Előhang

Írásban van néhány matematikai formula is, de ez ne riassza el a formulák olvasásában gyakorlatlan olvasót, mert ez csupán egy gyorsírási mód, a lényeg a mögöttes fizikai valóság, ennek megértésére kell törekedni. A kvantummechanika világos és egyértelmű, ha túllépünk a formulák dzsungelén, és arra gondolunk, hogy miért és mikor van szükségünk erre a tudományra.

Mi a részecske?

Mi a részecske? Hullám vagy korpuszkula? A részecskék belső szerkezetéből nem érkezik számunkra információ, itt hasonló helyzetbe kerülünk, mint a XX. század elején, amikor az atomok belsejében az elektronok mozgását akartuk megismerni. Az elektronok csak akkor adnak hírt magukról, amikor az egyik pályáról egy másikra ugranak, viszont mi arra vagyunk kíváncsiak, hogy mi történik azokon a pályákon, amelyeket nem láthatunk. Ezen a mélyebb szinten is csak azt tehetjük, hogy a parányi objektumok külső tulajdonságaiból indulunk ki: mekkora a tömegük, töltésük és spinjük (impulzusnyomatékuk). Keressük a belső mozgások szimmetriáját, amelyek tükröződnek az előbbi fizikai mennyiségekben! Indítsuk el vizsgálatainkat a fény „atomjainál”, a fotonoknál!

A foton belső mozgásformái

A modern fizika egyik alapköve az energia és tömeg ekvivalenciája:

E_Einstein = mc²

Ezt tekinthetjük a részecske – vagy pontosabban a korpuszkuláris – szemlélet alapjának, és nevezhetjük az einsteini energia definíciónak. A hullámtermészetből következő energia definíciót Planck nevéhez köthetjük, aki a fényt kvantumokra bontotta, arányosságot állapítva meg az energia és a frekvencia között:

E_Planck = hν = ħω

De Broglie érdeme, hogy felismerte a hullámtermészet általánosságát, amikor minden részecskére, minden anyagra kiterjesztette ezt az összefüggést. Mivel minden anyagra egyaránt érvényes az energia kétféle megközelítése, indokolt a két kifejezés összekapcsolása: E_Einstein = E_Planck,  azaz

mc² = hν =  ħω                                                                                    (1)

Ebből viszont következik, hogy minden elemi részecskénél a tömeg arányos valamilyen belső frekvenciával. De mit jelent, mi tartozik ehhez a frekvenciához? Ez lehet haladó hullámok időbeli sűrűsége, vagy forgások fordulatszáma is.  A fénysebességgel haladó fotonoknál a frekvencia lehet a kiindulási alap, és ehhez rendelhetünk hozzá (1) alapján valamilyen effektív tömeget. Ezt a tömeget nevezhetjük mozgási tömegnek, szembeállítva a nyugalmi tömeggel, amely nulla fotonok esetén. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a fotonnak nincs nyugalmi tömege, mert nem lehet nyugalomban, a foton elválaszthatatlan tulajdonsága a fénysebességű száguldás. Bár a fotonnak nincs nyugalmi tömege, a kísérletek tanúsága szerint mégis van impulzusa, amely mennyiséget eredetileg a klasszikus mechanikában a tömeg és sebesség szorzatához kötöttük. A foton impulzusa a hullámtulajdonsághoz kapcsolódik, és értéke az energiából, illetve a frekvenciájából számolható ki:

p = E/c = hν/c = ħω/c

(Itt  ħ = h/2π  a redukált Planck állandó). Átírhatjuk az impulzus fenti alakját az (1) összefüggésből származtatott effektív tömeg alapján is:

p = m·c

Az impulzusnak ez a kifejezése visszaigazolja, hogy a foton c sebességgel halad. Az impulzusnak tehát két lehetséges forrása van, származhat a mozgó tömeg sebességéből, de létrehozhatja nullatömegű objektumok fénysebességű mozgása is. Az utóbbi a direkt impulzus, amely közvetlenül a fénysebességű mozgásból fakad, az előbbi pedig indirekt, mert először a tömegnek kell létrejönni, amely azután mozgásba lendül.

A nulla nyugalmi tömegű fotonnak az impulzus mellett még impulzusnyomatéka is van, melynek nagysága egységesen ħ, függetlenül attól, hogy mekkora a foton energiája, illetve frekvenciája. Az impulzusnyomaték eredeti definíciója szerint körforgást végző objektumok impulzusának és sugarának vektoriális szorzata:

ħ = pxr

De mit értsünk fotonoknál a sugár alatt? A fenti definíció alapján ez a sugár a Planck állandó és az impulzus hányadosa:

r = ħ/p = c/ω

Az utóbbi összefüggés tanulsága, hogy az impulzusnyomatékot egy olyan forgás hozza létre, melynek kerületi sebessége a fénysebesség, és a sugarat az a frekvencia határozza meg, amely egyezik a hullám ω körfrekvenciájával. Tehát az impulzusnyomatéknak is két forrása lehet: létrejöhet, amikor egy tömeggel rendelkező objektum forog saját centruma, vagy kering egy külső pont körül, de megszülethet nullatömegű objektum fénysebességű forgásából is. Itt is az előbbi az indirekt, az utóbbi a direkt mechanizmus. Evvel a felismeréssel a foton természetét meghatározó mozgásokhoz jutottunk közelebb, amely egyrészt fénysebességű haladás, másrészt a haladás iránya körüli forgómozgás. A haladás hullámokban történik, melynek periodikusságát az adja meg, hogy mekkora a forgási frekvencia, más szóval a hullámjelleg éppen a forgásból fakad.

