Miért jönnek létre fekete lyukak?

Az általános relativitáselmélet egyik legnagyobb felfedezése a fekete lyukak létezése. Ezt ma már számos csillagászati vizsgálat igazolja, valamint ezt támasztja alá a gravitációs hullámok megfigyelése is a LIGO kísérletben, mert ezt a jelenséget a fekete lyukak közötti robbanásszerű átalakulások idézik elő. A galaxisok szerkezetének alapvető eleme a fekete lyukak létezése, a legnagyobbak a centrumokban alakulnak ki. De hogyan és miért jönnek létre ezek a falánk fekete lyukak, amelyek még a fényt is csapdába ejtik? A jelenlegi szakirodalom az általános relativitáselmélet alapján értelmezi a jelenséget, de abban már vita van, hogy milyen módon jöhetnek létre szingularitások, amelyek elvezetnek a fekete lyukak kialakulásához.

Az ekvivalens térmozgás elve

A korábbi írásokban és előadásokban a gravitáció és antigravitáció eredetét térmozgásokra vezettük vissza, melyek nem-inerciális jellege a Lorentz kontrakción keresztül nem-euklideszi geometriát hoz létre. Ezt nevezzük a továbbiakban ekvivalens térmozgási elvnek. A térmozgás két módon lehet gömbszimmetrikus: pont körüli forgással és általános tágulással, az előbbi elliptikus, az utóbbi hiperbolikus geometriát hoz létre az egyenes euklideszi koordinátákból. Az előbbi a galaxisokban alakul ki, magyarázva ott a csillagok közötti vonzást, az utóbbi a galaxisok közötti űrben, ahol taszítás jön létre a galaktikák között. A koncepció háttere az einsteini ekvivalencia elv kiterjesztése három princípiumra, összekapcsolva a térmozgásokat, a térszerkezetet és a tömegek között működő erőt. A gravitáció ekvivalencia elvét Einstein fogalmazta meg, amikor a zárt lift hasonlatára hivatkozott: bent a liftben nem tudjuk megkülönböztetni, hogy azért tapad lábunk a lift padlójához, mert a lift gyorsulva emelkedik, vagy azért, mert alulról vonz minket egy nagytömegű test gravitációja. Ezt a gondolatot fejlesztjük tovább, amikor a görbült térszerkezetet a forgó térrel kapcsoljuk össze: a térgörbület ekvivalens a tér forgásával. Úgy képzelhetjük el, hogy a keringő test a térrel együtt mozog, vagy pontosabban fogalmazva: a gömbszimmetrikus térforgás ekvivalens tengelyirányai közül az egyiket kiválasztja az égitest, amely körül kering. A tér és az égitestek együtt mozgása valósul meg az univerzum tágulásában is: ekkor a táguló univerzum tere „viszi magával” a távolodó galaxisokat. A térmozgások jellegét a kvantummechanika szemléletmódja alapján nem pályaként, hanem állapotként kell felfogni. Térforgási állapotban minden tengelyirány egyformán valószínű, tértágulási állapotban pedig a tágulási irányok ekvivalenciájáról van szó.

A Newton törvény gravitációs szingularitása

A térforgás ekvivalenciája a térszerkezettel vezet el a klasszikus gravitációs törvények megváltozásához, mely szerint kis távolságban a Newton törvényhez képest nagyobb lesz a vonzóerő. De mekkora ez a növekedés extrém gravitációs körülmények között, hogyan befolyásolja ez fekete lyukak képződését és gravitációs szingularitás kialakulását? Mennyiben segít az ekvivalencia elv a térmozgás és térszerkezet között, hogy eligazodjunk a szakirodalmi vitában, amikor a gravitációs szingularitás és a fekete lyukak kialakulási feltételeit keressük az általános relativitáselmélet keretei között?  

A relativitáselmélet a tér szingularitásaként értelmezi a fekete lyukakat, ahol a görbület már végtelenül nagy, és a fény már nem szökhet ki a zárt pályáról. Az első megválaszolandó kérdés, vajon a klasszikus Newton gravitációs elmélet is elvezethet-e szingularitáshoz?

Induljunk ki a legegyszerűbb esetből, a homogén sűrűségű gömbből, ahol még az égitest forgása nem idéz elő számottevő gravitációt! Jó közelítésben ilyen a Nap is. A Föld sűrűsége a köpeny és a belső mag között jelentősen eltér, viszont a különböző sugarú övezeten belül közel azonos a sűrűség, amiért az égitest határán kívül a gravitációs erő azonos a korábbi esettel. Valójában két paraméter játszik szerepet a szingularitás létrejöttében, az egyik a központi égitest R sugara, a másik az M tömeg. Ha az M tömegű égitest körül egy jóval kisebb m tömegű test körpályán kering, annak sebessége a klasszikus Newton törvény szerint az M tömegtől és az r pályasugártól függ:

                           v² = GM/r                                                                                (1)

Itt G = 6,673·10^{̶ 11}m³/s²kg az általános gravitációs állandó. A keringés a központi testen kívül történik, ezért az r pályasugár nagyobb a test R sugaránál. Ha elég nagy az M tömeg, a sebesség elérheti a c fénysebességet is, ennek távolságát nevezzük az R_kl klasszikus fekete lyuk sugárnak:

R_kl = GM/c²                                                                                           (2)

Itt a szingularitás a relativitáselméletből következik, mert a keringő test m tömege a sebességgel növekszik:

                                                               (3)

Ha pedig a v sebesség eléri c-ét, végtelenül nagy lesz a keringő tömeg, vagyis szingularitásba ütközünk. De mi van fény esetén, hiszen a fotonnak nincs tömege! Itt kerül elő az általános relativitáselmélet alapvetése, amely szerint a fény követi a tér görbült koordinátáit, vagyis a geodetikus vonalakat, és ez elég nagy M tömeg esetén zárt pályára kényszerítheti a fotont. Vagyis gravitációs fénycsapdázás a klasszikus Newton törvény szerint is bekövetkezhet. A klasszikus fekete lyuk befoghatja a fényt, a környező tömeget pedig „maga köré tekerheti” (ezt nevezik akkréciós korongnak), ennek keringési sebessége megközelíti, de nem éri el c-t.

1. Ábra. A Földtől 55 millió fényév távolságban levő M87 fekete lyuk. A láthatatlan fekete lyukat akkréciós korong veszi körül

Mekkora a Schwarzschild sugár?

Einstein, amikor kereste az okot, hogy miért nem írja le helyesen a GMm/r² Newton erő a Merkur bolygó perihéliumának precesszióját, azt találta, hogy az  

F_rel = 2G²M²m/r³c²                                                                         (4)

relativisztikus kiegészítő erő magyarázatot ad az anomáliára. A Newton erő ezzel a kiegészítéssel együtt jelenik meg, amikor a gravitációs erőt a tér görbült geometriájára vezetjük vissza, ahol a tér görbületét a tömeg alakítja ki maga körül. Az M tömeg által kialakított görbült térben a kölcsönhatásban lévő m tömegű objektum energiára tesz szert, amelynek mértékét az Einstein által megalkotott gravitációs egyenlet adja meg. Bár erre az általános egyenletre nincs explicit matematikai megoldás, Schwarzschild mégis sikerrel járt egy speciális esetben. Képes volt kiszámítani az álló, illetve lassan forgó, gömbalakú égitest gravitációs hatását, és reprodukálta a (4) egyenletben megadott korrekciót is.

Mi van a számítás hátterében? Az Einstein-egyenlet a négydimenziós téridő görbült metrikáját 10 tenzor elemmel írja le, amely lineáris összefüggésben van a szintén négydimenziós energia-lendület tenzorral. A megoldás nehézsége abból ered, hogy az utóbbit a még ismeretlen metrika alapján kell felírni, és ez a gyakorlatban 10 csatolt másodrendű differenciálegyenletet jelent. Egyszerűsödik a helyzet gömbszimmetrikus elrendezésen, mert ekkor csak három független tenzor elem lép fel, és közülük is kiesik az időfüggő koordináta, ha nem forog az objektum. Így végeredményben két csatolt differenciálegyenlet kell megoldani. Explicit megoldást azonban csak egyetlen egyenlet esetén kapunk, ezért Schwarzschild bevezetett egy közelítő koordináta transzformációt, amely gyenge gravitációs mezőben érvényes. A transzformáció megváltoztatja a differenciális koordináta távolságot a Minkowski-féle négy dimenziós téridőben. Poláris euklideszi koordinátákat, az r, ϑ, f változókat bevezetve:                                           (5)

A görbült tétkoordináták miatt – megtartva a szferikus szimmetriát – három amplitúdó függvényt kell bevezetni: az A(r, r’), B(r, r’), C(r, r’) metrikus együtthatókat, melyekkel szorozzuk a differenciális kifejezés három tagját:

                 (6)

Itt kétféle sugár szerepel, az egyik a gömb centrumából induló radiális r sugár, a másik a gömbfelületből számított r’ tangenciális sugár:

 Gömbfelület = 4r’²p                                                                         (7)

Az r/r’ arány jellemzi a görbület nagyságát, amit radiális görbületnek nevezünk:

                                                                                 (8)

Az Rg = 0 eset felel meg az euklideszi, Rg > 0 az elliptikus és Rg < 0 a hiperbolikus geometriának. Számításaiban Schwarzschild olyan koordináta transzformációt választott, amely nem érinti a gömbfelület nagyságát, vagyis C(r, r’) = 1. A radiális görbületet meghatározó B(r, r’) függvényt pedig úgy választotta, hogy egyrészt a transzformált r sugár növekedjen a változatlan r’ sugárhoz képest, másrészt igazodjon a (4) egyenletben szereplő relativisztikus korrekcióhoz. Ennek érdekében vezette be Schwarzschild az R_s = 2GM/c² sugarat, ami voltaképpen a klasszikus fekete lyuk sugár kétszerese.

                                                               (9)

Az r > R_s távolságban r/r’ nagyobb lesz az egységnél, vagyis elliptikus geometriához jutunk. Behelyettesítve az Einstein egyenletbe a koordináta transzformációt, nagy távolságban visszakapjuk a Newton egyenletet, és emellett fellép az a korrekciós tag is, ami jól írja le a Merkur pálya anomális perihéliumát. Eddig minden rendben van! De hol jön be a szingularitás? Ez az r = R_s határon következik be, vagyis a Schwarzschild metrika esetén ez a sugár adja meg a fekete lyuk méretét. Igen ám, viszont kis távolságban a relativisztikus korrekció felerősíti a gravitációs erőt, és így nem érthető, hogy miért lenne nagyobb az általános relativitáselméletből származtatott fekete lyuk sugár, mint amit a klasszikus Newton törvényből kaptunk?

A Schwarzschild szingularitás kérdőjelei

Több szerző is megismételte a számításokat többé-kevésbé módosított koordináta transzformációt alkalmazva. Erről a wikipedia kitűnő összegzést ad: https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric

Az ott felsorolt számítások szerzői: A. S. Eddington, D.  Finkelstein, A. Gullstrand, P. Painlevé, M. D. Kruskal, G. Szekeres, G. Lemaitre. Valamennyi számításban azt kapták, hogy az R_s távolságban nem jön létre szingularitás. Ezért kialakult az a nézet, hogy valójában csak az r = 0 sugárnál alakul ki valódi szingularitás, és a Schwarzschild szingularitás csak a választott transzformáció műterméke. De akkor miért látunk mégis véges sugarú fekete lyukakat az univerzum számos galaxisában?

