A mozgás fogalomváltozása a mikrofizikában

Pálya, állapot és szimmetria

A mikrofizika által nyújtott információk korlátozottsága megköveteli szokásos fogalomrendszerünk átalakítását. Ennek keretében juthatunk arra a következtetésre az előző írásban, hogy az anyag és a mozgás viszonyát újra kell értelmezni. Amíg a makrovilágban elérhető információ alapján az anyag az elsődleges a mozgáshoz képest, a mikrovilág legapróbb objektumainak, az elemi részecskék természetének megértéséhez, már olyan fogalmi rendszer rendelhető, amelyben a mozgás egy specifikus formája, a fénysebességű forgás, válik elsőbblegessé mint az anyag teremtő mozgása. Ebben az írásban arra térek ki, hogy az atomokat felépítő belső mozgásokban hogyan kell átalakítani a mozgás és a tér fogalmát, hogy az megfeleljen az atomok és molekulák által nyújtott információ természetének.

Klasszikus pályamozgás és a kvantumállapot

Kiindulópontunk Newton óta, hogy a testek mozgása tetszőleges pontossággal nyomon követhető és az objektumok helyzetváltozását az idő folytonos függvényével írhatjuk le. Így jutunk el a pálya fogalmához. De milyen információ érkezik hozzánk arról a folyamatról, amikor atomokban az elektron végzi mozgásait? Amíg nem történik változás a mozgás szerkezetében az elektron nem látható, csak arról szerzünk tudomást, ha ugrást végez két állapot között. Ekkor a híradás a kibocsátott, vagy elnyelt fotonok megfigyelésének köszönhető. Az elektron mozgási pályáját tehát nem tudjuk nyomon követni, és ezért előtérbe kerül az állapot fogalma a mozgási pálya megadása helyett. Azt a pályát, amit nem láthatunk, nevezzük stacionárius állapotnak Bohr javaslatát követve. A stacionaritás azt jelenti, hogy nincs információnk az elektronmozgás időbeliségéről, viszont gondolkodásunk az időn alapul, emiatt könnyen kerülünk paradoxonok csapdájába, amikor az időbeliség elvesztése miatt át kellene térni egy másfajta gondolkodásra, amelyben a mozgási pályák helyett csak mozgási állapotokról beszélhetünk. Ez nem csak az elektron mozgására vonatkozik, hanem az atommagok szerkezetére is a radioaktív elemek bomlásakor. Nem tudjuk, hogy az atommagban milyen mozgásokat végeznek a protonok és neutronok, csak azt vesszük észre, hogy változás történt a mozgási állapotban, amikor a radioaktív elem átalakul. Hasonló a helyzet a molekulavibrációk esetében is. amíg egy rúgó rezgését pontról pontra követhetjük, a molekulavibrációknak csak az eredményét látjuk, amikor vonalak, vagy sávok jelennek meg bizonyos frekvencián a vibrációs állapotok közötti ugrások következtében. A mozgás időbeliségének elvesztése a részecskéket alkotó fénysebességű forgásokra is vonatkozik, valójában ez a mozgásforma is állapotként értelmezhető.