Ebben a fogalmi képben a forgás elválik az anyagi közegtől, és önálló életre kel. A forgás magának a térnek és időnek belső (intrinsic) tulajdonsága és nem valamilyen anyagi közegé, azaz a forgás szüli meg az anyagot, és nem valamilyen eleve létező anyagi közeg jön forgásba. Forgás nélkül nincs anyag! Az anyagot szülő forgás a téridő sajátos produktuma, annak megnyilvánulási formája, amely az egyetlen abszolút sebességgel – a c fénysebességgel – megy végbe. A fénysebesség állandóságának törvénye a részecske tulajdonságok állandóságát biztosítja. Ez a szemléletmód egyesíti a hullám és részecske tulajdonságokat a fénysebességű forgások koncepciója által.  

Az elektronok belső mozgásformái

A mikrovilág objektumainak másik típusát képviselik a nyugalmi tömeggel rendelkező részecskék, ezek számára az (1) összefüggés az ellenkező irányból alkalmazható, melynek révén a tömeghez vele arányos frekvencia rendelhető. A tömeg létrejöttének azonban ára van: nem engedi meg, hogy a részecskék mozgási sebessége elérje a fény c sebességét.

Vegyünk sorra néhány tömeggel rendelkező elemi részecskét, először is az elektront, a müont és a tau részecskét. Tömegük között három nagyságrendet is meghaladja a különbség (elektron: 0,511 MeV/c², müon: 105,7 MeV/c², tau: 1776,86 MeV/c²), mégis impulzusnyomatékuk azonos, amit a redukált Planck állandó fele ad meg: ħ/2. Ezt fejezi ki a spin, amely S = ½, ahol ez a szám a ħ Planck állandó együtthatója az impulzusnyomaték kifejezésében.  Az S = ½ spinű részecskéket nevezzük fermionnak, szemben a korábban tárgyalt S = 1 spinű fotonokkal, amely az egész spinű bozonok családjához tartozik. Alapvető kérdés, hogy milyen belső mozgás felelős az impulzusnyomaték feleződéséért tömeggel rendelkező részecskék esetén, és mi annak kritériuma, hogy a részecskének lehessen nyugalmi tömege?

Az ok a belső forgások szimmetriájára vezethető vissza. A fotonnál körforgásról beszéltünk, az elektronnál és társainál gömbforgásokról van szó. A körforgáshoz tartozik egy kitüntetett forgási tengely, a gömbforgásnál viszont a forgási irányok nem különböztethetők meg. Bár a foton is gömbhullámokban terjed, de ez a terjedésre és nem a foton belső természetére vonatkozik; ez csupán annyit jelent, hogy minden fogási tengely egyenrangú a terjedés megvalósulásakor. A gömb felszínét viszont két egymásra merőleges körforgással futhatjuk be, akárcsak a Földet a hosszúsági és szélességi fokok mentén. A gömbforgás frekvenciája feleződik, hiszen a gömbfelület befutásához két kört kell megtenni, de úgy is érvelhetünk, hogy az egységsugarú kör kerülete 2π, viszont a gömb felülete 4π. A gömbfrekvencia feleződése hozza magával, hogy az impulzusnyomaték – azaz a spin – szintén feleződik. A gömbforgás magával hozza a részecskevilág megkettőződését is, mert a két forgás körüljárási iránya egymáshoz képest lehet jobb és a balsodrású is, ezt nevezzük királis szimmetriának. A két típusra példa az elektron és pozitron, vagy általánosabban fogalmazva az anyag és az antianyag. A fénysebességű forgások elvével az is kimutatható, hogy a jobb- és balkéz királis szimmetriája határozza meg a töltések előjelét a forgó rendszerben fellépő Coriolis erő miatt.

További fontos különbség az elektronok gömbforgása és a foton körforgása között, hogy amíg a gömb térben lezárt alakzat, a foton pályája egy nyitott henger palástján húzódik végig, amelyen a körforgáshoz tengely irányú előrehaladás is járul. Amiatt, hogy a foton mozgása nem zár be véges tértartományt, nincs hova rendelni a tömeget. A mérhető, a valódi, a nyugalmi tömeg mindig valamilyen lezárt tartományhoz rendelhető, valójában ez a tulajdonság a korpuszkula ismérve. Tömegről csak akkor lehet beszélni, ha válaszolni tudunk arra a kérdésre is, hogy hol van ez a tömeg.

A fénysebességű forgás a kvantummechanikában

Az eddigi érvelés klasszikus fogalmakra épült. Mivel azonban a részecskék belső mozgásairól ugyanúgy nincs információnk, mint az atomokban az elektronok mozgásairól stacionárius állapotban, így a kvantummechanika valószínűségi világára kell alapoznunk a részecskék belsejében történő fénysebességű mozgások leírását is. Ebben az elméletben már az egyes fizikai mennyiségekhez operátorokat rendelünk, amelyek a tér és idő koordináták mentén képzett differenciálhányadoson alapulnak, melyek a ħ Planck állandóval vannak megszorozva. Figyelmünket fordítsuk a relativisztikus kvantummechanikára, mert általános törvények megalkotására törekszünk, és a Schrödinger reprezentáció csupán a lassú mozgásokra vonatkozó határeset.