A térforgás elliptikus geometriája és a radiális görbület

A probléma onnan származik, hogy az elliptikus geometria r > r’ követelménye akkor teljesül, ha a transzformáció megnöveli az r/r’ arányt. Viszont valamennyi szerző számításában közös vonás, hogy Schwarzschildhoz hasonlóan az alkalmazott transzformáció nem érinti a felületi r’ sugarat. Így csak olyan transzformáció írja le helyesen az elliptikus geometriát, ahol r értéke megnövekszik. Ez a választás viszont nem teszi lehetővé, hogy közvetlenül összekapcsoljuk a speciális és általános relativitáselméletet, mert a Lorentz transzformáció mindig az euklideszi térkoordináta hosszának csökkenését okozza a mozgás irányában:

                                                                  (10)

Inercia rendszerben ez a kontrakció csak látszólagos, mert nincs kitüntetett koordináta rendszer, viszont más a helyzet, ha forgó rendszerrel számolunk, amelyben fellép a centrifugális tehetetlenségi erő. Ekkor a Lorentz kontrakció miatt a kör kerülete, illetve a gömb felülete csökken le, hiszen a forgás mozgási iránya az érintő, ugyanakkor a mozgásra merőleges sugár változatlan marad. Emiatt jön létre a két sugár arányától függő radiális görbület:

                                                (11)

Az M tömeg körül forgásba jövő tér sebességét az (1) egyenlet Kepler szabálya adja meg, ezért a radiális görbület:

                                 (12)

A görbült tér gravitációs szingularitása

Itt r” = r  ̶  R_kl az effektív gravitációs sugár, amit bevezetve a relativisztikus gravitációs erő formailag megegyezik a klasszikus Newton törvénnyel. Ehhez úgy jutunk el, hogy az M tömegtől r távolságban lévő m tömeg gravitációs potenciális energiáját a görbület és mc² szorzataként definiáljuk:

                                                     (13)

A gravitációs erőt pedig a potenciális energia negatív gradiense adja meg:

2. Ábra A GM/r² (kék) és a GM/r”² (piros) görbék lefutása. A fekete nyíl mutatja a GM/c² eltolódást. A kék és piros függőleges egyenesek jelzik a szingularitási helyeket

A gravitációs erőtörvény helyességének próbaköve a Merkur bolygó anomális perihéliumának matematikai reprodukálása. Ez megvalósul, hiszen ebben a távolságban r >> R_kl és így

                                                          (15)

Ezáltal visszakaptuk a (4) egyenletben megadott gravitációs erő relativisztikus korrekcióját, ami kvantitatívan reprodukálja a Merkur pálya perihéliumának anomális precesszióját:

                                                             (16)

 A Newton-féle gravitációs erő szingularitása, azaz ahol az erő végtelenül nagy, az r = 0 határesetben következik be, ez megy át az ekvivalens térforgási elvből származtatott effektív gravitációs sugár r” = r  ̶  R_kl = 0 szingularitásába. Emiatt létezik az r = 0 eset mellett, a véges r = R_kl, sugárnál is valódi szingularitás, ami megegyezik azzal a sugárral, ahol a Newton egyenlet szerint a keringési sebesség eléri a c fénysebességet. A fekete lyukak kiterjedését emiatt az effektív gravitációs sugár szingularitási helye határozza meg.

Az erővonalmegmaradási törvény

A relativisztikus gravitációs erő (14) egyenlete azt fejezi ki, hogy az effektív gravitációs sugárral megadott erővonalsűrűség az erővonalak megmaradási törvényének felel meg, azaz a felülettel fordítottan arányos erő jön létre. Ugyanakkor nem pontszerű a kibocsátás, hanem a gravitációs erő szingularitási gömbjének felületéről indulnak ki az erővonalak. Ez felveti a kérdést, vajon az elektromágneses kölcsönhatásban, ahol hasonló az erővonal szabály, ott is eltolódik-e az erő kiindulási pontja a görbült relativisztikus térszerkezet miatt? Vegyük a pozitív töltésű proton esetét, ennek tömege 1,66·10^-27 kg, ennek szingularitási sugara GM/c² = 1,23·10^-54 m, amit összevetve a proton 0,84·10^-15m sugarával, 39 nagyságrenddel kisebb. Két nagyságrenddel ugyan megváltozik az arány nehéz atommagoknál, de a szingularitási sugár ott is olyan kicsi, hogy számottevő korrekcióra nincs szükség. Elképzelhető viszont, hogy a fekete lyukak felszínén az elektromágneses kölcsönhatási erő már eltér a Coulomb törvénytől, de ennek megfigyelésére nincs reális lehetőség.

Konklúzió

Az ekvivalencia elv a tömeg körül kialakuló görbült térszerkezet és a térforgás között közvetlenül kapcsolja össze a speciális és az általános relativitáselméletet. Ebben a koncepcióban a gravitációs törvény Newton formulája relativisztikus körülmények között is érvényes marad, ha a radiális sugár helyébe az effektív gravitációs sugár kerül, ami GM/c² hosszúsággal rövidebb. Ez annyit jelent, hogy a keringő test távolságát nem a fény által elérhetetlen centrumtól kell számítani, hanem a fény által még megközelíthető GM/c² sugarú gömb felszínétől. Ebben tükröződik a relativitáselmélet fontos alapvetése is: ahová már nem jut el a fény, oda a gravitáció sem juthat el. Ez a távolságdefiníció ugyanúgy visszaadja a gravitáció relativisztikus korrekcióját, mint a Schwarzschild megoldás, és emellett elkerüli az ad hoc módon választott koordináta transzformációból adódó látszólagos szingularitást. Kimutatja ugyanakkor, hogy véges nagyságú sugárnál is létrejöhet valódi szingularitás, mégpedig ugyanott, ahol a klasszikus Newton egyenlet szerint a keringési sebesség eléri c értékét.

A szingularitás nem érhető el, viszont nagymértékben megközelíthető, amiért a fény nagyon sokáig csapdázva maradhat a fekete lyukban, de előbb-utóbb mégis kiszabadul. Ez a Hawking sugárzás.

Videó: HUN-REN-TTK, 2026 február 25. 17 óra

https://youtu.be/6dry8tTaJfU

Bevezetés

Az előző írásban kísérletet tettem a Standard Modellben szereplő három konstans, nevezetesen a leptonok tömegének reprodukálására. Itt a kérdést szélesebb alapokra helyezem, hogy lássuk a javasolt modell helyét az elméleti fizika fejlődéstörténetében.

A kvantummechanika előzményei

A részecskefizika elmélete kitűnően osztályozza anyagi világunk legparányibb objektumait, összegezi azok legfontosabb fizikai paramétereit és megadja átalakulásait. Van azonban egy komoly hiányossága: a benne szereplő 20 különböző konstans értékére nincs jelenleg magyarázat. Kellene ehhez egy mélyebb szintű elmélet, ennek hiányában beszélünk ezért Standard Modellről standard elmélet helyett. A helyzet némileg hasonló ahhoz, amit a 20. század elején átélt a fizika: volt egy jelenség, a Hidrogén atom spektrumának vonalas szerkezete, amelynek energianívóira Johann Balmer (1887) illetve Johannes Rydberg (1888) megtalálta a matematikai leírást, de hiányzott mögüle a fizikai kép. Voltak tehát számok fizikai magyarázat nélkül.

A Bohr modell

Ekkor lépett színre Niels Bohr elmélete, aki forradalmi gondolattal állt elő 1913-ban, amikor felállította a Hidrogén atom planetáris modelljét. Ez még a kvantummechanikát megelőző korszak volt, de előkészítette a talajt a mikrovilág szokatlan új elmélete számára. Mire támaszkodhatott Bohr? Mindenekelőtt Max Planck korszakalkotó felismerésére (1900), aki a fekete test sugárzási törvényének magyarázata céljából a fényt kvantumokra bontotta, olyan elemi objektumokra, amit azóta fotonoknak nevezünk. Ezek a fotonok nem bonthatók tovább, mindegyiknek a frekvenciától függő energiája van: E = h·f, ahol h a Planck-állandó. Ezt a képet egészítette ki John William Nicholson 1911-ben, amikor a fotonhoz saját perdületet (impulzusnyomatékot) rendelt, ez a redukált ћ= h/2p Planck-állandó. Bohr alapul vette Newton mozgásegyenletét, melyben a gravitációs vonzást a pozitív atommag és a negatív töltésű elektron közötti elektromos vonzással helyettesítette. Ebben a  modellben úgy keringenek az elektronok az atommag körül, ahogy a bolygók a Nap körül. Körpályákat tételezett fel és az atommaghoz képest kis tömegű elektronokat.

A folytonosan változó elektromos erő folytonosan változó energiájú elektronpályákhoz vezet, szemben a spektrumok éles vonalainak megfelelő diszkrét értékekkel. De mitől lesz az elektron energiája diszkrét, tette fel Bohr magának a kérdést? Ehhez kell egy kiválasztási elv, ami csak bizonyos értékeket enged meg. Ennek megtalálása érdekében Bohr egy heurisztikus hipotézishez folyamodott: csak az olyan pályák lehetségesek, melyek perdülete ћ egészszámú többszöröse. Ez a gondolat Nicholson foton képének továbbvitele, hiszen ha minden foton egy ћ perdületű csomag, akkor annak küldői és átvevői is ћ többszörösével rendelkeznek. Így született meg az ad hoc feletételezés nyomán a kvantum fogalom, melynek kiteljesedése hozta létre a gyökeresen új fizikai elméletet a mikrovilágban.

Bohr koncepciójának forradalmi újítása

De mielőtt tovább lépnénk a kvantummechanika megalapítóinak korszakos munkásságára, Erwin Schrödinger operátoraira és Werner Heisenberg mátrix technikájára, szót kell ejteni, hogy miért volt Bohr feltevése rendkívül bátor és forradalmi lépés a fizikában. Ennek oka, hogy a klasszikus fizika csúcspontja, a Maxwell egyenletek kimondják, hogy töltött objektumok gyorsuló mozgása elektromágneses sugárzáshoz vezet. A keringő elektronok pályája viszont gyorsuló mozgás! De akkor miért nem sugároznak? Erre volt Bohr válasza, hogy a ћ többszörösével rendelkező speciális pályák stacionáriusok, vagyis olyanok, melyek a változatlanság hordozói, ez pedig megváltozna a kisugárzás miatt, hiszen ezt megkívánja az energia megmaradásának törvénye. Ez így még tautologikus okoskodás, ezért hozzá kell tenni, hogy a változás mégiscsak bekövetkezik, amikor az elektron az egyik stacionárius pályáról átlép egy másikra foton kibocsátással, vagy elnyeléssel. Röviden szólva, a kisugárzás nem a pályán történik, hanem a pályák között, vagyis kvantumokban megy végbe. Kezdetben nehéz volt elfogadni ezt az okoskodást, de ott volt mögötte az aranyalap! Ez az elv tökéletesen visszaadta azokat az energianívókat, amit a Rydberg formula leírt, vagyis a fizikai elvekre alapozott elmélet és a kísérleti adatok tökéletesen egybecsengtek.

A kvantum a tér szerkezetét tükrözi

Itt most nem az a célunk, hogy Bohr elméletének korlátaival foglalkozzunk, hanem az, hogyan vált az ad hoc kvantumhipotézis egy új elmélet alapjává. Schrödinger és kissé más úton Heisenberg kereste azt a matematikai leírásmódot, amelyben már nem egy ad hoc hipotézisi hozza be a kvantumelvet, hanem ez az elv már az elmélet alapitó eleme. A lényeg, hogy találjunk olyan eljárást, ami az elektronok mozgását olyan függvényekkel írja le, amelyek önmagukat reprodukálják egy bizonyos matematikai transzformáció során. A transzformációt létrehozó matematikai szimbólumot Schrödinger az operátorokban, Heisenberg a mátrixokban találta meg. Ezek bizonyos függvényeket, amit sajátfüggvényeknek nevezünk, egy konstans szorzóval átviszik önmagukba. Ezek a konstans szorzók már diszkrét értékeket vesznek fel, ily módon lesznek alkalmasak, hogy diszkrét energia vagy perdületi értékeket rendeljenek az elektron egyes állapotaihoz. Amikor az energia meghatározásáról van szó, a sajátfüggvényeket állapotfüggvénynek nevezzük, ez a függvény jellemzi az elektron, és más elemi objektumok mozgását is. Ez a leírásmód tudomásul veszi, hogy az elektron útját az atomban nem tudjuk pontról-pontra követni, nem tudunk arra válaszolni, hogy most éppen hol van az elektron, de megadhatunk egy olyan leírást, ami választ ad arra a kérdésre, hogy mekkora valószínűséggel lehet az elektron itt vagy ott. Úgy is fogalmazhatunk, hogy az idő dimenzió helyébe a valószínűség fogalma lép. Ezt a valószínűségi eloszlást pedig az állapotfüggvény segítségével kapjuk meg. Az egyes állapotok diszkrét jellegét azzal adjuk meg, hogy a mozgás leíró függvények közötti integrál (skalárszorzat) nulla lesz, ha ezek különböznek, viszont az egységet adják, ha azonosak.

