A kvantummechanika térképet rajzol az atomok elektronpályáiról. De mit mutatnak ezek a rajzolatok, melyeket az állapotfüggvényből nyerünk? Talán azt, hogy milyen pályán mozog az elektron az atomokban és molekulákban, vagy azt, hogy hol van, vagy még inkább azt, hogy hol lehet? A kérdés azért merül fel, mert az elektronok atomi mozgásának közvetlen megfigyelése híján helyükre csak tippelgethetünk, és így minden kijelentésünk csak valószínűségről szólhat. A klasszikus mechanika számára szokatlan helyzet onnan ered, hogy amit látunk az nem a mozgó elektron, hanem egy ugrás az elektron két állapota között, ami fotonok elnyelésével, vagy kibocsátásával jár együtt. Az így nyert információ a fotonoknak frekvenciája, vagyis az energiája, amiből aztán következtetéseket vonunk le az elektron lehetséges állapotára.

Mit értünk az állapot fogalmán a kvantummechanikában?

Az elektronpálya és az elektron mozgási állapotának tisztázása érdekében tekintsük át röviden azt az utat, ahogy a kvantummechanikában az állapot fogalmához eljutunk. Kiindulópontunk, hogy a mozgás a potenciális és mozgási energia egymásba alakulási folyamata: a mozgás létrejötte a potenciális energiának, illetve az általa kifejtett erőnek köszönhető, de a létrehozott mozgás mértékét már a mozgási energia mutatja meg. A kettő összege állandó és ezt tételezzük fel az elektron mozgása esetén is. Eltérően a klasszikus mechanikától, ahol követni tudjuk a testek mozgási pályáját és ebből megállapíthatjuk, hogy a mozgási és potenciális energiák összege állandó, a mikrovilágban ez az állandóság már posztulátum, és az energia operátorának definíciójául szolgál az idő függvényében képzett differenciálhányados megszorozva ħi-vel. Itt a ħ redukált Planck állandó biztosítja, hogy összhangban legyünk a foton ħω energia kifejezésével, az „i” imaginárius egység pedig a hullámok matematikai leírásához szükséges.

Szintén hasznosítjuk a klasszikus fizikából az impulzus fogalmát, amely csak akkor állandó, ha nincs erőhatás, ha viszont van, akkor az impulzusváltozás mértéke mutatja meg, hogy mekkora is a hatóerő. Az impulzus fogalmára azért van szükségünk, mert egyetlen állandó, így az energia, nem tudja maradéktalanul leírni a mozgásokat, ezt egy további állandó bevonásával, az impulzussal érhetjük el. Ennek állandóságát az atomban mozgó elektronok esetén nem tudjuk mérésekkel igazolni, ezért ezt is posztulátumnak tekintjük, és ebből származtatjuk az impulzusoperátor definícióját:  (a térkoordináták szerint differenciálhányadosok ħ/i-vel való szorzata): 

A mozgási energiát a p impulzussal fejezzük ki a p²/2m összefüggés által, majd az energia operátorát egyenlővé tesszük a mozgási és potenciális energia összegével. Így jutunk el a kvantummechanika Schrödinger által megalkotott alapegyenletéhez:  

Az energia állandósága úgy lép be a formalizmusba, hogy keresünk egy  állapotfüggvényt, 

amely nem változik meg az energiaoperátor hatására, ami alatt azt értjük, hogy a függvény azonos marad egy konstans szorzó kivételével. Ez a konstans lesz az energia. Amikor a potenciális energia nem függ explicit módon az időtől, leválasztunk az állapotfüggvényből egy időben periodikus exponenciális tényezőt, melynek frekvenciáját az energia és a redukált Planck állandó hányadosa adja meg.

A függvény további Φ(x,y,z) része már csak a térkoordinátáktól függ, melyet a mozgási és potenciális energiát együtt tartalmazó Hamilton operátor segítségével határozhatunk meg. Itt jutunk el ahhoz a kérdéshez, hogy milyen is lesz az állapotfüggvény által meghatározott pálya, és ezt miként írja le az elektron mozgását az atomokban. 

Valószínűségi eloszlás meghatározása az állapotfüggvényből

A klasszikus mechanikában megszoktuk, hogy a mozgó test pozícióját az idő függvényében adjuk meg, ez a pálya. A kvantummechanikában viszont az állapotfüggvény abszolút érték négyzete a pozíció valószínűségét adja meg, de ez a valószínűség nem függ az időtől, ami formálisan úgy jelentkezik, hogy az időben periodikus függvény négyzete az egységet adja ki. Tehát a „hol” és „mikor” kérdése helyett csak a hol és mekkora valószínűséggel kérdésére tudunk válaszolni, amikor jellemezzük az egyes állapotokat. Ennek oka a már említett információdeficit.

