Korábbi írásokban többször előkerült a téma: hogyan egyeztethető össze a relativitáselmélettel a fénysebességű forgások koncepciója. Itt most továbblépünk, és azt vizsgáljuk meg, hogy el lehet-e jutni a relativitáselmélet törvényeihez, ha a fénysebességű forgás elvéből indulunk ki. A relativitáselmélet törvényei megjelennek a mikrovilág kvantummechanikai leírásában is, ezért azt a kérdést is felvetjük, hogy a kvantummechanikai egyenletek relativisztikus korrekciói hogyan építhetők fel a fénysebességű forgások alapján.
Elemi forgások és a külső mozgások
Kövessük ehhez kiindulásként „A mozgás mint a fizikai világ létalapja” gondolatmenetét! A mozgásnak két alaptípusát különböztetjük meg, az egyik az elemi forgás, ami a részecskéket alkotja, ez a mozgás mindig fénysebességgel történik. A másik a már megalkotott részecskék külső mozgása, ahol a sebesség nem érheti el c-ét. Erről a külső mozgásról szól a szokásos fizika, ennek törvényeit fogalmazzák meg a klasszikus fizikában Newton mozgásegyenletei, vagy a kvantummechanikában a Schrödinger egyenlet, vagy ennek relativisztikus változata a Dirac egyenlet. Ezt viszi tovább a kvantumelektrodinamika mezőelmélete, amely az elektrodinamikát is kvantumos alapokra helyezi. Ez utóbbiból a virtuális fotonok fogalmát emeljük ki, amelyet a töltött részecskék állandóan kibocsátanak és elnyelnek, és ezek közvetítik a töltések között az elektromágneses kölcsönhatásokat. A kibocsátás és elnyelés folyamatához operátorokat rendelünk, amit kreáló és annihiláló operátoroknak nevezzünk, és ezek révén követjük az egyes részecske állapotok kvantumszámának változását. Ez a második kvantálás művelete.
A részecskék fizikai paraméterei és az elemi forgások
A fénysebességű mozgások koncepciójában a részecskék pozícióját felbontjuk két összetevőre: az r0 vektor a belső (azaz elemi) mozgásokat írja le, az rk vektor a külsőt, melyet a részecske centrumától számítunk:
r(t) = rk(t) + r0(t)
A részecskék szokásos fizikai paramétereit (tömeg, spin, töltés, mágneses dipólus) mint várható értékeket definiáljuk, amit az r0(t) által leírt belső mozgásokkal képzett integrálok határoznak meg. A modellben minden részecskét fénysebességű mozgások kombinációja adja meg, ahol a fotonokhoz egytengelyű, a fermionokhoz kéttengelyű fénysebességű forgásokat rendelünk. Ezek a forgások virtuálisak, azaz közvetlenül nem „fényképezhetjük” le pályájukat, szerepük abban nyilvánul meg, hogy létrehozzák a megfigyelhető fizikai tulajdonságokat. Ilyen tulajdonság – mint már említettük – a tömeg, az impulzus, az energia, az impulzusnyomaték, azaz a spin, és természetesen idetartozik az elektromos töltés is. Az elemi forgások hozzárendelését úgy végezzük el, hogy reprodukálják a már említett fizikai tulajdonságokat. Ez a hozzárendelés szükségképen valószínűségi jelleget ölt, melyben a belső mozgásokkal képzett várható értékek adják meg az egyes fizikai mennyiségeket, vagyis továbbvisszük a kvantummechanika szokásos szemléletmódját. Ezt a módszert nevezhetjük harmadik kvantálásnak.