A relativisztikus elmélet kiindulópontja az energia kovariáns alakja:

E² = p²c² + m₀²c⁴                                                                                       (2)

Ez az általános összefüggés valamennyi elemi részecskére egyaránt érvényes, legyen szó fotonokról, elektronokról, illetve a mikrovilág számtalan objektumáról. Ennek megfelelően a fénysebességű forgás kvantummechanikáját úgy fogalmazzuk meg, hogy az valamennyi részecskére alkalmazható legyen, tehát valamennyi fermionra és bozonra. Evvel túllépünk Dirac felfogásán, aki az elektron mozgásának leírására törekedett.

Fotonok esetén a (2) egyenletből eltűnik a nyugalmi tömegtől származó tag, és a formula az E = pc alakra egyszerűsödik, amely alátámasztja, hogy az impulzushoz nincs szükség tömegre, az impulzus együtt jár a fénysebességű mozgással, annak következménye, attól származik. Ez az elv vihető tovább a nyugalmi tömegre, melyet fénysebességű forgásokra vezethetünk vissza, és ennek jellemzője a rejtett belső mozgás p₀ impulzusa:

E² = p²c² + p₀²c²                                                                                   (3)

Az egyenlet négyzetes struktúrája mutatja, hogy az összetevő két vektor szorzata eltűnik a négyzetre emeléskor. Ez összhangban van a forgási képpel, hiszen ekkor a két impulzuskomponens szorzata egyforma mértékben vesz fel pozitív és negatív értékeket, és így a teljes körforgásra összegezve a kereszttag kiesik, és csak a négyzetes tagok maradnak meg.

Operátorok és sajátértékek

A kvantummechanika formalizmusa szerint az energiát reprezentáló operátor:

E = ħi·∂/ ∂t

Az operátor jelleget kövér betűkkel jelöljük. Az energia lehetséges értékeit az operátor sajátérték egyenlete szolgáltatja:

EΨ(x,y,z,t) = EΨ(x,y,z,t)     azaz    ħi∂/ ∂t Ψ(x,y,z,t) = E Ψ(x,y,z,t)

Itt a kövér E betű jelöli az operátor jelleget. Ebben az általános esetben, amikor még nem írjuk fel az energiaoperátor konkrét alakját, amely a kinetikus és potenciális energia összege, a Ψ(x,y,z,t) állapotfüggvény időfüggéséről kapunk felvilágosítást:

Ψ(x,y,z,t) = Ψ₀(x,y,z)e^iωt

amelyhez az E = ħω sajátérték tartozik. A Ψ₀(x,y,z) állapotfüggvény kulcsszerepet játszik a kvantummechanikában, ennek segítségével határozhatjuk meg, hogy a kvantummechanikai objektum mekkora valószínűséggel tartózkodik a tér egy adott helyén , és ennek segítségével számítjuk ki az egyes fizikai mennyiségek várható értékét. Az ω körfrekvenciának folytonosan változó érték adható, és ennek megfelelően az energia is folytonos lesz, és nem vesz fel a priori diszkrét értékeket. Ennek alapja, hogy az idő folytonossága az energia folytonosságának záloga. Nem mond ennek ellent, hogy az atomokban kötött elektronokhoz diszkrét energia értékek tartoznak, mert ekkor az energiaoperátor kinetikus és potenciális energiára való felbontása már olyan kapcsolatot teremt, amely az egyébként folytonosan változó ω értékek közül diszkrét értékeket választ ki.  

A másik fontos fizikai mennyiség az impulzus, amelynek három komponensét a három térkoordináta szerinti differenciálhányados határozza meg:

p_x = ħ/i ·∂/∂x,   p_y = ħ/i ·∂/∂y,    p_z = ħ/i ·∂/∂z

Az impulzus operátorát a    

vektoroperátor réven írhatjuk fel tömörebb alakba   

A z irányban mozgó objektum p_z operátorának sajátfüggvénye e^ikz alakú lesz, ahol k a hosszúságegységre jutó hullámok száma, a hozzá tartozó impulzus pedig kħ nagyságú lesz. Foton esetén a c sebesség miatt a hullámszám k = ω/c, amiért az impulzus p = ħω/c, ami megfelel az impulzus és energia p = E/c arányának. Az impulzus az energiához hasonlóan folytonosan változik, ami viszont a térkoordináták folytonosságának következménye: a folytonos szerkezetű tér folytonos impulzusnak felel meg.