Az elektronállapot és a hagyományos pálya kapcsolatát az atomokban „keringő” elektronok példájával szemléltethetjük. Itt a keringés szót azért tettem idézőjelbe, mert nem időben leírt mozgásról van szó. Amíg a keringő bolygók pályáját nyomon követhetjük, az atomban csak a teljes pályáról tudunk mondani bármit is. A klasszikus mechanikából viszont átörökítjük az impulzusnyomaték állandóságát. A centrum körüli keringés esetén – ha a testre nem hat külső forgatónyomaték – a forgáshoz tartozó impulzusnyomaték az a fizikai mennyiség, ami nem változik. Ez annyiban különbözik az impulzustól, hogy az impulzust a centrumtól való távolság vektorával is szorozni kell a vektoriális szorzat szabályai szerint. Az ellipszis pályán keringő bolygók számára Kepler  fogalmazta meg az impulzusnyomaték állandóságának törvényét. A bolygómozgás energiája két tagra bontható, az egyik fordítottan arányos az impulzusnyomaték négyzetével, a másik járulék pedig a pálya lapultságától (az ellipszis excentricitástól) függ. Mivel ez a törvény a pálya egészére vonatkozik, így várható, hogy találunk hasonló összefüggés az elektronok energiája és impulzusnyomatéka, illetve a pálya excentricitása között.

Az atompályák szerkezete

Az atommag elektromos töltése által létrehozott gömbszimmetrikus erőtérben mozgó elektronok számára a kvantummechanika megadja az energia és impulzusnyomaték közötti összefüggéseket. Ezekben az összefüggésekben az energia, az impulzusnyomaték és excentricitás nem folytonos, hanem a ħ redukált Planck állandó egységében ugrásszerűen változik. Az egyes szinteket kvantumszámok jelölik.  Az impulzusnyomaték L = l· ħ értékeket vehet fel, ahol l = 0,1,2 … egész szám. Az energia viszont – a szintén egész számú n = 1, 2, 3, … fő-kvantumszám – négyzetétől, pontosabban annak reciprokétól függ. Minden n értékhez az annál legalább eggyel kisebb l értékek tartoznak, és a nem-relativisztikus közelítésben, azaz a Schrödinger reprezentáció szintjén, az energia csak n-től függ. A relativisztikus hatások már felbontják az l-től (tehát az impulzusnyomatéktól) való függetlenséget, de most koncentráljunk az egyszerűbb, nem-relativisztikus közelítésre.

Az alapállapot szerkezete: az 1s pálya

Kötött állapotban az energia negatív, ezért a legkisebb energiával az n = 1 állapot rendelkezik, amely egyedül az l = 0, azaz nulla impulzusnyomatékú pályát engedi meg. Ezt nevezi a szakirodalom az 1s pályának. Ennek valószínűségi térképét gömbszimmetrikus eloszlás adja meg, melynek maximális sűrűsége az atommag centrumában van. Ez utóbbi érthető, hiszen csak úgy lehet nulla egy pálya impulzusnyomatéka, ha áthalad a mozgási centrumon. Ilyen mozgás nincs a bolygók világában, hiszen a Napba zuhanva megsemmisülne az égitestet. Az atommag és az elektron között kétféle kölcsönhatással számolunk: az elektromos vonzással és a gyenge kölcsönhatással. Bár a mag centrumában végtelenül nagy a vonzóerő, de az elektron mégis áthaladhat rajta, amit a kvantummechanika bizonytalansági elve magyaráz: Az elektron energiája kevés a kisebb tömegű atomokban a mag átalakításához, ha viszont az elektron ott ragadna az atommag belsejében, akkor pozíciója és impulzusa egyaránt pontosan nulla lenne, ellentmondva a szabálynak, mely szerint a két mennyiség mérési hibájának szorzata nem lehet kisebb a Planck állandónál. (A gyenge kölcsönhatás viszont már megsemmisítheti az elektront a nehéz, 200-nál több neutront és protont tartalmazó atommagokban lecsökkentve annak rendszámát). Az elektron véges sűrűsége a magban kimutatható az elektron és az atommag mágneses kölcsönhatásán keresztül. Ha hagyományos módon időbeli folyamatnak akarjuk elképzelni az s pályát, akkor valamilyen irányú rezgésre gondolhatunk. Eltérő azonban, hogy amíg a szokásos rezgés leggyorsabban a centrumon halad át és a fordulópontoknál lelassul, vagyis ott tartózkodik a leghosszabb ideig, addig az s pályán mozgó elektron leggyakrabban a centrumban található meg. Az eltérést az okozza, hogy a rezgést létrehozó vonzóerő a távolsággal növekszik, szemben a Coulomb vonzással, amely épp a centrumban a legerősebb. Az s pálya térképe viszont gömbszimmetrikus és nem valamilyen irányba mutat, ennek oka, hogy a gömbszimmetrikus potenciálban nincs kitüntetett irány, így a valószínűségi térkép minden irányhoz azonos értéket rendel. Ha viszont nincs információnk az irányról, akkor az elmélet sem mondhat róla semmit, azaz érvényes a kvantummechanika alapszabálya: csak arról nyújthat adatokat, amiről van tényleges információnk.