A kvantummező elmélet

A kvantummechanikai szemléletmód továbbfejlesztését képviselik a mezőelméletek. Ezekben már az elektronok és fotonok kölcsönhatási rendszerét egységben kezeljük mint a téridő oszcillátorait, melyek képződéséhez és eltűnéséhez kreációs és eltűnési kvantumszámokat rendelünk. A módszer legszebb eredménye, hogy a QED (kvantumelektrodinamika) perturbációs módszerével rendkívüli pontossággal tudjuk reprodukálni az elektron anomális mágneses nyomatékát.

Milyen tanulságokat vonhatunk le abból az útból, ahogy a klasszikus fizikai elvekből eljuthattunk a kvantummechanika világába? Ennek a kérdésnek a vizsgálata segíthet, amikor el akarunk jutni egy olyan elmélethez, melyben már az egyes elemi objektumok, például az elektron, a müon és a tau részecske tömegének kialakulására keressük a választ.

Mi a tér kvantuma?

A legfőbb kérdés, hogy mi hozza létre a kvantumot? Ennek eredetét a téridő szerkezetében kell keresni! Ha a térben bármilyen irányban eltolást hajtunk végre, akkor ez minden irányban folytonos lesz. Más a helyzet a forgatásnál, ha teszünk egy teljes fordulatot, akkor visszajutunk az eredeti állapotba. Minden stacionárius állapot, minden elemi objektum alaptulajdonsága, hogy eleget tesz az önmagával való azonosság kritériumának. Mivel a forgás eleve kvantált tulajdonság, így a forgásra épülő fizikai mennyiség a perdület is kvantált lesz, és ez a kvantáltság jelenik meg az energia kvantáltságában is, amikor forgásszimmetrikus állapotokról van szó, például, amikor az elektronpályákról beszélünk atomokban. Nem kötelező azonban az „önreprodukcióhoz”, hogy teljesen körbe forogjunk, előfordul, hogy egy fordulaton belül többször reprodukálja az állapot önmagát. Ekkor mondjuk, hogy a perdület a ћ állandó többszöröse lesz. De miért rendelkezik az elektron és általában a fermionok ½ћ perdülettel? Ennek megértéséhez tudni kell, hogy a kvantummechanika szemléletvilága a valószínűségi elvre épül, ez pedig megenged olyan mozgásállapot is, amikor a forgás nem egy tengely körül megy végbe, hanem egyidejűleg két tengely körül. Ezt nevezhetjük gömb, vagy pont körüli forgásnak is. Ez a forgás a gömb minden irányát bejárja, vagyis 4p szögtartományt fut be, szemben a körforgás 2p tartományával. Ekkor az önmagába való visszatérés 4p szögű elfordulás után következik be, amiért feleződik a fermionok perdülete ½ћ értékre, azaz spinjük S = ½ lesz. A téridő mozgásainak önmagába való visszatérése úgy mutatkozik meg az állapotfüggvényben, hogy az energiaoperátorral való transzformáció a függvényt nem változtatja meg.

Hogyan alkotja meg a téridő az elemi objektumokat?

A téridő olyan mozgásformái, melyek eleget tesznek a ciklikus ismétlődés szabályának, képezik az elemi objektumokat, specifikus tulajdonságokat pedig a mozgás szimmetriája határozza meg. Bozonokról beszélhetünk, ha tengelyforgásról van szó (henger szimmetria), fermionokról gömbforgás (gömbszimmetria) esetén. De milyen sebességet rendelhetünk ezekhez a ciklikus mozgásokhoz? A relativitáselmélet egyetlen abszolút sebességet ismer, ez a c a fénysebesség. Ez lényegében a téridő intrinszik tulajdonsága, ami egybekapcsolja a tér és időkoordinátákat. Az egyes részecskék csak úgy rendelkezhetnek diszkrét, jól meghatározott energiával, ha a létesítő mozgás fénysebességgel történik. Az energia meghatározója az időegységre jutó ismétlődési szám, a frekvencia. Így jutunk el az energia Planck formulájához is. Az energia kétféle definíciója az mc² és a ћω összekapcsolódik, ami kiegészítve a fénysebességű forgás ωr = c definíciójával, elvezet a Compton hullámhosszal jellemezhető sugárhoz, ami R_C = ћ/mc bozonok és R_C = ½ћ/mc  fermionok esetén. A fermionok Compton sugárral való jellemzése alapjába véve klasszikus fizikai koncepció, kvantummechanikai felfogásban már a sugár nagyságának várható értékéről és eloszlási valószínűségéről kell beszélni.

Az elektro-gyenge kölcsönhatás közvetítői

A kölcsönhatási bozonok két alaptípusa az elektromágneses kölcsönhatást közvetítő foton, valamint a gyengekölcsönhatást leíró W és Z bozonok. A fotonok frekvenciája tetszőleges lehet, ez a frekvencia időben nem változik, és alkalmas a különböző elektronállapotok közötti átmenetek gerjesztésére. Az állandó frekvencia úgy jön létre, hogy a foton terjedése a forgási tengely irányában történik. Ezzel szemben a W bozon változó frekvenciájú körforgás, melyben a frekvenciaváltozást a forgási tengelyre merőleges transzláció okozza. A forgási sugár fénysebességű növekedése okozza, hogy a bozon forgási frekvenciája exponenciálisan, fázisa pedig logaritmikusan változik (lásd a „Hogyan építi fel a W bozon a leptonokat: az elektron, a müon és a tau részecskék tömege” című írást). Ez a tulajdonság eltér a fotontól, ahol állandó a frekvencia és lineáris a fázisváltozás. Állandó frekvencia mellett azért jön létre rezonancia, mert folyamatos a fázisegyezés, és így a foton kibocsátás és emisszió esetén elegendő a rezonanciafeltételt figyelembe venni, viszont a változó frekvenciával forgó W bozon által közvetített átmenetekben csak pillanatszerű a frekvenciaegyezés, ezért kritikus a fázisok közötti koherencia. Emiatt a fáziskoherencia teljesülése adja meg azt a kiválasztási szabályt, amely meghatározza az elektron, a müon és a tau részecske tömegét, illetve frekvenciáját. A fáziskoherencia követelménye a lendületmegmaradásból is következik: a neutrínó emisszió során nyert lendületét úgy egyenlítheti ki a W bozon, ha az abszorpció ugyanabban az irányban megy végbe.

A leptonokat alkotó ismétlődési ciklusok

A leptonokat úgy értelmezhetjük mint egy ismétlődő, W bozon által generált ciklust. Az elsődleges lepton a tau részecske, és ennek átalakulása hozza létre a müont és az elektront. Az elektron az átalakulási lánc végterméke.

Az első ciklus.  

Induljunk ki a W-tau ciklusból! A tau leptonból kilép a W bozon egy neutrínót hátrahagyva. Az első, vagyis képződési szakaszban, a W bozon a tau részecske frekvenciájától indulva eljut a maximális frekvenciáig. A frekvencianövekedés során a fázis logaritmikusan változik. Ezt követi egy konverziós szakasz, mialatt a forgási frekvencia állandó és a fázis lineárisan növekszik. Ennek fázisszögét a Sommerfeld állandó határozza meg 2p-vel szorozva. A konverziós szakasz után indul meg a frekvenciacsökkenés, amíg eléri a hátrahagyott tau-neutrínó frekvenciáját. Ennek logaritmikus fázisváltozása azonos a képződési szakasszal. A W bozon a ciklus végén abszorbeálja a neutrínót, és így visszaállítja a kiindulási tau részecskét.

1. Ábra. A tau-W ciklus szakaszainak szemléltetése. A sárga és kék nyíl mutatja a W bozon emissziós és abszorpciós szakaszát, közötte van egy nyilakkal jelölt rövid szakasz, ami a konverziós szögnek felel meg

A W bozon fázisa gyorsabban növekszik, mint a tau neutrínóé, azt 2p-vel meghaladva jön létre a fáziskoherencia:

A koherencia szabályból következik a W bozon és a tau részecske energiaaránya:

Ennek származtatásához két posztulátumot teszünk:

1. A fermionok ugyanakkora frekvenciához tartozó energiája fele akkora, mint a bozonoké,
2. A neutrínó energiája (frekvenciája) megegyezik a tau részecskéjével

Ez utóbbi posztulátum a neutrínó és a W bozon közötti rezonancia kritériumból fakad, és ellentétes a mai részecskefizikai felfogással, amely szerint a neutrínó oszcilláció megköveteli, hogy a neutrínók rendelkezzenek valamilyen nagyon kis tömeggel. Állításunk szerint a neutrínó tömege egzaktan nulla, hiszen a mérési pontosságon belül a neutrínók fénysebességgel haladnak, hatótávolságuk pedig végtelen. Az utóbbi a mérték (gauge) invariancia szempontjából fontos, hiszen a neutron alfa-bomlásának megfordításához (a proton visszaalakulása neutronná) szükség van a neutrínóra is. A neutrínóknak van energiája és lendülete is, hasonlóan a szintén nullatömegű fotonokhoz.

A fenti posztulátumok helyessége mellett szól, hogy a tau részecske így számított energiája a hiba határon belül megegyezik a mért értékkel.  

A második ciklus:  A tau-müon oszcilláció

A tau részecskék élettartama véges (2,9x10^-13s). Ez magyarázható a neutrínó oszcillációval, amiért a W bozon és a neutrínó rezonanciája nem mindig valósul meg a neutrínó kilépése miatt. Ekkor a W bozon folytatja tágulási (frekvencia csökkenési) útját egészen addig, amíg nem teljesül újra a koherencia szabály. Ebben a ciklusban azonban megnövekszik a konverziós szög is. Erre ismét két posztulátumot teszünk:

1. A konverziós szög a frekvenciával fordítottan, vagyis a Compton sugárral arányosan növekszik.
2. Fellép továbbá egy késleltetés, amiért a növekedés mértéke elmarad a Compton sugarak arányától.

2. Ábra. A W bozon pályája a belső és a tau-müon ciklusban. A W bozont mutatja a belső fekete kör, a tau pálya a piros, a külső szaggatott kör a müon. A W spirális a tau kör feletti vékony nyíltól indul, a belső W-tau ciklust jelzi a sárga nyíl és a kék nyíl. A tau-müon ciklus W spirálja a pirossal jelölt tau körön kívül halad, zöld nyilak jelzik a két szakaszt, lent látható az egyenletes frekvenciájú delta fi szakasz.

Ebben a ciklusban a W bozon fázisa marad el a tau neutrínó fázisától, és akkor teljesül a koherencia, ha a lemaradás eléri 2p értéket, vagyis a teljes fordulatot. A fenti posztulátum alapján a tau és a müon energiájának arányát megadó összefüggés: 

 A formulában  ̶ 3 a késleltetési szám. A koherencia akkor áll fent, ha x = 16,846, vagyis a müon energiája E_m = 105,47 MeV. Ez jól közelíti a mért 105,66 MeV értéket, de kissé elmarad attól.    

Harmadik ciklus: müon-elektron oszcilláció

A müon élettartama is véges, ezért a W bozon innen is tovább léphet, melynek során fokozatosan csökken energiája. Ekkor a korábbi posztulátumnak megfelelő konverziós szög már hosszabb lesz egy teljes fordulatnál, amiért több fordulatra van szükség, mégpedig a fáziskoherencia 6p szögnél teljesül, amit az n = 3 kvantumszámmal adhatunk meg. A konverziós szög kifejezésében a késési szám harmadik hatványa lép fel, amiért a koherenciaszabály:  

Az n = 3 esetben a számított arány x = 205,8 lesz, az elektron energia pedig E_e = 0,5134 MeV értéket kap. Ez szintén közel van a mért 0,511 MeV energiához, bár kismértékben meghaladja azt.  