A kvantummechanikának van azonban egy olyan operátora, amely csak diszkrét értéket vehet fel, ez az impulzusnyomaték. Ennek oka, hogy a körmozgások fázisa 2π tartományra korlátozódik, szemben a végtelen kiterjedésű tér és időkoordinátákkal. Az atomok stacionárius pályán lévő elektronjait, akárcsak az elemi részecskék belső forgásait, nem láthatjuk, minden megfigyelés csak a teljes pályára, illetve a teljes forgásokra vonatkozik. A körforgások fázisa 2π elfordulás után ismétlődik, és a véges hosszúságú tartomány vezet el az impulzusnyomaték diszkrét értékeihez. Az impulzusnyomaték z komponensét a ϕ fázissal képzett differenciálhányados adja meg:

L_z = ħ/i ·∂/∂ϕ

Ennek sajátfüggvénye e^imϕ, a sajátérték pedig mħ lesz, ahol m egészszám. A fermionok belső gömbforgása viszont a fázistér 4π hosszúságú tartományát járja be, amiért az impulzusnyomaték feleződik, és m értéke az ½ értéket veszi fel.

A fénysebességű forgások modelljében a külső x,y,z koordináták mellett a belső x₀, y₀, z₀ koordinátákra is szükség van, amelyek révén felírhatjuk a belső mozgások impulzusoperátorát is:

A fenti operátorok segítségével már átírhatjuk a (3) kovariancia egyenletet. A behelyettesítések figyelemre méltó következménye, hogy az összefüggésből a ħ konstans már kiesik:

Ez a szerkezetében megejtően egyszerű egyenlet, amelynek jobb oldalán két Laplace operátor összege áll, rendkívül sokra képes, mert egyaránt alkalmazható az elemi részecskék minden típusára. Úgy tűnik, hogy a fizika mélyebb szintjei esztétikailag is szép és egyszerű matematikai formában állnak elénk.

Mit jelent az, hogy a (4) egyenletből hiányzik a Planck állandó, amely hordozza az energia kvantált jellegét is? Ez annak felel meg, hogy amíg csak a kinetikus energiáról van szó, nem beszélhetünk kvantáltságról, továbbra is a folytonosság birodalmában maradunk, és használhatjuk a klasszikus fizika módszertanát. A (4) egyenlet voltaképp a Maxwell egyenletekből is származtatható, amely az elektromágnesesség klasszikus egyenlete. Amíg nem lép be a számításba a potenciális energia, addig nem kapunk diszkrét energiaszinteket. A diszkrét energiaszintek megjelenése a kinetikus és a potenciális energia együttesétől származik, mert a potenciális energia vagy nem függ ħ-tól (például a gravitáció esetén), vagy arányos vele, szemben a kinetikus energia ħ² függésével. A Coulomb kölcsönhatás energiáját például e²/r kifejezés adja meg, viszont e² = αħc, ahol α = 1/137 a Sommerfeld állandó, emiatt lesz az elektromágneses kölcsönhatás ħ-val arányos.

A potenciális energiát nem tartalmazó (4) egyenlet megoldása szerint az energia folytonosan változhat, ennek felel meg, hogy foton esetén a p₀ saját impulzus bármekkora értéket felvehet: nincs olyan szabály, amely megkötné, és diszkrét értéket adna a foton frekvenciájának. Már más a helyzet a nyugalmi tömeggel rendelkező részecskéknél, így az elektron, müon, tau részecske jól definiált tömeggel és ennek megfelelő diszkrét sajátfrekvenciával rendelkezik. Ennek okára később még kitérünk.

A fotonok mozgásának kvantummechanikája

A fotonok zérus nyugalmi energiája miatt a (4) egyenlet második tagja nulla lesz, azaz

Ez a belső térkoordinátákban felírt Laplace egyenlet, amely fontos szerepet játszik a Maxwell egyenletekkel leírt elektromágneses tér tulajdonságainak leírásában is. Itt most a Ψ₀ függvény az állapotfüggvény szerepét tölti be, emiatt csak normálható függvények jöhetnek szóba, azaz a függvény abszolút értékének négyzete véges értékű lesz, ha a teljes térre integráljuk. Ennek tesznek eleget a Ψ₀ = e^if(x,y,z) alakú exponenciális függvények. Izotrop, tehát a három koordinátában szimmetrikus függvények, nem elégíthetik ki az (5) Laplace egyenletet. Ilyen például a gömb pontjait megadó r² = x² +y²+z² függvény, hiszen ha elvégezzük a differenciálásokat, akkor nullától különböző számértéket, mégpedig 6-ot kapunk.  Ha viszont a hengerszimmetrikus f = x² +y²-2z² függvényt deriválását végezzük el, akkor az eredmény már nulla lesz. A hengerszimmetrikus foton modell megfelel a fénysebességű forgások foton képének is. Szintén megfelel annak, hogy a foton spinje S = 1. A spin algebra játékszabályai szerint az S² = S_x² + S_y² +S_z² operátor sajátértéke S(S+1) =2, viszont az S_z² komponensé 1, amiért S_x² + S_y² sajátértéke együtt szintén 1-lesz, vagyis a három spinkomponens értéke nem lehet azonos, ami megfelel a hengerszimmetrikus f függvény felépítésének. Kimondhatjuk tehát, hogy a belső mozgások (5) Laplace egyenlete voltaképpen a foton spinjének eredetére ad magyarázatot.