A részecskék szerkezet meghatározó állandói: c és h
Az elemi mozgásoknak két szerkezet meghatározó állandója van, a c fénysebesség és a h Planck állandó. Az előbbi jelöli ki az energia és az impulzus arányát: E = p·c. Foton esetén ez a szokásos összefüggés, amit kiterjesztünk a fermionok belső, fénysebességű forgására is. Ennek megfelelően átfogalmazzuk a nyugalmi energia és nyugalmi tömeg ekvivalencia törvényét, amit írásunkban az elemi körforgás p0 amplitúdójú impulzusa és a nyugalmi energia közötti összefüggéssel definiálunk:
E0 = m0c2 = p0c
A másik szerkezeti konstans – fotonok esetén – a forgási frekvencia és az energia arányosságát fejezi ki:
E = p·c = h·f = ħω
ahol ħ = h/2π a redukált Planck állandó és ω = 2πf a körfrekvencia. A fénysebességű forgás koncepciójában a körfrekvencia a forgás szögsebességének felel meg. Az energia és frekvencia arányosságát szintén átvisszük a fermionok esetére is, de itt a kettősforgások miatt az Ω = ω/2 gömbfrekvencia jelenik meg a körfrekvencia helyett:
E0 = p0c = ħΩ = ħω/2
A gömbfrekvencia a szögsebesség fele, hiszen a kettősforgás kétszer szalad körbe, ami felezi a frekvenciát. A fénysebességű forgás alapelve, hogy kijelöl egy Rf sugarat, amelyhez c kerületi sebesség tartozik:
Rf = c/ω
A fentiek alapján az Rf sugár és az impulzus szorzatával definiált impulzusnyomaték foton esetén ħ, fermion esetén – a feleződő sugár miatt – ħ/2 lesz, amit szokásosan az S = 1, illetve S = ½ spin jelöl.
A kovariancia törvény
Fotonok esetén nem beszélünk külső mozgásról, mert a fénysebességű terjedés a foton definíciós tulajdonsága. A nyugalmi tömeggel rendelkező fermionok térbeli – tehát külső – mozgásához pk külső impulzus tartozik. (Figyeljünk a vastag betűkre, amelyek mindig vektorokat jelölnek.) A részecske teljes impulzusát a külső és belső impulzusok összege adja meg:
p = pk + p0
Az impulzus nagyságát (ez már nem vektor!) a vektor négyzetéből határozhatjuk meg, ahol is
p2 = pk2 +2pk·p0 + p02
A sajátforgás impulzusa minden irányt egyforma valószínűséggel vesz fel, amiért <p0> = 0, és ha a külső és a belső mozgás független egymástól, akkor a két vektor szorzatának átlagértéke a két átlagérték szorzata lesz, vagyis a kereszttag eltűnik. Nem tűnik el viszont <p02>, mert a p0 amplitúdó minden irányban ugyanakkora pozitív mennyiség és egyenlő m0c-tel. Emiatt a belső mozgásra kiátlagolt impulzusnégyzet:
p2 = pk2 + m02c2
Az E = p·c arányosságot mint univerzális természeti törvényt értelmezzük, amely a teljes impulzusra vonatkozik, de nem érvényes a részleges külső impulzusra. Emiatt
E2 = pk2c2 + m02c4
Tehát az a feltételezés, hogy független egymástól a részecske külső és a belső mozgása, kiegészítve avval, hogy a fénysebesség és a teljes impulzus szorzata az energiával egyenlő, elvezet minket a relativitáselmélet alaptörvényéhez, amit az energia kovariancia elvének nevezünk.
A Lorentz transzformáció
Nézzük meg, hogyan állunk a tér és idő koordináták kapcsolatával, amit a Lorentz transzformáció ír le. A kvantummechanikai operátor formalizmus az energia és impulzus fogalmát az idő, illetve térkoordinátákkal való differenciálhányadosokra vezeti vissza (A szimbólumok feletti kalap jelöli az operátorokat):
Írjuk át ennek megfelelően a kovariancia elvet sajátérték egyenlet formájában:
Az egyenlet baloldalán a d’Alambert operátor szerepel, amely differenciális formában teremt kapcsolatot a tér és idő koordináták között. Érdemes megjegyezni, hogy a d’Alambert operátor kulcsszerepet játszik mind az elektrodinamikában, mind a relativisztikus kvantummechanikában. Töltésmentes térben felírva a Maxwell egyenleteket világosan látszik, hogy a d’Alambert operátor hatása akár az E elektromos mezőre, akár a B mágneses mezőre nullát eredményez. Ezt nevezzük Laplace egyenletnek, melynek megoldása írja le az elektromágneses mező hullámtermészetét. A fenti operátor sajátértéke viszont nem nulla, hanem pozitív, ami azt az esetet írja le, amikor a Maxwell egyenletek megoldását elektromos töltések jelenlétében keressük. A fenti relativisztikus egyenletben viszont nem a töltések, hanem a részecskék nullától különböző tömege vezet pozitív sajátértékhez a d’Alambert egyenletben. Vagyis a térben lévő anyagot egyaránt jelezheti a töltés, illetve a tömeg.