3. Ábra. A W bozon útja a tau-müon (belső, sárga vonal) és a müon-elektron (külső, zöld vonal) ciklusban. A W bozon az A pontban éri el az elektron Compton sugarát, ahol a hosszú átalakulási idő alatt lefut két kört (szaggatott vonal), majd a B pontból indul vissza a müon sugárhoz, ahol teljesül a fázis koherencia.

Hogyan tovább?

A felvázolt modell, bár csak egy esetben képes a kísérleti adatok hibahatáron belüli reprodukálására, mégis igen jól közelítést ad valamennyi lepton számára. Ez arra utal, hogy posztulátumok megállják helyüket, és reményt nyújtanak, hogy tovább léphessünk a Standard Modell hátterét megadó konzekvens kvantummechanikai elmélet megalkotásához. Elmondható, hogy olyan fizikatörténeti határhoz jutottunk, ami a Bohr Modellhez hasonlóan fordulatot hozhat a mikrovilág legapróbb objektumainak tulajdonságait feltáró elmélet megalkotásában. Nehézséget jelent viszont, hogy szemben a Hidrogén atom spektrumának összetett vonalszerkezetével, itt csak három adatra, a leptonok ismert tömegére támaszkodhatunk. Emiatt viszonylag könnyű  ̶  például illeszthető paraméterekkel, vagy ad hoc posztulátumokkal  ̶  reprodukálni az adatokat. Viszont nem az a cél, hogy további, akár plauzibilisnek tűnő posztulátumokat tegyünk a tökéletes egyezés érdekében, hanem ami fontos, az a gyenge kölcsönhatás mikro mechanizmusának felderítése. Az a pontatlanság, ami a müon- és elektrontömeg reprodukálásánál jelentkezik, mutatja, hogy elkerülhetetlenül szükség van a tovább lépésre, megalkotva a gyenge kölcsönhatás konzekvens kvantummechanikai mezőelméletét.  

Hol kell keresni ehhez az utat, honnan kaphatunk ehhez fogódzót? Példaként vehetjük a QED elméletét és a perturbációs megoldási technikát, amellyel rendkívüli pontossággal sikerült reprodukálni a leptonok mágneses nyomatékát. A Dirac elméletből számítható mágneses momentum az elemi töltés és a Compton sugár szorzatával adható meg, a kísérleti érték viszont kissé nagyobb ennél. Az eltérést képes tökéletesen számításba venni a QED perturbációs eljárása a Feynman diagramok felhasználásával. A számított korrekciós tagok voltaképpen a Compton sugarat módosítják. Elképzelhető, hogy hasonló út vezet a leptonok tömegének egzakt meghatározásához is.

Az itt ismertetett modellben a klasszikus fizikai elvekre támaszkodunk, ennek azonban korlátoltak lehetőségei a mikrovilágban. Viszont a kidolgozott posztulátumok utat mutathatnak a kvantummechanikai módszerek megtalálásához is. Mindenekelőtt a fáziskoherencia elvét kell érvényesíteni a kvantumelmélet keretei között. Ez a kiválasztási elv hasonló az elektron állapotok közötti átmeneti valószínűség számításához, amit a dipólus operátor mátrix elemei adnak meg az állapotfüggvények között. Ennek mintájára vezethető be a fázis operátor, amely a W bozon időtől függő állapotfüggvényét felhasználva adhatja meg az átmeneti valószínűséget. A QED formalizmus oszcillátorokkal írja le a fotonokat, ezt váltaná fel a W bozont reprezentáló speciális oszcillátor, amelynek frekvenciája időfüggő. Ez a munka még hátra van!

Előhang

A gyenge kölcsönhatás részecske átalakító szerepéből kiindulva olyan kvantum feltételt lehet felállítani, amely meghatározza, hogy milyen diszkrét energia értékeket vehetnek fel a leptonok. Ez a W bozon által közvetített átalakulás rezonancia frekvenciájának és a fázis koherenciának összekapcsolásán alapul. Arra is választ kapunk, hogy mekkora a három neutrínó diszkrét energiája.

Bevezetés

A részecskefizika Standard Modelljének megoldatlan kérdése, hogy mi határozza meg a három töltött lepton, az elektron, a müon és a tau részecske tömegét. Különböző kísérletek ugyan történtek ennek magyarázatára, de csak illeszthető paraméterek segítségével sikerült reprodukálni a kísérleti értékeket, már pedig egy fizikai elmélet megköveteli, hogy csak alapvető fizikai konstansok lépjenek fel a tömeget meghatározó egyenletben. A fénysebességű forgásmodell, azonban lehetőséget kínál, legalább is jó közelítésben, hogy megkapjuk ezeket az értékeket. Kiindulópontunk a gyenge kölcsönhatás, amely értelmezni tudja a három részecske egymásba alakulását. A három folyamatban a W bozon közvetíti az átmeneteket három neutrínó képződése mellett:

τ → W + ν_τ

μ → W + ν_μ                                                                                        (1)

e → W + ν_e

A folyamat megfordítható, amikor a W bozon a megfelelő töltött leptonra és a hozzá tartozó semleges neutrínóra hasad fel. A tau részecske W bozonja felbomolhat müonra és elektronra is, ily módon közvetítve az átalakulási folyamatot. A müon esetén a bomlás elektront hoz létre. Nincs viszont olyan spontán folyamat, amikor a müonból és elektronból nagyobb energiájú (tömegű) lepton alakulna ki, vagyis az átalakulás végén teljesül az energiamegmaradás követelménye.

 A három lepton tömege (energiája) nagymértékben eltér:

m_τ = 1776,86 MeV/c²

m_μ = 105,66 MeV/c²                                                                              (2)                   

m_e = 0,51100 MeV/c²

A gyenge kölcsönhatás különös tulajdonsága, hogy a kibocsátott W bozon tömege (energiája) E_W = 80,377 GeV nagyságrendben haladja meg azokat a részecskéket, melyek között létrehozza az átalakulást, de ez csak közbenső lépés, a végeredmény már nem ütközik az energiamegmaradás törvényével.

A részecskék fénysebességű forgásmodellje

A részecskék fénysebességű forgásmodellje szemléletes magyarázatot ad a fenti tulajdonságokra (lásd később a Függelékben). A modell lényege, hogy kiterjeszti a fotonokra érvényes E = ћω Planck törvényt a fermionokra is, és egyenlővé teszi mc²-tel.  Amíg a foton és a W bozon egyetlen tengely körül végzett fénysebességű körforgás, addig fermionokban két forgás együtt járja be a gömb minden irányát  Nevezhetjük ez a kettősforgást gömbforgásnak is. A gömbforgás Ω frekvenciája a körforgás ω frekvenciájának fele, mert 4π tartományt kell befutni 2π helyett. Ebből fakad, hogy a fermion Planck energiája:

E = ћΩ = ½ћω                                                        (3)

 A fermionok kettős forgása értelmezi az S =1/2 spint is a bozonok S = 1 spinjével szemben. A részecskékhez sugarat is rendelünk az ωr = c szabály szerint, ami a Compton hullámhossz fele a  energiadefiníció következtében:

                                                  (4)

Bozonoknál a körforgást fénysebességű transzláció egészíti ki. A fotonok a forgási tengely irányában terjednek fénysebességgel, a W bozon viszont a forgás síkjában végez táguló mozgást. Ez a definíció összhangban van az elektro-gyenge kölcsönhatás alapelvével, amely a két kölcsönhatás azonos eredetén alapul.

A királis szimmetria szerepe a töltés és tömeg létrehozásában

A töltések és a tömeg létezése a királis szimmetria ismertető jegye. A részecskéket alkotó elemi mozgás lehet jobb kéz illetve bal kéz szimmetriájú, melyhez pozitív, illetve negatív töltés (anyag és antianyag) rendelhető. Ha a részecskének nincs kiralitása, vagyis akirális, akkor nincs sem tömege, sem töltése. Erre példa a neutrínó, ahol nincs sem töltés, sem tömeg, hasonlóan a fotonokhoz. A nulla tömegre vonatkozó állítást a jelenlegi részecskefizika nem fogadja el, mert a csillagok által kibocsátott neutrínó intenzitásnak csak a harmadát lehet a Földön detektálni, és ezt neutrínó oszcillációval lehet értelmezni. A jelenleg elfogadott magyarázat szerint ilyen oszcilláció csak úgy jöhet létre, ha a neutrínók rendelkeznek véges tömeggel. Viszont a mérések szerint a neutrínó fénysebességgel halad, ami csak nulla tömeg esetén lehetséges. Ezt úgy kerülik meg, hogy nagyon kis tömegű részecskékről beszélnek, amelyek sebessége nagyon közel van c-hez, és az ettől való eltérést a mérési pontatlanság miatt nem lehet kimutatni. A kis tömeg viszont nagyon kis nyugalmi energiát jelent, vagyis a neutrínók a részecskeátalakulás energiamérlegében elhanyagolható szerepet játszanak.

Ebben az írásban olyan koncepciót ismertetek, amelyben fontos szerep jut a neutrínók energiájának, mert az energiához rendelt Planck frekvencia teszi lehetővé azt a rezonanciát, amely miatt a képződő leptonok tömege diszkrét és kvantumokkal jellemezhető tömeggel (energiával) rendelkezik. Melyik magyarázat a helyes? Ezt döntse el, hogy melyik elmélettel lehet a leptonok diszkrét tömegét jobban reprodukálni!

Induljunk ki Higgs koncepciójából, amely szerint a tömeg létrejötte valamilyen metastabilis magas szimmetriájú mezőhöz kapcsolódik, amikor ennek állapota spontán módon átlép valamilyen alacsonyabb szimmetriába. Írásunkban ezt a mezőt értelmezzük a kiralitással, ahol a tükörszimmetrikus akirális állapot megy át vagy jobb, vagy balkéz szimmetriába. A kezdeti Higgs bozon bomlása tömeggel rendelkező W^- és W⁺ bozonokat hoz létre, melyek tömeget adnak az egyes fermionoknak, így például a tau, a müon és az elektron típusú leptonoknak is. Kiemelendő, hogy a müonok megfigyelése játszik kulcsszerepet a Higgs bozon kimutatásában, mert a nagyenergiájú LHC kísérletben a CMS detektor (Compact Muon Solenoid) négy müon egyidejű kimutatását végzi el. Indokolt ezért a tau, a müon és az elektron tömegét úgy keresni, hogy tisztázzuk a leptonokból kilépő és azokat átalakító W bozon mechanizmusát. Azt az elvet követjük, hogy a bomlási folyamat, amely tömeget ad, egyúttal azt is meghatározza, hogy mekkora lesz a diszkrét tömeg.

Az elektro-gyenge kölcsönhatás mezőelmélete

A gyenge kölcsönhatás mechanizmusát úgy érthetjük meg, ha az elektromágneses kölcsönhatást vesszük alapul, melynek elméletét a QED, a kvantumelektrodinamika írja le. Eszerint a töltéssel rendelkező részecskékből virtuális fotonok lépnek ki és nyelődnek el. A fotonok polaritását (a haladás irányában jobb, illetve balmenetű forgását) a részecske töltése, azaz kiralitása határozza meg. A töltéssel rendelkező objektumokból kilépő virtuális fotonok minden irányban azonos valószínűséggel lépnek ki, így az emisszió és abszorpció nem okoz pozícióváltozást. Ha két részecske töltése azonos előjelű, akkor a virtuális fotonok intenzitása a szuperperpozíciós elv szerint összeadódik a közöttük lévő tartományban, így megnövekszik ebben az irányban a fotonok lendület átadásából származó lökés, vagyis végeredményben taszítás alakul ki. Fordított a helyzet, ha a töltések előjele különbözik, mert ekkor a fotonok szuperpozíciója kioltásra vezet a köztes tartományban, ami csökkenti az egymás irányába gyakorolt lökést, azaz vonzás jön létre az objektumok között.