A felsorolt valamennyi esetben mikroobjektumok mozgásáról van szó, vagyis továbbra is jelen van a mozgás, de ehhez már más fogalom tartozik, amikor is az idő hiányában belép egy új dimenzió. A mozgás térbelisége továbbra is fennmarad, amit már az új dimenzió függvényében vizsgálunk. Ez az új dimenzió a valószínűség. A klasszikus mechanika szemszögéből nézve a valószínűség gyakoriságot jelent. A mozgási állapotot úgy jellemezhetjük, hogy a mikroobjektum milyen gyakran juthat a különböző tértartományokba. vagyis a teljes mozgási pályán belül mekkora az egyes pozíciók előfordulási gyakorisága.  A mikrovilág szempontjából úgy foghatjuk fel a valószínűség belépését, mint találgatást. Vajon a mozgási pálya lefutásának ismeretlensége miatt mekkora súllyal található meg a vizsgált részecske a tér egyes pontjaiban? A valószínűség megjelenése tehát nem az alkalmazott matematikai eljárás következménye, amikor a fizikai mennyiségeket többé nem függvényekkel írjuk le, hanem operátorokkal, amelyek a mozgási állapotot függvényeit transzformálják át egymásba. Az egyes fizikai mennyiségek számértékéhez úgy jutunk el, hogy keressük azokat a függvényeket, melyeket az energia, impulzus illetve impulzusnyomaték operátora önmagába transzformálja egy konstans szorzótól eltekintve (ezt a szorzót nevezzük az operátor sajátértékének, míg az önmagába transzformált függvény a sajátfüggvény). Az energiaoperátor sajátfüggvénye különleges szeret játszik, ez a vizsgált kvantummechanikai rendszer állapotfüggvénye. A klasszikus mechanika pályái és a kvantummechanika állapotai között a különbséget úgy is megfogalmazhatjuk, hogy az előbbi a mozgás egymásutániságát adja meg, míg az utóbbi a mozgás egymásmellettiségéről szól.

Foton a kvantumfolyamatok alapja

Atomokban kötött pályán mozgó elektronok esetén a különböző pályákhoz diszkrét ugrásokban változó energia tartozik.  A diszkrét jelleg oka, hogy a pályamozgás impulzusnyomatéka diszkrét értékeket vesz fel, mégpedig ez a redukált ħ Planck állandó egészszámú többszöröse lehet. Mi ennek fizikai oka? Ennek oka a fény kvantumának, a fotonnak, szerkezetében rejlik. Ugyanis a foton vezérli az elektron mozgásai! Az elektron mozgási állapotának minden egyes változását foton kibocsátás, vagy elnyelés okozza. Amíg az elektronra nem hat külső erő, egyenletes sebességű mozgást végez, amihez nem tartozik külső impulzusnyomaték. Ha azonban pozitív töltésű atommag vonzáskörzetébe kerül, ez letéríti az egyenes vonalú pályáról a mozgást, amit foton kibocsátás illetve elnyelés kísér. Minden ilyen változás a foton ħ nagyságú impulzusnyomaték változása által megy végbe. Végül az elektron csapdázódik az atomban egészszámú foton kibocsátás és elnyelés után, ami megköveteli, hogy az atomban kötött elektronok impulzusnyomatéka ħ egészszámú többszöröse legyen. Az impulzusnyomaték diszkrét nagysága pedig az elektronmozgás számára diszkrét energiaértékeket jelöl ki. Vagyis az elektronok diszkrét energianívóit ne tekintsük a részecske a priori tulajdonságának, hanem a fotonok mozgást szabályozó, illetve közvetítő szerepének.

Hogyan realizálódik ez a tulajdonság a kvantummechanikai formalizmusban? Ennek kulcslépése, hogy az energia, impulzus és impulzusnyomaték operátorát a foton fizikai tulajdonságaira vezetjük vissza! Például a foton energiája E = ħf = ħ/T (T a periódus idő). Az energiát úgy értelmezi a fizika, mint ami nem változik a mozgás során. Az időbeli állandóság matematikai kérdőszava viszont a d/dt időszerinti differenciálhányados. A foton energiájából átvéve 1/T együtthatóját, azaz ħ-t, kapjuk meg a ħd/dt energiaoperátort. Ezt még technikai okokból az i imaginárius egységgel kell szorozni, de ez már csak matematikai részletkérdés. Hasonló elv alapján – szintén a foton tulajdonságaira alapozva – jutunk el az impulzus illetve impulzusnyomaték operátorához is. Az energiamegmaradás szokásos egyenletébe helyettesítve a megfelelő operátorokat kapjuk meg a kvantummechanika alapegyenleteit, a Schrödinger illetve Dirac egyenletet a nem-relativisztikus, illetve relativisztikus mechanikában. Az egész kvantummechanika tehát nem más, mint a fotonok által vezérelt elektronmozgások matematikai megfogalmazása.