A d’Alambert operátor sajátérték egyenlete választ ad arra a kérdésre is, hogy milyennek kell lenni a koordináta transzformációnak. A klasszikus Galilei transzformáció, amikor egy x irányú u sebességű inerciarendszerben írjuk le a mozgást, az x’ = x – u·t és t’ = t koordináta transzformációnak felel meg. A d’Alambert operátor ez esetben nulla sajátértéket ad, vagyis a Galilei transzformáció csak üres térben érvényes, és nem alkalmas olyan fizikai objektumok mozgásának leírására, amelyek tömeggel rendelkeznek. Nézzük viszont a Lorentz transzformáció hatását:
x’ = γ(x – u·t) és t’ = γ(t – u·x/c2)
ahol
γ = (1 – u2/c2)-½
A Lorentz transzformáció következménye a kovariancia törvény, mely szerint a tér és idő koordináták közötti eseménytávolság állandó:
c2t2 – (x2 + y2 + z2) = konstans
Ez a kovariancia törvény ekvivalens a d’Alambert operátor sajátegyenletével, ami nyilvánvaló, ha elvégezzük a differenciálásokat.
Iránytartó és irányváltoztató kölcsönhatások
Az eddigiekben a külső és belső mozgások függetlenségéről beszéltünk. Ez mindaddig helyes, amíg csak iránytartó kölcsönhatásokról van szó. (Az iránytartó kölcsönhatás gömbszimmetrikus külső mozgáshoz vezet.) Az elektromágneses kölcsönhatás általános esetben irányfüggő, amit felbonthatunk egy iránytartó és egy irányváltoztató (forgató) komponensre, az elsőt az elektromos, a másodikat a mágneses mezővel írjuk le. Irányfüggés egyébként a kölcsönhatás véges c sebességű terjedése miatt alakul ki, mert két test között a kölcsönhatást nem az határozza meg, hogy egymáshoz képest éppen milyen helyzetet foglalnak el, hanem az, hogy hol voltak korábban egymáshoz képest. Ez a retardációs hatás akkora irányfüggést okoz, amit a külső uk sebesség és a c fénysebesség aránya határoz meg. Ez mutatkozik meg a B mágneses és E elektromos mező közötti összefüggésben is:
B = ―ukxE/c
( A mágneses B mező definíciójára két konvenció létezik, sok helyen az itteni definíció helyett annak c-vel osztott értékét választják)
Az elektrodinamika skalár és vektor potenciáljai
A kvantumelektrodinamikai felfogás szerint az elektromágneses kölcsönhatást virtuális fotonok váltják ki, egyrészt impulzusuk által (iránytartó elektromos erő), másrészt az impulzusnyomaték révén (forgató jellegű mágneses erő). A külső és a belső mozgások korábban feltételezett függetlensége viszont már nem érvényes, ha megjelenik a mágneses kölcsönhatás forgató hatása. A mágneses mező befolyásolja mind a külső mozgást (például az elektronok pályamozgását), mind az elektron (vagy bármely töltött részecske) belső forgását. A kölcsönhatási mezőt potenciálok segítségével adhatjuk meg, amely annyiban tér el a potenciális energiától, hogy a potenciált szorozni kell az elektromos töltéssel. Az iránytartó elektromos mezőt a Φ(r) skalárpotenciál írja le, melynek térkoordináták szerinti deriváltja (gradiens) adja meg az elektromos mezőt: E = gradΦ(r), a forgató hatású mágneses mezőt az A(r) vektorpotenciál határozza meg a vektoriális differenciálás (rotáció) művelete által: B = rotA(r).
Kinetikus és potenciális energia
Az energiának két alapvető összetevője van, az egyik a mozgáshoz, a másik a mozgatáshoz tartozik, ezeket nevezzük kinetikus és potenciális energiának. A két komponens összegzési szabálya eltér az iránytartó és az irányváltoztató kölcsönhatás esetében. Skaláris mennyiségeket adunk össze az iránytartó elektromos kölcsönhatásnál, és vektoriális összegzésre van szükség irányváltoztatás esetén, amit a mágneses kölcsönhatás idéz elő. Emiatt a vektorpotenciál járulékát az impulzusvektorhoz adjuk hozzá:
p = pk + p0 + qA/c
(A c-vel való osztás alakítja át az energia dimenziójú qA potenciális energiát impulzus dimenzióba.) Meghatározzuk az így módosított impulzus nagyságát (ez már skaláris mennyiség), és ehhez hozzáadjuk a skalárpotenciál járulékát. A vektor nagyságának meghatározásánál közelítést alkalmazunk: négyzetre emeléskor elhagyjuk a vektorpotenciál négyzetét, ami csak elhanyagolható járulékot ad az impulzushoz. A legfontosabb relativisztikus tagokat megtartva:
p2 = pk2 + m02c2 + 2pk·p0 + 2qpk·A/c + 2q p0·A/c
Operátorok szorzatában rendszerint nem közömbös a tényezők sorrendje, de ettől eltekinthetünk megfelelően választott potenciálok esetén. A három utolsó tag képezi a Schrödinger egyenletet kiegészítő relativisztikus járulékokat. Ezeket meg lehet adni a Dirac által bevezetett spinor felbontással, de itt arra törekszünk, hogy a relativisztikus járulékokat a fénysebességű forgásokra vezessük vissza.
Relativisztikus korrekciók származtatása
Közelítésünk alapja, hogy a nyugalmi energia a domináns, amit kiemelünk a kifejezés elé és négyzetgyököt vonunk:
Ha a zárójelben szereplő mennyiségek kicsik, alkalmazhatjuk a sorfejtési közelítést, mely szerint
Ennek értelmében
p = m0c + pk2/2m0c + pk·p0/m0c + qpk·A/m0c2 + qp0·A/m0c2
Az E = p·c ekvivalenciát figyelembe véve, beírva az impulzus és energia operátorát és hozzávéve a qΦ skaláris potenciális energiát, kapjuk meg az atommag körüli pályán mozgó elektron Schrödinger egyenletét, kibővítve három relativisztikus taggal. Ez a három új tag: a spin-pálya kölcsönhatás és a mágneses Zeeman kölcsönhatás két összetevője, amely egyrészt a pályamozgástól, másrészt a részecske saját belső mozgásától származik. Elektron esetén q = ―e, ahol konvencionálisan a töltés negatív. Legyen a külső B mágneses mező homogén, ekkor a vektorpotenciál:
A = ½crxB = ―½cBxr
Zeeman kölcsönhatás
Az elektronpálya mágneses mezőben történő energiaváltozása, azaz a Zeeman kölcsönhatás:
―epk·A/m0c2 = e/(2m0c)Bxr·pk = e/(2m0c)B·rxpk = eħ/(2m0c)B·L = μBB·L
Ahol Lħ = rxpk a pálya impulzusnyomatéka és μB = eħ/(2m0c) a Bohr magneton. (Ha B-re annak c-vel osztott értékét választjuk, akkor a Bohr magneton kifejezésében nem jelenik meg c a nevezőben). Itt L(Lx, Ly, Lz) dimenziómentes kvantum operátor, amely ħ egységekben fejezi ki az impulzusnyomatékot, és sajátértékei csak egészszámok lehetnek. A mágneses mezőben fellépő energiát a részecske mágneses dipólusával jellemezhetjük:
Emágneses = ―μ·B
Ennek értelmében a pályamozgáshoz is tartozik mágneses dipólus: μL = μBL. Ez a dipólus hasonló szerepet játszik mágneses mezőben, mint a töltés elektromos mezőben a potenciális energia számításában. A dipólus viszont vektor mennyiség, amelynek a mágneses mezővel alkotott skaláris szorzata az energia. (A dipólus és a mező között képezhető egy vektoriális szorzat is, amely energia dimenziójú, de irányfüggő mennyiség és a dipólus időfüggését (forgását) írja le: dμ/dt = γμxB. A γ giromágneses arány határozza meg a dipólus forgási frekvenciáját (Larmor frekvencia).)
Ha a mágneses mező irányában vesszük fel a z tengelyt, akkor Lz egészszámú sajátértékei határozzák meg a pálya mágneses kölcsönhatását.
Az elektron sajátmozgásához tartozó mágneses kölcsönhatást analóg módon számíthatjuk, csak pk helyébe p0-át kell írni. Az egész értékeket felvevő Lz helyett, az Sz spin operátor lép fel, amely ±½ értéket vesz fel az elektront definiáló kettősforgás miatt (lásd fent). Az energiaszámításban az impulzusnyomaték feleződését kompenzálja a kölcsönhatásban fellépő kettes faktor, mivel két forgást kell figyelembe venni a várhatóérték képzésekor:
<r0xp0> = 2(±½ħ) = 2Sħ
Az elektron sajátforgásához tartozó mágneses momentum:
μS = 2μBS
(A kvantumelektrodinamikai számítások szerint a kettes faktor helyett kissé nagyobb szám szerepel a pontos képletben (2.0023), amit a virtuálisan kibocsátott és elnyelt fotonok hatása idéz elő.)
A teljes Zeeman kölcsönhatás a pálya és spin járulékok összege, vagyis
ĤZeeman = μB(L+2S)·B
Spin-pálya kölcsönhatás
Utolsóként essék szó a <pk·p0>/m0c spin-pálya kölcsönhatásról, ami azt fejezi ki, hogy a kötött pályán mozgó elektron mozgása hatással van az elektron sajátforgására. Itt a levezetésnél kényegében a Wikipedia angol nyelvű szócikkét követjük: https://en.wikipedia.org/wiki/Spin–orbit_interaction.
A pk impulzus irányfüggését az U(r) = eΦ(r) gömbszimmetrikus potenciális energia határozza meg. Gömbszimmetria miatt az E elektromos mező gradiens művelete a Მ/Მr differenciálra egyszerűsödik, és E irányát az r/r egységvektor adja meg:
Felhasználva a korábban felírt összefüggést a mágneses és elektromos mező között, és átírva az uk sebességet pk/m0 alakba, a mágneses mező:
Ebben a pályamozgás által generált mágneses mezőben számítjuk ki az elektron 2μBS mágneses dipólusának energiáját. Ez az energia a négyzetgyök alatti kereszttagnak felel meg, ami kettővel osztódik a sorfejtés első tagjában, és így a spin-pálya kölcsönhatás kifejezése:
(A Wikipediában közölt levezetés ennek kétszeresét adja ki, amit egy ad hoc bevezetett új taggal korrigál. Az általunk követett módszerben erre nincs szükség)
Dirac egyenlet kiterjesztése fermionokra
Dirac négydimenziós spinorok alkalmazásával bontotta fel a négyzetgyökös kifejezést.
Itt a ± szimbólumok feltüntetése jelzi, hogy a kovariancia kifejezése három különböző rejtett kétértékűséget tartalmaz. Dirac módszere alapozta meg a spin fogalmát, amit kétdimenziós Pauli mátrixok írnak le, további következménye a módszernek, hogy az energia sajátértékekre nem csak pozitív, hanem negatív megoldásokat is kapunk. Az utóbbi valójában abból fakad, hogy a kvantummechanika nem tud különbséget tenni a jövő és a múlt irányú folyamatok között. A folyamatok iránya viszont az energia előjeléhez kapcsolódik, hiszen az energia operátort az idő szerinti differenciálhányadossal definiáljuk.
A négyzetgyökvonás magában rejt azonban egy további kétértékűséget is, ami a négyzetes formában szereplő nyugalmi energiától származik. Ha nyolcdimenziós spinor felbontást alkalmazunk, ahogy azt már korábbi írásban bemutattuk, fellép egy újabb kétdimenziós Pauli mátrix, amely az anyag-antianyag kettősséget tükrözi, és képes leírni mind a törttöltésű kvarkokat, mind a töltés semleges neutrínókat. Ily módon lehetőséget kapunk, hogy a relativisztikus mozgásegyenlet ne csak az elektron típusú részecskéket, hanem valamennyi elemi fermiont leírja. Ez az általános fermion egyenlet egyúttal konzekvens kvantummechanikának is tekinthető, mert ebben nem csupán az energiát és impulzust, hanem a tömeget és a töltést is operátorok képviselik. A szóban forgó operátorok sajátértékei adják meg az egyes elemi részecskék töltését és tömegét.
Konklúzió
Az elemi objektumok mozgásának különböző mélységű szintjei vannak. A legfelső szintet írja le a szokásos kvantummechanika, amikor feltárja az elektron mozgásait az atomban. Ennél mélyebbre hatol a kvantumelektrodinamika, amikor már a kölcsönhatásokat is a fotonok virtuális képződési és eltűnési folyamataira vezeti vissza. A legmélyebb szintet a fénysebességű forgások alkotják, amelyek megteremtik a fotonok és az elemi részecskék világát.
Matematikai levezetésekkel bemutattuk, hogy a részecskék fénysebességű forgásokkal való értelmezése elvezet egyrészt a speciális relativitáselmélet legfontosabb törvényeihez, másfelől alkalmas arra, hogy kiegészítsük a kvantummechanika Schrödinger egyenletét a relativisztikus korrekciókkal. Az eljárás kiterjeszthető az elektronok mellett a többi elemi fermion tulajdonságainak leírásához is. Az egyes részecskéket az elemi forgások kiralitása alapján jellemezhetjük, bevezetve a harmadik kvantálás királis kvantumszámát.