A fotonok által előidézett átmenet fontos tulajdonsága a rezonancia. Ha az elektron két állapota között energiakülönbség van, ahhoz frekvenciát rendelhetünk a  törvény szerint. A fotonok frekvenciája tetszőleges lehet, ezért nincs akadálya, hogy létezzen az energiakülönbségnek megfelelő frekvenciájú foton. A rezonanciaátmenetet létrejöttének csak az a feltétele, hogy teljesüljön a spin, azaz a perdületmegmaradás törvénye a két állapot között. De hogyan hoz létre átmenetet a gyenge kölcsönhatás két részecskeállapot között, amikor ugyanaz a W bozon játszik szerepet a különbözőbb energiájú átalakulásokban? Ehhez ad kulcsot a fénysebességű forgás koncepciója, amely úgy értelmezi a W bozont, melyben a forgást kiegészítő transzláció iránya a forgási síkban van, azaz merőleges a tengelyre. Ez azzal jár együtt, hogy a forgás sugara fénysebességgel növekszik! A sugárnövekedés viszont a forgási frekvencia csökkenésével jár együtt, hiszen . Mivel az energia az E =  törvény szerint változik, így a W bozon a transzláció során folytonosan csökkenti energiáját, vagyis megtalálja azt a frekvenciát, amely szükséges a részecske állapotok közötti rezonancia létrehozásához. Így közvetíthet a W bozon átmenetet a tau, a müon és az elektron között, de ez valósul meg a neutron alfa-bomlásakor is.

A W bozon frekvenciája és fázisa

A frekvencia időbeni változását a sugár növekedési szabályából vezethetjük le:

                                                  (5)                            

Innen adódik, hogy:

                                     (6)

Határozzuk meg a fázist időben változó frekvencia esetén:

                            (7)

A fázisnak kulcsszerepe van a leptonok létrejöttében, ezt fogalmazza meg a frekvencia koherencia szabálya, ami valójában a lendületmegmaradás törvényéből következik.  Vegyük például a tau részecskét, amikor felbomlik W bozonra és egy neutrínóra. A W bozon kilépése az ellenkező irányban löki meg a neutrínót. A folyamat akkor teszi lehetővé a tau részecske újra képződését, ha a W(t) bozon fázisa a rezonancia feltétel teljesülésekor  épp 2p fázissal haladja meg a neutrínóét. Ez a lendületmegmaradás kritériuma.

Az egész ciklust három részre bonthatjuk:

1. Első lépésben kilép a W bozon, melynek során a tau részecske eredeti frekvenciája felveszi a jóval nagyobb  értéket. A képződés fordított irányú folyamat, mint amiről szó volt W kibocsátását követően, mert a tau részecske nagyobb Compton sugara fénysebességgel csökken le a W bozon sugarára, és ennek során a növekedő frekvencia fázisváltozása  lesz.
2. A W bozon frekvenciájának elérése után kell még egy „várakozási” holtidő, ami után beindul a sugárnövekedés, azaz elkezdődik a frekvencia csökkenési szakasza. A várakozási szakasz alatt az idővel arányosan nő W bozon fázisa:

                                               (8)

Itt a = 1/137036 az elektromos töltés nagyságát meghatározó Sommerfeld állandó. Ez heurisztikus hipotézis, amit az támaszt alá, hogy a foton kibocsátás és a W részecske kilépése párhuzamos folyamat az elektro-gyenge kölcsönhatás elméletében. A hipotézis helyességét majd az igazolja, ha ez alapján reprodukálni tudjuk a tau részecske tömegét!

3. A ciklus következő lépése, amikor a tágulás során lecsökken a W bozon frekvenciája arra az értékre, amellyel a tau részecske rendelkezik. A tágulási folyamat alatti fázisváltozás ugyanakkora, mint amikor a W bozon kialakult.
4. 1. Ábra. A tau-W ciklus szakaszainak szemléltetése. A sárga és kék nyíl mutatja a W bozon emissziós és abszorpciós szakaszát, közötte van egy nyíllal jelölt rövid szakasz, ami az átváltási holtpontnak felel meg.

A W bozon fázisváltozása során a neutrínó fázisa az állandó  frekvenciával arányosan növekszik. Viszont a W bozon fázisa ennél gyorsabban változik, és megelőzi a neutrínó fázisát. A koherencia akkor következik be, ha épp egy teljes fordulat, azaz 2p szögkülönbség jön létre a W bozon és a tau részecske fázisa között. Ezt nevezzük a fáziskoherencia szabálynak, amely ismétlődő átalakulási ciklusokhoz vezet. Ez a feltétele, hogy a W bozon létrehozza a tau részecskét:

                                          (9)

Innen kapjuk meg a W bozon és a tau részecske frekvenciaarányát:

                                                  (10) 

Már szó esett a frekvencia és az energia viszonyáról. A W bozon tengely körüli körforgást végez, ahol a szokásos Planck törvény szerint

                                                       (11)

A kettősforgásként értelmezett fermionoknál a tengelyforgás frekvenciája ω, de a gömbforgás miatt két tengelyforgásról lévén szó feleződik a frekvencia, vagyis Ω = ω/2. Emiatt

                                           (12)

Ennek alapján írhatjuk át a frekvenciát energiaarányokkal. Az átalakulási folyamatban fontos a neutrínó szerepe, amely rezonanciába kerül a W bozonnal, ami azt jelenti, hogy azonos frekvenciával forog, mint a tau részecske. A Planck elv szerint így azonos a tau és a neutrínó energiája is! A neutrínó ebben a vonatkozásban hasonlít a fotonokra, mert van energiája, lendülete és perdülete (spinje) is bár nulla a tömegük. Az energiaegyenlőség miatt belép egy feles faktor az energia formulába, vagyis:

                                    (13)

A számított érték hajszálpontosan, azaz hibahatáron belül egyezik a mért adattal, ami meggyőző bizonyíték az előzetes hipotézisek mellett.

Mekkora a netrínók energiája?

A jó egyezés alapján fontos megállapítást tehetünk a neutrínók energiájára. Bár tömegük nulla – hasonlóan a fotonokhoz –, van energiájuk, ami pontosan megegyezik a megfelelő töltött leptonnal, azaz a tau, a müon és az elektron energiájával. Ezzel összhangban van a neutron energiatöbblete a protonhoz képest:

E_n – E_p = 1,293 MeV                                            (14)

Ez több mint kétszerese az elektron energiájának (0,511 MeV), így jut elegendő energia alfabomláskor a képződő elektron és neutrínó számára is.

A részecskefizika a bozonokat tekinti a kölcsönhatások közvetítőinek, a gyenge kölcsönhatás azonban kivétel, mert voltaképpen kétféle közvetítője van: az egyik a rövid hatótávolságú W bozon (a semleges Z bozonnal együtt), a másik pedig a korlátlan hatótávolságú neutrínó. Az utóbbinak köszönhető, hogy nagy távolságban megfigyelhetjük a protonok gerjesztett átalakulását neutronná az inverz alfabomlásban. A neutrínók számára, melyeket a gyenge kölcsönhatás egyik közvetítőjének tekinthetünk, kiterjeszthetjük a mérték (gauge) invariancia elvét is, amely szerint a nulla tömegű közvetítő részecskék hatótávolsága végtelen. Ez megfelel annak, hogy a távoli csillagokból is eljutnak hozzánk a neutrínók.

A tau részecske átalakulása müon állapotba

A tau részecske felezési ideje 2,9·10^-13s, amit összehasonlítva egy ciklus idejével (2,3·10^-27 s), azt kapjuk, hogy 10¹⁴ ciklusonként következik be egy-egy bomlás, vagyis a bomlás rendkívül ritka jelenség. A gyenge kölcsönhatás által generált részecskebomlások jellemzője a hosszú felezési idő. A bomlást úgy értelmezhetjük, hogy esetenként – mire visszaér a W bozon a neutrínóhoz –, az már kilépett a ciklusból. A „hoppon maradt” W bozon ekkor folytatja lassuló frekvenciájú útját a következő állomás felé, amit a müon részecske jelent. Úgy mondhatjuk, hogy a kilépő bozon a W(τ) és a W(μ) állapotok között fog oszcillálni. Ez a ciklus is három szakaszra bontható: amikor a W bozon lassuló forgással eljut a tau állapotból a müon állapotba, majd egy ideig állandó frekvenciával forog, és végül a visszaérkezik a tau szintre gyorsuló forgással. Ebben a ciklusban már a W bozon fázisa marad el a tau neutrínóhoz képest. Itt azt a hipotézist tesszük, hogy a holtidő, amíg a W bozon állandó müon frekvencián forog, olyan mértékben hosszabbodik meg, mint a müon forgás ciklus ideje a tau forgáshoz képest. Ennek megfelelően az állandó frekvenciájú szakaszban a W bozon fázisváltozása:

                                                    (15)

Úgy is fogalmazhatunk, hogy amilyen mértékben lassul a forgás, annak mértékében növekszik az átállási idő is. A fáziskoherencia szabály úgy valósul meg, hogy a teljes ciklus végén a W bozon fázisa 2π szöggel marad el a tau neutrínóhoz viszonyítva:

                                            (16)

Vezessük be az x =  változót. Ekkor a két lepton tömegarányát megadó egyenlet:

                                             (17)

Az egyenletet numerikusan megoldva x = 16,026 értéket kapunk, amely néhány százalékkal elmarad a tömegek 16,817 arányától. Ez azt mutatja, hogy a holtidőre tett hipotézis közelítőleg igaz, de nem reprodukálja tökéletesen a tömegek arányát. 

2. Ábra. A W bozon pályája a belső és a tau-müon ciklusban. A W bozont mutatja a belső fekete kör, a tau pálya a piros, a külső szaggatott kör a müon. A W spirális a tau kör feletti vékony nyíltól indul, a belső W-tau ciklust jelzi a sárga nyíl és a kék nyíl. A tau-müon ciklus W spirálja a piros tau körön kívül halad, zöld nyilak jelzik a két szakaszt, lent látható az egyenletes frekvenciájú delta fi szakasz.

Az elektron és müon tömegaránya

Bár a müon élettartama jóval hosszabb a tau leptonnál, de itt is kilép a ciklusból a W bozon, és növekvő sugarú pályára áll, amig eléri az elektronra jellemző forgási frekvenciát. Az x arányossági tényező nem érheti el a mért 206,77 tömegarányt, mert akkor ln(x) negatív lenne. Ezt arra mutat, hogy a holt idő alatt a fázis több mint egy fordulatot hajt végre. Hány fordulat szükséges, hogy kialakuljon a müon-elektron ciklus? Ha a fordulatok száma n, akkor a fáziskritérium miatt fellépő összefüggés:

                                                  (18)

Itt az x = 206,77 arány esetén n értéke 3,2 lenne, vagyis olyan ciklus jön létre, ahol 6π fáziskülönbség alakul ki. Az n = 3 kvantumszám esetén az x = 183,7 arány teljesíti az egyenletet, amely 10 százalékkal elmarad a müon és az elektron tömegarányától. Ez ismét azt mutatja, hogy hipotézisünk, mely szerint a holtidő arányos a frekvenciával, csak közelítőleg írja le helyesen a diszkrét tömegarányokat.

1. Ábra. A W bozon útja a tau-müon (belső, sárga vonal) és a müon-elektron (külső, zöld vonal) ciklusban. Az elektron kört elérve a W bozon az A pontban, a hosszú átalakulási idő alatt két kört fut le (szaggatott vonal), majd a B pontból vissza indul a müon körbe, ahol teljesül a fázis koherencia.

Hogyan tehetjük pontosabbá a lepton tömegek elméleti meghatározását?

Matematikai ügyeskedéssel lehet javítani az egyezésen, de ez szemben áll a követelménnyel, hogy fizikai elvek megfogalmazásával értelmezzük a leptonok tömegét. Például az átállási idő növekedését visszafogva egy késleltető taggal, az egyezés több mint egy nagyságrenddel javítható:

                                   (18a)                        

Ekkor n = 1 esetén x = 16,846, míg n = 3-nál x = 205,8, ami 0,2 illetve 0,5%-kal tér el a mért arányoktól.                   

