A kölcsönhatások egységalkotó szerepe
Gondolkodásunk eredeti bűne az egész szétválasztása, ezt próbáljuk jóvátenni a kölcsönhatások által. A kölcsönhatás fejezi ki az összetartozást, a szétválasztott elemek egységét. A Nap, a Föld és a többi bolygó összetartozik, az egységet közöttük a gravitáció teremti meg, összetartozik az atomban az elektron és az atommag is, az egységet az elektromágneses kölcsönhatás valósítja meg, az atommag és a nukleonok egységét az erős kölcsönhatás hozza létre, az egymásba alakuló elemi részecskék összekötő ereje a gyenge kölcsönhatás.
Okság és erő
A tudomány az okok és okozatok kapcsolatát keresi, amikor megalkotja törvényeit. A fizika – mindenekelőtt a mechanikában – az okot erőnek nevezi, amely a testeket mozgásba hozza és átalakítja. Az okozat, az eredmény, a mozgások kinetikus energiája. De az erőnek is van forrása, okozója, ezt nevezi a fizika potenciális energiának. A mozgás ebben a felfogásban úgy fogható fel mint körfolyamat, amely a potenciális energiából indul és eljut a kinetikus energiához: amennyit a potenciális energia csökken, annyi mozgási energiára tesz szert a test. A folyamat azonban megfordulhat, amikor a mozgási energia csökkenése halmozza fel a potenciális energiát. Erről van szó, ha feldobunk egy követ, amely egyre magasabbra lendül, de közben a sebessége csökken, majd megáll és megindul lefelé, ekkor már a potenciális energia megy át mozgási energiába. Körmozgásokban, rezgésekben és oszcillációkban ez a körfolyamat ismétlődik meg, melynek aranyszabálya az energia megmaradás törvényében fejeződik ki. Az energia segítségével az állandóságot keressük a változásban.
A pillanat törvénye: a Newton egyenlet
De kiindulhatunk a pillanatból is, ekkor a mozgást az erőre vezetjük vissza: az erő a mozgás megváltoztatója, amit a sebesség megváltozásával, azaz a gyorsulással fejezünk ki. Ezt a kapcsolatot fogalmazta meg Newton második törvényében, mely szerint a gyorsulás arányos az erővel, és ennek mértékét a test tehetetlensége, a tömeg határozza meg:
Erő = a tömeg és a gyorsulás szorzata, azaz: F = m·a
Mondanivalónk lényegét a térbeliség három iránya nem érinti, ezért a könnyebb áttekinthetőség kedvéért csak egy dimenziót emelünk ki, amit a z koordinátával jelölünk. Ekkor z irányú v = dz/dt sebességet és F(z) erőt feltételezve írhatjuk fel a Newton egyenlet differenciális alakját:
(1a)
Az erő nem általában a sebességet, hanem konkrét testek sebességét – más szóval mozgásmennyiségét – változtatja meg, amit a p = mv impulzus változásával fejezünk ki. Ennek egyenlete az m tömeg időbeli állandósága miatt:
(1b)
Az erő tehát azonos az általa létrehozott mozgásmennyiség változási sebességével. Mechanikában az erő generátora a V(z) potenciális energia térfüggése: minél nagyobbat változik a potenciális energia egységnyi távolságon belül, annál nagyobb az erő. A vektoralgebrában ezt a gradiens fejezi ki, esetünkben elég ennek egy komponense, a z szerinti differenciálhányados:
(2)
Ez az erő a gyorsulás révén ad sebességet a fizikai objektumnak, amely ezáltal
(3)
mozgási (kinetikus) energiára tesz szert. A (3) egyenlet azt is feltünteti, hogy a kinetikus energia a p impulzusból is származtatható.
Az energiamegmaradás törvénye szerint a potenciális és kinetikus energiák összege állandó, azaz
(4)
Energiamegmaradás és erőtörvény
A (4) energia és a (2) erőegyenlet nem két különböző fizikai törvény, hanem két egymásból levezethető matematikai összefüggés, melyeknek csupán matematikai alakjuk különbözik: az erőtörvény differenciális, az energiatörvény integrális alakú. Ez azt jelenti, hogy az erőtörvény integrálásával eljuthatunk az energiatörvényhez, illetve az energiatörvényből differenciálás útján előállíthatjuk az erőtörvényt. Nézzük az utóbbi esetet, és képezzük a (4) egyenlet d/dz differenciálhányadosát! Ennek kulcslépése a közvetett függvények differenciálási szabályait alkalmazva:
(5)
Az (5) átalakítási szabály alapján és figyelembe véve az erő (2) alatti definícióját, látható, hogy a mechanikai energia megmaradási törvénye ekvivalens az erőtörvénnyel. Más szóval a gyorsulás erővel való arányosságából következik, hogy a mozgási energia az ½mv2 kifejezéssel adható meg.