Szintén a (4) kovariancia egyenletből következik, hogy fotonoknál az energia és impulzus arányos: E = pc, ami azt jelenti, hogy az energia állapotfüggvénye egyúttal az impulzus sajátfüggvénye is. A fentiekben bemutatott energia és impulzus sajátfüggvényekből így megalkothatjuk a foton állapotfüggvényét: e^iωt+ikz, ami viszont nem más, mint az elektromágneses hullámok elektrodinamikából jól ismert hullámegyenlete.

Nyugalmi tömeggel rendelkező fermionok

Ebbe a típusba tartoznak a már említett elektroncsalád tagjai, amelyekhez a fénysebességű forgások koncepciója gömbforgásokat rendel, a gömbfelület egyenlete pedig: r² = x² +y²+z². Ekkor a Laplace operátor nullától eltérő értéke már megfelel annak, hogy ezek a részecskék nyugalmi tömeggel rendelkeznek. A spin algebrára utalva itt ki kell emelni az S = ½ spin egyedülálló tulajdonságát, mely szerint a három spinkomponens négyzetének várható értéke egyaránt ¼, azaz teljesül az izotropia kritériuma is.

Gömbszimmetrikus belsőforgás tetszőleges frekvenciájú lehet, miért van, hogy mégis a természet kiemel három jól definiált frekvenciát, amely az elektron, a müon és a tau részecske belső frekvenciája? Erre már nem ad választ a (4) kovariancia egyenlet, a megoldást máshol kell keresni! Analógiának kínálkoznak az atomi gerjesztett elektron állapotok, melyeket az n fő és az L mellék-kvantumszámmal jellemezhetünk. Itt L a pálya kvantumszám, amely csak egész értékeket vehet fel a 0, 1, 2, …, n-1 tartományon belül. Ez a kvantumszám csak egész lehet, mert az egytengelyű pályaforgásokhoz csak a ħ impulzusnyomaték többszöröse tartozhat. Az elektronátmenetek alapszabálya, hogy L értéke eggyel változik meg fotonok kibocsátása, vagy elnyelése esetén. Ez felel meg az impulzusnyomaték megmaradási törvényének, hiszen a foton spinje S = 1. Ha a müont és a tau részecskét az elektron magasabb frekvenciájú gerjesztett állapotainak fogjuk fel, akkor közöttük az elektromágneses sugárzás nem hozhat létre átmenetet, mert az L kvantumszámmal analóg szerepet betöltő S spin mindhárom részecskénél ½ és így ΔS = 0.

A gyenge kölcsönhatás

 Szükség van ezért egy másfajta kölcsönhatásra, ez a gyenge kölcsönhatás. Ennek bozonja a szintén S = 1 spinű W részecske, amely gyökeresen különbözik a fotontól: van töltése, rendkívül rövid az élettartama, rendkívül rövid a hatótávolsága és a részecske világon belül óriási a tömege (80,395 GeV/c²). Ez a részecske sem tud az elektroncsalád tagjai között ΔS = 0 átmenetet létrehozni, ehhez szükség van még egy kisegítő részecskére, az S = ½ spinű neutrínóra is. A három részecske együttműködése már a spin algebra törvényeit betartva létrehozhatja a ΔS = 0 átmenetet, melynek során a tau lebomlik müonra, a müon elektronra.

A részecskefizika egyik legszebb felismerése, amely összeköti az elektromágneses és a gyenge kölcsönhatást, de ugyanúgy megteremti ezt a kapcsolatot a fénysebességű forgások koncepciója is, amely a fotont és W bozont egyaránt egytengelyű forgással értelmezi, de amíg a foton a forgástengely mentén terjed, a W bozonnál a mozgás a sugár irányában történik. Szemben a fotonnal, ahol a haladási irány párhuzamos a forgástengellyel, és ezért nem lép fel Coriolis erő, a W bozonnál merőleges a haladási irány a tengelyre, amely kiváltja a Coriolis erőt, és így töltése is lesz a részecskének. Az r = ct sugárirányú tágulás az rω = c szabály miatt lecsökkenti a frekvenciát, és evvel a tömeget, amely rövid idő alatt eltünteti a részecskét, egyezésben a megfigyelésekkel. A W részecskéhez pedig azért rendelhetünk tömeget – szemben a fotonokkal – mert a rövid élettartam miatt a részecske helyben marad, tehát van egy tértartomány, ahová elhelyezhetjük a tömeget. A részecskéket alkotó fénysebességű forgások centripetális erejét a görbült tér potenciális ereje tartja fogságban, van viszont a tér görbületének egy felső határa, ami korlátozza az elérhető frekvenciát. Ez az a frekvencia, amivel a W bozon rendelkezik. Ennek a határfrekvenciának létezése ugyanúgy a téridő szerkezeti tulajdonsága, mint a c fénysebesség állandósága. A W bozont alkotó forgás azonban nem maradhat fent, mert a frekvencia már elérte azt a kritikus határt, ameddig a tér görbülete képes kiegyenlíteni a centrifugális erőt. A nem kompenzált centrifugális erő – mint említettük – sugárirányban és c sebességgel növeli a sugarat, miközben a forgás frekvenciája, illetve a részecske energiája (tömege) fokozatosan csökken, mégpedig egy félfordulat alatt a csökkenés mértéke e^π = 23,14; míg egészfordulat során e^2π = 535,49 és másfélfordulatkor e^3π = 12391,65. (Lásd: A fénysebességű forgások koncepciója III. rész). A W bozon maradék energiája ezekben a fázisokban 3474,29 MeV; 150,1406 MeV és 6,4884 MeV. A félfordulatoknak kitüntetett szerepe van a W bozon bomlásakor az impulzusmegmaradás törvénye miatt, ennek oka, hogy a müon és tau részecske bomlását egy W bozon és egy neutrínó kilépése kíséri, és a két részecske kilépése ellentétes irányban történik. Erre az irányra kell visszatérni a bozonnak, hogy bomlásakor kiegyenlítse az előzetesen kibocsátott neutrínó impulzusát. Az impulzus visszaadására csak úgy kerülhet sor, ha az új részecske képzésekor a W bozon mozgási iránya megegyezik az eredeti képződési iránnyal. A neutrínókra jutó energia a tau részecske képződésekor 1702,43 MeV lesz, közel azonosan a tau részecske energiájával. Hasonló meggondolásból a müonhoz tartozó neutrínó energiája 44,44 MeV, az elektroné pedig 5,9774 MeV lesz.