A kapott közelítő és részleges egyezés azonban arra mutat, hogy a fáziskoherencia kritériuma közelebb visz annak megértéséhez, hogy miért alakulnak ki diszkrét tömegű leptonok, viszont még tovább kell lépni a gyenge kölcsönhatás kvantummező elméletének kifejlesztésében. Ebben segíthet a QED módszertana, amely perturbációs eljárás révén rendkívül pontosan reprodukálja az elektron anomális mágneses nyomatékát. A mágneses nyomaték első közelítésben az elemi töltés és a Compton sugár szorzatával adható meg:

                                            (19)

A Compton sugarak nagyságrendi eltérése adja vissza az elektron, a müon és a tau nagyon különböző mágneses nyomatékát. A QED perturbációs számítás pontosítja a mágneses nyomatékot, első rendben a sugár (1 + α/2π) tényezővel való szorzásával. Magasabb rendű perturbációk a Feynman diagrammok segítségével behozzák α/2π magasabb hatványait is. Mivel a lepton tömegek számítása szintén a Compton sugarakra épül, ezért várható, hogy az elektro-gyenge mezőelmélet perturbációs módszere olyan korrekciókat eredményez, amely javíthatja a tömegre adott számítások pontosságát. Ennek az itt közölt eljárás a kezdő lépése lehet.

Ami meglepő, hogy olyan nagy pontossággal lehetett megkapni a tau részecske tömegét. Ennek oka, hogy ekkor nincs szükség a leptonok teljes átalakulási mechanizmusának ismeretére, itt kizárólag a W bozon és a tau lepton közötti ciklikus átalakulás játszik szerepet.

FÜGGELÉK

A részecskék belsejében működő tehetetlenségi erők

A kölcsönhatási erők forrása a részecskék belsejében van. A fermionokat fénysebességű kettősforgásokkal értelmezve vegyük sorra a forgó rendszerekben működő tehetetlenségi erőket.

1. Centrifugális erő

                                                      (20)

A fénysebességű forgásoknál v = c, a (3) egyenlet Planck energiáját, az ωr = c összefüggést, valamint a sugár irányba mutató két forgás összeadódását figyelembe véve kapjuk, hogy

                                                    (21)

A centrifugális erőt ellensúlyozza a tér szerkezetének extrém görbülete, ami Einstein gravitációs elméletére alapozva vonzásnak felel meg. A fénysebességű forgásnál a Lorentz kontrakció nullára csökkenti a felületet, míg a mozgásra merőleges sugár változatlan marad. Ez hoz létre olyan degenerált geometriát, amelyben a gömb felülete nulla, de sugara véges marad. Ez megfelel a szóráskísérleteknek is, amelyben az elektron hatáskeresztmetszete nullának adódik.

2. Coriolis erő

F_Coriolis = 2m(vxω)                                        (22)

Fénysebességű kettősforgásnál a Coriolis erő irányát az egyik forgás tengelyiránya és a másik forgás érintője határozza meg vektoriális szorzattal. Ennek iránya megfordul a kiralitástól függően. A két vektor szöge 0 és 2π között változik, amiért az erő iránya körbe fut, és a forgási irányt a fermion kiralitása határozza meg:

                                        (23)

A Coriolis erő átlaga nulla, de a periódus egyik felében kifelé a másik felében befelé mutat. Ez periodikusan felborítja a centrifugális erő és a térgeometria görbülete miatti potenciális erő egyensúlyát, amiért a fermion a periódus egyik felében kibocsátja, a másikban abszorbeálja a körforgást, vagyis a fotont. A fotonok teljes intenzitása és így a töltés négyzete e² = αћc lesz, ahol α a Sommerfeld állandó, ami a foton kibocsátás hatékonysági együtthatója. Ugyanez az együttható játszik szerepet a W bozon kibocsátásakor is.

3. Euler erő

                                          (24)

Gömbforgásnál az Euler erő érintő irányú, és a frekvencia kifelé haladva a Compton sugártól nullára csökken, vagyis térbeli lassulásról van szó a klasszikus fizika időbeli lassulásához képest. A kvantummechanikai szemléletmód azonban kapcsolatot teremt a térbeli és időbeli változás között. A fermion gömbforgásához állapotfüggvényt rendelhetünk, melynek radiális amplitúdója az atomi elektronpályákhoz hasonlóan exponenciálisan csökken a centrumtól való távolság függvényében. Ez felel meg a Schrödinger egyenlet aszimptotikus megoldásának. A valószínűség-sűrűség eloszlási szélessége fordítva arányos az energiával, amit szemléletesen a Compton sugár héjvastagságának nevezhetünk. Mivel a fénysebességű forgás a Compton sugáron kívül nullára csökken, ezért δω = ω = c/r . A δr vastagságú héjon való átjutás ideje δt = δr/c, amit figyelembe véve az Euler erő:

                                              (25)

Mivel a héjvastagság jóval kisebb a sugárnál, az Euler erő nagyságrendben haladja meg a másik két erőt, és az erővel szemben végzett „fékezési munka” sokkal nagyobb lesz, mint a részecske nyugalmi energiája. Így válik világossá, hogy honnan származik a W bozon nagy energiája, illetve tömege. Ezt a fékezési energiát hasznosítja a W bozon, amikor létrejön, majd vissza adja az energiát a töltött lepton létrehozásával és a neutrínó abszorpciójával. A W bozon kibocsátási hatékonyságát szintén a Sommerfeld állandó határozza meg, ami megjelenik a (8) és (15) egyenletekben.

Túra a makrovilág és a mikrovilág között

Nehéz túra megtételére invitálom az olvasókat, amelyben a valóság és a képzelet viszonyáról lesz szó. A túra nehézségét az adja, hogy gondolkodásunk alapvető pillérjeit kell átalakítani az út során. Ez az út számomra is sok nehézséggel jár, aminek többször is neki kezdtem. Egyik ilyen vállalkozásom címéül adtam Mark Twain regényének címét „A koldus és királyfit”. A makro és mikro világ kapcsolatát a koldus és a királyfi segítségével szimbolizáltam. A regény bemutatja, hogy a két szereplő milyen bonyodalmakba kerül, mert a két világ nagyon különbözően gondolkodik. Itt is arról lesz szó, hogy milyen nehézségek támadnak, amikor makro világunk „koldusaiként” akarjuk megérteni a mikrovilág királyi birodalmának titkait. Az útra magunkkal visszük szokásos fogalmainkat, amit a hétköznapi világ megismerésekor szereztünk, de a mikrovilág megértésére való törekvés szükségessé teszi, hogy átírjuk legfőbb fogalmainkat a valóságról, a valódiról és a valósról, és keresni kell a kapcsolatot a valóságról alkotott elképzeléseinkkel. Ennek során ellentmondások sorával találkozunk, ami szükségessé teszi a mikrovilággal konzisztens fogalmak megtalálását. Tapasztalatainkat hasznosítva indulhatunk visszafelé a felépítési elvet alkalmazva, amikor a mikrovilág elemeiből építjük fel a makrovilágot. Nem győzöm hangsúlyozni, hogy a logikai út követése komoly megpróbáltatás lesz az olvasók számra is. De vágjunk bele!

A valóság megismerésének útján

A legalapvetőbb kérdés, amire keressük a választ – legyen szó akár fizikáról, vagy filozófiáról – hogy mi a valóság, mi a megismerés. Ebben a kérdésben fordulatot hozott, hogy a XX. Század elején a fizika áttörést ért el a mikrovilág megismerésében, amikor megalkotta a kvantumfizikát. Ez viszont felvetett filozófiai kérdéseket is, kialakultak különböző iskolák, aminek tengelyébe a determinizmus kérdése került. A klasszikus fizika Newtontól kezdve determinisztikus képet alkotott, ezen az alapon áll az einsteini általános relativitáselmélet is, szemben a kvantummechanikával, amely felállította Heisenberg nyomán a határozatlanság elvet, mely szerint a mozgás során a pozíció és a lendület mérése egyidejűleg nem adhat végtelenül pontos értéket. A két mérés pontosságának szorzata nem lehet kisebb, mint a ћ Planck állandó. Vajon feloldható-e az ellentmondás a két elmélet között? Ebből kiindulva nézzük meg először, hogy mit is értünk az olyan fogalmakon mint a valóság, a valóságos, vagy a valós, és ezt állítsuk szembe a képzelet, a képzelt, illetve az imaginárius fogalmakkal. Keressük ennek a két fogalomcsokornak a kapcsolatát.

A képzelet a valóságról alkotott szubjektív képünk, amelynek alapvető szerepe van a megismerésben. Gondolatainkat indítsuk el egy bibliai történettel, amikor Tamás apostol kétkedett, hogy valóban feltámadt-e Krisztus. Ő nem volt jelen, amikor először jelent meg Krisztus az apostolok előtt, csak tőlük tudta meg a hírt.  Kételkedett, hiszen ő is ott volt a Golgoták hegyén és saját szemével látta a kereszthalált. Emiatt arra gondolt, hogy csak a vágy vezette a többi apostolt, hogy szerették volna újra látni a Mestert, és ez a vágy megtévesztette őket és megalkotott egy víziót. Ő a megfogható valóságról akart meggyőződni, kezével kitapogatni Krisztus sebeit. Így akart meggyőződni a valóságról.

A világ megismerése állandó összehasonlítás a képzeletünkben megalkotott kép és a látott világ, vagyis a valóság között: csak akkor ismerünk fel valakit, ha már ott van képzeletünkben az előzetes kép.

A matematikai absztrakciók világa: műveletek és számrendszerek

Mi tehát a valóság és mi a képzelet, olykor csak átmenetek sorozata, melyben folytonosan halványulhat el a valóság és adhatja át helyét a képzeletnek, és ez az út gyakran megtehető fordítva is. Ennek az útnak legabsztraktabb formája a matematika. Beszéljünk erről a számok világában is! Hasznos lesz, amikor tárgyalni fogom a klasszikus makroszkopikus fizika és a mikroszkopikus világ fogalmi rendszerének kapcsolatát.

Az egyes számrendszerek definíciójában is kibontakozik a fokozatos átmenet a valóság és a képzelet világa között. Az egyes számok megalkotója a művelet, ami egyrészt létrehozza a számokat, másrészt kapcsolatba hozza őket. A szám az alany, a művelet az állítmány. A legősibb művelet a számlálás, például számba vehetjük, hogy hány diót találtunk, így alakul ki az 1,2,3 …. és innen felfelé. Ezeket nevezzük természetes számoknak. Azért természetes, mert közvetlenül kapcsolódik a természet megismeréséhez. De kialakíthatunk kupacokat a diók között, az egyikben legyen, mondjuk 3, a másikan 4. Az összegüket meghatározhatjuk egyesévek megszámlálva, de ha már előtte megszámoltuk, hogy 3 illetve 4 van bennük, akkor meggyorsíthatjuk a számbavételt az összeadás műveletével. Ez csak egy csoportosítást jelent, ami nem alkot meg új számrendszert, maradunk a természetes számok halmazánál. Ott lép be a matematikai absztrakció, amikor felvetjük az összeadás művelet fordítottját a kivonást. Ezt nevezzük az összeadás inverz műveletének. Az inverz művelet sajátossága, hogy kibővíti a számrendszerünket. Ha egy kisebb számból nagyobbat vonunk ki, akkor jutunk el a negatív számokhoz. A negatív és pozitív számokat együtt már egész számoknak nevezzük. De hozzunk létre egy új csoportosítást, amikor 3 elemből álló kupacokat csinálunk, mondjuk négyet. Ekkor ahelyett, hogy négyszer egymás után végeznénk el az összeadást, bevezetjük a szorzás műveletét. Maga a szorzás csak újabb csoportosítás, mi nem vezet ki az egész számok világából, de ha újra megfordítjuk a műveletet, eljutunk az osztáshoz is. Ez tovább bővíti a számrendszerünket, eljutunk a racionális számok világába. Ezt racionálisnak nevezzük, mert még nem távolodtunk el messze a természetből kiinduló művelettől. De a szorzást is megismételhetjük néhányszor, ezt nevezzük hatványozásnak. Ez is csak egy újabb csoportosítási elv, ezért ekkor még a racionális számok halmazánál maradunk. Megváltozik ismét a helyzet, ha megfordítjuk a hatványozást és bevezetjük annak inverzét a gyökvonást. Itt már újra kiegészül a számhalmaz, például ha 2-ből vonnunk gyököt. Ekkor olyan számhoz jutunk, ami nem állítható elő két egész szám hányadosaként. Ezzel kilépünk a racionális számok halmazából és irracionális számokról beszélünk. Ide már olyan számok is tartoznak, ami még gyökvonással sem adhatók meg. Ilyen ismert szám a pi, ami a kör kerületének és átmérőjének hányadosa. Összességében az eddigi számokat valós számnak nevezzük, amivel azt fejezzük ki, hogy a szokásos valóságból kiindulva tudjuk levezetni ezeket a számokat. De a matematika ezen is túl lép, amikor felveti a lehetőséget, hogy vonjunk gyököt a negatív számokból is. Ez a lépés már tényleg csak matematikai képzeletünk terméke, ezért ezt a terméket már imaginárius számnak nevezzük, aminek egysége az „i”, ami a -1-ből vont négyzetgyököt jelenti.