Diszkrét kvantumállapotok

Az energiaoperátor sajátfüggvénye az állapotfüggvény, ami magában hordozza egyrészt az egyes fizikai mennyiségek várható értékét és a valószínűségek térbeli eloszlását. Mint említettük az elektron stacionárius mozgási pályájáról nem érkezik információ, ezért csak valószínűségi kijelentéseket tehetünk arról, hogy a mozgás során az elektron hol lehet. De miért nem kapunk közvetlenül valószínűség eloszlást a formalizmusból? Ennek matematikai oka van, ami az egyes állapotok egyértelmű megkülönböztethetőségéből származik. Ha egy függvényt egy másik függvény komplex konjugáltjával megszorzunk és összegezzük (integráljuk) a szorzatot a tér összes pontjára, kétféle eredményt kaphatunk. Ha a két állapot azonos, akkor csupa pozitív mennyiséget kapunk, ez a valószínűségsűrűség, és az integrál az egységet adja meg. Ha viszont különböznek a függvények, akkor az integrál nulla lesz. Ez biztosítja, hogy minden egyes állapot megkülönböztethető legyen. Mivel a valósínűség csak pozitív lehet, az egyértelmű megkülönböztethetőség valószínűségi függvényekkel nem oldható meg, hiszen ekkor nem lehet nulla egyik integrál értéke sem.

A pálya és állapot fogalmak különbségét úgy is megfogalmazhatjuk, hogy amíg a klasszikus mozgási pálya időbeli egymásutániságot fejez ki, addig a kvantummechanikai állapotban a térbeli egymásmellettiség. jelenik meg. Ennek a különbségnek figyelmen kívül hagyása gyakran vezet látszólagos paradoxonokhoz, amire a későbbiekben felhozunk néhány példát is.

Az elektron „térszemlélete” a Hidrogénatomban

Az egyik példa, amellyel jól szemléltethető a pálya és állapotfogalom különbsége a Hidrogénatom. Kiinduló pontunk, hogy az elektron milyen információt kaphat a külvilágból? Ez esetben a külvilágot a hidrogénatommag képviseli, amelyet nagyobb tömege miatt mozdulatlannak tekinthetünk. Az információ forrása az atomaggal való kölcsönhatás potenciálisenergiája V = - e²/r, ahol e az elemi töltés és r az elektron távolsága a protontól. Ez a potenciális energia nem tartalmaz irányfüggést. Képzeljük magunkat az elektron helyébe: milyen fogalmat alkothatunk magunknak a külvilág térszerkezetéről? Irányfüggő információ hányában nem jelenik meg az irány fogalma. Csak egy dolog számít, hogy mekkora távolságban vagyunk az atommagtól! Ez tehát egy furcsa egydimenziós világ. Viszont mi, akik a kvantummechanikában valamit mondani akarunk az elektron mozgásáról a térben, a szokásos háromdimenziós világképünkből indulunk ki, és az x,y,z koordinátákkal felírt egyenlet alapján számítjuk ki az eloszlási valószínűségeket. Olyan eredményt kapunk, hogy léteznek különböző állapotok, amelyek az impulzusnyomaték, 0, ħ, 2ħ … értékéhez tartoznak, ezeket nevezzünk s, p, d… pályáknak. Szokásos módon az s pályát egy gömb alakkal ábrázoljuk, míg a p pályát két hurka, a d pályát négy hurka alkotja, amelyek eloszlását a tér különböző irányaiban rajzolunk fel. De ez a kép az elektron térszemléletéből nézve hamis, mert jogunk csak egyetlen dimenzió feltüntetéséhez van. Nulla csak úgy lehet az impulzusnyomaték, ha a mozgás áthalad a centrumon, viszont a nullától különböző impulzusnyomatékú pályák számára épp a centrum lesz „tiltott zóna”! Az egydimenziós világban az s pályát a centrumban maximális valószínűség jellemzi, a p pálya épp itt nulla, viszont azon kívül van egy maximuma a valószínűségnek, a d pályának pedig két maximuma van. Hogyan lesz ezekből az egydimenziós alakzatokból 3D alakzat a mi általunk megszokott világban?  Úgy, hogy egyenlő esélyt adunk az összes – egyébként valójában nem létező – iránynak. Például az s pályánál gömbszimmetriára hivatkozunk, de valójában ez a szimmetria fiktív, mert semmilyen információ nem támasztja alá ennek létezését, ha az elektron világában gondolkodunk. Nem kell tehát arra gondolni, hogy az s elektron a gömb minden irányát „bejárja”, ez elektron csak egy irányban mozog. Ebben tükröződik a különbség a felrajzolt és elképzelt elektron pálya és az elektron valódi állapota között.

1. ábra. A vékony fekete vonal mutatja a szokásos 3D tér x,y,z koordinátáit, a piros vastag nyíl a Hidrogén elektronja számára érvényes egydimenziós féltengely, a középső kör az s pálya valószínűség eloszlását mutatja a 3D térben

Van-e esély arra, hogy az elektron valószínűségi eloszlásáról közvetlen információhoz jussunk? A válasz igen, ugyanis az elektron és az atommag között egyéb kölcsönhatás is létezik a Coulomb vonzáson kívül. Ez a mágneses kölcsönhatás, amit úgy írhatunk le, hogy az elektron mágneses dipólusa kölcsönhatásba kerül az atommag mágneses dipólusával. Például az s elektronok, amelyek véges valószínűséggel az atommagban is előfordulnak, a Fermi kölcsönhatás révén a valószínűségsűrűséggel arányos kölcsönhatást hoznak létre. Szintén megfigyelhetjük az elektronok és egyes atommagok között a gyenge kölcsönhatás révén keltett radioaktív átalakulást, amikor a belső s elektron csapdázódik az atommag egyik protonjában, azt neutronná átalakítva és csökkentve az elem rendszámát. (Például ⁴⁰K alakul át ⁴⁰Ar izotópba).

Az elektron „térszemlélete” a benzol molekulában

Másik példaként vegyük a benzol molekulát, amely egy szabályos hatszöget alkot és hat szén és hat hidrogén építi fel.

Milyen információra támaszkodhat ebben a világban az elektron? Egyszerűség kedvéért hanyagoljuk el az elektronok egymás közötti taszítását és támaszkodjuk a hat szén és hat hidrogén atommagból származó potenciálisenergiára. Itt már jogunk van háromdimenziós világban gondolkodni, de ez még nem lesz teljesen azonos megszokott koordinátáinkkal. Válasszuk úgy ki az x tengelyt, hogy az kösse össze a hatszög két szemben lévő csúcsát. Ez a tengely megkülönbözteti a pozitív és negatív irányt a szén kiszemelt elektronja számára, mert egyik irányból a szemben levő szén atommaggal van kölcsönhatásban, míg a másik irányban egy hidrogén atommag helyezkedik el. Az x tengely tehát kétirányú, ahogy azt megszoktuk a makrovilágban is. Jelöljük ki a z tengelyt a benzol síkjára merőlegesen. Itt már nem érkezik az elektron számára információkülönbség a sík alatti és feletti irányból, vagyis az elektron nem tud különbséget tenni aközött, hogy a sík alatt, vagy fölötte van-e. Az y tengelyt a két előző tengelyre merőlegesen vehetjük fel a benzol síkjában. Itt is fellép a kétértékűség, mert az elektron nem tud különbséget tenni a jobbra és a balra között. A kvantummechanikában ilyenkor a szimmetriára hivatkozunk, és kijelentjük, hogy a szimmetria miatt az elektron egyforma valószínűséggel lehet a sík alatt és felett is, amit szokásosan a p_z pályával jelölünk.  A pálya valószínűség eloszlása olyan, hogy azonos „hurka” van a benzol síkja alatt és felett. Szokásos gondolkodásunk azonban zavarba jön. Hogy juthat át az elektron a sík feletti tartományból az alsóba, ha középen, a benzol síkjában, nincs is jelen? Ez gondolkodásunk csapdája, mert nem tudunk elszakadni attól a világtól, amit környezetünkből származó információk feldolgozása alakított ki. Hiszen mennyire természetes, hogy különbséget tehetünk, mi van az asztal alatt és felett. Ebben tájékoztat minket a gravitáció is. De a választott példában a benzol gyűrűt elválasztottuk a külvilágtól, ezért itt csak korlátozott térfogalom érvényesül. Az elektronnak nem kell a gyűrű alatt és felett is lenni, mert számára értelmetlen az alatta és felette megkülönböztetése. Itt állapotról van szó és nem mozgási pályáról, amit befut az elektron.