Létezik tehát három különböző energiájú neutrínó, melyek energiája nagyságrendjében közel áll az elektroncsalád tagjaihoz. Az energiához tartozó tömeg azonban nem tekinthető nyugalmi tömegnek, mert a megfigyelések szerint a neutrínók sebessége a hibahatáron belül egyezik a fény sebességével, azaz ki kell zárnunk azt a lehetőséget, amire pedig a neutrínó oszcilláció jelenségét alapozzák, mely szerint a neutrínók közötti különbséget valamilyen parányi tömeg okozza. A neutrínók impulzusának eredete a fotonhoz hasonló: bár a nyugalmi tömeg nulla, de a fénysebességű mozgás révén mégis létrejön az impulzus, amely eltérő a neutrínó család három tagja esetén. A foton és neutrínó közötti eltérés a spinen kívül abban is megmutatkozik, hogy amíg a foton impulzusa folytonosan változó értékű lehet, a neutrínók csak három diszkrét nagyságú impulzussal rendelkeznek.

Hasonlítsuk össze a neutrínók energiáját az elektroncsalád megfelelő tagjaival MeV egységekben kifejezve:

A táblázatból látható, hogy tau részecske és müon esetén a neutrínó kibocsátáshoz elegendő energia áll rendelkezésre, ez nem tehető meg viszont az elektron esetén, ahol a neutrínó energiája jóval nagyobb az elektronénál. Ez magyarázza, hogy a tau részecske és a müon instabil és spontán módon átalakul, szemben a stabilis elektronnal. Meggondolásunk további konklúziója, hogy az elektroncsaládnak csak három tagja lehet, amelyek eredete a W bozon bomlásának három fázisához kötődik.

Arra a kérdésre viszont még nincs válaszunk, hogy mi határozza meg a három neutrínó impulzusát, azaz energiáját, amely fontos szerepet játszik a neutrínó oszcilláció jelenségében is. Úgyszintén a gyenge kölcsönhatás felelős a béta bomlásért, amely úgy alakítja át a neutront protonná, hogy a neutron egyik d kvarkja átalakul u kvarkká, amelynek során kibocsát egy W bozont és egy neutrínót is. A standard modell renormált tömeget rendel a kvarkokhoz, mert ezek a részecskék nem léteznek szabadon. A renormált tömegekkel lehetett reprodukálni a három kvarkból felépülő barionok és a kvark-antikvarkot tartalmazó mezonok (közös néven hadronok) tömegét, ahol a kvarkok tömegének összege adja ki a különböző hadronok mért tömegét. Ez az elv vezetett arra, hogy az d kvark tömege 4,3 MeV, ami azonban kisebb annál, hogy lehetőség legyen neutrínó kibocsátására. Vitatható azonban a szokásos renormálási módszer, amely összeadja a kvarkok tömegét. Ugyanis a hadronokban az egyes kvarkok tömegét szintén belső mozgásuk impulzusa hozza létre, márpedig vektorok összegzése négyzetes szabályhoz vezet. Ha a négyzetes összeadás elvét alkalmazzuk, jobban lehet a hadronok tömegét értelmezni, mint amit a Standard Modell számításai elértek, lásd a „Barangolás a kvarkok és elemi részecskék világában” című bejegyzést. Ezek a számítások jóval nagyobb renormált tömeget adnak a d és u kvark számára: 122 illetve 61 MeV.  Emiatt elegendő az energia neutrínó kibocsátásához, ami magyarázza a d kvark instabilitását. (A W bozon kibocsátása virtuális folyamat, amely átmenetileg felfüggeszti az energiamegmaradás törvényét, viszont a neutrínó kilépés valódi megfigyelhető jelenség, amire már érvényes a törvény.)

