A fizika kalandja

A kvantumvilág rejtélyei 3. Bizonytalansági reláció és diszkrét energianívók

2016. január 07. - 38Rocky

A kvantum felfedezése és a foton

A mikro-rendszerek energiájának ugrásszerű változása elválasztja egymástól a klasszikus és a kvantummechanikát. A klasszikus fizikában minden fizikai mennyiség értéke folytonosan változik, a kvantummechanikában ez másképp van. Az atomok színképvonalai arra utalnak, hogy az elektronok diszkrét energianívók között végeznek ugrásokat. A kvantummechanika kialakulásának kezdő lökését Planck adta meg, amikor a XIX. század fordulóján kifejtette nézetét a fény kvantumos természetéről. Ennek oka a fekete test sugárzásának értelmezése volt. A sugárzás frekvencia eloszlása a kis energiák tartományában a végtelenhez fut, ha a fekete test által kisugárzott energia egy adott hullámhosszon tetszőlegesen kis intenzitású lehet. Planck feltételezése szerint a monokromatikus, tehát azonos hullámhosszú sugárzás intenzitását fokozatosan csökkentjük, akkor eljutunk egy határhoz, ami alatt már nem osztható tovább az intenzitás, mert a további csökkentés már a fény megszűnését okozza. Van tehát a fénynek egy legkisebb egysége, amit később a fény kvantumának, fotonnak neveztek el. A foton energiája arányos a ν frekvenciával, melynek értéke E = h.ν, ahol h a nevezetes állandó, amit aztán Planckról neveztek el. A foton valamennyi tulajdonságát egyetlen mennyiség, a frekvencia határozza meg, mert a fénysebességű mozgás miatt a hullámhossz λ = c/ν, az impulzus pedig a hosszúság egységre jutó hullámok számával, tehát 1/λval arányos, azaz p = h/λ. Ezt az utóbbi összefüggést érdemes úgy is felírni, hogy λ.p = h. Ennek majd a bizonytalansági elv megértésénél lesz jelentősége. A vizsgálatok azt is kimutatták, hogy a foton impulzusnyomatékkal is rendelkezik, melynek értéke független a frekvenciától és ezt is a redukált Planck-állandó határozza meg: ℏ = h/2π.

A monokromatikus fény energiája tehát nem folytonosan, hanem h.ν lépésekben változik, és azt fejezi ki, hogy a sugárzás hány fotont tartalmaz. Más oldalról viszont folytonos az energia változása, mert a frekvencia, és vele együtt a már említett egyéb tulajdonságok folytonosan, azaz ugrások nélkül változnak.

Elektronmozgás az atomban: a Bohr modell

A kvantummechanika felé a másik fontos lépést Bohr tette meg, aki megalkotta az atom „bolygó” modelljét. Ebben a modellben a negatív töltésű elektronok körpályán mozognak a pozitív töltésű atommag körül és az atomok sugárzásához tartozó színképvonalak a körpályák közötti energiaugrásoktól származnak, ahol az E1E2 = h. ν szabály határozta meg a kibocsátott foton frekvenciáját. Bohr ebben a modellben az egyes pályákat az impulzusnyomaték segítségével definiálta, amelynek értékét a redukált Planck-állandó egészszámú többszöröse adta meg. Ez a szabály tehát magyarázta az energia ugrások eredetét, de ellentétes volt az elektrodinamika Maxwell-féle törvényével, amely szerint a gyorsuló pályán mozgó töltések folytonos sugárzást bocsátanak ki, márpedig a körmozgás állandó gyorsulással jár. A folytonos sugárzás hiányát avval magyarázta, hogy vannak kivételes pályák, melyek impulzusnyomatéka ℏ egészszámú többszöröse, ahol nem sugároz a keringő elektron és ezeket a pályákat stacionáriusnak nevezte el. A modell alapvető újdonsága, hogy folytonos energiasugárzás helyett kvantumokban történő foton kibocsátást tételez fel. Bár a későbbi vizsgálatok túlhaladták a Bohr-modellt, mégis úttörő jelentőségűnek bizonyult az elképzelés, egyrészt a stacionárius állapotok, másrészt a kvantumos energia kibocsátás fogalma miatt.