Beszélhetünk-e az idő fogalma nélkül is az elektron sebességéről?

A klasszikus mechanikában az impulzuson a tömeg és sebesség szorzatát értjük. Ezt a kapcsolatot megtarthatjuk a kvantummechanikában is, ahol a sebesség operátorát az impulzus operátorával kapcsolhatjuk össze a v = p/m összefüggésen keresztül:

A megszokott sebesség helyett, ahol a pozíció időbeli változását jellemző mennyiségről van szó, a kvantummechanikai sebesség már az állapot térbeli változásához kapcsolódik. Kötött állapotú mozgásokban az impulzus és sebesség vektoriális összege nulla lesz, hiszen egyébként az elektron véglegesen eltávolodva az atomtól. Matematikailag ezt fejezi ki az operátor imaginárius felépítése, amelyhez tartozó valós sajátérték csak nulla lehet. A sebesség négyzete viszont már nem nulla, hiszen ez adja meg a kvantummechanikában is a mozgási energiát. Az előbbiekben említett 1s állapot energiája ½me⁴/ħ² , amely egyúttal a mozgási energia maximumát is megadja. Ezt összevetve a mozgási energia klasszikus ½mv² alakjával az 1s elektron sebességének aránya a c fénysebességhez v_max/c = e²/ ħc = 1/137 lesz (ez a nevezetes Sommerfeld állandó).  Az elektron klasszikusan értelmezett sebessége tehát lassú a fényéhez képest, amiért a Hidrogénatom energiaszintjeinek számításánál a relativisztikus effektusok nem játszanak lényeges szerepet.

De mit tudunk mondani az elektron változó sebességéről, ha az 1s pályát az atommagon áthaladó oszcillációként képzeljük el? A kvantummechanika a sebesség négyzetét a ψ*v²ψ kifejezés teljes térre való integrálásával határozza meg, és ennek térbeli változása mondja meg, hogy mekkora a lokális sebesség.. Ott, ahol a ψ*ψ valószínűségi sűrűség nagy, kapjuk a nagyobb járulékot. Ez megfelel annak, hogy a sebességi átlag számításánál a nagy sebességek adják a legjelentősebb járulékot. A klasszikus mechanika sebességét a pozíció változás időbeni gyorsasága adja meg, a kvantummechanikában viszont az állapotsűrűség térbeli változásának gyorsasága számít. Például az 1s pályán a ψ*ψ állapotsűrűség a centrumban maximummal rendelkezik, ezért a lokális sebesség ott lesz maximális. Ez összhangban van a klasszikus oszcillációval, mely szerint a központon való áthaladáskor maximális a sebesség, amely csökken távolodáskor és „megáll” a fordulónál. Ennek felel meg, hogy a kvantummechanika szerint az 1s pálya állapotsűrűsége fokozatosan csökken a centrumtól való távolság függvényében. A különbség abban nyilvánul meg, hogy nincs egy határozott fordulási pont, a csökkenés fokozatos.

Magasabb energiájú állapotok: a 2p pálya

Hidrogénatomban az első gerjesztett állapotot az n = 2 kvantumszám adja meg, ehhez már l = 0 és l = 1 mellék-kvantumszámok tartoznak. Az egyik a 2s a másik a 2p pálya. A 2s pálya abban különbözik az 1s pályától, hogy radiális irányban az elektronsűrűségnek van egy második maximuma is. Szemben az 1s és 2s pályákkal a p pálya már nulla elektronsűrűséggel rendelkezik a magban. Ez megfelel annak, hogy nullától különböző impulzusnyomaték csak úgy jöhet létre, ha a mozgás nem halad át a keringési centrumon. Így szemben az s pályával, amelyet végtelenül elfajult excentricitású ellipszisnek tekinthetünk, a p pálya már kevésbé „lapult”. Ekkor a csökkent excentricitás már kisebb járulékot ad az energiához, míg az s pályán kizárólag ebből származik az energia. A két járulék éppen kompenzálja egymást, amiért a 2s és 2p pályák energiája megegyezik.