Néhány szót még a gyenge kölcsönhatás semleges Z bozonjáról. Ennek megfigyelése buborék kamrában történik, amelyben neutrínó sugárzás hatására egyes elektronok hirtelen nagy impulzusra tesznek szert. Ennek forrása a neutrínók rugalmas ütközése elektronokkal, amit a semleges Z bozon közvetít. A Z bozon a kétféle kiralitású egytengelyű forgás szuperpozíciós állapota, melynek energiája (90,2 GeV) meghaladja a töltéssel rendelkező –l  tehát tiszta királis állapotú – W bozonét is. A királis szimmetria szuperpozíciója töltés semlegességet idéz elő, de a tömeg – pontosabban a képződési energia – megmarad, sőt meg is növekszik. Ez is arra utal, hogy eltérően a szintén királisan semleges neutrínótól, egytengelyű forgások alkotják a Z bozont is, amely rövid élettartama miatt nem tud a képződési helytől eltávolodni.

Részecskemozgás elektromágneses mezőben

Az elektromágneses hatást két részre bonthatjuk: egy sztatikusra, ez a Coulomb erő és egy dinamikusra, ez a mágneses mező által létrehozott Lorentz erő. Az előbbi a q töltésre ható skaláris potenciállal: qΦ(x,y,z), az utóbbi a qA(x,y,z) vektor potenciállal adható meg az energia kifejezésekben. (Itt a vastag A betű a vektor jellegre utal, ennek három komponense van:  A_x, A_y és A_z). Elektromágneses erőmezőben mozgó részecskék esetén evvel a két potenciális energiával kell kiegészítenünk akár a (2), akár a (3) kovariáns energia formulát. A skaláris mennyiségek összeadódnak, szemben a vektoriális komponensek négyzetes összegzési szabályával, amiért eltérő módon kell kezelni a skaláris és vektoriális potenciált. A vektoriális tagot közvetlenül hozzáadhatjuk az impulzushoz, de a négyzetes tagok összegéből először négyzetgyököt kell vonni, hogy hozzáadhassuk a skalár potenciált. A Dirac egyenlet kiindulópontja:

A fénysebességű modellben ezt kissé kibővítjük:

Ez a fénysebességű forgás koncepciójában a részecske energiaoperátora, ha elektromágneses mező is jelen van. Itt a q töltést és a p₀ saját impulzust a belső térben történő mozgás szimmetriájából származtatjuk. Ez az egyenlet már valamennyi elemi fermionra, így az elektron, a neutrínó és a kvark típusú részecskékre is kiterjed. A q töltésre úgy kell tekinteni, mint a q töltés operátor várható értékére, amelyet a szóban forgó részecske belső mozgását leíró Ψ₀ állapotfüggvény segítségével adhatunk meg. Ez az állapotfüggvény az x₀,y₀,z₀ koordinátákon kívül még további kétértékű spinor terektől függ. A spinor terek fellépése a négyzetgyökvonás két lehetséges előjeléből fakad, és a Pauli mátrixokkal írhatók le:

A Pauli mátrixok négyzete az egységmátrix, ezért a σ mátrix fenti három komponensét a térirányok egységvektorának választhatjuk. Evvel írjuk le azt a matematikai szabályt, hogy a négyzetes x² + y² +z² kifejezés nem változik, ha az egyes koordináták előjelét megfordítjuk. Konvenciószerűen a z komponens különíti el a négyzetgyökvonás + és – előjelét.

A (6) egyenletben szereplő négyzetgyökvonást Dirac úgy végezte el, hogy négydimenziós spinorokat vezetett be, amely többek között megalkotta a spin fogalmát, amely az S = ½σ összefüggéssel adható meg. Ha z irányú mágneses mezőt alkalmazunk, akkor az elektron állapota két nívóra bomlik az S_z operátor két sajátértékének megfelelően, ez a Zeeman felhasadás. Dirac módszerét úgy általánosítjuk, hogy nem négy, hanem 8 dimenziós spinorokkal végezzük el a felbontást, ami behoz egy új kettősséget, amely leírja a jobb és balsodrású részecske állapotokat is (Lásd: „A Dirac-egyenlettől az általános Fermion egyenletig”). Ennek lényege, hogy amikor megfordítjuk z irányát, akkor az xy síkhoz képest a felfelé mutató irányt váltjuk fel a lefelé menővel. Ez fejeződik ki a σ_z Pauli mátrix két diagonális elemének ellenkező előjelében. A fénysebességű forgások koncepciójában a fermionok kettős forgást végeznek, és a relatív sodrásirány határozza meg a jobb- vagy balkéz szimmetriát, amely magyarázza az anyag és antianyag kettős világát, valamint az elektron és pozitron töltésének ellentétes előjelét. Nem csak a töltés vált azonban előjelet, hanem a tömeg is, ami annak felel meg, hogy a pozitív tömegű anyag és a negatív tömegű antianyag találkozáskor annihilál, és nulla nyugalmi tömegű fotonok keletkeznek. A negatív tömeg azonban nem jelentkezik sem a gravitációban, sem az erővel szembeni tehetetlenségben, mert az anyag és antianyag a téridőben azonos görbületet idéz elő, ami egyrészt a gravitációs vonzás alapja, másrészt meghatározza a gyorsítással szembeni ellenállást.  Viszont az energia és tömeg ekvivalenciáját jobb a szokásos E = mc² formula helyett az E² = m²c⁴ összefüggéssel jellemezni, amely ebben a négyzetes formában szerepel a (2) kovariancia törvényben is.