Ugrásszerű változások és a matematikai operátorok

A XX. század első harmadában a fizikusoknak egy új feladattal kellett megbirkózniuk. Newton óta rendkívül sikeresen lehetett alkalmazni a folytonosság elvén alapuló fizikai fogalmakat a differenciálszámítás segítségével. Hogyan lehet ezt úgy kiterjeszteni, hogy alkalmas legyen az ugrásszerű változások leírására is?

 A végül megtalált matematikai eljárás megértéséhez induljunk ki a különböző fizikai fogalmak definíciójából! Mi is az impulzus? Az a fizikai mennyiség, ami fenntartja az állandó sebességű, egyenes vonalú mozgásokat. Mi az impulzusnyomaték: ami fenntartja a forgást, és mi az energia: ami az állandóságot képviseli a változó sebességű mozgásokban. Tehát a felsorolt fizikai mennyiségek fenntartják, nem pedig megváltoztatják a vizsgált fizikai rendszerek állapotát. Tehát a fizikai mennyiségek reprezentálásához olyan matematikai eszközre van szükség, ami a mikro-rendszer állapotát leíró függvényt megtartja, azaz nem változtatja meg. Vezessünk be ezért valamilyen függvényt, ami az állapotot jellemzi, és erre hasson az a matematikai eszköz, ami változatlanul hagyja ezt a függvényt, amennyiben megfelelően írja le a mikro-rendszert, de változtassa meg az ellenkező esetben, amikor a választott függvény nem írja le helyesen a vizsgált rendszer állapotát. A fizikusok szerencséjére ezt a matematikai eszközt, amit operátornak neveznek, a matematika már kidolgozta. Ebben az eljárásban a különböző függvényekhez, amit sajátfüggvényeket neveznek, az operátor különböző értékei (sajátértékek) tartoznak, melyek akár diszkréten, akár folytonosan változhatnak.

A fizikai mennyiségek operátorai

A fizikai mennyiségeknek megfelelő operátorokat Schrödinger és Heisenberg alkotta meg, és egyenleteik segítségével indult hódító útjára a fizika új elmélete, amit kvantummechanikának nevezünk. Az elmélet sikereit annak köszönheti, hogy a hatás oldaláról jut el a fizikai mennyiségek matematikai leírásához, a hatás pedig azonos akár a makro- akár a mikrovilágról van szó.  Annak logikáját, hogyan lehet eljutni az egyes fizikai mennyiségek operátoraihoz már bemutattam egy korábbi bejegyzésben („Út a kvantummechanika megértéséhez). Érdemes megjegyezni, hogy az erő fogalmához a kvantummechanika nem rendel közvetlenül operátort. Ennek oka, hogy az erő nem állapotfenntartó, hanem állapotváltoztató fizikai fogalom! Az erő definíciójához közvetve juthatunk el vagy a potenciális energia térbeli, vagy az impulzus időbeli változásán keresztül.

Diszkrét energiaállapotok kötött rendszerekben

Diszkrét energiájú állapotok kizárólag kötött rendszerekben jelennek meg, ha az elektron szabad pályán mozog, akkor energiája folytonosan változtatható akár elektromos, akár mágneses tér alkalmazásával. Két speciális erőtérben már részletesen bemutattam a diszkrét nívók kialakulását („Miért diszkrétek az energianívók kötött állapotban, I-V”). Ott konkrét kvantummechanikai számításokat mutatok be összehasonlítva a klasszikus mechanika módszertanával. Ebben a bejegyzésben viszont a levonható elvi következtetéseket emelem ki. Két alaptípusát vizsgálom a kötött rendszereknek, az egyik az atomban mozgó elektroné, a másik a molekulában a kémiai kötésben levő atomok vibrációjával foglalkozik. Az első esetben az erő a távolsággal csökken, a másik eset épp fordított, ott a távolság függvényében növekszik a visszahúzó erő. Az első esetben a potenciális energia a centrumban végtelenhez tart, a másokban pedig nulla az egyensúlyi helyzetben. Tehát a két rendszer éppen ellentétes esetét képviseli a kötött állapotnak.