A matematikai képzelet itt sem áll meg, hanem megalkotja az összetett, két elemű szám fogalmát, ez a komplex szám, aminek egyik tagja valós, a másik imaginárius. Ez egy hasznos művelet a fizikában, ha két mennyiség szorosan összekapcsolódik, mint például az elektromos és a mágneses mező az elektrodinamikában, de erre találunk példát a kvantummechanikában is. A mikrovilág objektumait komplex függvénnyel tudjuk leírni, amelyben a valós és az elképzelt szorosan összetartozik, a kettő csak együtt értelmezhető. A teljes valóságban benne van saját elképzelésünk is a valóságról.

A matematikai összekapcsolás megindít egy új utat, amikor több mint két komponenst kapcsolunk össze. Három komponensről beszélünk, amikor a háromdimenziós tér vektorairól beszélünk. Eddig a művelet határozta meg a számokat, de itt megfordul a dolog: a háromkomponensű vektorok között már belép egy új szabály: a komponensek sorrendisége. Beszélhetünk az olyan szorzatról, aminek eredménye egy újabb vektor lesz, ez a vektoriális szorzás. Itt mar megszűnik az a szabály, hogy a szorzat két elemének közömbös a sorrendje, például 3-szor 4 szorzatnak ugyanaz az eredménye, mint a 4-szer 3-nak. Ez a kommutativitás. A vektoroknál már új helyzet álla elő: ha az x és y vektorok szorzata létrehozza a z-ét, ahol a három irány úgy igazodik egymáshoz, mint egy jobbsodrású x,y,z koordináta rendszer. Ezt jobb kezünkkel szemléltethetjük, ha az x irányt nagyújunk, az y-t a hüvelykúj, z-t felfelé mutató tenyerünk mutatja meg. Ha a szorzatban x és y-t felcseréljük, azaz y-t szorozzuk x-el, akkor az eredő z irány fordítva mutat, amit már balkezünkkel szemléltethetünk. Ez a kettőség a kiralitás, ennek van döntő szerepe, ha érteni akarjuk a Coriolis erőt, sőt a töltések kétféle előjelét, vagy az anyag és antianyag kettősségét is. A kommutativitás hiánya értelmezi a határozatlansági relációt is a kvantummechanikában, amikor kiderül, hogy a pozíció és a lendület szorzata nem határozható meg tetszőleges pontossággal. A három komponensű számkombinációhoz képest is tovább léphetünk, amikor mátrixokba rendezzük a számokat, ilyenek a tenzorok is, meg az operátorok. Talán unalmas lehetett ez a számelméleti kitérő, de sokat fog segíteni, amikor a klasszikus fizika és a kvantumfizika kapcsolatáról lesz szó.

Hol van az elválasztó határ a makro- és a mikrovilág között?

A fizikára visszatérve beszéljünk először a makroszkopikus és a mikro rendszerek viszonyáról. Hol van az elválasztó határ közöttük? Úgy tűnik, hogy ez a kérdés gyakran homályban marad, ami számos félremagyarázást eredményez. Erre ismert példa a Schrödinger macskája is.

Nézzük először a ködkamra felvételt, ami mágneses mezőben készült egy elektron útjáról, ami kissé növekvő sugarú körpályához vezet. Vajon ez a pálya már a mikrovilághoz tartozik? A válasz nem, noha egyetlen elektron útját mutatja, de makroszkopikus eszközökkel. A köd parányi elemei ugyan kisebbek egy milliméternél, de mégis csak makroszkopikus objektumok, minden egyes csepp víz molekulák trillióiból tevődik össze. Valójában az elektron által megváltoztatott ködcseppeket látunk, ez az elektron útjának nyoma. Tehát nem magát az elektront látjuk, csak azt a pályát, amit befutott. Az elektron minden egyes ködcseppel reagálva valamit lead lendületéből és energiájából, ezért a mágneses mező kissé növekvő sugarú pályára kényszeríti, de amikor ezt a pályát matematikailag leírjuk, nem a kvantummechanika törvényeit alkalmazzuk, hanem a klasszikus fizikáét, az elektrodinamika és a mechanika szokásos törvényeit. A mikrovilág törvényére, a kvantummechanikára akkor van szükség, ha az elektronokat egy molekulában, vagy egy kristályrácsban, vagy egy fémes vezetőben vizsgáljuk, ekkor beszélhetünk a részecske és hullámtermészet kettősségéről. A mikro és makrovilágot egy rendkívül kis és egy rendkívül nagy szám választja ketté: az egyik a ћ = s Planck állandó, a másik az Avogadró szám 6·10²³. Ez azt jelenti, hogy a kvantum lépés nagysága rendkívül kicsi, észrevehetővé akkor válik, ha az Avogadro számú mikro-objektumról van szó. A kvantummechanika törvényei a korrespondencia elve szerint, akkor mennek át a klasszikusba, ha nagy az objektumok száma, vagy nagy a kvantumszám értéke. Ebben a határesetben már a klasszikus mechanika írja le a mozgásokat.

A láthatatlan stacionárius állapot

A mikrovilág törvényeinek megismeréséhez át kell alakítani gondolkodásunk egész fogalmi rendszerét. Hasonló a helyzetünk, mint amit Mark Twain regényében leírt, amikor a koldus a királyi udvarba került. Azok a fogalmak, melyek jól beváltak a koldusok között már nem voltak érvényesek a királyi udvarban, ami félreértések sorozatával járt. Az első, amit meg kell tanulni, hogy nem a mozgási pályát látjuk, hanem a különböző állapotok közötti ugrást. Valójában a pálya közvetlenül nem is látható, ezért stacionárius állapotokról beszélünk. Az ugrásokról a fény kvantuma, a foton ad információt. A bennünk kialakuló kép a mikrovilágról  ̶  például a mérési pontosság  ̶  attól függ, hogy milyen tulajdonsággal rendelkezik az információ közvetítője, a foton.

A klasszikus mechanika látható pályával rendelkezik, ami azt jelenti, hogy pontról pontra nyomon követhetjük akár egy bolygó vagy csillag pályáját teleszkóppal, vagy láthatjuk a labda ívét szemünkkel, de felvehetjük videóra is. Ezt tekintjük a valóságos pályának, aminek leírásához valós függvényt írhatunk fel. De mit tudunk mondani az elektron mozgásáról akkor, amikor nem bocsát ki fényt? Ekkor csak elképzelhetjük a pályát. Elképzelésünket azonban a valóságra alapozzuk, mert az ugrást már látjuk két állapot között, amiből visszakövetkeztetünk arra, hogy mi volt a kiinduló és mi a végső állapot. Az elképzelt, azaz imaginárius pályát már csak az imaginárius számot tartalmazó függvénnyel írhatjuk le. Így találkozik egymással az elképzelt pálya és annak matematikai leírása komplex függvénnyel.

Ennek az elképzelt pályának megtalálása a kvantummechanika feladata. Ennek a pályának új nevet adunk, úgy nevezzük, hogy ez az elektron állapota az atomokban és molekulákban. Mivel nem látjuk a pályát, ezért úgy vetjük fel a kérdést, hogy hol lehet az elektron és ennek mekkora a valószínűsége, hogy egy adott helyen megtalálható. Ez a valószínűség a komplex állapotfüggvényből képezhető, egy olyan matematikai művelettel, ami konvertálja a komplex jelleget és valóssá teszi. Ez a valószínűség azonban nem ismerethiány, hanem az elektron mozgásának objektív képe. Ha úgy tetszik, ez a mikroállapot valósága. Így találkozik ismét a fizikai valóság és a matematikai forma valós jellege! Ez a valószínűség az idő átalakult dimenziója a mikrovilágban, talán jobb lenne nem is valószínűségnek nevezni, hanem tartózkodási eloszlásnak, vagy tartózkodási sűrűségnek.

Pálya és állapot

Hasonlítsuk össze a makrovilág és a mikrovilág megfigyelési módjának három alapszabályát! Induljunk ki megszokott világunkból. Van is először valamilyen objektum, például egy csillag, vagy egy labda, ami megjelölhető, és ennek követjük egymásutáni pillanatokban a pozícióját, feltételezésünk szerint tetszőleges pontossággal, és ez a megfigyelés nem befolyásolja azt, hogyan mozog ez a test. De mi a helyzet például egy elektron esetén? Először is az egyes elektront nem tudjuk megjelölni, ha egy víz molekulára gondolunk, abban 18 elektron van, melynek állapotát együttesen tudjuk leírni, de az egyes elektronnak nincs identitása, nem tudjuk megkülönböztetni ezeket és ezért nem tudjuk megmondani, hogy egy kiszemelt elektron éppen hogyan mozog. Sőt nem is látjuk az elektronokat csak akkor ha „meglökjük”, más pályára kényszerítjük. Vagyis a megfigyelés alapvetően változtatja meg a megfigyeltet. Maga a pálya, amit tehát nem látunk, csak elképzelésünkben létezik, melynek matematikai leírását imaginárius matematikai formában tudjuk megadni, és a mozgást leíró fizikai mennyiségek, mint a lendület és mozgási energia is elképzelt, vagyis imaginárius identitással rendelkezik. Elképzeljük, hogy ha nem hat erő az elektronra, akkor lendülete nem változik meg, és ezt a kérdést fogalmazzuk meg egy imaginárius operátorral, amely egy kérdőszó: a tér koordinátákkal definiált differenciálhányados. A mozgás fő állandója az energia, ez az ami definíció szerint nem változik meg. Ez is egy kérdőszó, az idővel képzett derivált és ott szerepel benne az imaginárius szám, az „i” is. Igy jön harmóniába a matematikai imaginárius forma a fizikai fogalom elképzelt ideájával.

Amikor a mikrovilágban az elektron állapotára kérdezünk, nem azt keressük, hogy hol van pillanatnyilag az elektron, csak azután kutakodunk, hogy hol lehet! A hol lehet kérdésére azt a választ kapjuk, hogy egyidejűleg lehet itt és ott is. Ez teljesen szembe megy a megszokott felfogással, ahol egymásutáni pozíciókra bontjuk fel a pályát, ezért kell térben kiterjedt állapotról beszélni, amelyben a valószínűség adja meg az elektron eloszlását.

Az EPR paradoxon: létezik-e rejtett mozgás a kvantummechanikai valószínűség mögött?

A nagy kérdés, hogy az eloszlás mögött létezik–e egy lefutás, amit ugyan nem látunk, de rejtetten mégis ott van. Ezt tételezte fel Einstein is, amikor a kvantummechanikát kiegészítő rejtett paraméter létezését tételezte fel. Ez indította el a három szerző (Einstein, Podolsky, Rosen) által elindított EPR paradoxon körüli hosszú vitát. Döntő cáfolatot BELL adta meg, aki egy konkrét példával, amit most Bell egyenlőtlenségnek nevezünk, cáfolta meg, hogy kiegészíthető lenne ily módon a kvantummechanika világa. Én más oldalról mutatom meg, hogy ez a klasszikus pálya fogalomra épített koncepció nem fogadható el.