A p pályák rajzolata egy propellerhez hasonlítható, de ez a propeller nem forog úgy, ahogy elképzeljük. Itt is a valószínűségi eloszlásra kell gondolnunk. A gömbszimmetria miatt nincs kitüntetett irány, ezért arról kell beszélnünk, hogy a propeller tengelyiránya tetszőleges lehet. Az elmélet három p pályát különböztet meg, amit a tér három irányának megfelelő p_x, p_y és p_z pályákkal lehet szimbolizálni. A kvantummechanika szerint atomokban ezek a pályák ekvivalensek, amit a szuperpozíció elve ír le, mely szerint a három pálya tetszőleges arányokban képzett összege (lineáris kombinációja) is érvényes állapotfüggvény.

 Újra és újra hangsúlyozni kell, hogy a kvantummechanika nem arról beszél, hogy hol van az elektron, hanem arról, hogy hol lehet. Gondolkozási kényszer, hogy elképzeljük a p pályán mozgó elektron útját a különböző irányok között, pedig nem arról van szó, hogy az elektron most itt van, majd utána máshova megy! Az elmélet csak annyit mond, hogy lehet itt is, meg ott is. A valószínűség egymásmellettiségi szabálya lép be a szokásos időbeli egymásutánisága helyett. A gömbszimmetriának megfelelő valószínűségi eloszlás nem lesz irányfüggő. Értelmezhető-e ez mint pályamozgás? Annyit megtarthatunk a szokásos mozgási képből, hogy elliptikus pályán mozgó elektronokat képzelünk el, de minden pálya csak egy-egy lehetőség, és az elektronállapot ezeknek a pályáknak valószínűségi összege.

A klasszikus pályafogalom és elektron állapot összehangolása még nehezebb, ha nem atomokra, hanem molekulákra gondolunk. Ennek illusztrálására nézzük a benzol molekula esetét, ahol hat szén atom szabályos hatszöget formál, és minden szénhez egy-egy hidrogénatom kapcsolódik. Az elektronok seregét különböző pályákon képzelhetjük el. A szénatom p pályáin levő úgynevezett vegyérték elektronoknak kitüntetett szerepük van az atomok összekapcsolásában, így a p_x és p_y pályák vesznek részt a C-C és C-H kötések létrehozásában, de fontos szerep jut a p_z pályáknak is. Ezek a pályák merőlegesek a benzol gyűrű síkjára, viszont a gyűrű síkjában az elektronok nem fordulhatnak elő. De hogyan tud közlekedni az elektron ekkor a gyűrű feletti és alatti tartományok között, tehetnénk fel a kérdést. A válasz az, hogy nem közlekedik, mert az elektron nem a gyűrű alatt vagy felett van, hanem csak arról van szó, lehet itt is, meg ott is. Ennek oka, hogy az elektron pillanatnyi helyéről nincs információnk. Elvben megragadhatnánk az elektront, amikor például a sík felett van, de ez a megragadás egy erős potenciáltér alkalmazását jelenti, amely teljesen átírja az erőhatásokat, amely alapján korábban az elektronpályákat számítottuk. A feltett „kérdés” tehát átformálja a „kérdezett” előzetes véleményét.

Hullámok és valószínűségek

Végül vessük fel a kérdést, vajon teljesen el kell-e vetnünk azt a képet, hogy a valószínűségi leírást valamilyen pályamozgásra vezessük vissza? Ha az elektront tisztán részecskének tekintjük, akkor igen. De azt is tudjuk a kvantummechanikából, hogy minden elemi objektum egyaránt rendelkezik részecske és hullám természettel. A hullámkoncepció alapja a kölcsönhatási mező erősségének és irányának periodikus változása. A különböző utakon járó hullámok hegyei és völgyei egymást erősíthetik, vagy kiolthatják a fáziskülönbségektől függően. A fotonok haladó hullámait egy fém kalickában állóhullámokká alakíthatjuk, amikor az üreg faláról visszaverődnek. Erre példa a mikrohullámú üreg. Az állóhullámok szerkezete az üreg geometriájához igazodik. Egy gömb alakú üregben hasonló geometriai rajzolatok jönnek létre, mint amivel az atomi elektronpályák rendelkeznek. Az elektronokban a gömbszimmetrikus potenciáltér hasonló szerepet játszik, mint a mikrohullámú üreg. Ennek értelmében az elektronpályákat is úgy értelmezhetjük mint állóhullámokat. De itt a hullámon nem valamilyen térben kiterjedt objektumot kell érteni, hanem lehetőségeket, hogy az elektron tartózkodási valószínűsége hogyan változik.

A blog további írásai elérhetők: „Paradigmaváltás a fizikában”