Rezonancia jelenség, mint a diszkrét állapotok oka

Mindkét esetben a mikro-rendszer energiájának diszkrét változását a fotonokkal való kölcsönhatás okozza, amit a fotonok és az atomok, illetve elektronok mozgása közötti rezonancia vált ki. Molekulavibráció esetén a vibráció és a foton frekvenciájának egybeesése vezet rezonanciához, míg az elektron átmeneteknél a különböző energiákhoz rendelhető frekvenciák különbsége egyezik meg a foton frekvenciájával. Vibrációkban mindig ugyanakkora energia felvételre, vagy leadásra kerül sor a rezonancia miatt, azaz nem a molekuláknak van „megtiltva”, hogy a vibráció energiája folytonosan változzék, hanem az elnyelt, vagy kibocsátott fotonok azonos energiája épít fel diszkrét és ekvidisztans energiaállapotokat. Egy hasonlattal élve képzeljük el, hogy egy víztartály töltünk fel és mindig egy-egy teljes vödör vizet öntünk a tartályba. Ekkor a vízszint mindig pontosan azonos mértékben emelkedik. De ha nem egész vödör vizet öntenénk be, akkor a vízszint folytonosan és nem diszkrét egységekben változna. A másik példában, amikor az atommag körül keringő elektron energiaszintjeiről van szó, a foton mindig egységnyi impulzusmomentumot közöl a rendszerrel, vagy vihet el az elektrontól, és emiatt csak olyan nívók alakulnak ki, amelyek impulzusnyomatéka a redukált Planck állandó egészszámú többszöröse. Ez viszont már meghatározza az egyes nívók diszkrét energiáját, melyek között rezonanciaszerű átmenetek jöhetnek létre. 

Folytonos változás az ugrások között

Az elmondottak értelmében a kötött állapotú mikroszkopikus rendszerek energiája is folytonosan változhat, de a fotonok rezonanciaszerű kölcsönhatása miatt diszkrét vonalak jelennek meg mind a vibrációs, mind az elektron színképben. Minden fizikai mérésben a fotonok szállítják az információt a vizsgált rendszer állapotának megváltozásáról és ez alapján következtetünk a rendszer állapotára. Kérdés, hogy van-e olyan kísérleti bizonyíték, ami alátámasztja az energia folytonos változását? A válasz igen! A megfigyelt színképvonalak ugyanis sohasem végtelenül élesek, minden vonal véges szélességgel (eloszlással) rendelkezik, így ha jóval kisebb intenzitással, de a diszkrét vonalak között is detektálható átmenet. A kiszélesedés oka a bizonytalansági reláció, ami szintén a fotonok tulajdonságaiból következik.

A fotonoktól származó információ és a bizonytalansági relációk

A jelenséget egy a Rákosi korszakból származó rendőrviccel szemléltetem. A kérdés, miért járőrőznek a rendőrök hármasával? A válasz, hogy az egyik rendőr csak írni, a másik csak olvasni tud. De miért van szükség a harmadikra? Mert ő ellenőrzi a két „intelligenciát”. Hasonló a helyzet a fotonokkal is, vagy a pozíciót, vagy az impulzust tudják pontosan meghatározni. A bevezetésben már említettem, hogy a foton hullámhosszának és impulzusának szorzata épp a Planck állandó. Amikor valamit mérünk szükség van egy skálára és a skálabeosztás finomsága határozza meg a mérés pontosságát. Felhasználhatjuk a fotont a hely, a pozíció mérésére, ekkor a skálabeosztásnak a foton hullámhossza felel meg, de felhasználhatjuk az impulzus mérésére is, ekkor h/λ fogja limitálni a mérés pontosságát. A két hiba pontosságának szorzata ezért h lesz. De miért ne használhatnánk két fotont, az egyiknek legyen kicsi a hullámhossza, a másiknak nagy. A probléma, hogy az első foton a rövid hullámhossz és a nagy impulzus miatt erősen megváltoztatja az elektron, vagy a molekula impulzusát és a második foton már egy megváltozott állapot impulzusáról ad felvilágosítást.  És mi van a vicc harmadik rendőrével? Hát ő a fizikus, aki az információt feldolgozza.