Közeghatás
Amikor a test mozgását valamilyen fizikai közegben vizsgáljuk, figyelembe kell vennünk a közegellenállást, vagy a súrlódást. Ennek felel meg mozgásegyenletünkben a sebességgel arányos erő fellépése. Az (1) Newton egyenlet szigorúan véve csak vákuumban írja le helyesen a mozgást, amely például egy elhajított kő esetén parabola pályának felel meg. A levegő ellenállása miatt azonban a kő ballisztikus pályát ír le, mert a mozgás során hő termelődik részben a kő hőmérséklete, részben a levegő hőmérséklete emelkedik meg. Az erőegyenlet megváltozása módosítja az energiamegmaradás törvényét is, a mechanikai energia mellett fellép a hőenergia is.
Relativitáselmélet és kovariancia
A jelenség már a termodinamika tárgya, de mi maradjunk meg a mechanikánál, és vessük fel a kérdést, hogy mi a kapcsolat az erőegyenlet és az energiaegyenlet között a relativitáselmélet esetében.
A relativitáselmélet mozgásegyenlete a kovariancia törvény, amelyben a kinetikus energia kifejezése megváltozik:
(6)
A relativisztikus hatás módosítja a kinetikus energia és az impulzus kapcsolatát a klasszikus (3) összefüggéshez képest. Az impulzust alkotó tömeg azonban nem azonos a nyugalmi tömeggel, hanem nagyobb annál. Ennek értékéhez úgy juthatunk, ha a tömeg-energia ekvivalencia törvényét vesszük alapul, mely szerint EKin = mc2, és négyzetre emeljük a (6) egyenletet:
(7)
Az egyenlet átrendezésével kapjuk, hogy
(8)
A (8) összefüggés szerint véges nyugalmi tömeggel rendelkező test nem érheti el a fénysebességet, mert ahhoz végtelen mozgási tömeg, illetve impulzus tartozna. Foton arra példa, hogy a nyugalmi tömeg nélküli fénysebességű mozgás is rendelkezik energiával és impulzussal, ahol előbbi hf, az utóbbi h/λ = hf/c (f a frekvencia és λ a hullámhossz). Ebből az következik, hogy a foton energiája és impulzusa (mozgásmennyisége) arányos egymással:
E = pc (9)
Ez az arányosság tehát a fénysebességű mozgás velejárója, ami megfelel a kovariancia törvénynek is. Ez azonnal látható, ha a nyugalmi tömeg járulékát elhagyjuk a (6) alatti kifejezésből. A kovariancia törvény összhangban van a mozgási energia klasszikus (3) alatti kifejezésével is, amikor a sebesség kicsi a c fénysebességhez képest. Sorfejtést alkalmazva, elhagyva a magasabb rendű tagokat, és m = m0 közelítést alkalmazva:
(10)
Itt a kinetikus energia csupán egy konstansban különbözik a klasszikus kifejezéstől, ami azonban nem játszik szerepet a mozgás erőegyenletének számításában, hiszen deriváláskor eltűnik.
Miért négyzetes az energia kifejezése?
Induljunk ki, abból a plauzibilis feltevésből, hogy a mozgási energia teljes egészében mozgásokból származik. Ez azt jelenti, hogy még a nyugalmi energia mögött is valamilyen rejtett, belső mozgást keresünk. Ez a mozgás rejtett, erről nem szerezhető közvetlen információ, viszont ez határozza meg a részecskék tulajdonságait, így a tömeget, a töltést és a spint.
A relativisztikus mozgási energia (6) alatti kifejezése megfelel annak, amikor egy derékszögű háromszög egyik befogója pc, a másik m0c2 és átfogója a kinetikus energia. Hogyan adhatunk ennek szemléletes értelmet? Ha összeadunk két vektort, legyenek p és p0, akkor eredőjük négyzete p2 + 2p·p0 +p02 lesz (a vastagbetű jelzi a vektorjelleget). Ha p0 minden irányt egyenlő valószínűséggel felvehet, akkor a p·p0 szorzat átlaga eltűnik és csak a két négyzetes tag marad meg. Ennek megfelelően úgy értelmezhetjük az E0 = m0c2 nyugalmi energiát, amely a fotonhoz hasonlóan egy belső p0 impulzus és a c fénysebesség szorzatával adható meg: E0 = p0c. A külső és belső impulzus szorzata viszont akkor tűnhet el, ha a részecskét olyan fénysebességű forgás alkotja, amely befutja egy gömb minden irányát. Ez a modell kézenfekvő magyarázatot ad a relativisztikus kinetikus energiára, értelmezve, hogy miért két négyzetes tagból épül fel.
E helyen most nem foglalkozunk a spinnel és a töltéssel, amelyek szintén jól értelmezhetők fénysebességű forgásokkal. Nézzük viszont meg, hogy a kovariáns kinetikus energia hogyan kapcsolódik a newtoni erőegyenlethez.