A neutrínó története

Részecskevilágunk azonban nem áll meg itt, megengedi a kevert királis állapotokat is. Ezt fogalmazhatjuk meg a σ_x Pauli mátrixszal: ennek irányában a két királis állapot azonos súllyal rendelkezik, ekkor a két töltés kioltja egymást, a töltés nulla lesz. Ennek felel meg a neutrínó. Viszont nem csak a töltés tűnik el, hanem a tömeg is. A fénysebességű forgás koncepciójában a töltés és tömeg egyaránt eltűnik, mindkettőt a kettősforgás kiralitása határozza meg. A σ_x mátrix diagonális elemei nullák, ez fejezi, hogy nulla a tömeg várható értéke, de eltérően a fotontól p₀² mégis különbözik nullától, hiszen σ_x² egységmátrixot alkot. Tehát a neutrínónak van saját impulzusa és így saját energiája is, amiért a Laplace operátor izotrop S = ½ megoldása lesz irányadó, hasonlóan a nyugalmi tömeggel rendelkező részecskék esetéhez. Viszont a nyugalmi tömegtől megszabadulva a neutrínó már c sebességgel fog mozogni, ami megfelel a kísérleti tapasztalatoknak. Visszatérve a tömeg létezésének feltételére, bár a neutrínó gömbfelülete véges tértartományt alkot, nyugalmi tömegről még sem beszélhetünk, mert a részecske nincs nyugalomban, hiszen keletkezésétől a megfigyelés pillanatáig fénysebességgel halad.

A neutrínókról információt két módon szerezhetünk: amikor képződik, például a neutron bétabomlásakor, és amikor megfigyeljük, ahogy a protont átalakítja neutronná. Mindkét esetben a gyenge kölcsönhatás hozza létre a reakciót. Ez azt jelenti, hogy a neutrínóról alkotott képünk a gyenge kölcsönhatás jelenléte esetén érvényes, amikor is a királis térben bekövetkező polarizációt az x₀ irányú gyenge kölcsönhatási mezővel írjuk le. A gyenge kölcsönhatás energia operátora nem kommutál a tömeg és töltés operátorokkal, ami a kvantummechanika nyelvén azt jelenti, hogy a tömeg és töltés várható értékét operátoraik diagonális elemei adják meg, ezek viszont nullák a σ_x mátrixban, azaz a tömeg és töltés a neutrínó esetén eltűnik. Bétabomlás esetén a gyönge kölcsönhatási mezőt a nukleonok hozzák létre, de a távozó neutrínók útja során nem tudhatjuk, hogy van-e valamilyen belső erő, amely a neutrínók közötti oszcillációhoz vezet.  Ez a kérdés azért vár válaszra, mert a csillagokból a vártnál jóval kevesebb neutrínó érkezik a Földre.

Térjünk még vissza a gyenge kölcsönhatásnál tárgyalt semleges Z bozon esetére. A két királis bozon szerkezet szuperpozícióját és a bozon megnövelt képződési energiáját szintén a királis tér x₀ irányában ható gyenge kölcsönhatási mezője hozza létre, hasonlóan ahhoz, ahogy ez a neutrínónál is történik.

A kvarkok története

Hadronok belsejében további kevert királis állapotok is létrejönnek az erős kölcsönhatás révén. Szabad kvarkok nem figyelhetők meg, mert nem jut ki az erős kölcsönhatás hatóköre a hadronokon kívüli tértartományba. A királis téren belül az erős kölcsönhatásnak két irányító vektora van, az egyik olyan arányban keveri a töltés és tömeg operátorok σ_z és σ_x komponenseit, ami ±1/3, illetve ±2/3 töltésnek felel meg, ezek az d illetve u típusú kvarkok. Valódi, mérhető tömeget nem lehet a kvarkokhoz rendelni, amely összefügg avval, hogy kvarkok esetén sem a nyugalmi tömeg, sem a belső impulzus nem nulla, a kettő ötvözete alakítja ki a részecske tömegét, az u és d kvarkok közötti fő különbség a két járulék arányában van.

A kvarkok kromodinamikai mezőelmélete 8 gluon kombinációval magyarázza az erős kölcsönhatást. Elképzelhető, hogy a szimmetrikus gluon kombinációk feleltethetők meg az egyik, az antiszimmetrikus gluon kombinációk a másik irányító vektornak. De ez csak sejtés, nincs rá bizonyíték.

Vessük még össze a részecskék három típusának tulajdonságait a királis szimmetria által kifeszített térirányok szerint, az ábrán szintén szemléltetjük a különböző részecske generációk energiaviszonyait is. Kvarkok esetén csak az első generációs u és d szerepel az ábrán. A részecskék helyzetét az antirészecskékhez viszonyítva a vízszintes tengelyre való tükrözés mutatja meg.

Összefoglalás

A Standard Modell valamennyi részecskéjét fénysebességű forgások és haladó mozgások kombinációjával írjuk le, amelyben a belső mozgások szimmetriaviszonyai tükrözik a részecske tulajdonságokat: a töltést, a tömeget és a spint. A szimmetriák kialakításában és összekapcsolásában kulcsszereplő a gyenge és az erős kölcsönhatási mező. A modell hidat teremt a klasszikus és kvantumfizika között, és új értelmezést ad az anyagok hullám és részecske természetének.

A blog további bejegyzései elérhetők: Paradigmaváltás a fizikában