A bizonytalansági reláció másik formája a méréshez rendelkezésre álló időt és az energiamérés pontosságát hozza kapcsolatba. Ha vizsgálunk egy molekulát folyadékban, akkor a molekula csak addig tartózkodik egy megadott állapotban, amíg egy másik molekulával való ütközés nem változtatja meg a tulajdonságait. Ezért amikor felvesszük a színképet fontos szerepe van annak az időtartamnak, amíg a molekula változatlannak tekinthető. Ez azt jelenti, hogy a molekula által kibocsátott, vagy elnyelt frekvencia értékét modulálja az ütközési gyakoriság. A frekvencia modulációja viszont az energiamérés pontatlanságával jár együtt, ami a színképeken a vonalak kiszélesedésében nyilvánul meg.  Az ütközések között eltelt időt szorozva az energiamérés pontatlanságával ismét megkapjuk a Planck állandót.

A nullponti vibráció fizikai oka

A bizonytalansági reláció sajátos megjelenési formája a nullaponti rezgés. Ha melegítünk egy testet, akkor a vibrációk intenzívebbé válnak, ha hűtjük, akkor csak alacsonyabb energiájú vibráció jön létre. Azonban bármennyire is hűtjük a vizsgált tárgyat a vibráció soha sem fagy be teljesen. Ezt hívjuk nullaponti vibrációnak, ahol a nulla az abszolút nulla fokot jelenti a Kelvin skálán. Mi ennek az oka? Ha teljesen megszűnne a vibráció, akkor tetszőleges pontossággal mérhetnénk a pozíciót, miközben az impulzusról tudnánk, hogy nulla, ami ellenkezne a bizonytalansági elvvel. Ez az alapállapotú vibráció azonban már nem bocsát ki fotonokat, csak gerjeszthető magasabb energiájú állapotba, hatása mégis megfigyelhető a Röntgen- vagy neutron diffrakciós szerkezetvizsgálatban, amit az egyes atomok pozíciójának elmosódottsága mutat.

Elektron az atommag belsejében

Az elektronok mozgásánál az atomban szintén a bizonytalansági elvvel magyarázható, hogy még a végtelen mélységű elektromos potenciál sem képes az atommagban tartani az elektront. A nulla impulzusmomentumú pályán azonban véges valószínűséggel a magban is előfordul az elektron. Ez mérésekkel is kimutatható, mert meghatározható az elektron és az atommag között egy irány független mágneses kölcsönhatás. Másik eset, amikor néhány radioaktív izotópban, ahol a protonok relatív száma magas, az elektron egyesülhet a protonnal létrehozva egy neutront és egy neutrínót (K-befogás). Ekkor már az elektron teljes egészében, tehát nem csak egy tört valószínűséggel, az atommagban tartózkodik. Ez látszólag ellentmond a kvantummechanikának, de csak látszólag, mert az elektron ekkor megszűnik eredeti formájában létezni és így az állapotára vonatkozó bizonytalansági törvény már nem érvényesül. Az elektron és a proton kölcsönhatását nem az elektromágnesesség, hanem egy rövidtávú hatás, az un. gyenge kölcsönhatás idézi elő.

Link a folytatáshoz: A kvantumvilág rejtélyei 4.

Az alábbi linkre kattintva lehet eljutni a "Paradigmaváltás a fizikában" című bejegyzésre, ahonnan további bejegyzésekre történik utalás.

A bejegyzés trackback címe:

https://afizikakalandja.blog.hu/api/trackback/id/tr518248798

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

Nincsenek hozzászólások.