2. ábra. A benzol gyűrű egyik szénatomjának térkoordinátái (piros vastag nyilak). Az x tengely teljes, az y és z irányban csak féltengely van. A p_z pálya sík alatti és feletti része a szokásos 3D térben van ábrázolva

Itt jutunk el ahhoz a kérdéshez is, hogy mit jelent a szimmetria fogalma! A szimmetria fogalma nem más, mint egy összekötő fogalom, a mikrovilág korlátozott tere és a mi gazdag információs bázisra támaszkodó térfogalmunk között! Így kapunk választ arra a kérdésre is, hogy miért játszik a szimmetria alapvető szerepet, amikor a részecskevilág tulajdonságait írjuk le.

A molekulavibrációk állapotfogalma

A makroszkopikus pálya és a mikroszkopikus állapotfogalom közötti viszonyt szemléltessük a molekulavibráció példájával is. Amikor egy rugalmas tárgyat összenyomunk, vagy széthúzunk, akkor a megnyúlással arányos erő ébred benne, amit szokásosan F = –kx formulával írunk le, ahol k az erőállandó. Ekkor rezgések alakulnak ki, melynek frekvenciáját a  összefüggés adja meg. A rezgéshez tartozó energia az eredeti megnyúlás amplitúdójának négyzetével arányos. Az amplitúdó és evvel az energia folytonosan változik. Ennek analógiájára történik a molekulavibráció is, amelyben az atomokat kémiai kötések kapcsolják össze, de egymáshoz képesti távolságuk oszcillálni fog, és ennek frekvenciáját a klasszikus rezgés analógiájára a k erőállandóból származtatjuk. Ezt az oszcillációt azonban nem tudjuk időben követni, csupán azt figyelhetjük meg, amikor két szomszédos állapot között átmenet jön létre E = hf energiájú fotonok kibocsátása vagy elnyelése révén. Bármely két állapot között ugyanaz a rezonancia feltétel érvényes, amiért az oszcillációs energia ekvidisztans lépcsőkben változik. Ennek megfelelően a kvantummechanikai számítás E_n = (n + ½)hf formulával adja meg az energiát, ahol az n kvantumszám 0,1,2, … egészértékeket vesz fel. Milyen kapcsolatot találunk a klasszikus oszcilláció pályája és a kvantum oszcilláció állapotai között? A pálya időben folytonosan változó pozíciójával szemben, amikor kvantumállapotról van szó, a vibrációt végző atom pozícióját valószínűségi dimenzióval jellemezhetjük. Megkísérelhetjük a két szemléletmód kapcsolatát úgy értelmezni, hogy a klasszikus oszcillációnál meghatározzuk a különböző pozíciók felvételének gyakoriságát. Mivel a szélső helyzetben megfordul a mozgás iránya, itt lassabb a mozgás, míg a középső helyzetben lesz a leggyorsabb, vagyis a két szélső pozícióban láthatjuk a leggyakrabban az oszcilláló objektumot és középen láthatjuk legkevésbé. A kvantum oszcilláció alsó állapotai egészen más képet mutatnak. Az n = 0 alapállapot maximális valószínűsége éppen középen van, melynek eloszlását egy haranggörbe írja le. Ugyanakkor az n = 1, 2 és 3 állapotban növekvő számú valószínűségi maximum lép fel, és ezeket a maximumokat  nulla valószínűségű pozíciók választják szét. A benzol p_z pályájához hasonlóan most is megkérdezhetnénk, hogyan közlekedik az oszcilláló atom a maximum helyek között, ha közötte nulla gyakorisággal fordul elő? Ez ugyanaz a gondolkodási hiba, amiről a benzolnál is szó volt. Ugyanis nem időbeli lefutásban kell gondolkodni, hanem az egymásmellettiség valószínűségi térképében!. Információ szempontjából az oszcilláló atom kevés adatra korlátozódik. Ugyanis egyrészt itt is egyetlen dimenzióra támaszkodunk, másrészt valamennyi átmenet azonos

