Minden mozgás valamilyen ellenállásba ütközik a súrlódás, vagy közegellenállás miatt, de mégis van egy nagy kivétel, a szupravezető, amelyben az elektronok ellenállás nélkül áramlanak. Mi az oka ennek a különleges jelenségnek? Ennek nyitját az anyag legkisebb részecskéinek tulajdonságaiban kell keresni, amely kapcsolódik a fermionok és bozonok belső szimmetriájához.
Fermionok és bozonok spinje
A részecskefizika fontos alapkategóriája a fermionok és a bozonok megkülönböztetése. Fermionnak nevezzük azokat a részecskéket, melyeknek feles, pontosabban félegész a spinje, azaz impulzusnyomatékuk a redukált ħ = h/2π Planck állandó fele, illetve ennek a fél értéknek páratlan számú többszöröse; míg bozonról beszélünk az egész spinű részecskéknél, ahol épp ħ, vagy annak egészszámú többszöröse adja meg ezt az értéket. A két részecsketípus kollektív viselkedése élesen eltér, amikor egy kölcsönhatási rendszer tagjai, mint például az elektronok az atomokban és molekulákban, vagy fémek vezetési sávjában. Ebben a rendszerben mindegyik elektron állapota valamiben különbözik a többitől, ezt fogalmazza meg a nevezetes Pauli féle kizárási elv. A kvantummechanika ezt az elvet úgy fejezi ki, hogy az elektronok pályái legalább egy kvantumszámban különböznek, de hasonló szabály vonatkozik a kvarkokra is, amelyek az összetett részecskéket (hadronokat, azaz barionokat és mezonokat) alkotják. A részecskék megkülönböztetésének ez a törvénye azonban nem vonatkozik az olyan rendszerekre, melyeket bozonok sokasága épít fel.
A Fermi-Dirac és Bose-Einstein statisztika
A kizárási szabály eltérő statisztikára vezet fermion és bozon rendszerek esetén. Egyensúlyi rendszerekben a részecskékre jutó átlagos termikus energia aránya a különböző energiaszintekhez képest határozza meg, hogy az egyes pályákra hány részecske jut. A Pauli elvnek engedelmeskedő részecskék esetén – ez vonatkozik például a fémek vezetési sávjában tartózkodó elektronokra – az eloszlást a Fermi-Dirac statisztika határozza meg, viszont bozonok esetén a Bose-Einstein statisztikáról beszélünk. A Fermi-Dirac statisztika sajátsága, hogy a legkisebb energiájú pályán nem gyűlhet össze az összes elektron, mert ennek korlátozott a befogadó képessége, így sok elektron magasabb energiájú pályára kényszerül. Emiatt kialakul egy energiaszint, amelytől lefelé szinte teljes a betöltöttség, ez a Fermi nívó, viszont a Fermi szint fölött már minimális az elektronok száma. Evvel szemben bozonoknál nincs korlátja annak, hogy hány részecske fér el a legalsó pályán, ekkor az átlagos termikus energia aránya a pályák energiaszintjéhez képest más eloszláshoz vezet. Ha kellően alacsony a hőmérséklet, akkor az összes bozon a legkisebb energiájú pályára kerül. Ennek a statisztikai különbségnek fontos szerep jut fémek vezetőképességének alakulásában, és ehhez kapcsolódik a szupravezetés jelensége is. Mielőtt figyelmünket erre a kérdésre irányítanánk, derítsük fel annak okát, hogyan tudjuk a fermionok és bozonok belső szimmetriájára visszavezetni az eltérő statisztikákat. A kvantummechanikai tárgyalásban a részecskét leíró hullámfüggvény tükörszimmetriájával jellemzik a bozonok és fermionok különbségét: a bozon hullámfüggvénye időtükrözéskor megtartja előjelét, szemben a fermionnal, ahol megfordul az előjel. Ez azonban csak a matematikai reprezentáció, amely nem tárja fel a valódi okot.
A klasszikus és kvantumfizikai elvek kapcsolata
A magyarázat indításához gondoljuk végig megszokott fizikai világunk egyik alapelvét: ugyanarra a helyre nem helyezhetünk el két fizikai objektumot, tehetjük a tárgyakat egymás mellé, vagy fölé, sőt ha, üregesek a tárgyak, akkor egymásba is helyezhetjük azokat, de még ekkor is mindegyiknek különböző térrész jut. Az elemi részecskék világában a különböző helynek a különböző kvantumszámok felelnek meg. Mivel nem láthatjuk közvetlenül az elektronokat az atomban, vagy molekulákban, így csak a lehetséges helyükre következtethetünk, ami valószínűséget rendel ahhoz, hogy milyen súllyal fordulhat elő az elektron az atommagtól különböző távolságban, vagy irányban. Ezt a valószínűséget az állapotfüggvény segítségével számíthatjuk ki. Makroszkopikus világban az egyes tárgyakhoz hozzárendelhetjük azt a tértartományt, amelyet elfoglalnak, az egyszerűség kedvéért most gondoljunk merev tárgyakra. Ennek felel meg a kvantummechanikában az állapotfüggvény térbeli eloszlása, amely elvben a teljes térre is kiterjed, bár az atomok méretén kívül a megtalálási valószínűség már elhanyagolható, de az atomon belül, sőt a kötésben levő atomok között is, az atomi pályafüggvények téreloszlása erősen átfed. Emiatt fogalmazza úgy a kvantummechanika azt az alapelvet, mely szerint két elektron nem lehet azonos pályán, hogy felírja az állapotfüggvények szorzatát (pontosabban mivel komplex függvényekről van szó az egyik komplex konjugáltját szorozza a másik függvénnyel), és elvégzi az integrálást a teljes tértartományra. Ha viszont két azonos pályáról van szó, akkor definíció szerint egyet kapunk, mint a részecske jelenlétének teljes valószínűségét. Ez a normálási eljárás, egyébként pedig bármely két eltérő pálya esetén az így képzett integrál már nulla lesz, ami azt jelenti, hogy nulla a valószínűsége annak, hogy két elektron pályája azonos legyen, vagyis átfedés jöhet létre közöttük. Ez a nulla valószínűség játssza el azt a funkciót, amit szokásos világunkban úgy fejezünk ki, hogy két tárgy nem lehet azonos helyen.
A fermionok belső szimmetriája
Most térjünk rá mondanivalónk legfontosabb részére: mégis mi lehet az a szimmetria különbség, amiért olyan különbözően viselkednek a fermionok és bozonok, amikor egymással kölcsönhatásba kerülnek? A magyarázat szép példája annak, hogyan tudjuk ezt a kérdést is megválaszolni a fénysebességű forgások elve alapján! A fermionokat úgy lehet ebben a modellben leírni, mint két összekapcsolt forgást, amelynek eredője gömbszimmetrikus mozgás. A gömbszimmetria azt jelenti, hogy nincs a részecskének kitüntetett forgástengelye, ezért a pályákat meghatározó kvantumszámokhoz – a spin kvantumszámon kívül – nem járul hozzá további állapot meghatározó dimenzió. A hadronokat felépítő kvarkoknál annyival bonyolultabb a kép, hogy ott belép a szín-kvantumszám is, és meg kell különböztetni az up és down típusokat, valamint a különböző generációkat is. De a lényeg, hogy a részecske belső aszimmetriájára utaló, kitüntetett irányról nincsen szó, ami lehetőséget adna, hogy különbséget tegyünk az egyes fermionok között. Az irányfüggetlenséget tükrözi az S = ½ spin is, mert amikor a három komponens négyzetének várható értékét képezzük, arra azonos értéket kapunk:
Az ½-nél nagyobb spinek esetén hasonló egyenlőség már nem írható fel.
A bozonok belső hengerszimmetriája
Hogyan értelmezhetjük a bozonokat a fénysebességű forgások modelljében? Itt csak egyetlen tengely körüli körforgásról (tehát nem gömbforgásról!) van szó, amelyhez a fotonok esetén tengelyirányú – míg a gyenge kölcsönhatásban kulcsszereplő W bozonok esetén – sugárirányú haladó mozgás párosul. Ebben a képben már van egy kitüntetett tengelyirány, ezért a bozonok seregében már létezik egy megkülönbözetési lehetőség az egyébként azonos energiájú – és a kvantummechanika szokásos megfogalmazása szerint megkülönböztethetetlen – részecskék között. Bozonok kvantummechanikai leírásában ugyanis nincs szükség arra, hogy ezt a tengelyirányt is beírjuk a koordináták közé, mert nem befolyásolja a bozonok megfigyelhető tulajdonságait, de mint különbségtevő elv mégis létezik! Ez a láthatatlan iránykülönbség, ami a bozon hengerszimmetriájának tartozéka, lehetővé teszi, hogy az azonos kvantumszámokkal rendelkező bozonok azonos pályán legyenek, mert választhatnak a végtelenszámú haladási irány között. Ezt támasztja alá az a fontos tény is, hogy egydimenziós rendszerekben a bozonokra is érvényesül a Pauli elv, ekkor ugyanis megszűnik az irányválasztás szabadsági foka. A bozonok tehát különbözhetnek egymástól, de ezt a különbséget nem tudjuk megfigyelni, ami úgy tükröződik a kvantummechanikában, hogy az irány dimenzió nem lép fel.
Összetett szerkezetű fermionok és bozonok
A fermionok és bozonok eltérő statisztikája azonban nem csak a Standard Modellben eleminek tekintett részecskékre vonatkoznak, hanem az összetettekre is, példa rá a bozonok közé tartozó mezonok családja (ezek egy kvark és egy antikvarból állnak), valamint a fermion jellegű barionok családja (ezek vagy három kvarkból, vagy három antikvarkból épülnek fel). Ide sorolhatjuk még az atommagokat is, ahol, ha a nukleonok száma páros, akkor az izotóp bozon típusú, ha páratlan, akkor fermion lesz.
A jelenség magyarázatában ekkor már nem az összetevők belső szimmetriáját kell vizsgálni, hanem a teljes struktúráét, amit az elemi összetevők – azaz a kvarkok és elektronok – mozgása határoz meg.
A spin eredete
A továbblépés érdekében még végig kell gondolnunk néhány dolgot a spinnel kapcsolatban, amely a belső forgáshoz tartozó impulzusnyomatékot adja meg. Az impulzusnyomaték a belső mozgások körbejáró impulzusához, illetve a részecske tömegéhez kapcsolódik. Az elektron viszont töltéssel is rendelkezik, amelynek körforgása az elektrodinamika szabálya szerint mágneses nyomatékot hoz létre, és ez a nyomaték a körülötte levő térben mágneses mezőt alkot. Ha külső mágneses mezőben vizsgáljuk az elektronokat, az forgásba hozza a mágneses nyomatékot, ez a Larmor precesszió. A technikailag megvalósítható mágneses mezőkben ennek frekvenciája sok-sok nagyságrenddel kisebb, mint a részecskét alkotó belső forgásoké. A Larmor precesszió valójában az elektront alkotó belső kettősforgásra ráépülő külső térbeli egytengelyű forgás. Ennek két sodrásiránya lehet, a jobb és bal, amihez két különböző energia tartozik, ez a Zeeman energia. A két sodrásirány átvihető egymásba az idő tükrözésével. A kvantummechanika ezt úgy írja le, hogy időtükrözéskor az elektron állapotfüggvényének előjele megfordul.
Kémiai kötés és kicserélődési energia
Molekulákat azonban az elektronok kölcsönhatása hozza létre, amelyek páronként kerülnek egymással kötésbe, de ebben a mágneses hatás alárendelt szerepet játszik. Annál fontosabb viszont a taszító jellegű Coulomb kölcsönhatás – amelyik azonos pályán mozgó elektronok esetén különösen nagy lesz – és eltérő értéket vesz, attól függően, hogy a két spin forgási iránya egyezik (ekkor S = 1 triplett állapot lesz), mint amikor ellentétes irányban forognak (S = 0, szingulett). Itt válik nagyon fontossá a Pauli elv, ugyanis ha a szóban forgó pálya az L = 0 kvantumszámú s pálya, akkor a spin két beállása csak ellentétes lehet. De például az átmeneti és ritkaföldfémek L = 2 és L = 3 (d illetve f) pályáin már nincs ilyen megkötés, itt szingulett, triplett sőt magasabb spinű pályák egyaránt lehetnek. Egy különleges kvantummechanikai effektus határozza meg a triplett és szingulett állapotok szeparációját, amit a kicserélődés effektus okoz. Itt nem akarunk belemenni a számítások részleteibe, csak annyit jegyzünk meg, hogy ez a lehetséges valószínűségeket veszi számba: mekkora az esély, hogy melyik elektron van az egyik pályán, és melyik a másikon, de az is lehet, hogy kölcsönösen itt is ott is vannak. Ez utóbbi lehetőség miatt beszélünk kicserélődésről. A kicserélődési energiának kulcsszerepe van két atom közötti kémiai kötés kialakulásában. A kötés a külső L = 1 pálya-kvantumszámú p pályák között jön létre, ahol az Lz operátornak három különböző sajátértéke van a 2L +1 szabály szerint, és ez a háromszorosan degenerált impulzusnyomaték tér lehetővé teszi, hogy a molekulapálya szingulett, vagy triplett legyen. A kötőpálya szingulett, míg a lazító pálya triplett a legtöbb esetben. A kötő és lazító pálya már megfelel annak a követelménynek, hogy a két pálya között ne legyen átfedés. A kötő pálya nagy súllyal a két atom közötti zónában helyezkedik el, míg a lazító pálya ezt a tartományt elkerüli.
Mezonok hengerszimmetriája
Mi a szerepe a Pauli elvnek mezonok esetén, amelyek egy kvarkból és egy antikvarkból épülnek fel? Itt a kvantumszámok eltérési szabálya automatikusan teljesül, ezért egyaránt vannak triplett és szingulett állapotú részecskék, melyeket a kvarkok között működő erős kölcsönhatás hoz létre. De legyen szó akár szingulett, vagy triplett mezonokról, a két kvark egymást polarizáló iránya behoz egy belső irányt, amely eltér az egyes mezonok esetén, engedélyezve ezáltal, hogy ugyanabban az állapotban legyenek a Bose-Einstein statisztika szabálya szerint. Elmondhatjuk tehát, hogy az elemi kölcsönhatási bozonokhoz hasonlóan, mezonok esetén is a részecskék hengerszimmetriája áll a statisztikai tulajdonságok mögött. Az időtükrözéses koncepció ehhez úgy kapcsolódik, hogy amikor mindkét kvark állapotfüggvényét tükrözzük, akkor a szorzatfüggvény előjele nem változik.
Hogyan jön létre szupravezetés?
Érdekesebb azonban ennél az az állapot, amely fémekben és egyes kerámiákban alacsony hőmérsékleten megvalósul, melyekben bizonyos kristályrezgések páronként „egybecsomagolják” az elektronokat. Az elektronpárokat kialakító erő gyöngesége miatt a kritikus hőmérséklet meglehetősen alacsony, és ez alatt hoz létre a spin-spin kölcsönhatás polarizációt az elektronpár két tagja között, ami szimmetriacsökkenést (hengerszimmetriát) okoz a teljes kételemű struktúrában.
A szupravezetésnek részletesen kidolgozott kvantummechanikai elmélete van, de ebből csak annyit emelünk ki, hogy a „csomagok” már bozonként viselkednek, és lehetővé teszik, hogy akár valamennyi elektronpár a legalsó energiaállapotot foglalja el.
A szupravezetés típusai
A szupravezetőknek két főtípusa van, az egyikben a fémek vezetési sávjában sodródó elektronok mozgása változik meg a kvantummechanika szabályai szerint. Ez a jelenség mélyhőmérsékleten következik be (4K tartományban, ahol a hélium cseppfolyós lesz). A fématomok közötti kötések háromdimenziós láncolatokat (sávokat) alkotnak, és az atomok külső héjából távozó elektronok a legfelső sávot félig töltik fel, és ezáltal vezetővé válik a fém. Szupravezető állapotban megszűnik a Pauli elv által megszabott korlát az összekapcsolt és ezáltal bozonként viselkedő elektronpárok létrejöttével. Ez létrehoz egy makroszkopikus kvantummechanikai állapotot, amelyben az elektronok ugyanolyan szabadon, ellenállás és energiaveszteség nélkül mozognak, mint amikor az atomokban keringenek.
A szupravezetés másik típusa elektromosan szigetelő kerámiában jöhet létre, viszonylag magas, a cseppfolyós nitrogénét (77K) is meghaladó hőmérsékleten. Ezeket átmeneti (réz) és ritka földfémek vegyületei alkotják, melyekben a d és f pályák hoznak létre háromdimenziós hálózatokat. Elektromos vezetés viszont nem jön létre, mert a sávok vagy telítve vannak elektronokkal, vagy üresek. A kritikus hőmérséklet alatt kialakulnak az elektronpárok, és ez lehetővé teszi, hogy a nagyobb energiájú sávokból lejussanak elektronok az alatta lévőbe. Számuk azonban korlátozott, mert az elektronok átrendeződése gyöngíti a kristályrács ionos kötéseit. Ennek következménye, hogy létrejön egy nem teljesen feltöltött sáv, és innentől kezdve már szabad az út az elektronok számára a makroszkopikus kvantummechanikai pályán. A második típusú szupravezetők áramvezető képessége azonban korlátozott, ami komoly akadályt gördít a technikai felhasználás elé..
Szupravezetés és termodinamika
A szupravezetés példa rá, hogy kvantum jelenségek megjelenhetnek makroszkopikus objektumokban is. Valójában minden atom, miden molekula egy miniatűr örökmozgó, mert az elektronok mozgását nem akadályozza semmilyen közeg. Hát mégiscsak lehet örökmozgót építeni a szupravezetés által, megcáfolható lenne a termodinamika entrópia törvénye? Nem, erről nincs szó! Van ugyanis egy fontos feltétel: a szupravezető állapot alacsony hőmérsékleten következik be, állandóan biztosítani kell ezért a hűtést. Ígéretesnek tűnt, amikor a cseppfolyós nitrogén hőmérsékletén néhány kerámiában sikerült megvalósítani szupravezetést, de szobahőmérsékletű szupravezetőt azóta sem lehetett előállítani. De még ha sikerülne is, akkor se építhetnénk örökmozgót! Ennek oka, ha valódi munkavégzésre fognánk be az áramló elektronokat, az már olyan mozgásokat idézne elő, amely hőt termelne, ezért hűtésre, azaz külső energia folyamatos felhasználására, továbbra is szükség lenne.
Az atommagok héjszerkezete
Lépjünk tovább a barionok világába, ahol három fermion, azaz három kvark, vagy három antikvark hozza létre a részecskét. Legismertebb példa rá a két nukleon, a proton és a neutron, az atommagok alkotói. Az erős kölcsönhatás által indukált spin-spin polarizáció működhet úgy is, ha mindhárom spinperdület sodrásiránya megegyezik, ekkor az eredő spin S = 3/2 értéket vesz fel, de lehet olyan is, ahol két spin az egyik, a harmadik a másik irányba perdül, ez felel meg az S = ½ spin állapotnak. Ilyen a proton és a neutron is. A játékszabály szerint ezek is fermionok. De mi okozza, hogy ezek is engedelmeskednek a Pauli-féle kizárási elvnek? A magyarázatot ismét az összetett részecske szimmetriája adja meg. Bár páronként nézve a három kvarkot, kijelölnek egy-egy specifikus polarizációs irányt, de a három részecske együttes mozgása már köbös-, vagy gömbszimmetriát hoz létre, amelyben nincs „választható” polarizációs irány, és így érvényes lesz a Pauli elv az atommagokat felépítő nukleonok esetén is. Ennek következménye, hogy hasonló héjszerkezet alakul ki az atommagokban, mint ami jellemzi az atomok elektronkonfigurációit. A kvantummechanika ezt a jelenséget úgy tárgyalja, hogy időtükrözéskor mindhárom kvark állapotfüggvénye előjelet vált, és ugyanez történik a három függvény szorzatával is, megtartva a fermion jelleget.
Magas spinű részecskék statisztikája
A Pauli elv érvényes a magasabb spinű S = 3/2, 5/2, 7/2… részecskékre is, ilyeneket találunk az izotópok atommagjai között. Az S = ½ spin komponensekre korábban felírt egyenlőség nem érvényes magasabb spinekre, azaz a spinek alkotta tér aszimmetrikus bozonokra, és fermionokra nézve is. A magyarázat itt is a szimmetriára vezethető vissza: páros számú nukleonból felépülő atommagok szimmetriája alacsonyabb a páratlan számúhoz képest. A kvantummechanika szokásos leírása szerint az időtükrözés okozta előjelváltás a teljes szorzatfüggvényre is vonatkozik, ha páratlan számú nukleon van az atommagban, megfordul az előjel; ha viszont páros a szám, akkor az előjel megmarad. Ennek az elvnek azonban kisebb a gyakorlati jelentősége, mert a természetben nem fordulnak elő olyan objektumok, amelyek kizárólag magasabb spinű részecskékből állnak össze, bár kísérleti megvalósításuk nem lehetetlen.
A csillagvilág és a Pauli elv
A Pauli elv alapján kapunk magyarázatot haldokló csillagok sorsára is, ilyenek a fehér törpék és a neutron csillagok. Az előbbiben az elektronok, az utóbbiban a neutronok hoznak létre degenerációs nyomást, ami abból fakad, hogy a kizárási elv nem engedi egy határon túl a fermionok összetömörítését. Ez akadályozza meg, hogy az óriási gravitációs nyomás ellenére a csillag nem roppan össze. A degenerációs nyomás fordítva arányos a részecske tömegével, magyarázva a neutron csillagok nagyobb sűrűségét a fehér törpékhez képest, amelyet a gravitációs erő által szétbontott atomokból kiszabaduló elektronok hoznak létre.
Összefoglaló megállapítások
Legfontosabb megállapításunk, hogy minden egyes fizikai objektumnak valamiben különbözni kell, ez az elv a Pauli elv általánosítása valamennyi részecskére. Ez automatikusan teljesül a párosítatlan elektronok számára, ha különböző molekulákhoz tartoznak, akár folyadék, akár szilárd fázisban vannak a paramágneses centrumok. Ekkor a Bose-Einstein eloszlás klasszikus határesetének megfelelő Boltzmann statisztikát kell használni. Kollektív rendszerekben, ahol a részecskék nem tartoznak elkülönült molekulákhoz, a spin határozza meg a statisztika jellegét. A fénysebességű forgások koncepciója szerint a fermionok gömbszimmetrikus, vagy köbös belső szimmetriával rendelkeznek, ekkor a kvantummechanikai leírás teljes és a részecske valamennyi tulajdonságát figyelembe veszi, ezért érvényesül a Pauli elv. A bozonok belső szimmetriája viszont hengerszimmetrikus, amelynek polarizációs irányáról nincs információnk. Emiatt a kvantummechanikai leírás nem teljes, viszont az azonos energiájú állapotokban számtalan lehetőség kínálkozik, amelyek a tengely irányában különböznek, és emiatt nem vonatkozik rájuk Pauli kizárási elve. Evvel továbbléptünk a Standard Modell felfogásán, amely csak leszögezi a fermionok és bozonok eltérő statisztikáját, és az állapotfüggvény időtükrözésével értelmezi, de ennek mélyebb fizikai okára nem ad magyarázatot.
A szupravezetők példáján azt is láthattuk, hogyan kapcsolódnak össze a fizika egyes törvényei, amikor a kvantummechanika kilép a makroszkopikus világba, ahol létrejöhetnek akadálymentes mozgások, anélkül, hogy ez ellentmondana a termodinamikának.