A relativisztikus erőegyenlet
Milyen a kapcsolat a relativisztikus energiatörvény és erőtörvény között? Ennek tisztázásához a (6) alakú kovariancia kifejezést kell a z koordináta szerint deriválni. A számítást megkönnyíti, ha p2 deriválásához a (8) egyenletből származtatható összefüggésre támaszkodunk:
(11)
A deriválási lépések végeredménye
(12)
alakban írható fel. Ezt a (12) alakú mozgásegyenletet kell használni, ha a testek mozgási pályáját az eredeti inerciarendszerben írjuk le, és az erőt továbbra is a (2) egyenletből határozzuk meg. Viszont áttérhetünk a kiindulási rendszerhez képest v sebességgel mozgó inerciarendszerre, melyben a Lorentz transzformáció szerint: 
és
, és bevezethetjük az m relativisztikus tömeget a (8) egyenlet alapján. Ekkor az erőegyenlet már a szokásos alakú lesz:
(13)
A transzformált inercia rendszerben tehát az erőegyenlet pontosan megfelel a Newton törvénynek, melyben viszont a transzformált tömeg adja meg a test tehetetlenségét. Az erő is megváltozik, mert a potenciális energiát is z’ szerint kell deriválni: . Más szóval az erő és gyorsulás arányossága a relativitáselméletben is érvényes marad, ha az erőt, a tömeget és a gyorsulást egyaránt transzformáljuk.
A speciális relativitáselmélet látszólagossága
De tényleg megnövekszik a nagy sebességű test tömege, tényleg rövidebb lesz a rúd, ha a haladási iránnyal párhuzamos? Ennek ellentmond a kölcsönösség! Ha egy nagy sebességű űrhajó elhalad felettünk, akkor a rúd hosszát mi rövidebbnek látjuk, de ugyanezt látja az űrhajós is: szerinte a mi rudunk a rövidebb. Hasonló a helyzet a tömeggel is: mindig a másik tömege lesz nagyobb. A jelenség a prizma fénytöréséhez hasonló: ha egy rudat prizmán át nézünk, akkor a szögben hajló felületeken át a fény útja kétszer megtörik, és a túloldalon levő rúd iránya elfordul, és vetülete emiatt rövidebbnek látszik.
Ilyen elfordulást hoz létre a nagy sebesség is, ekkor a tér irányú vetület fordul el az idő irányába. Az elfordulás itt is kölcsönös, emiatt látszik a másik rúdja rövidebbnek, és ez magyarázza a látszólagos tömegnövekedést is. A Newton által megfogalmazott törvény a gyorsulással köti össze az erőt, de a gyorsulásnál közömbös, hogy mekkora a tényleges sebesség, csak a sebesség különbsége számít. Ez van összhangban a relativitáselmélet ekvivalencia elvével: nincs kitüntetett inerciarendszer, nem mondhatjuk meg, hogy mekkora az abszolút sebesség, mert ennek értéke attól függ, hogy milyen inerciarendszerből nézzük a test mozgását. Az ekvivalencia valódi oka, hogy elhanyagoljuk a kölcsönhatást az összehasonlított rendszerek között. Amikor a rúd Lorentz kontrakcióját megfigyeljük, a két rendszer között nem jön létre olyan erőhatás, amely egységbe kötné a két részt, ekkor a két rendszer egymástól teljesen független marad. Ha viszont a mozgás valamilyen közegben megy végbe, ahogy például a golyó száguld a levegőben, akkor belép a közeg sebességgel arányos lassító hatása. Többé már nem beszélhetünk tetszőleges sebességről: a levegő és a golyó kölcsönhatása egységbe forrasztja a két komponenst, és ez tükröződik a megváltozott mozgásegyenletben, és ezt veszi figyelembe az energiaszámításnál a hőenergia.
A gravitációs térgörbület valóságossága
Amíg a speciális relativitáselméletben a rúd kontrakciója és a tömeg növekedése csak látszólagos jelenség, egyfajta prizmahatás, mert nincs szó olyan erőhatásról, amely összekötné a különböző rendszereket. Más a helyzet viszont a gravitációs tértorzulással, mert a tér görbülete kölcsönhatást hoz létre az objektumok között, és emiatt ezek a testek már szétválaszthatatlan egységet alkotnak. A Nap, a Föld és a többi bolygó a Naprendszer viszonylagos önállósággal rendelkező égi objektumai, de mozgásuk a Tejúton belül már összefonódik, és a tér, amelyben mozognak, tömegük által ténylegesen deformálódik. A speciális relativitáselmélet csak a látszat fénytörése, de az általános elmélet már eljut valóságos változások feltárásához az összekötő erők egységbe forrasztó hatása miatt.
További bejegyzések: "Paradigmaváltás a fizikában"