energiájú fotonokat bocsát ki, vagyis nem tudjuk megmondani, hogy a megfigyelt foton melyik két vibrációs állapotot köti össze. Ez a korlátozott információ tartalom tükröződik a valószínűségi eloszlás szerkezetében.

3. ábra. Az első négy vibrációs állapot valószínűségi eloszlása: n = 0 a középső fekete görbe, n = 1 a két maximumos görbe, n = 3 a piros, n = 4 a zöld görbe.

Korrespondanicia elv

Nagy kvantumszámok felé haladva azonban az eloszlás közelít a klasszikus oszcillátor esetéhez, a nagyszámú közbenső maximum intenzitása egyre kisebb lesz és a két szélső maximum erősen dominálni fog. Ez felel meg a kvantummechanika korrespondancia elvének, amely szerint minél nagyobbak a kvantumszámok, annál közelebb kerülünk a klasszikus mechanika számításaihoz. Az állapotok valószínűségi leírása aszimptotikusan közelít az időben felírt pályákra alapozott képhez.

Nullpont vibráció és a határozatlansági elv

Külön szót érdemel az n = 0 oszcillációs alapállapot, amely nullától különböző ½hf energiával rendelkezik, és bármilyen alacsony is legyen a hőmérséklet, ez az oszcilláció nem áll le, ezért nevezik ezt nullponti rezgésnek is. Ne feledjük el azonban, hogy ez a rezgés nem az időben jelenik meg, hanem a valószínűségi dimenzióban! Ennek oka szintén a fotonok tulajdonságában rejlik: a hf energialépcső az n = 0 esethez képest negatív energiába vinné át a rezgést, ami nem lehetséges. A jelenség a határozatlansági reláció speciális esete. Ha a rezgés leállna, akkor a pozíció és az impulzus egyaránt nulla lenne, és ez vonatkozna a két mennyiség mérési hibájának szorzatára is, vagyis nem érvényesülne a határozatlansági reláció! A nullponti rezgés létezése ezért a kvantummechanika elméletének ellentmondás mentességének szép megnyilvánulása.

Rendelkezünk-e kísérleti bizonyítékkal, hogy létezik a nullaponti rezgés? A válasz igen! Ezt szolgáltatja nekünk az egykristályok Röntgen, illetve neutron diffrakciója. Persze ne feledjük, hogy amikor egykristályról beszélünk, már nem egyedi, szeparált molekulára gondolunk, hanem nagyszámú rendezett molekula együttesére. Ekkor már nagymértékben kibővül az információs bázis, ekkor már teljes joggal beszélünk 3D térről is. A röntgensugarakat tükröző síkok szabályos szerkezetét torzítják a molekularezgések, ami kimutatható, azáltal, hogy az egyes atomok pozícióját már nem pontok képviselik, hanem ellipszoidok, melyek iránya és mérete a rezgési amplitúdó nagyságáról árulkodik. Itt is érvényes a megállapítás, hogy a bővülő információs bázis egyúttal gazdagítja megfigyeléseinket a fizikai jelenségekről, és kiterjeszti fogalmainkat a tér szerkezetéről.