet megadni, de most erre nem térünk ki. Az elektronok által elnyelt és kibocsátott foton az impulzusnyomaték megmaradás törvénye miatt megköveteli, hogy az elektron a foton kibocsátása, vagy elnyelésekor éppen ħ nagyságban változtassa meg saját impulzusnyomatékát. Emiatt az atomban kötött elektron impulzusnyomatéka csak ħ egészszámú többszöröse lehet. Evvel választ adtunk arra a korábbi kérdésre, hogy miért tettük egyenlővé a korábbi becslésben az impulzusnyomatékot éppen ħ-val.  Az energiát, az impulzus három komponensét és az impulzusnyomatékot úgy kell definiálni operátorokkal, hogy a deriváltakat megszorozzuk ħ-val:. Ez összhangban van a foton energiájára (E = ħω = ħ/T, itt ω a körfrekvencia, T a hullám teljes periódus ideje), impulzusára (p =  ħ/λ, itt λ a hullám periódus hossza) és impulzusnyomatékára (L = ħ) vonatkozó összefüggésekkel is. Mindegyik operátort a függvényekre gyakorolt hatása alapján definiáljuk. A energiaoperátor definíciója:

Itt Ψ(x,y,z,t) a tér és időkoordinátáktól függő állapotfüggvény, amire kifejti hatását a „kalapos” E szimbólummal jelölt energiaoperátor. A további operátorok definíciója:

,   , 

Más jelölést választottunk az impulzus és impulzusnyomaték sajátfüggvényeinek, mert ezek különbözhetnek az állapotfüggvénytől. Ha a θ sajátfüggvény megegyezik a Ψ állapotfüggvénnyel, akkor a szóban forgó operátor sajátértéke a vizsgált mikro objektum fizikai állandója.

Az állapotfüggvény és a kvantummechanikai valószínűség

A Ψ állapotfüggvény a kvantummechanika kulcsfogalma, amely meghatározza a részecske tartózkodási valószínűségét egy adott x,y,z pontban:

W(x,y,z) = Ψ*(x,y,z)Ψ(x,y,z)

A valószínűséget az egységre normáljuk, ami azt jelenti, hogy a részecske valahol a teljes térben (főleg az atommag környezetében) bizonyosan megtalálható. Viszont, ha két különböző állapotról van szó, akkor az állapotfüggvények „ortogonálisak” egymásra, ami azt jelenti, hogy a teljes térre integrálva a két függvény szorzatát, nullát kapunk. Ennek matematikai szimbolikája:

Ahol δ_i,j = 1, ha i = j, egyébként nulla. A különböző állapotfüggvények ortogonalitása (megkülönböztethetősége) kívánja meg, hogy az állapotfüggvény a valószínűségnél mélyebb szintet képviseljen, hiszen az integrál eltűnése megköveteli, hogy az állapotfüggvény egyaránt felvehessen negatív és pozitív értékeket, szemben a valószínűséggel, amelyik csak pozitív lehet.

Az állapotfüggvény szintén megadja, hogy az adott állapotban mekkora értéket vesz fel az operátorral definiált fizikai mennyiség:

 Itt a definíció jobboldalán az integrál tömör jelölése szerepel. Az integrál fizikai tartalmát az adja meg, hogy a tér valamennyi pontjában a W(x,y,z) valószínűséggel súlyozzuk a keresett fizikai mennyiség helyi értékét.

Az energiamegmaradás és az állapotfüggvény

Hátra van még annak tisztázása, hogyan találhatjuk meg az állapotfüggvényt? Ebben segít a klasszikus mechanika energia megmaradási elve, amely két részre bontja az energiát. Az egyik a megvalósult mozgás jellemzője, a mozgási energia, ami nem relativisztikus közelítésben ½mv² = p²/2m. Az impulzusra való áttérés teszi lehetővé, hogy a mozgási energiát a már bevezetett operátorok írják le. Az energia másik tagja, amely létrehozza a mozgást, a potenciális energia, ennek térfüggéséből lehet az erőt meghatározni (ez a gradiens művelet). Az időszerinti differenciálhányadossal definiált energiát egyenlővé téve az energia két tagjával, kapjuk meg a nevezetes Schrödinger egyenletet.

A kvantummechanika fenti bemutatásának az volt a célja, hogy lássuk az ad hoc feltevések nélküli logikai utat, amely meggyőzhet minket arról, hogy a mikrovilág mozgásegyenlete szükségszerűen épp olyan alakú, ahogyan azt Schrödinger megalkotta. Létezik még a kvantummechanikának a Heisenberg által megalkotott mátrix formalizmusa is, de kimutatható, hogy a két tárgyalási mód ekvivalens eredményre vezet.

Miért kvantumos a mikrofizika?

De miért kvantumos a kvantummechanika, azaz miért változik az atomban kötött elektronok energiája diszkrét értékekben? Az atomok Schrödinger egyenletének megoldásából ez természetesen kiadódik, de itt nem matematikai levezetést kívánunk bemutatni, hanem célunk feltárni a kvantum fizikai eredetét. Az ok valójában a forgási tér diszkrét szerkezete. Amikor ugyanis elvégzünk egy teljes fordulatot, akkor a tér eredeti pozíciójához jutunk vissza. Mivel az elektron mozgásának állapotát vizsgáljuk, ez az „örök visszatérés” az impulzusnyomaték ħ egészszámú többszöröséhez vezet., ezt igazolja vissza az impulzusnyomaték sajátérték egyenletének megoldása is, ami különböző kézikönyvekből elérhető. Itt csak annyit említünk meg, hogy az impulzusnyomaték vektor három komponensét a pxr vektoriális szorzat átírásával adhatjuk meg. Az impulzusnyomaték értékét annak négyzetével jellemezhetjük:

Ennek sajátértékét az L(L+1)ħ² kifejezés szolgáltatja, ahol L a 0,1,2,3 … egészszámokat veszi fel. Az L érték egyúttal kijelöli az impulzusnyomaték z komponensének lehetséges értékeit, amely L, L-1, … –L egész szám lehet. Ha például L = 0, akkor csak egyetlen, ha L = 1, akkor három, ha L = 2 akkor öt különböző értéket vehet fel a z komponens. Kvantummechanikai sajátosság, hogy egyidejűleg nem adható meg az impulzusnyomaték vektor mindhárom komponense, ez a tulajdonság is az állapotfüggvény és a pálya fogalom különbségére vezethető vissza, mely szerint a valószínűség a stacionárius állapot leírásának szükségszerű eleme, márpedig a vektor mindhárom komponensének egzakt ismerete nem hagy teret a valószínűségnek.

Így jutunk el az elektronállapotok diszkrét energianívóinak kérdéséhez is. Mivel az atomban keringő elektron impulzusnyomatéka diszkrét értékű, és az energiát ennek nagysága határozza meg, így a kötött elektronok nívói is diszkrétek lesznek.

Az „s” pálya rejtélyei

Ejtsünk még néhány szót az elektron egy különös állapotáról, amikor nulla impulzusnyomaték tartozik a pályához, ez az „s” pálya. (Amikor pályáról beszélünk a bevett nevezéktant követjük, bár jobb lenne mindig állapotot említeni a pálya és az állapot fogalom különbsége miatt). Hogyan lehet nulla ez az érték? Úgy ha a pálya áthalad az atommagon egy egyenes mentén. Ez viszont avval jár, hogy az atommagban az elektron véges valószínűséggel jelen van, és ez meg is mutatkozik ez elektron és a mag mágneses nyomatékai közötti kölcsönhatásban (Fermi tag).

Viszont az atommagon való áthaladás azt jelenti, hogy ott az elektron és a proton között nulla lesz a távolság, és emiatt végtelen nagy vonzóerő lép fel. Miért nem nyeli el mégsem a mag az elektront? A magyarázat az elektron mozgásának valószínűségi leírásához kapcsolódik. A stacionárius állapotú elektronmozgást, így az „s” pályát sem látjuk, amit látunk, az mindig az átmenet, amikor az „s” állapotú elektron átugrik egy „p” (azaz L = ħ) állapotba. Az állapotfüggvény az egész pályára vonatkozik, abban nem lehet a mozgást egymás utáni szakaszokra bontani, és nem tudunk olyan kérdésre válaszolni, ha az elektron most itt van, akkor hol lesz ezután. Az állapotfüggvény egymásmellettiséggel váltja fel a pálya egymásutániságát. Mindig erre kell gondolni, amikor a kvantummechanikai mozgás értelmezésére kerül sor. Ha úgy tetszik a mozgást nem az időben írjuk le, hanem a valószínűség dimenziójában. Ha például a V (r)= -e²/r potenciális energia járulékát számítjuk ki, akkor szoroznunk kell az egyes tartományokra jutó valószínűséget a helyi potenciális energiával. Matematikailag ez a művelet a Ψ*(r)e²/rΨ(r) kifejezés egész térre való integrálását jelenti. Az r = 0 helyen ugyan a potenciális energiának szingularitása van, de a valószínűséggel való szorzás miatt már nem kapunk lokálisan végtelent. Ennek oka, hogy az r sugarú tartományra vonatkozó valószínűség integrálja r³ mértékében csökken, (amikor nullához közelít a tartomány sugara azon belül a W(r) valószínűség nem változik és az integrál arányos lesz térfogattal). Ha ezt az r³ függést az 1/r mértékében növekvő potenciális energiával szorozzuk, akkor az r = 0 környezetétől származó járulék már nem végtelenhez, hanem nullához fog tartani. Ismételten hangsúlyozni kell, hogy az állapotfüggvény nem azonos a klasszikus pályafogalommal, mert itt nem bontjuk fel a mozgást időben egymás utáni pontokra, hanem a valószínűség szabályait követve összegezzük a lehetőségeket, amelynek szabálya az egymásmellettiségre épül.. Az elektron „átjutása” a szingularitási ponton a kvantummechanikai alagúteffektus speciális esete. Alagúteffektusról olyankor beszélünk, ha az elektronnak át kell jutni egy olyan potenciálfalon, amelyhez „kevés” a mozgási energiája. Erre példa, amikor az elektromos vezetékek között a korrózió szigetelő réteget hoz létre, de az elektron képes ezt átugrani. (Fémek vezetési mechanizmusának tárgyalásába itt nem mennénk bele, mert az túl nagy kitérőt jelentene a fő mondanivalótól.)  A lényeg, hogy a szomszédos atomok állapotfüggvényei (és nem pályái!) jelentősen átfednek, azaz az elektron itt is lehet, meg ott is lehet. (De helytelen azt gondolni, hogy itt is van, meg ott is van!). Ezt a különbségtételt nem lehet eléggé hangsúlyozni, mert ez a kulcsa, hogy ne gabalyodjunk ellentmondásokba a kvantummechanikai folyamatok értelmezésénél. Idézzük fel Jancsi és Juliska példáját, akik bizonyos valószínűséggel választhatják akár a meredek, akár a lapályosabb utat, de ez nem jelenti azt, hogy egyidejűleg lennének mindkét útvonalon.

Térjünk még vissza az „s” elektronok különleges tulajdonságára: mivel nulla az impulzusnyomatékuk, így lineáris oszcilláció jön létre valamilyen irányban. Viszont a kvantummechanikai számítások nem tüntetnek fel megkülönböztethető irányt, azaz minden irányt egyforma valószínűséggel választ az „s” elektron. Klasszikus pályaképben gondolkozva úgy értelmezhetnénk a dolgot, hogy az oszcillációs irány folyton változik bejárva minden lehetőséget. De ez téves magyarázat, mert az irányváltás csak akkor következhet be, ha van valamilyen erő, amely az oszcilláció irányát elforgatja. Itt megint a pálya- és az állapotfüggvény modell ütközéséről van szó! Miért kapjuk azt, hogy minden irány valószínűsége azonos? Azért mert igazából az irány fogalomnak gömbszimmetrikus potenciál esetén nincs értelme. A makroszkopikus világban mindig valami kijelöli az irányokat, a függőlegest a gravitáció, a két vízszintes irányt szobánk falai, vagy a házak helyzete az utcán, vagy a fák, ha az erdőben sétálunk. Ezekre az információkra támaszkodunk, amikor irányokban gondolkodunk. Abban a világban, ahol nincs irányjelző, az irány fogalma ki sem alakulhatott volna.  Az elektron számára „az információt” a potenciális energiával adjuk meg, ha ez gömbszimmetrikus e²/r alakú, akkor nem létezik irányjelzés az elektron számára, az irányt csak megszokott gondolkodásunk fogalomrendszere viszi be. Az aktív elem a potenciális energia, a mozgás geometriáját és energiáját ez határozza meg. Ha viszont nem egy atomról, hanem valamilyen molekuláról van szó, ott már az elektronra hat a szomszédos atommagok Coulomb ereje is, ez már beviszi az irányt, ami abban mutatkozik meg, hogy az állapotfüggvény nem lesz többé gömbszimmetrikus „s” állapot.

Eddig az „s” állapotról beszéltünk, de léteznek nullától különböző impulzusnyomatékú állapotok is, mint a „p” (L = 1), a „d” (L = 2) és az „f” (L = 3) pályák és még sorolhatnánk tovább. Például három „p” állapot van, amit a tér három irányába mutató p_x, p_y és p_z pályákkal szokás ábrázolni, melyek energiája megegyezik. A „p” pályák ilyen kijelölése azonban önkényes, ugyanis a kvantummechanika játékszabálya szerint az azonos energiájú (degenerált) pályák bármely szuperpozíciója is egyenrangú állapotfüggvény. Ez azt jelenti, hogy képezhetünk belőlük gömbszimmetrikus függvényeket is, a három „p” pálya megkülönböztetése csak akkor lehetséges, ha a potenciálfüggvény alacsonyabb szimmetriájú.

Az elektron sajátforgása, a spin

Az elektronok mozgásának van egy másik típusa is, amikor az elektron pörög, hasonlóan ahhoz, ahogy forog a Föld is. Ez hozza létre a spint. Fontos különbségek vannak azonban a két objektum forgása között, Föld esetén a forgást időben egymást követő orientációkkal tudjuk leírni, amíg elektronnál ez nem lehetséges. A másik különbség, hogy az elektron egyszerre két tengely körül végez forgást, makroszkopikus testek ilyen forgást nem végezhetnek. Az elektron forgásának ezt a különleges típusát az teszi lehetővé, hogy nem időbeli egymásutániságról, hanem valószínűségi egymásmellettiségről van szó.  A forgásnak ez a kettőssége tükröződik egyfelől a feleződő ħ/2 impulzusnyomatékban, másfelől az anyag és antianyag kettősségében. A részletes magyarázatot ad erre a fénysebességű forgáskoncepció, melyre e helyen csak utalunk.

Molekulavibrációk kvantummechanikája

Fontos tanulságokat vonhatunk le a molekulavibrációk kvantummechanikájáról is. A kémiai kötésben álló molekulákban az egyes atomok az egyensúlyi hely körül oszcillálnak, amelyet az egyensúlyi pozíció felé mutató és a kitéréssel arányos visszahúzó erő hoz létre, ennek potenciális energiája V(x) = ½kx². Ha m az oszcilláló atom tömege, akkor a klasszikus mechanika szabályai szerint a rezgési frekvencia f = (k/m)^1/2. Ugyanez a frekvencia jelenik meg a kvantummechanikában a diszkrét energianívók számításakor, amely E_n = (n +½)h·f, és ahol az n = 0,1,2, … kvantumszám mindig egészszám. Makroszkopikus testek rezgési fázisát, például egy rúgó pillanatnyi megnyúlását, követni tudjuk az idő függvényében, de ez nem történhet meg a molekulavibrációnál, ezt a vibrációt csak közvetve figyelhetjük meg, amikor két szomszédos nívó között energiaugrás következik be h·f energiájú foton kibocsátása, vagy elnyelése révén. Ezért vibrációs állapotról, és nem vibrációs pályáról kell beszélni, vagy másképp fogalmazva, a kvantummechanikai vibráció a valószínűség egymásmellettiségében rajzolódik ki.

A klasszikus mechanika és a kvantummechanika oszcillációs frekvenciája megegyezik, amely mutatja, hogy a két leírási mód összhangban van, és mindkettő a rezonancia jelenségen alapul. A klasszikus pályamodellben a hullámok időbeli egybeesése a rezonancia oka, a kvantummechanikában viszont az állapotfüggvénynek, illetve a valószínűségnek egymásmelletti hullámhegyei és völgyei simulnak össze, amikor a foton elnyelődik, vagy kibocsátásra kerül a szomszédos ekvidisztans nívók között. A nívók közötti átmenet bekövetkezését szintén valószínűségi törvények szabályozzák, melynek mértékét az állapotfüggvények struktúrája szabja meg. Például x irányú és Ɛ intenzitású dipólus sugárzás esetén az átmeneti valószínűséget megadó integrál kifejezés:

Ez példázza, hogy a kvantummechanikában a jövő felé irányuló folyamatok is valószínűségi szinten determináltak, tehát arra a kérdésre, hogy „mi lesz a jövőben”, csak valószínűségi kijelentést tehetünk. Ezt a valószínűséget pedig az állapotfüggvények mondják meg nekünk.

Érdemes még külön szólni az n = 0 kvantumszámhoz tartozó vibrációs állapotról. Ez a legkisebb energiájú vibráció, amely szemben a klasszikus felfogással, amely szerint minden molekuláris mozgás leáll, ha elég alacsony a hőmérséklet, ez még akkor is fennmarad. Ezt a jelenséget hívja a szakirodalom nullponti rezgésnek. Viszont ez a rezgés nem időbeli folyamat, hanem mozgási állapot, és amíg a klasszikus rezgések leállnak, a valószínűségi eloszlás elkerülhetetlenül fennmarad. Fontos hangsúlyozni, hogy ez a valószínűségi eloszlás mérhető fizikai jelenség! A kristályszerkezet röntgen diffrakciós szerkezetvizsgálata az egyes atomok számára elkent képet rajzol fel, melynek mértékét és irányát a vibráció határozza meg. Mélyhőmérsékleten, ahol csak alapállapotú vibráció van jelen, az elkentség továbbra is látható, jelezve a nullponti vibráció létezését. A nullponti vibráció a határozatlansági reláció megnyilvánulása: ha nem mozdulna ki az atom egyensúlyi helyzetéből, akkor elvben nullára lenne leszorítható a helymeghatározás hibája, és így az impulzus hibájától függetlenül, a két hiba szorzata nulla felé tartana.

A határozatlansági relációk fizikai oka

Ez elvezet minket a kvantummechanika neuralgikus kérdéséhez, amely rengeteg félremagyarázás forrása, a határozatlansági, illetve a bizonytalansági relációhoz. Pedig ebben sincs semmi misztikus, csupán azt tükrözi, hogy a mikrovilágról nyert információ függ az információ hordozója, a foton tulajdonságaitól. A fény tulajdonságainak megismerésében áttörést jelentett a Maxwell egyenletek megalkotása. Az elektrodinamika alapján kaptunk egy olyan képet, egy olyan hatásmechanizmust, amely térben c sebességgel terjedő és periodikusan változó elektromos és mágneses mezővel jellemezte a fény hatását. Ezt fejlesztette tovább Planck felismerése, amikor a fényt is elemeire bontotta, amiből megszületett a foton fogalma.

De mit is tudunk valójában a foton útjáról? Tudjuk, hogy honnan indul el, például a felizzított fémszálból, amikor egy elektron megváltoztatva állapotát kibocsát egy fotont, láthatjuk az érkezés helyét is, ahol elnyelődik, vagy visszaverődik eljutva szemünkbe, ahol szintén egy elektron állapotát változatja meg. A foton pályáját azonban közvetlenül nem látjuk, csak diffrakciós, vagy interferencia kísérletek sorával következtetünk arra, hogy milyen tulajdonsággal rendelkezik. Ebből vonjuk le a tanulságot a fény lehetséges útjára, amit a hullámtermészet jellemez. De ez csak egy közvetett magyarázat és nem direkt megfigyelés. Alkalmas rá, hogy feltérképezzük a foton valószínű útját és lehetséges hatását, amit olyan képszerűen ír le Feynman nevezetes könyvében (QED. The strange theory of light and matter). Amit hangsúlyozni kell, hogy a foton útjának leírása is, akárcsak az elektron stacionárius állapotáé, a lehetséges utak valószínűségi térképe, amelyet a valószínűség összegzési szabályai adnak meg. Tehát nem a foton pályájáról kell beszélni, hanem a foton mozgási állapotáról a valószínűségi dimenzióban.

 A foton valószínűségi hullámai egyfajta mérőlécként szolgálnak, amelynek egysége a λ hullámhossz, amely egyben megadja a mérési pontosság határát is. De a foton hatását az impulzus jellemzi, melynek értéke p = ħ/λ. Ez azt jelenti, hogy amikor a foton valamilyen változást idéz elő az elektron állapotában, akkor megváltoztatja annak impulzusát is. Egy újabb méréssel rákérdezhetünk az impulzusra, de akkor már nem az eredeti impulzust kapjuk vissza. Ebből adódik, hogy mérésünk a hely és impulzus meghatározására nem lehet végtelenül pontos, a két hiba szorzata a ħ Planck állandó lesz. Hasonló bizonytalanság lép fel az energiamérésnél is. Itt a mérési pontosságot az korlátozza, hogy mennyi idő áll rendelkezésre az energiamérésre. Mivel a foton energiája E = ħ/T, így a mérésre fordítható idő és az energiamérés pontosságának szorzata szintén ħ lesz. Példa rá, amikor egy gyorsan mozgó folyadékmolekulában irányfüggő mágneses kölcsönhatást akarunk meghatározni, akkor a Brown mozgás korrelációs ideje határozza meg, hogy követni tudjuk-e a kölcsönhatás anizotrópiáját. Ha gyors a forgás, azt mondjuk, hogy az anizotrópia kiátlagolódik, lassú forgásnál viszont megjelenik az anizotrópia.

Visszakanyarodva a kristályok röntgendiffrakciós képéhez, ennek alapja a kölcsönhatás az elektromágneses sugárzás és a kristályrács atomjai között. A sugárzás elektromos terének hullámai rezgést idéznek elő, ezért még ha a mély hőmérsékleten le is állt a rezgés, nem kerülhető el, hogy ne indukáljon rezgéseket a röntgen foton. Rövidebb hullámhosszú sugárzást alkalmazva a letapogatás pontossága fokozható, de ez nagyobb impulzussal jár együtt, ami növekvő mértékben fogja gerjeszteni az alapállapotú rezgési állapotokat. Végtelen pontosságú diffrakciós kép ezért nem állítható elő, az atomi helyek elkentsége minden mérésnél megmarad. Az elkentség azonban nem okvetlenül az atomok bizonytalan pozícióját tükrözi, hanem azt, hogy erről a fotonok csak elkent képet tudnak adni.

Mi a determinizmus a mikrovilágban?

Sokáig botránykőnek számított, hogy nem érvényesül a determinizmus a mikrovilágban, és még olyan nagyságok is, mint Einstein, arra gyanakodtak, hogy valami hiányzik az elméletből, ki kellene egészíteni valamilyen rejtett paraméterrel. Ezt hosszú vitát váltott ki a fizikusok körében, amit az EPR paradoxonnak neveztek el a három szerző (Einstein, Podolsky és Rosen) kezdő betűi alapján. Többen kimutatták, hogy a formalizmus nem engedi meg ilyen rejtett paraméter bevezetését. A vita azonban rossz nyomon indult el, mert nem vetették fel, hogy mi is a determinizmus fogalmának eredete, hanem azt a megszokott makro világ kategóriái alapján fogták fel. A helyes kérdés nem az, hogy determinisztikus-e a mikrovilág, hanem az, hogy mi a determinizmus. Már Galilei óta arra épít a fizika, hogy vannak a természetnek megismerhető törvényei, amelynek feltárásához a kísérleti megfigyelések vezetnek el. A determinizmus felfogása szerint a jelen állapota egyértelműen meghatározza a jövőt. De ez felveti a kérdést, hogyan határozzuk meg teljes pontossággal a jelen fizikai állapotát? Minden mérésnek van valamekkora hibája, de erről feltételezik, hogy a hiba tetszésszerinti mértékben leszorítható. A kvantummechanika szerint viszont ez nem lehetséges, a valószínűségi eloszlás megakadályozza, hogy bizonyos mennyiségeket egyaránt pontosan határozzunk meg. Ha például a hely és impulzusmérésnek van egy hibája, akkor nem rajzolható fel a mozgási pálya sem. Ez persze így van, hiszen egész kiindulásunknak az volt az alapja, hogy nem tudjuk a szokásos módon felépíteni a pályákat az idő és a hely koordináták megadásával. Ebből a kiindulási pontból a határozatlanság már következik! De ha elvi akadálya van a jelen pontos leírásának, akkor hogyan várhatjuk el, hogy a jövő determinisztikusan meghatározható legyen? A dilemmából kiutat a kvantummechanika korrespondancia törvénye adja meg. Ez kimondja, hogy nagy kvantumszámoknál, vagy nagyszámú részecske esetén a kvantummechanika törvényei átmennek a klasszikus törvényekbe. Ehhez hozzátartozik az is, hogy a kvantummechanika annak valószínűségét is megadja, hogy egy adott állapot mekkora valószínűséggel megy át egy másik állapotba. A szokásos determinizmust tehát felváltja a valószínűségek determinizmusa, amely a makrovilágban átmegy a determinizmus szokásos felfogásába. Amikor a makroszkopikus determinizmust bele akarjuk erőltetni a mikrovilágba, akkor extrapolálunk, feltételezve,  hogy lefelé haladva a kisebb dimenziók felé a törvények változatlanok maradnak. Az extrapoláció azonban veszélyes, nem szabad bizonyítéknak felfogni. Lehet, hogy helyes, de az is lehet, hogy tévútra visz. Viszont a másik út járható, a mikrovilágból a makroszkopikus dimenziók felé haladva nem ütközünk ellentmondásba.

Ahogy a determinizmusban megnyilvánul a véletlen, a véletlen is magában rejti a determinizmust, ezek nem egymást kizáró antagonisztikus fogalmak, hanem a természeti törvények keretei, melyek kikövezik az utat a mikrovilágtól a makroszkopikus jelenségek felé.

Linkek a korábbi bejegyzésekhez