A Hidrogén atom elektronpályái közül válasszuk ki a p pályákat, melynek térbeli eloszlását láthatjuk. Ennek az a jellemzője, hogy van egy sík, ami a pálya két részét szétválasztja. Vagyis az elektron lehet a sík fölött is, meg alatt is, viszont a síkban nem lehet. Ha tényleg mozogna az elektron, akkor hogyan tudna átmenni a sík fölötti tartományból az alattiba úgy, hogy soha sincs magában a síkban.

A másik kizáró okot az elektrodinamika törvényei adják. A klasszikus fizika talán legszebb fejezetét az elektrodinamika törvényei szolgáltatják, a Maxwell egyenletek. Ennek egyik következménye, hogy a töltés gyorsulása elektromágneses sugárzással jár együtt. Ez jól megfigyelhető, amikor elektronokat gyorsítunk fel a ciklotronban. Minél intenzívebb a gyorsítás, annál erősebb a kisugárzott fény. Az elektronok viszont csak akkor sugároznak ki fényt a molekulákból, amikor ugrás történik két állapot között. Ha viszont nincs ugrás, akkor nincs sugárzás sem. Ha viszont a stacionárius állapotban valódi keringést végeznének az elektronok, akkor gyorsulnának ennek során. Mi ebből a következtetés? Az elektronok nem gyorsulnak a stacionárius állapotban, vagyis nem végeznek tényleges keringő mozgást, hanem egyszerűen csak ott vannak egyidejűleg egy kiterjedt tartományban! Az eloszlás tehát nem időben történő mozgás következménye!

Az idődimenziót felváltja a valószínűség

A mikrovilág stacionárius állapotában tehát elvész az idő fogalma, de mozgásról mégis beszélhetünk. Ennek oka, hogy belép helyette egy másik fogalom, amit jobb híján valószínűségnek nevezünk. Csak jobb híján, mert itt a valószínőség mozgási dimenzió és nem ismerethiány. A mozgási állapotot jellemző valószínűségi eloszlás egyenértékű a klasszikus mozgási pályával, csak a dimenzió más. Ezt is az időhöz hasonlóan pozitív valós számok írják le, csak a skála megválasztása tér el, mert az idő a „most”-tól számítva bármekkora lehet, míg a valószínűség két határértéke 0, ha valami lehetetlen és 1 a teljes bizonyosságé. De ez csak definíció kérdése, választhatnánk végtelen értéket is a teljes bizonyosság definíciójára. Amíg a pálya leírásban beszélhetünk lassú és gyors mozgásról, ennek helyébe lép az elmosódott és az éles valószínűségi eloszlás. Új értelmet nyer a „lehet” fogalma is, ami nem csupán a valóság előképe, hanem a mikrovilág valósága is. Itt a gondolkodás két szintjéről van szó, ha a makrovilág fogalmi rendszeréből indulunk ki, úgy fogalmazunk, hogy „hol lehet” az elektron, de ha már elsajátítottuk a mikrovilágon alapuló gondolkodást, az mondjuk, hogy „hol van” az elektron, azaz hogyan oszlik el a térben.

Ütközik-e a klasszikus fizika determinisztikus és a kvantummechanika indeterminisztikus felfogása?

Gyakran emlegetik tudományos körökben is, hogy van a modern fizikának egy nagy adóssága, mely szerint a modern fizika két jól bizonyított elmélete nem egyeztethető össze. Azt mondják, hogy amíg a gravitáció elmélete, az általános relativitás determinisztikus alapon áll, addig a kvantummechanika nem determinisztikus. Szerintem ez csupán álvita, ami a determinizmus félreértésén alapul. A bolygók pozíciója és sebessége, azaz lendülete egy adott pillanatban tetszésszerinti pontossággal megadható, szemben az elektron esetével, ahol a Heisenberg határozatlansági elv szerint a két mérés hibájának szorzata elvi korlátba ütközik, mert nem lehet kisebb a Planck állandónál. Most ne menjünk bele abba a kérdésbe, hogy a pozíció és lendület mérésének milyen gyakorlati korlátai vannak, csak nézzük az elvi alapokat. A lendület a klasszikus fizika adekvát paramétere, ami a mozgási pálya meghatározója, ez már nem érvényes a mikrofizikában, az állapot meghatározója már nem a lendület. Ott az adekvát leírást a kvantumszámok adják, ezért a mikrovilág determinizmusa a kvantumszámok meghatározását jelenti. Tehát a mikrovilágban az jelenti a determinizmust, hogy meg tudjuk határozni a kvantumszámokat. A határozatlansági reláció csupán azt jelenti, hogy a lendület nem adekvát fizikai mennyiség. A kvantumszámok adekvát jellege megjelenik a matematikában is, amit az fejez ki, hogy ezek természetes illetve egész számoknak felelnek meg.

Honnan ered a határozatlansági reláció?

Érdemes még néhány szót szólni a határozatlansági reláció eredetéről is. Ez onnan származik, hogy a mikrovilág hírhozója a fény, a foton. A fotonhoz tartozik egy hullámhossz is, ennek nagysága határozza meg, hogy milyen pontos információt kapunk onnan, ahonnan a foton megérkezik. De nem csak a pozíciót, hanem a lendületet is a foton segítségével határozzuk meg, itt a pontossági határt a foton lendülete határozza meg. Viszont foton esetén a hullámhossz és a lendület szorzata a Planck állandó. Ha pontos pozíciót akarunk mérni, akkor rövid hullámhosszra van szükségünk Például a látható fény hullámhossza több nagyságrenddel nagyobb a kristályokban a rácstávolságnál, ezért a nagyobb energiájú röntgensugarakat kell alkalmazni, hogy feltárhassuk a molekulaméreteket. Ez viszont nagy lökést ad a molekulának, ami megváltoztatja az eredeti lendületet, és így pontatlanná teszi annak mérését.

Ez a határozatlansági elv matematikailag a fizikai mennyiségek operátorainak nem kommutatív jellegében tükröződik.

A mikrovilág determinizmusa és a kvantumszámok

 A mérés megváltoztatja ugyan a kvantumszámot is, de azt pontosan meg tudjuk mondani, hogy mekkora a kiinduló és a megváltozott kvantumszám. Elvben a makroszkopikus objektum kvantumszám kombinációja is megadható lenne, de a hatalmas számú elektron miatt ez egy lehetetlen vállalkozás. De erre nincs szükség, mert a nagy részecske szám miatt a kvantummechanika bizonytalansági elve elhanyagolható válik és a korrespondencia elv szerint a mechanika törvényei átmennek a determinisztikus klasszikus mechanika törvényeibe. Emiatt csak álproblémának tartom a gravitációs törvények szembeállítását a kvantummechanikával.

Valójában a mikrovilág törvényei is determinisztikusak, amit a kvantumszámok jól definiált és egyértelmű értékei fejeznek ki. A határozatlansági reláció azt mutatja meg, hogy a makrovilágból átvett fogalmak, mint a pozíció és a lendület, nem adekvát mennyiségek a mikrovilágban.

A mozgási állapotok identitása

A kvantumszámokkal jellemzett állapotfüggvény az elektron mozgási állapotának identitását fejezi ki. Az identitás megköveteli, hogy az egyes állapotok teljes mértékben elkülönüljenek, amit matematikailag az egész térre kivetített integrál adja meg. Az egyes pontokban a komplex függvény komplex konjugáltja adja meg a pozitív lokális valószínűséget, amit integrálva (összegezve) az egész térre kapjuk meg az egységnyi valószínűséget, azaz, hogy a kiszemelt elemi objektum bizonyossággal létezik. Az identitáshoz az is hozzá tartozik, hogy két különböző állapot között nincs átfedés, vagyis az egész térre számított integrál a két állapotfüggvény szorzatára nulla lesz (pontosabban az egyik függvény komplex konjugáltját szorozzuk a másik függvénnyel). Erre csak komplex függvény lehet képes, mert a pusztán pozitív valószínűségi eloszlások szorzata mindenhol pozitív lesz. Az állapotfüggvény komplex jellege azt is szimbolizálja, hogy a valóság és a róla alkotott képzetünk egymásba fonódva jelenik meg a mikrovilágban. A teljes világ a megfigyelhető és az elképzelt világ együttese, melynek leírását szolgálja a komplex állapotfüggvény, melyben ott van a valós és imaginárius rész is, utalva arra, hogy a kettő együtt teszi ki az egészet.

Az idő megjelenése a mikrovilág irányából

Fordítsuk meg túránk irányát és most a mikrovilág felől közelítsünk a makrovilág felé. Hogyan lesz ekkor a valószínűségből idő? Ezt az elemi objektumok nagy száma biztosítja. A klasszikus mechanikában a periodikus mozgások segítenek, hogy skálázzuk az időt, azaz megalkossuk az órát. A periodikus mozgások mechanikája mögött húzódik meg, hogy nagyszámú objektum esetén a kvantummechanika valószínűségi törvényei határesetben a klasszikus törvényeket adják ki.

Az idő belépését a radioaktív izotópok belső órájával értelmezhetjük, ami minden egyes izotóp számára azonos bomlási valószínűséget ad meg. Az egyes izotópokat nem láthatjuk, mert ha látnánk, az egyúttal annak megváltozását jelentené, vizsgálhatjuk azonban az izotópok sokaságát. Mennyi fényt, például gamma sugarat, vagy elektront bocsátanak ki a bomlási folyamatban. Mivel az az izotópok anyagában az egyes részecskék nem különböztethetők meg, így a részecskeszám határozza meg a bomlási gyakoriságot, ami a változás mértékét határozza meg. Megadhatjuk így a felezési időt, ami alkalmassá teszi az izotópokat a kormeghatározásra.

A mikrovilág szótára

Összefoglalásként elkészítettem egy kis szótárt, amiben lefordítom a makrovilág fogalmait a mikro világéra. Kiindulópont a pálya, melynek helyébe az állapot lép. Az idő leváltója a valószínűség, de ezt is másképp értelmezzük a mikrovilágban, itt már jobb helyette tartózkodási eloszlást mondani. Amikor a makrovilág fogalmait használjuk a mikrovilág mozgásainak leírására, akkor tesszük fel a kérdést, hogy az elektron hol lehet. De ha sikerül továbblépni és már a mikrovilág fogalmaiban gondolkodunk, már az lesz a helyes kérdés, hogy hol van az elektron, azaz mekkora súllyal tartózkodik az elektron a tér különböző tartományaiban. A világ egysége is megjelenik a kvantummechanikában. Az elektron tartózkodási súlya az atomban a magtól bármekkora távolságban is megjelenik, bár ez a súly a Gauss eloszlást követve csak az atom belsejében jelentős, de azért mindenütt ott van. Ebben az értelemben a világ összes elektronja egyetlen nagy egységet alkot. Bármely két elektront kiválasztva van közöttük „párbeszéd”.

Érdekes, hogy mi történik a sebesség fogalmával. Ezt már a térbeli eloszlás élessége helyettesíti. Ebből fakad a gyorsulás fogalma is, ami a geometriai alakzat élesedését jelenti, vagy lassuláskor elmosódottságot, szélesedést jelent. A legizgalmasabb a határsebesség, a c értelmezése, mert ez hozzásegít, hogy jobban értsük a határsebesség eredetét. Ez onnan származik, hogy a pontszerűség jelenti felbontási határt a mikrovilágban, ennél jobb felbontás, élesebb eloszlás nem lehet. Ennek megfelelőjeként mondhatjuk, hogy van egy sebesség, ami nem léphető át a makrovilágban. Így segít a mikrovilágról alkotott képünk jobban megérteni a relativitáselméletet is.

Az Academia.edu portálra küldött preprint alapján a szerkesztők az AI segítségével készítettek négy karikatúrát a közleményről, amit ide csatolok: